🕣 👨🏼‍🏫 🏻 बहुपद समय में एक झिल्ली प्रणाली का उपयोग करके हैमिल्टन मार्ग की खोज करें 🚚 😜 👩‍❤️‍👩

एक विशेष शास्त्रीय एल्गोरिथम मॉडल ( ट्यूरिंग और पोस्ट मशीन , सामान्य मार्कोव एल्गोरिदम , मिनस्की काउंटर मशीन , आदि) के ढांचे के भीतर एल्गोरिदम का संकलन सुरक्षित रूप से असामान्य प्रोग्रामिंग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, क्योंकि इन मॉडलों के अभिव्यंजक न्यूनतम असाधारणता के कारण। इस नियम का अपवाद नहीं है इस तरह का एक अपेक्षाकृत नया एल्गोरिदम मॉडल है, जो कि झिल्ली सिस्टम या पी-सिस्टम के रूप में है, जिसका आविष्कार रोमानियाई वैज्ञानिक जॉर्ज पौन ने दस साल पहले किया था।

इस नवाचार का उद्देश्य सेल जैसी संरचनाओं (मतलब जैविक कोशिकाओं) की कम्प्यूटेशनल क्षमताओं का अध्ययन करना था, लेकिन सामान्य तौर पर यह सभी गतिविधि डीएनए संगणनाओं का उपयोग करके हैमिल्टन पथ खोजने की समस्या को हल करने के लिए एडलमैन के प्रसिद्ध अनुभव से प्रेरित थी । विचित्र रूप से पर्याप्त है, लेकिन यह विषय सिर्फ (दुर्भाग्य से, आभासी) एक ही कार्य को हल करने के लिए समर्पित है, लेकिन सरल झिल्ली प्रणाली की मदद से। तो, बिल्ली के नीचे, पाठक को 1) एक संक्षिप्त विवरण मिलेगा कि झिल्ली सिस्टम क्या हैं; 2) कैसे "प्रोग्राम" ऐसे "हार्डवेयर"; 3) बहुपद निष्पादन समय के साथ हैमिल्टन पथ की समस्या को हल करने के लिए एक झिल्ली एल्गोरिथ्म।

झिल्ली प्रणाली

झिल्ली तंत्र मुख्य रूप से नेस्टेड झिल्ली की एक प्रणाली है। प्रत्येक झिल्ली के अंदर, अन्य झिल्लियों के अलावा, कुछ वस्तुओं के कुछ मल्टीसेट, सबसे अधिक बार प्रतीकों को भी समाहित किया जा सकता है। एक मल्टीसेट एक ऐसा सेट है जिसमें तत्वों को दोहराया जा सकता है, लेकिन तत्वों का क्रम बिल्कुल महत्वपूर्ण नहीं है।

इस प्रकार, झिल्ली प्रणाली को अनौपचारिक रूप से एक बैग के रूप में सोचा जा सकता है, जिसमें पत्र और अन्य बैग के साथ कार्ड होते हैं। हालांकि, स्थिति निषिद्ध नहीं है जब झिल्ली (बैग) में या तो प्रतीक नहीं होते हैं, या अन्य झिल्ली, या दोनों (खाली बैग) नहीं होते हैं। और फिर भी, प्रतीकों को सबसे बाहरी झिल्ली के बाहर भी स्थित किया जा सकता है, जिसे त्वचा झिल्ली कहा जाता है।
प्रत्येक झिल्ली को एक विशेष प्रतीक (झिल्ली पहचानकर्ता) के साथ चिह्नित किया जा सकता है, और लेबल को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है।

वास्तव में, झिल्ली प्रणाली एक पेड़ जैसी संरचना है जिसमें या तो पर्यावरण या त्वचा-फर्नीचर जड़ की भूमिका निभाता है। झिल्ली ए झिल्ली बी के साथ जुड़ा हुआ है अगर ए सीधे बी में एम्बेडेड है। झिल्ली सिस्टम आमतौर पर तार के रूप में लिखे जाते हैं जिसमें झिल्ली ब्रैकेट्स द्वारा इंगित की जाती हैं (एक महत्वपूर्ण नोट - कोष्ठक के अंदर वस्तुओं का क्रम बिल्कुल कोई भूमिका नहीं निभाता है)। ऊपर दी गई प्रणाली, उदाहरण के लिए, इस प्रकार लिखी जा सकती है: [ ₀ baha [ ₁ I] ₁ हर्ब [ ₂ lvoe] ₂ ra] ₀ या तो [ ₀ ahra [ ₂ ovel] ₂ Hrbb [ ₁ I] ₁ a] ₀ या सामान्य रूप से इस तरह:
[ _० [ _१ इय] _१ [ _२ प्यार] _२ हबरहाब] _० ...

