संख्या 6174 वास्तव में रहस्यमय है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि इसमें कुछ भी अनोखा नहीं है। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, हर कोई जो गिनती करना जानता है, वह उस रहस्य की खोज कर सकता है जो संख्या 6174 को इतना विशेष बनाता है।

कप्रेकर समारोह

1949 में, डोलाली (भारत) शहर के गणितज्ञ डी। आर। कापरेकर ने गणितीय क्रिया का आविष्कार किया, जिसे अब कप्रेकर समारोह के रूप में जाना जाता है। सबसे पहले, किसी भी संख्या का चयन करें जिसमें अंक दोहराए नहीं जाते हैं (यानी 1111, 2222, आदि)। फिर सबसे बड़ी संख्या संभव और सबसे छोटी संभव संख्याओं को फिर से व्यवस्थित करें। फिर आपको छोटे को बड़े से घटाना होगा - और परिणामी संख्या के साथ ऑपरेशन को दोहराना होगा।

यह एक सरल क्रिया है, लेकिन कपरेकर ने पाया कि यह एक अद्भुत परिणाम की ओर ले जाता है। आइए देखें कि यह कैसे काम करता है, उदाहरण के लिए, 2005 की संख्या पर। इन नंबरों से हम अधिकतम संख्या 5200 प्राप्त कर सकते हैं, और न्यूनतम संख्या 0025, यानी 25 है। घटाव इस तरह दिखेगा:

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

जब हम 6174 तक पहुंचते हैं, तो फ़ंक्शन हर बार दोहराता है, प्रत्येक बार 6174 लौटता है। हम इस फ़ंक्शन के लिए संख्या 6174 को एक निश्चित बिंदु कहते हैं। यह संख्या घटाव की श्रृंखला को रोक देती है, लेकिन क्या यह वास्तव में सिर्फ इतना है जो इसे विशेष बनाता है? एक और आश्चर्य हमें यहाँ इंतजार कर रहा है। चलो कुछ अन्य संख्या पर ऑपरेशन को दोहराने की कोशिश करते हैं, उदाहरण के लिए, 1789।

9871 - 1789 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174

हमें फिर से 6174 मिले!



जब हमने 2005 में शुरू किया था, तो हम सात चरणों में 6174 पर पहुंच गए थे, और 1789 के लिए इस प्रक्रिया में तीन चरण हुए। वास्तव में, आपको किसी भी चार अंकों की संख्या के लिए 6174 मिलता है जिसमें सभी अंक समान नहीं होते हैं। यह आश्चर्यजनक है, है ना? कापरेकर का कार्य इतना सरल है, लेकिन यह एक दिलचस्प परिणाम देता है। और यह और भी दिलचस्प हो जाता है जब हम उन कारणों के बारे में सोचते हैं जो सभी चार अंकों की संख्या रहस्यमय संख्या 6174 तक पहुंचते हैं।

केवल 6174?

प्रत्येक चार अंकों की संख्या के अंकों से, आप अधिकतम संख्या प्राप्त कर सकते हैं यदि आप संख्या को अवरोही क्रम में पुनर्व्यवस्थित करते हैं, और न्यूनतम संख्या उन्हें आरोही क्रम में पुन: व्यवस्थित करके प्राप्त की जाती है। चार अंकों के लिए ए, बी, सी, डी :

९ 9 ए ≥ बी ≥ सी ≥ डी। ०

जहाँ a, b, c, d समान अंक नहीं हैं, अधिकतम संख्या abcd है , और न्यूनतम dcba है ।

हम समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करके कापरेकर फ़ंक्शन के परिणाम की गणना कर सकते हैं।

ABCD
-dcba
____
एबीसीडी

जो निम्नलिखित परिणाम देता है

D = 10 + d - a (यदि a> d)
C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (यदि b> c - 1)
बी = बी - 1 - सी (यदि बी> सी)
ए = ए - डी

