कलमन फ़िल्टर - जटिल?

मैंने हाल ही में संवर्धित वास्तविकता से एक पोस्ट पढ़ी जिसमें सरल अल्फा बीटा फिल्टर की तुलना में कलमन फ़िल्टर का उल्लेख है। एक लंबे समय के लिए मैं एक एफसी संकलन पर एक स्निपेट की तरह कुछ रचना करने जा रहा था, और अब मुझे लगता है कि यह समय है। लेख में मैं आपको बताऊंगा कि वास्तव में अत्यधिक वैज्ञानिक विचारों और गहन सैद्धांतिक अनुसंधान के साथ खुद को परेशान किए बिना एक विस्तारित एफसी की रचना करना कैसे संभव है।

मूल अवधारणाएँ

1. इनपुट-आउटपुट समीकरण एक विभेदक समीकरण है (उदाहरण के लिए, दूसरी तरह के लैगरेंज समीकरणों का उपयोग करके संकलित), जिसके लिए बराबर चिह्न के बाईं ओर ऐसे शब्द हैं जो आउटपुट चर (सिस्टम के स्वयं के गति के सामान्यीकृत निर्देशांक) पर निर्भर करते हैं, और दाईं ओर स्थित हैं। इनपुट चर या मुक्त सदस्य। सरलता के लिए, हम निम्नलिखित उदाहरण का हवाला दे सकते हैं: इनपुट-आउटपुट समीकरण के बाईं ओर पेंडुलम के लिए बाकी की स्थिति से लोड के विचलन के कोण के साथ शर्तें होंगी, और दाईं ओर गुरुत्वाकर्षण और अन्य बाहरी बलों के साथ शर्तें होंगी। मैं यह वर्णन नहीं करूंगा कि ऐसे समीकरण कैसे प्राप्त होते हैं - बेकार सैद्धांतिक गणनाओं के साथ प्रकाशन को जटिल करने की कोई आवश्यकता नहीं है। नीचे मैं दिखाऊंगा कि आप उन तरीकों से प्राप्त कर सकते हैं जो अभ्यास के लिए सुविधाजनक हैं।
2. ट्रांसफर फ़ंक्शन (पीएफ) - इनपुट के आउटपुट का अनुपात, या इनपुट के आउटपुट चर। अनुपात के नियम के अनुसार, मस्तिष्क को कोष्ठक से बाहर निकालने के बाद, ट्रांसफर फ़ंक्शन बायीं ओर के अनुपात के बराबर होगा, जो ऑपरेटर के रूप में, दाईं ओर लिखा गया है।
3. रिकॉर्डिंग का संचालक रूप - समीकरण "इनपुट-आउटपुट" फॉर्म बदलने के बाद उसमें लिखा गया है: s = d / dt और x (t) -> x (s)। परिणामस्वरूप, फॉर्म का एक समीकरण:
   a1 * x '' + a2 * x '+ a3 * x = b1 * u' + b2 * u,
   रूप में परिवर्तित:
   (a1 * s ^ 2 + a2 * s + a3) * x (s) = (b1 * s + b2) * u (s)।
   इस स्थिति में, स्थानांतरण फ़ंक्शन निम्न प्रकार दिखाई देगा:
   W (s) = x (s) / u (s) = (b1 * s + b2) / (a1 * s ^ 2 + a2 * s + a3)