झिल्ली प्रणाली विकास

कोई भी झिल्ली प्रणाली गतिशील होती है, अर्थात समय के साथ बदलता है, जबकि इसके विकास के बारे में बात करता है। विकास के नियम (नियम) प्रणाली के विकासकर्ता द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, और ये नियम इसके अभिन्न अंग हैं। झिल्ली कंप्यूटिंग पर साहित्य में इस तरह के कई नियम हैं। हमारे उद्देश्यों के लिए, केवल तीन बुनियादी प्रकार के नियम पर्याप्त होंगे: इंट्रा-झिल्ली मल्टीसेट्स का विकास; बाहर ले जाने वाले पात्र; झिल्ली विभाजन।

मल्टीसेट्स के विकास को ए → बी के नियमों द्वारा वर्णित किया गया है, जहां ए और बी वर्णों के कुछ सबसेट का प्रतिनिधित्व करने वाली दो लाइनें हैं (इसलिए, इन पंक्तियों में पात्रों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है)। उदाहरण के लिए, एएबी → बीसी। इस तरह के नियमों का अर्थ यह है कि यदि एक झिल्ली में वर्ण A का संयोजन है, तो इसे B के संयोजन से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। बारीकियों के ~~लिए मतभेद~~ हैं। सबसे पहले, अधिकतम समानता का सिद्धांत लागू होता है - लागू होने वाले सभी क्रमपरिवर्तन लागू होने चाहिए। दूसरे, यदि कई प्रतिस्पर्धी नियम हैं, तो उनमें से एक का चुनाव गैर-नियतात्मक है, अर्थात्। संयोग से। तीसरा, कभी-कभी ऐसे संघर्षों को हल करने के लिए, कई नियमों पर प्राथमिकता पेश की जाती है, अर्थात्। आंशिक आदेश संबंध। वैसे, नियमों की प्राथमिकता वाली झिल्ली प्रणालियां एल्गोरिथम रूप से सार्वभौमिक मॉडल हैं जो ट्यूरिंग मशीन के साथ संगत हैं (लेकिन हम प्राथमिकता का उपयोग नहीं करेंगे)।

प्रणाली के विकास के दौरान प्रतीकों को झिल्ली के बीच स्थानांतरित किया जा सकता है, विशेष रूप से, आसपास के क्षेत्र में झिल्ली से प्रतीकों का उत्पादन निम्नलिखित नियम द्वारा वर्णित है [ए] → [] बी। उदाहरण के लिए, [ab] → c। इस नियम का अर्थ यह है कि यदि किसी झिल्ली में वर्ण A का संयोजन होता है, तो उसे झिल्ली से हटा दिया जाता है और संयोजन B में बदल जाता है।

अंत में, सबसे दिलचस्प ऑपरेशन (आपको एल्गोरिदम को लागू करने की अनुमति देता है, जैसे नीचे वर्णित है) झिल्ली का विभाजन है। झिल्ली को विभाजित करने का नियम है [a] → [B] [C] (यहाँ एक वर्ण है, B और C तार हैं)। उदाहरण के लिए, [x] → [आ] [b]। इस ऑपरेशन का अर्थ: यदि प्रतीक झिल्ली के अंदर बनता है, तो यह झिल्ली विभाजित होती है (पहले, पिछले दो प्रकार के सभी नियम इसमें पूर्ण होते हैं) दो में, पहले में, प्रतीक a को संयोजन B से बदल दिया जाता है, दूसरे में - C. द्वारा।
ध्यान दें कि प्रत्येक नियम, सिद्धांत रूप में, एक विशिष्ट झिल्ली (किसी दिए गए लेबल के साथ) से बंधा जा सकता है, हालांकि, हमारे उद्देश्यों के लिए, मॉडल की ऐसी जटिलता, सौभाग्य से, आवश्यक नहीं है।
यह माना जाता है कि सिस्टम में प्रत्येक चक्र (असतत समय) पर, एक निश्चित समय पर निष्पादित किए जाने वाले सभी नियम पूरे होते हैं। एल्गोरिथम बहुमुखी प्रतिभा के साथ, इसका मतलब है कि झिल्ली प्रणालियों को एक समानांतर कम्प्यूटेशनल मॉडल के रूप में माना जा सकता है। इसके अलावा, इस तरह के एक मॉडल में समानता की डिग्री गतिशील है - सिस्टम में अधिक ऑब्जेक्ट्स, (औसतन) एक साथ ट्रिगर नियमों की संख्या अधिक से अधिक। यह झिल्ली प्रणाली अनुकूल रूप से तुलना करती है, उदाहरण के लिए, समानांतर ट्यूरिंग मशीनें।