संख्याओं के लिए, जहाँ a> b> c> d

यदि अंतिम संख्या एबीसीडी को मूल चार अंकों ए, बी, सी और डी के साथ लिखा जा सकता है, तो परिणाम दोहराना शुरू हो जाएगा। इसलिए हम सभी संभावित संयोजनों {क, ख, ग, घ} से गुजर कर कपरेकर समारोह के निश्चित बिंदु का पता लगा सकते हैं और जाँच सकते हैं कि उपरोक्त स्थितियाँ संतुष्ट हैं या नहीं। प्रत्येक 4! = 24 संयोजन चार अज्ञात के साथ चार समीकरणों की एक प्रणाली देता है, ताकि हमें इस प्रणाली को ए, बी, सी और डी के लिए हल करने में समस्या न हो।

यह पता चला है कि इनमें से केवल एक संयोजन में एक पूर्णांक समाधान है जो आवश्यकता को संतुष्ट करता है 9 that that b ≥ c ≥ d ≥ 0 । यह ABCD = bdac का एक संयोजन है, और समीकरणों की प्रणाली का एकमात्र समाधान a = 7, b = 6, c = 4 और d = 1 है । अर्थात्, ABCD = 6174. समान अंकों के लिए {a, b, c, d} , सिस्टम के पास एक वैध समाधान नहीं है। इसलिए, 6174 नंबर कपरेकर फ़ंक्शन का एकमात्र निश्चित बिंदु है - हमारी रहस्यमय संख्या अद्वितीय है।

तीन अंकों की संख्या के लिए, एक ही घटना देखी जाती है। उदाहरण के लिए, काप्रेकर समारोह को संख्या 753 पर लागू करने से निम्नलिखित जानकारी मिलती है:

753 - 357 = 396
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495

संख्या 495 तीन अंकों की संख्या के लिए एक विशिष्ट निश्चित बिंदु है, और सभी तीन अंकों की संख्या अंततः इसके नीचे आती है। आप इसे स्वयं देख सकते हैं।

6174 कितनी तेजी से है?

यह 1975 के आसपास था, जब मैंने पहली बार एक दोस्त से 6174 नंबर के बारे में सुना था, और तब मैं बहुत प्रभावित हुआ था। मैंने सोचा कि इस घटना के कारणों की व्याख्या करना काफी सरल होगा, लेकिन मुझे स्पष्टीकरण नहीं मिला। मैंने कंप्यूटर पर सभी चार-अंकीय संख्याओं की जाँच की। विजुअल बेसिक में कार्यक्रम में लगभग 50 लाइनें थीं और इसने 1000 से 9999 तक के सभी 8991 चार अंकों के संयोजनों की जाँच की, जहाँ वर्ण दोहराए नहीं जाते हैं।

नीचे दी गई तालिका परिणाम दिखाती है: प्रत्येक संख्या अधिकतम सात पुनरावृत्तियों में 6174 तक पहुंचती है। यदि आप सात पुनरावृत्तियों में 6174 तक नहीं पहुंचे हैं, तो आपके पास बस एक गणना त्रुटि है और आपको फिर से प्रयास करने की आवश्यकता है!

पुनरावृत्तियों	संख्या की संख्या
0	1
1	356
2	519
3	2124
4	1124
5	1379
6	1508
7	1980

मेरे कंप्यूटर प्रोग्राम ने सभी 8,991 नंबरों की जाँच की, लेकिन उनके लेख में मैल्कम लाइन्स [लाइन्स, मैल्कम ई।, आपके विचारों के लिए एक नंबर: तथ्यों और संख्याओं के बारे में अटकलें ..., ब्रिस्टल: हिल्गर (1986)] यह साबित करता है कि यह केवल 30 की जाँच करने के लिए पर्याप्त है। संभव चार अंकों की संख्या कपरेकर समारोह की जांच करने के लिए।

पहले की तरह, आइए एबीसी के रूप में चार अंकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां

९ 9 ए ≥ बी ≥ सी ≥ डी । ० ।

श्रृंखला में पहली क्रिया की गणना करते हैं। अधिकतम संख्या 1000a + 100b + 10c + d है , और न्यूनतम 1000d + 100c + 10b + a है । तो घटाव ऑपरेशन निम्न के लिए आता है:

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000 (विज्ञापन) + 100 (बीसी) + 10 (सीबी) + (दा)
= 999 (विज्ञापन) + 90 (बीसी)

सकारात्मक मान (विज्ञापन) 1 से 9 तक की सीमा में है, और (bc) 0 से 9 तक है। सभी संभावित विकल्पों के माध्यम से जाने पर, हम पहली घटाव क्रिया के सभी संभावित परिणाम देख सकते हैं। उन्हें तालिका में दिखाया गया है।



हम केवल उन संख्याओं में रुचि रखते हैं जिनमें अंक समान नहीं हैं और

एक ≥ बी ≥ सी ≥ डी ,

इसलिए, हम केवल उन (विज्ञापन) those (bc) को लेते हैं। ताकि हम तालिका में पूरे ग्रे क्षेत्र को अनदेखा कर सकें जिसमें संख्याएँ हों

(ad) <(bc) ।

अब हम दूसरी घटाव के लिए समाप्त न्यूनतम संख्या प्राप्त करने के लिए तालिका में संख्याओं को अवरोही क्रम में पुनर्व्यवस्थित करेंगे।



हम डुप्लिकेट (ग्रे क्षेत्र) को अनदेखा कर सकते हैं और ऑपरेशन जारी रखने के लिए 30 नंबर शेष हैं। निम्नलिखित आरेख उन मार्गों को दिखाता है जिसमें ये सभी संख्याएँ 6174 के निरंतर परिणाम पर आती हैं।



इस आरेख से आप देख सकते हैं कि सभी चार अंकों की संख्या 6174 तक कैसे पहुंचती है और यह अधिकतम सात पुनरावृत्तियों में होता है। लेकिन उसके बाद भी, मुझे ऐसा लगता है कि संख्या 6174 रहस्यमय नहीं है। मेरा मानना ​​है कि कपरेकर, जिन्होंने इस नंबर की खोज की थी, बेहद स्मार्ट थे और इस समस्या के बारे में सोचने के लिए उनके पास बहुत समय था!

दो अंक, पांच अंक, छह या अधिक ...

हम पहले ही देख चुके हैं कि चार और तीन अंकों की संख्या एक अद्वितीय निश्चित बिंदु तक पहुंचती है, लेकिन विभिन्न वर्णों की संख्याओं के बारे में क्या? यह पता चला है कि उनके लिए परिणाम इतना प्रभावशाली नहीं है। आइए, दो अंकों की संख्या का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, 28:

82 - 28 = 54
54 - 45 = 9
90 - 09 = 81
81 - 18 = 63
63 - 36 = 27
72 - 27 = 45
54 - 45 = 9

थोड़े समय के बाद, हम आश्वस्त होंगे कि सभी दो अंकों की संख्या एक चक्र 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9 बनती है। तीन- और चार अंकों की संख्या के विपरीत, कोई विशिष्ट निश्चित बिंदु नहीं है।

और पांच अंकों की संख्या के बारे में क्या? क्या उनके लिए एक अनूठा निश्चित बिंदु है, जैसे कि 6174 और 495? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें एक समान ऑपरेशन करना होगा: ABCDE के लिए सभी 120 संयोजनों {a, b, c, d, e} की जाँच करें ताकि शर्तें पूरी हों:

९ 9 ए ≥ बी ≥ सी ≥ डी ≥ ई ≥ ०

और

abcde - edcba = ABCDE ।

सौभाग्य से, सभी आवश्यक गणना पहले से ही कंप्यूटर पर की जा चुकी है और यह ज्ञात है कि पांच अंकों की संख्या पर कपरेकर फ़ंक्शन के लिए कोई अद्वितीय स्थिर बिंदु नहीं है। लेकिन सभी पांच अंकों की संख्या तीन चक्रों में से एक में आती है:

71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973
75933 → 63954 → 61974 → 82962 → 75933
59994 → 53955 → 59994