कार्य

एफसी के लिए एक आवेदन के रूप में, हम सेंसर ब्लॉक की जानकारी को संसाधित करने का काम लेते हैं (देखें [1] )। हमारे पास बिआक्सियल माइक्रोमैकेनिकल एक्सेलेरोमीटर (MMA) की चार इकाइयाँ हैं। केवल 8 मापने वाले चैनल, जिनमें से प्रत्येक के लिए एक अलग इनपुट-आउटपुट समीकरण बनाना संभव है। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सेंसर के कुछ निर्माता (उदाहरण के लिए, एनालॉग डिवाइसेज़) गणितीय मॉडल को अनुमानित रूप से अनुमानित (यह हमारे मामले में महत्वपूर्ण है) प्रदान करते हैं। जब मैं एक डिप्लोमा पर काम कर रहा था, मुझे अपने सहयोगियों से मतलाब के लिए एक मॉडल मिला। लेकिन भले ही निर्माता उत्साहपूर्वक अपने रहस्यों की रक्षा कर रहा हो, लेकिन परेशानी महान नहीं है। अगर हम AD से एक्सेलेरोमीटर की बात करें, तो कई व्यावहारिक समस्याओं के लिए उनकी बैंडविड्थ बड़ी है। उदाहरण के लिए, ADXL203 बैंड, अगर यह मेमोरी को नहीं बदलता है, तो 10 kHz। यह एक ध्वनिक सेंसर के रूप में काम नहीं करता है (सैकड़ों kHz तक नहीं पहुंचता है), लेकिन चलती वस्तुओं (कारों, नौकाओं, स्कूटर, साइकिल, प्रैम) पर या गेमिंग उद्योग में नागरिक उपयोग के लिए (यह संभावना नहीं है कि कोई व्यक्ति 10 हर्ट्ज की आवृत्ति पर भी अपने हथियार चला सकता है। ) ऐसा बैंड बेमानी है।
इस प्रकार, हम खुद सेंसर की जरूरत के मॉडल बना सकते हैं। और इस तरह हम दो पक्षियों को एक पत्थर से मारते हैं: हम एक सरल रैखिक मॉडल बनाते हैं और पहले से ही निम्नतम स्तर पर शोर फ़िल्टरिंग का परिचय देते हैं। मॉडल की सादगी के बारे में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब एक समीकरण का उपयोग किया जाता है जो सेंसर की गतिशीलता का सटीक वर्णन करता है, तो हम उन नंबरों से कलमन फिल्टर मैट्रिक्‍स की रचना करने के लिए मजबूर होंगे जिनके ऑर्डर बहुत अलग हैं। उल्लेख किए गए एक्सीलरोमीटर के लिए "निर्माता से" मॉडल में, अधिकतम न्यूनतम गुणांक का अनुपात लगभग 1e + 10 है। इससे गणनाओं की क्रूरता कम होती है, अर्थात्। गुणांक मान सेट करने में एक छोटी सी त्रुटि एक बहुत बड़ी कम्प्यूटेशनल त्रुटि हो सकती है। गणितीय मॉडल में निहित बैंडविड्थ को कम करके, हम अनिवार्य रूप से गणना की स्थिरता को बढ़ाते हैं।
तो इसे बहुत मॉडल कैसे बनाया जाए? हाँ, बहुत सरल है। MatLab या ऑक्टेव संकुल का उपयोग करना और हमें बैंडविड्थ की आवश्यकता के लिए (कम-पास फ़िल्टर, उच्च-पास फ़िल्टर या बैंड-पास फ़िल्टर), जो कि पैकेजों में प्लग-इन का उपयोग करके या हम पीएफ को संश्लेषित करते हैं। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मैटलैब पैकेज में असतत फिल्टर के लिए एक दृश्य संश्लेषण उपकरण शामिल है। ऑक्टेव में, मुझे अभी तक एक एनालॉग नहीं मिला है। दोनों पैकेजों में, आप आवृत्ति प्रतिक्रिया और चरण प्रतिक्रिया घटता को प्लॉट कर सकते हैं, जिस पर आपको कटऑफ की आवृत्ति (या आवृत्तियों) पर ध्यान देने की आवश्यकता है, साथ ही पासबैंड के अंदर और बाहर आवृत्ति प्रतिक्रिया ग्राफ के दोलनों पर भी ध्यान देना होगा। सामान्य तौर पर, ट्रांसफर फ़ंक्शन गुणांक वाले एक शमन आवृत्ति प्रतिक्रिया और चरण प्रतिक्रिया ग्राफ़ हमें संतुष्ट करते हैं। लेकिन खुद के लिए, मैंने पहले से ही पहचान के लिए आनुवंशिक एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए एक और, अधिक आलसी, सरल तरीका, रेखांकित किया है। केवल संदर्भ नमूने "इनपुट - आउटपुट" को लागू करना और विकासवादी प्रक्रिया को व्यवस्थित करना आवश्यक है। लेकिन वैज्ञानिक दृष्टिकोण से, कथित "तरीके" अमान्य हैं।