हैमिल्टनियन पाथ प्रॉब्लम

इस ग्राफ में एक निर्देशित ग्राफ G दिया गया है और एक स्टार्ट वर्टेक्स दिया गया है। हम उनके निर्देशों के अनुसार ग्राफ के किनारों के साथ आगे बढ़ेंगे (तीर ~~ऊन के~~ खिलाफ नहीं चल सकते हैं)। यदि किसी ग्राफ़ को ट्रेस करने के लिए ऐसा मार्ग है जिसमें एक बार वर्टिकल शामिल हैं, तो ऐसे मार्ग को हैमिल्टन मार्ग कहा जाता है। यदि हैमिल्टनियन मार्ग के अंतिम शीर्ष से शुरू होने वाले शीर्ष पर जाना संभव है, तो ऐसे मार्ग को हैमिल्टनियन चक्र कहा जाता है। वास्तव में, नीचे दी गई समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है: क्या हैमिल्टनियन जी जी एक दिए गए ग्राफ जी में यूथ वर्टेक्स से शुरू होता है? इस प्रकार, समस्या का समाधान केवल एक बिट जानकारी है - पथ मौजूद है (1) या मौजूद नहीं है (0)। यह एक शास्त्रीय एनपी-पूर्ण समस्या है (हालांकि, सबसे अधिक बार, इसे हैमिल्टन चक्र की खोज की समस्या माना जाता है), तदनुसार, इसे हल करने के लिए कोई बहुपद एल्गोरिथ्म वर्तमान में ज्ञात नहीं है।
हम ग्राफ के सभी कोने 1 से n तक की संख्या में हैं। तर्क की समानता (इस तरह के एक मानक ~~बहाना~~ बहाना) को सीमित किए बिना, हम मानते हैं कि शुरुआती शीर्ष पहले है।

ग्राफ़ को ग्राफ़ के आर्क्स के अनुरूप वर्णों के सेट (स्ट्रिंग) का उपयोग करके परिभाषित किया जाएगा। प्रत्येक चाप u → v को प्रपत्र A _{uv के} विशेष प्रतीक द्वारा परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि एक _uv एक वर्ण है (जिसकी छवि कई अन्य वर्णों से बनी है)! उदाहरण के लिए, दाईं ओर की आकृति का ग्राफ वर्ण स्ट्रिंग A = A ₁₃ A ₂₁ A ₃₂ A ₂₄ A ₄₃ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। वैसे, इस ग्राफ में पहले शीर्ष से निकलने वाला एकमात्र हैमिल्टन मार्ग है: 1 → 3 → 2 → 4।