जैसा कि मैल्कम लाइन्स ने अपने लेख में लिखा है, छह और बड़ी संख्या में अंकों के साथ संख्याओं की जांच करने में लंबा समय लगता है और यह काम बेहद थकाऊ हो जाता है। आपको इस तरह के भाग्य से बचाने के लिए, निम्न तालिका में दो से दस अंकों (बाकी के लिए - मैथ्यूज़ आर्काइव ऑफ़ रिक्रिएशनल मैथमेटिक्स ) के सभी नंबरों के निरंतर अंक शामिल हैं।

निर्वहन	लगातार बिंदु
2	नहीं
3	495
4	6174
5	नहीं
6	549945, 631764
7	नहीं
8	63317664, 97508421
9	554999445, 864197532
10	6333176664, 9753086421, 9975084201

ठीक है, लेकिन इसका कारण क्या है?

हमने यह सुनिश्चित किया कि सभी तीन अंकों की संख्या 495 तक कम हो जाती है, और सभी चार अंकों की संख्या कपरेकर फ़ंक्शन की गणना के परिणामस्वरूप 6174 तक कम हो जाती है। लेकिन मैंने यह नहीं बताया कि इन सभी नंबरों में एक विशिष्ट निश्चित बिंदु क्यों है। क्या यह घटना यादृच्छिक है या इसकी गहन गणितीय व्याख्या है? यह अद्भुत और रहस्यमय है कि यह एक मात्र संयोग हो सकता है।

आइए रुकें और जापानी लेखक युकीओ यमामोटो द्वारा रचित एक सुंदर पहेली के बारे में सोचें।

यदि आप दो पाँच-अंकीय संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आप परिणाम 123456789 प्राप्त कर सकते हैं। इन दो संख्याओं का अनुमान लगाएँ।



यह एक बहुत ही सुंदर पहेली है, और आप मान सकते हैं कि इसके पीछे कुछ महान गणितीय सिद्धांत छिपा है। लेकिन वास्तव में, उसकी सुंदरता बेहद यादृच्छिक है, अन्य समान हैं, लेकिन इतने सुंदर उदाहरण नहीं हैं:



(हम आपको इन समस्याओं को हल करने के लिए एक संकेत दे सकते हैं, और यहाँ उत्तर हैं ।)

यदि मैं आपको यमामोटो पहेली दिखाता हूं, तो यह आपके लिए इसे हल करना दिलचस्प होगा, क्योंकि यह सुंदर है, लेकिन अगर मैं आपको दूसरी पहेली दिखाता हूं, तो यह आपको बिल्कुल भी रुचि नहीं दे सकता है। मुझे लगता है कि कपरेकर की समस्या यममोटो की संख्या खोज समस्या के समान है। हम इन पहेलियों को पसंद करते हैं क्योंकि वे सुंदर हैं। और इसी कारण से, यह हमें लगता है कि उनके लिए एक मात्र संयोग से अधिक होना चाहिए। इस तरह की गलतफहमी ने बार-बार गणित और अतीत के विज्ञान में वैज्ञानिक खोजों को जन्म दिया है।

क्या यह जानना पर्याप्त है कि सभी चार अंकों की संख्या कपरेकर फ़ंक्शन के परिणामस्वरूप संख्या 6174 तक कम हो जाती है, लेकिन पता नहीं क्यों? अब तक, कोई भी निश्चितता के साथ नहीं कह सकता था कि तीन और चार अंकों की संख्या के लिए एक विशिष्ट निश्चित बिंदु सिर्फ एक यादृच्छिक घटना है। यह एक ऐसी अद्भुत संपत्ति है जिससे हम यह उम्मीद कर सकते हैं कि यह संख्या सिद्धांत से किसी प्रकार का बड़ा सिद्धांत है। यदि हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो शायद अंत में यह पता चलेगा कि हम सिर्फ एक खूबसूरत गलतफहमी का सामना कर रहे हैं, लेकिन हमें उम्मीद है कि ऐसा नहीं है।