गणितीय मॉडल

और इसलिए, सादगी के लिए, हम सहमत हैं कि ऑपरेटर रूप में एक समीकरण है:

यह दूसरे क्रम के गतिशील लिंक के सबसे सामान्य समीकरणों में से एक है। इस समीकरण में, a2 - वसंत कठोरता गुणांक की भूमिका निभाता है (कठोरता सीधे स्थिति से संवेदन तत्व की स्थिति की दूरी के लिए आनुपातिक है); ए 1 भिगोना गुणांक है (आंदोलन की गति के लिए आनुपातिक बल; शहद के बारे में याद रखें - यह धीरे-धीरे जल्दी से एक चम्मच को इसमें स्थानांतरित करना आसान है); a0 - जड़ता को दर्शाता है। समान चिह्न के दाईं ओर गुणांक का थोड़ा अलग अर्थ है। ये गुणांक डेरिवेटिव के विभिन्न आदेशों में कार्रवाई की प्रभावशीलता की विशेषता है। यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि भौतिक वास्तविकता की आवश्यकता बाईं ओर के व्युत्पन्न के अधिकतम क्रम के दाईं ओर व्युत्पन्न के अधिकतम क्रम को सीमित करती है।
हमारे निपटान में इस तरह के समीकरण होने से हम कलमन फ़िल्टर की तैयारी शुरू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें पहले इनपुट-आउटपुट समीकरण को "स्टेट स्पेस" मॉडल में बदलना होगा। यह "कॉची फॉर्म" में परिवर्तित करके किया जाता है।
सबसे पहले आपको अनुपात के रूप में बदलने और एक नया (डमी) चर लाने की जरूरत है:

परिणामस्वरूप, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं:

इस प्रणाली में, पहला समीकरण गतिशील प्रक्रिया का समीकरण है, और दूसरा अवलोकन समीकरण है।
हम X1 = x को बदलकर कॉची फॉर्म के पहले समीकरण (पहले ऑर्डर के डिफरेंशियल इक्वेशन के सिस्टम) को कम करते हैं:

रिकॉर्डिंग प्रतिस्थापन की सुविधा के लिए, इस प्रणाली में उलटा परिवर्तन किया गया था
लाप्लास (संचालक के रूप में अंतर से संक्रमण)। परिणामस्वरूप, हम टूट गए
दो प्रथम क्रम समीकरणों में मूल समीकरण। पेश किए गए चर X1 और x2 को "राज्य चर" या "चरण निर्देशांक" कहा जाता है। परिणामी प्रणाली "निरंतर" समय के साथ काम करती है। हमने इसे मूल अंतर समीकरणों का उपयोग करके संकलित किया है। लेकिन हमें एक कंप्यूटर में आवर्ती तरीके से चरण निर्देशांक के मूल्य की गणना के लिए एक अंतर एल्गोरिथ्म (असतत समय में एक एल्गोरिथ्म) बनाने की आवश्यकता है। इसलिए, कलमन फ़िल्टर का उपयोग करने से पहले, इस प्रणाली को "विवेकाधीन" होने की आवश्यकता होगी। लेकिन उस पर और बाद में।
अब हमें प्रवेश किए गए चरण निर्देशांक के लिए एक अवलोकन समीकरण बनाने की आवश्यकता है। ध्यान में रखते हुए
पेश किए गए प्रतिस्थापन और अंतर रूप में हम प्राप्त करते हैं:

चरण-निर्देशांक के अनुसार शर्तों को व्यवस्थित करने के बाद, यह वेक्टर-मैट्रिक्स के रूप में प्राप्त समीकरणों को फिर से लिखने के लिए रहता है:

इस समीकरण में

इन समीकरणों को समझने के लिए, निम्नलिखित भावों का उपयोग करें:

जहां मैं पहचान मैट्रिक्स हूं, एफ और आर राज्य अंतरिक्ष मॉडल (अंतर समीकरण) के वांछित विवेकाधीन मैट्रिक्स हैं, टीएस परिमाणीकरण अवधि है।
नमूनाकरण की अवधि नमूनाकरण में एक प्रमुख तत्व है। यह जितना छोटा है, उतना ही सटीक है
एक असतत मॉडल को निरंतर समय के साथ एक मॉडल का व्यवहार दोहराता है। इसके अलावा, के साथ
कम्प्यूटेशनल त्रुटियों के कारण बहुत बड़े ts, असतत मॉडल बन जाएगा
अस्थिर। यदि विषय अत्यधिक गतिशील नहीं है (उदाहरण के लिए निम्न पास फ़िल्टर
बैंडविड्थ 10 हर्ट्ज तक), तो मात्रा का ठहराव अवधि काफी बड़ी चुनी जा सकती है। के लिए
उपर्युक्त कम-पास फिल्टर, परिमाणीकरण अवधि 0.01 सेकंड के बड़े मार्जिन के साथ चुना जा सकता है।
तो, हमें फॉर्म का एक असतत मॉडल मिला:

अब एफसी मॉडल की तैयारी के लिए सब कुछ तैयार है। हमें बस प्रत्येक मापने वाले चैनल के लिए प्राप्त एफ, आर, और सी को विकर्ण करना है। 8 मापने वाले चैनलों के लिए, जिनमें से प्रत्येक के लिए आयाम 2x2 के साथ एक असतत उचित मैट्रिक्स एफ संकलित किया जाता है, हमें अपना कलमन फ़िल्टर मैट्रिक्स ए मिलता है (प्रकाशन की शुरुआत में छवि देखें) ) 16x16 के आयामों के साथ। हम एफसी मॉडल में कॉलम वेक्टर आर: 2x1 * 8 चैनल = 16x8 - मैट्रिक्स बी के साथ भी कार्य करते हैं। पंक्ति वैक्टर C से, कलमन फ़िल्टर (8x16) का मैट्रिक्स H बना है।
हो गया! फिर आपको यह सब प्रोग्राम करने की आवश्यकता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं इसके लिए रूबी + नैर्रे का उपयोग करना पसंद करता हूं - यह इस गुच्छा के साथ प्रोटोटाइप के लिए एक खुशी है, लेकिन यह मेरा व्यक्तिगत विचार है ... किससे। बस ध्यान रखें कि यह सीधे इन समीकरणों को प्रोग्रामिंग करने के लायक नहीं है - परिणामी मैट्रिक्स शून्य के साथ बहुत कम हैं। यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो सभी मैट्रिक्स अभिव्यक्तियों को ब्लॉक ऑपरेशन में विभाजित किया जा सकता है। कार्यान्वयन चरण में यहां बहुत कुछ अनुकूलित किया जाना है।