झिल्ली एल्गोरिथ्म

एल्गोरिथ्म का विचार इस प्रकार है। पहले चरण में, हम (डिवीजन ऑपरेशन का उपयोग करके) एक पर्याप्त रूप से बड़ी समान झिल्ली बनाते हैं जिसमें समस्या की स्थितियों को एन्कोड किया जाता है (यानी, ग्राफ जी)। दूसरे चरण में, हैमिल्टन मार्ग के लिए एक यादृच्छिक खोज प्रत्येक झिल्ली के अंदर की जाती है - अधिकतम 1 एन -1 पुनरावृत्ति बनाई जाती है, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, वर्तमान शीर्ष से एक यादृच्छिक आउटगोइंग चाप का चयन करके वर्तमान पथ का विस्तार करने का प्रयास किया जाता है। यदि प्रयास असफल होता है, तो दी गई झिल्ली के अंदर की विकास प्रक्रिया रुक जाती है। सिद्धांत रूप में, इस मामले में पूरे झिल्ली को निकालना संभव होगा, लेकिन हम इस तरह के बकवास (कचरा कलेक्टर लिखना) के साथ सौदा नहीं करेंगे ताकि मुख्य विचार को अव्यवस्थित न करें। इस तथ्य के कारण कि झिल्ली की संख्या जिसमें खोज की जाती है, काफी बड़ी है, संभावना है कि ग्राफ में हैमिल्टनियन पथ है और एल्गोरिथ्म नहीं मिला है यह काफी छोटा हो सकता है (अधिक सटीक रूप से, हम इस संभावना को नियंत्रित कर सकते हैं)।
एल्गोरिदम इनपुट: शुरू में केवल एक झिल्ली होती है जिसमें ए) वर्ण सेट ए स्थित होता है, जो एक ग्राफ है जिसमें हम पहले शीर्ष से मार्ग की तलाश करते हैं; बी) प्रतीकों यू ₂ , यू ₃ , ..., यू _एन (पहले वर्टेक्स माना जाता है कि पहले से ही दौरा किया जाता है) द्वारा दी गई अप्रयुक्त खंडों की सूची; सी) डिवीजनों के काउंटर डी _टी। उदाहरण के लिए, ऊपर दिखाए गए ग्राफ के लिए, प्रारंभिक झिल्ली का रूप है [D _T U ₂ U ₃ U ₃ A ₃ A ₁₃ A ₂₁ A ₃₂ A ₂₄ A ₄₃ ]।
पहला कदम समान झिल्ली की सही मात्रा बनाना है। यह निम्नलिखित नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

1: [D _i ] → [D _i-1 ] [D _i-1 ], i = T, ..., 1

इस नियम का अनुप्रयोग प्रत्येक झिल्ली के दोहरीकरण की ओर जाता है, जबकि विभाजन काउंटर एक से घटता है। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणामस्वरूप झिल्ली की संख्या तेजी से बढ़ जाएगी - 1, 2, 4, 8 आदि। टी पुनरावृत्तियों के बाद, हमारे पास 2 ^टी समान झिल्ली होंगे, जिसके लिए विभाजन काउंटर डी _{0 के} बराबर है। झिल्ली में इस प्रतीक की उपस्थिति एल्गोरिथ्म का दूसरा चरण शुरू होता है - हैमिल्टन मार्ग का निर्माण। यह चरण निम्नलिखित चार नियमों द्वारा लागू किया गया है।

2: डी ₀ → एक्स ₁ एल ₁
3: एक्स _आई ए _आईजे → वाई _जे , आई, जे = 1, ..., एन
4: वाई _जे यू _जे → जेड _जे , जे = 1, ..., एन
5: Z _j L _k → X _j L _{k + 1} , j = 1, ..., n, k = 1, ..., n-1

