संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग करके एक जटिल आकृति का क्षेत्र निर्धारित करना

एक जटिल आकृति के क्षेत्र का निर्धारण क्यों करें?

हां, आप कभी नहीं जानते कि क्यों। उदाहरण के लिए, नक्शे पर क्षेत्र का निर्धारण करना आवश्यक हो गया। बेशक, आप निर्देशिका में देख सकते हैं या इंटरनेट पर खोज कर सकते हैं, लेकिन कभी-कभी क्षेत्र गैर-मानक होते हैं - मान लें कि आप अमेज़ॅन बाढ़ में वन समस्याओं के बारे में चिंतित हैं और हर महीने उपग्रह तस्वीरों पर हरे धब्बों के क्षेत्र को मापना चाहते हैं। यदि आप एक बेवकूफ हैं (शब्द के अच्छे अर्थ में), तो आपको एक पौधे की विभिन्न किस्मों की पत्ती की सतह के क्षेत्र को मापने की आवश्यकता हो सकती है। या, उदाहरण के लिए, एक अधिक पेशेवर कार्य - आपको दीवार के एक टुकड़े को पोटीन की जरूरत है, और पोटीन के डिब्बे केवल 1 वर्ग के लिए पर्याप्त हैं। मी। - आपको यह पता लगाने की जरूरत है, दो के लिए एक कैन या कांटा खरीद सकते हैं।

क्षेत्र खोजने में क्या कठिनाई है?

बेशक, अगर आकार एक आयत, एक चक्र, या, बदतर, एक दीर्घवृत्त है, तो समस्या Google और एक कैलकुलेटर का उपयोग करके हल की जाती है। लेकिन जहां सूत्र खोजने के लिए, लेकिन सरल, के क्षेत्र को खोजने के लिए, कहते हैं, इस तरह के एक पैटर्न?

संभावना सिद्धांत, आपका रास्ता बाहर!

मुझे तुरंत कहना होगा कि संभावना सिद्धांत स्वाभाविक रूप से समस्याओं का सटीक समाधान नहीं है। तो यह इस मामले में होगा - यदि आपको अंतरिक्ष सटीकता की आवश्यकता है, तो मैं सिमुलेशन विधियों की दिशा में खुदाई करने का सुझाव देता हूं। यदि 2-5% के भीतर त्रुटि आपको अच्छी तरह से सूट करती है, तो एक ही कैलकुलेटर, बुनियादी प्रोग्रामिंग कौशल और सौ तक गिनती करने की क्षमता पर्याप्त होगी।

विधि का सार

विधि का सार भोज के बिंदु के लिए सरल है। मान लीजिए कि हमने एक आयताकार ट्रे पर एक गोभी का पत्ता (ऊपर के जीवविज्ञानी के बारे में टिप्पणी देखें) को एक आयताकार ट्रे पर रखा, और एक टपकती बारिश के तहत ट्रे डाल दी। और फिर उन्होंने एक निश्चित समय (उदाहरण के लिए, पांच मिनट) देखा और गणना की कि कितने बूंदें फूस पर गिर गईं, और कितने सीधे शीट पर। अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि बारिश आमतौर पर समान रूप से टपकती है, तो हमें एक सरल अनुपात मिलता है - चादर फूस से कई गुना छोटी होती है, पूरे फूस की तुलना में उस पर बारिश की बूंदें कितनी बार गिरती हैं।

हमारे आंकड़े पर वापस

तो, आप उस गुलाबी पांच के क्षेत्र का निर्धारण कैसे करते हैं? हां, यह बहुत सरल है - आयताकार सीमाओं में आंकड़े को घेरें और बेतरतीब ढंग से बहुत सारे डॉट्स लगाएं। अधिक, बेहतर (बड़ी संख्या के कानून के अनुसार)। और फिर आकृति को हिट करने वाले बिंदुओं की संख्या की गणना करें।

मैं जानबूझकर इस तरह के एक एल्गोरिथ्म के कार्यान्वयन पर चर्चा नहीं करता हूं, क्योंकि टन के विकल्प हैं। आप बस अपनी आँखें बंद कर सकते हैं और बेतरतीब ढंग से एक बॉल पेन कलम उठा सकते हैं, या आप प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके अधिक वैज्ञानिक रूप से कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, PHP कोड ने मुझे 15 लाइनों से अधिक नहीं लिया, और इसका परिणाम यह है:


कुल मिलाकर 300 अंक एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ चिपकाए गए हैं। गिनती के बिंदुओं की सुविधा के लिए, मैंने छवि को 36 क्षेत्रों में विभाजित किया है - अब आपको प्रत्येक क्षेत्र में छवि पर गिरे अंकों की संख्या गिनने की जरूरत है, और परिणाम जोड़ें। हम तालिका में डेटा को कम कर देंगे (तालिका सेल चित्र में सेक्टर से मेल खाती है):

0	4	8	4	0	0
0	7	5	6	0	4
3	6	13	7	8	5
1	10	10	13	7	2
0	2	3	7	10	2
0	0	2	5	3	0

अब हमारे पास गुलाबी स्पॉट क्षेत्र की गणना करने के लिए सभी डेटा हैं:
वर्णित आयत का क्षेत्रफल 20 सेमी x 20 सेमी = 400 वर्ग है। सेमी;
आयत में बिंदुओं की संख्या 300 है;
अंक के अंदर अंक की संख्या (तालिका से मूल्यों का योग) - 157;
आंकड़ा का क्षेत्र - 209.33 वर्ग मीटर। सेमी।

और कितना सही है?

वास्तव में, यह इस पद्धति की सटीकता निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। बेशक, सब कुछ अंकों की संख्या पर निर्भर करता है, और यहां मध्य मैदान का निरीक्षण करना आवश्यक है - हमारे उदाहरण के लिए दस स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं होंगे, और एक हजार से यह आंखों में भी चीर जाएगा। इसलिए, हम तीन सौ बिंदुओं के लिए त्रुटि और 20 सेमी के किनारे के साथ वर्णित वर्ग को निर्धारित करने का प्रयास करेंगे। इसके लिए, हम एक आंकड़ा लेते हैं जिसका क्षेत्र हम पहले से जानते हैं। उदाहरण के लिए, यह:


हम अंक डालते हैं:


परिणाम तालिका में दर्ज किए गए हैं:

0	6	11	8	5	0
9	15	8	5	13	2
11	8	5	14	13	5
10	11	8	8	4	4
2	14	9	10	4	1
0	3	5	6	0	0

हम आकृति के क्षेत्र की गणना करते हैं:
वर्णित आयत का क्षेत्रफल 20 सेमी x 20 सेमी = 400 वर्ग है। सेमी;
आयत में बिंदुओं की संख्या 300 है;
अंक के अंदर अंक की संख्या (तालिका से मूल्यों का योग) - 237;
आकृति का क्षेत्र - 316 वर्ग मीटर। सेमी।

यह गणना करना आसान है कि 10 सेमी की त्रिज्या के साथ एक सर्कल का वास्तविक क्षेत्र 314.16 वर्ग मीटर है। इस प्रकार, विधि की त्रुटि 0.59% थी, जो कि ज्यादातर मामलों में लागू उपयोग के लिए पर्याप्त है।