निष्कर्ष

संकेतन के बारे में कुछ भ्रम के लिए क्षमा करें। विभिन्न कार्यों से जुड़े सूत्र। मैं संक्षेप में यह बताने की कोशिश करूंगा कि पोस्ट की शुरुआत में छवि में एफसी के समीकरणों में क्या है।
पहली चीज जो आपकी आंख को पकड़ती है वह है मैट्रिस पी, क्यू, आर, के। यह क्रमशः अनुमान त्रुटियों (एफसी समस्या को हल करने की त्रुटियों) के सहसंयोजक का मैट्रिक्स है, गतिशील प्रक्रिया के शोर के कोवरियन का मैट्रिक्स और शोर को मापने के साथ-साथ कलमन फ़िल्टर लाभ का मैट्रिक्स है। वैक्टर "x" और "z" FC के चरण वेक्टर हैं (FC मॉडल के अंदर सेंसर ब्लॉक के चरण वेक्टर की नकल) और वास्तविक सेंसर के आउटपुट संकेतों के वेक्टर (वास्तव में, यह एफसी के बाहर से जानकारी प्राप्त करने के लिए चैनल है)। प्रस्तुत आरेख से एफसी ऑपरेशन के सिद्धांत को समझना आसान है।
ऐसा लगता है कि कुछ भी जटिल नहीं है। हालांकि, एफसी के काम में कई महत्वपूर्ण बारीकियां हैं। तो एफसी को एक एल्गोरिथ्म के रूप में डिज़ाइन किया गया है जो कई परिस्थितियों (परिकल्पना) के तहत सबसे छोटा मतलब वर्ग त्रुटि देता है। सबसे पहले, शोर सफेद होते हैं (यादृच्छिक वर्णक्रमीय प्रतिक्रिया) यादृच्छिक चर के एक गाऊसी वितरण के साथ। लेकिन व्यवहार में, यह परिकल्पना पूरी नहीं हुई है, क्योंकि ऐसे आदर्श मापदंडों के साथ शोर का स्रोत खोजना मुश्किल है। इसके अलावा, माप प्रणालियों में स्वयं परिमित बैंडविद हैं। इस मामले में, शोर प्रक्रियाओं के लिए चर को फोटोनिक क्रिस्टल के चरण वेक्टर में भी शामिल किया जाना चाहिए। एक कृत्रिम दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है: यह माना जाता है कि हमारे पास सफेद शोर का एक स्रोत है, जिसमें से संकेत फिल्टर से गुजरता है। इस प्रकार, दो और गतिशील वस्तुओं के मॉडल को एफसी मॉडल - फिल्टर में जोड़ा जाता है, जो कि सफेद शोर प्रक्रियाओं की एक जोड़ी को गतिशील प्रक्रिया के रंगीन शोर में बदल देता है और शोर को मापता है।
दूसरी परिकल्पना विभिन्न मापने वाले चैनलों का असंबद्ध शोर है। यह शायद ही कभी प्रदर्शन किया जाता है, और फिर से इस सीमा के आसपास प्राप्त करने के लिए कृत्रिम तरीके हैं। इन सभी तरीकों से एफसी के आयाम में वृद्धि होती है => कम्प्यूटेशनल लोड में वृद्धि होती है।
एफसी के काम की पेचीदगियों वैज्ञानिकों के नर्ड के जीवन को जटिल बनाती हैं, लेकिन अक्सर व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए एफसी के आयाम को कम करने के लिए कुछ सैद्धांतिक आवश्यकताओं को पूरा करने से अधिक महत्वपूर्ण है। हम संख्यात्मक तरीकों से एक अनुमानित समाधान की तलाश कर रहे हैं, न कि एक स्पष्ट सैद्धांतिक औचित्य के साथ सटीक विश्लेषणात्मक समाधान। हालांकि किसी को पसंद है ...

संदर्भ

1. छोटे यूएवी के लिए गैर-ऑर्थोगोनल SINS
2. habrahabr.ru/blogs/augmented_reality/118192
3. ब्रमर के।, जिफलिंग जी। कलमैन-बुकी फिल्टर। ट्रांस। उसके साथ। - एम ।: विज्ञान। मुख्य
   भौतिक और गणितीय साहित्य का संस्करण। 1982।
4. सिज़िकोव वी.एस. माप परिणामों के प्रसंस्करण के स्थायी तरीके। गाइड का अध्ययन करें।
   - सेंट पीटर्सबर्ग: "स्पेट्सलाइट", 1999. - 240 पी।
5. ग्रेग वेल्च, गैरी बिशप। कलमन फ़िल्टर का एक परिचय। टीआर 95-041, विभाग
   कंप्यूटर साइंस, चैपल हिल में उत्तरी कैरोलिना विश्वविद्यालय। 5 अप्रैल, 2004।