एक महत्वपूर्ण नोट: जब हम बोलते हैं, उदाहरण के लिए, नियम 3 का, तो हमारा मतलब सभी संभावित पात्रों X _i और A _{ij के} लिए नियमों का एक पूरा सेट है। यानी "जैसा कि यह था" नियम 3 के तहत वास्तव में n ² "वास्तविक" नियम छिपाते हैं। अब ये चार नियम क्या करते हैं, इसका संक्षिप्त विवरण। नियम 2: एल्गोरिथ्म का दूसरा चरण शुरू करें, वर्तमान शीर्ष पहले (प्रतीक X ₁ ) है, प्रतीक L _{1 का} अर्थ है कि वर्तमान पथ की लंबाई अब तक के बराबर है। नियम 3: X _i लेबल वाले एक शीर्ष पर होने के कारण, हम इस शीर्ष से उत्पन्न होने वाले कुछ चाप के साथ एक यादृच्छिक संक्रमण करते हैं। नियम 4: यदि हम जिस चोटी को पार कर चुके हैं, उसका अभी तक दौरा नहीं किया गया है, तो संक्रमण स्वीकार किया जाता है। नियम 5: वर्तमान शीर्ष को बदलें और वर्तमान पथ की लंबाई को एक से बढ़ाएं।
यदि, नियम संख्या 3 को लागू करने के परिणामस्वरूप, हम शीर्ष पर थे कि हम पहले आए थे, तो सब कुछ, ~~किना अब नहीं रहेगा,~~ यह झिल्ली विकसित होना बंद हो जाता है, क्योंकि कोई भी नियम इसके चरित्र सेट पर लागू नहीं होता है। यह झिल्ली भाग्य से बाहर है। कुछ नहीं, फिर दूसरों को भाग्यशाली! जब तक कि निश्चित रूप से ग्राफ में एक हैमिल्टन चक्र न हो। यदि ऐसा कोई चक्र नहीं है, तो दूसरे चरण के n पुनरावृत्तियों से अधिक नहीं में, हमारी झिल्ली प्रणाली में सभी जीवन स्थिर हो जाएंगे। लेकिन अगर कोई झिल्ली सभी तरह से जाने का प्रबंधन करती है तो क्या होगा? इस मामले में, इस झिल्ली में प्रतीक L _n उत्पन्न होगा, जिसका अनिवार्य रूप से मतलब है कि n कोने की लंबाई के साथ एक पथ की यात्रा की गई है, और कोई शीर्ष दो बार नहीं देखा गया है। इसका मतलब यह है कि इस तरह के प्रतीक की उपस्थिति एक सफल खोज का संकेत है। उत्तर की मान्यता को आसान बनाने के लिए, हम सिस्टम में अंतिम नियम जोड़ते हैं।

6: [एल _एन ] → [] एस

यहाँ S सफलता (सफलता से) के लिए खड़ा है। इसलिए, यदि हमारे झिल्ली के आसपास के वातावरण में एल्गोरिथ्म के टी + एन पुनरावृत्तियों के बाद कम से कम एक एस प्रतीक दिखाई देता है, तो ग्राफ हैमिल्टनियन है, यदि नहीं, तो कुछ संभावना पी के साथ यह ग्राफ गैर-हैमिल्टन है (हम अशुभ हो सकते थे, और उसके बावजूद अभी भी ग्राफ में वांछित पथ है, एक भी झिल्ली ने इसे कभी नहीं पाया है)। इस संभावना से निपटने का समय आ गया है, और एक ही समय में पैरामीटर टी के साथ।

महाकाव्य असफल और इसकी संभावना

अब हमें थोड़ा गणित करना होगा। असफल खोज के सबसे खराब मामले पर विचार करें जब ग्राफ में केवल एक हैमिल्टन मार्ग है। आउटगोइंग आर्क्स के यादृच्छिक चयन के साथ कम या ज्यादा स्पष्ट, इस पथ (एक झिल्ली के लिए) का पता लगाने की संभावना क्ष = 1 / n ⁿ से अधिक है, क्योंकि प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, हमारे पास अधिकतम एन आउटगोइंग आर्क्स हैं, जिनमें से कम से कम एक वांछित पथ में प्रवेश करता है। कुल पुनरावृत्तियों में एन -1, सूत्र की सरलता के लिए हम इस संख्या को बढ़ाकर n कर देते हैं। फिर उसी पथ का पता नहीं लगाने की संभावना p = 1-1 / n ⁿ से कम है। ऐसा लगता है कि यह मूल्य संदिग्ध रूप से एकता के समान है, लेकिन फिर भी एक छोटा सा बैकलैश है, जिसका हम उपयोग करेंगे। याद रखें कि हमारे पास एक झिल्ली नहीं है, लेकिन ऐसे झिल्ली के तुरंत एम = 2 ^{टी है} । और हम इस संभावना में रुचि रखते हैं कि उनमें से कोई भी हमारा रास्ता नहीं खोजेगा। हमारे पास बर्नौली योजना के अनुसार किए गए एम प्रयोगों की एक श्रृंखला है - सफलता q और विफलता p की संभावना के साथ। यह ज्ञात है कि इस तरह की श्रृंखला में सफलताओं की संख्या द्विपद वितरण का पालन करती है, विशेष रूप से, संभावना है कि कोई सफलता नहीं होगी (महाकाव्य विफल) पी = पी ^{एम के} बराबर है ^। और यहाँ सबसे महत्वपूर्ण क्षण है - हम M को Kn ^{n के} बराबर चुनते हैं, जहाँ K कुछ सकारात्मक पैरामीटर है। फिर, पी = (1-1 / एम) ^केएम । और कब से M, n के छोटे मानों के लिए पहले से ही बहुत बड़ा है, फिर एक दूसरी उल्लेखनीय सीमा लागू की जा सकती है और यह पता चलता है कि मात्रा P को सूत्र P = e ^-K द्वारा अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। उदाहरण के लिए, K = 100 के लिए, मौजूदा हैमिल्टनियन मार्ग का पता नहीं लगाने की संभावना लगभग P = 10 ^-44 , अर्थात् होगी। यह घटना (महाकाव्य विफल) लगभग अविश्वसनीय है। हां, यह सब ठीक है, लेकिन एम (झिल्ली की संख्या) भी छोटा नहीं है। लेकिन, याद रखें कि एम = 2 ^टी , और टी एक ही पैरामीटर है जो एल्गोरिथ्म के पहले चरण को नियंत्रित करता है। तो, संबंध 2 ^टी = एनएन ^{एन से} यह आसानी से कम हो जाता है कि टी = ओ ( ₂ एनएल)। और यह, बदले में, इसका मतलब है कि पूरे एल्गोरिथ्म की कुल जटिलता रैखिक-लघुगणकीय है, और इसलिए बहुपद है । दिखाने के लिए क्या आवश्यक था! इसके अलावा, एल्गोरिथ्म के गलत संचालन की संभावना पैरामीटर K द्वारा नियंत्रित की जाती है, जो व्यावहारिक रूप से एल्गोरिथ्म की जटिलता को प्रभावित नहीं करता है।

एक निष्कर्ष के बजाय

सबसे पहले, अगर हम n का एक निश्चित मान ठीक करते हैं और इस मान से 1) हम टी की गणना करते हैं; 2) हम नियमों का एक सेट बनाते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, तो इस तरह से बनाई गई झिल्ली प्रणाली किसी भी ग्राफ में हैमिल्टन मार्ग को खोजने की समस्या को हल करेगी जिसकी संख्या लंबवत संख्या n से अधिक नहीं है। यानी इस तरह की प्रणाली वास्तव में एक एल्गोरिथ्म (प्रोग्राम) है, और समस्या के एक भी उदाहरण के लिए समाधान योजना नहीं है। इसके अलावा, इस प्रणाली की वर्णमाला n के संबंध में बहुपद होगी।
दूसरे, अगर हम जादू वाक्यांश "एनपी-पूर्ण समस्या को हल करने के लिए बहुपद एल्गोरिथ्म" को एक दूसरे के लिए अनदेखा करते हैं, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि हमने केवल स्थानिक घातीयता को स्थानिक एक के साथ बदल दिया, क्योंकि प्रत्येक झिल्ली ~~को सूर्य के नीचे~~ अपनी जगह की आवश्यकता होती है - कंप्यूटर की मेमोरी या भौतिक मात्रा में बाइट्स का एक सेट अगर झिल्ली कोशिकाओं या अणुओं द्वारा महसूस की जाती हैं (जैसे कि एडलमैन के प्रयोग में)। यदि हम मानते हैं कि एक झिल्ली हाइड्रोजन परमाणु के आयतन के बराबर आयतन पर कब्जा कर लेती है (जब तक कि सीमा अप्राप्य नहीं है) और K = 1 सेट करता है, तो 100 वर्टिकल के एक छोटे से ग्राफ के लिए एल्गोरिथम के पहले चरण के बाद झिल्ली की कुल मात्रा पृथ्वी के लगभग 10 ⁹⁰⁰ खंड होगी (मुझे कुछ लगता है) यह संख्या ब्रह्मांड की अनुमानित मात्रा से अधिक है)। इसलिए, हम मुफ्त केक नहीं पा रहे थे। लेकिन हम नए एल्गोरिथम मॉडल के साथ और एक और बहुत ही गैर-तुच्छ (मैं शब्द से डरते नहीं हैं - "प्रोग्रामिंग" के तरीके से परिचित हो गए)।

आपका ध्यान देने के लिए आप सभी का धन्यवाद!

बहुपद समय में एक झिल्ली प्रणाली का उपयोग करके हैमिल्टन मार्ग की खोज करें