संख्या प्रणाली के मूल तत्व

एनकोडिंग का अध्ययन करते हुए, मैंने महसूस किया कि मैं संख्या प्रणाली को अच्छी तरह से नहीं समझता था। फिर भी, उन्होंने अक्सर 2-, 8-, 10-, 16 वीं प्रणालियों का उपयोग किया, एक दूसरे को हस्तांतरित किया, लेकिन सब कुछ "मशीन" पर किया गया था। कई प्रकाशनों को पढ़ने के बाद, मुझे इस तरह की बुनियादी सामग्री पर एकल, सरल भाषा लेख की कमी पर आश्चर्य हुआ। यही कारण है कि मैंने अपना खुद का लिखने का फैसला किया, जिसमें मैंने एक सुगम और व्यवस्थित तरीके से संख्या प्रणालियों की बुनियादी बातों को समझाने की कोशिश की।

परिचय

संख्या प्रणाली रिकॉर्डिंग (प्रतिनिधित्व) संख्याओं का एक तरीका है।

इसका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, आप अपने सामने कई पेड़ देखते हैं। आपका काम उन्हें गिनना है। ऐसा करने के लिए, आप अपनी उंगलियों को मोड़ सकते हैं, एक पत्थर (एक पेड़ - एक उंगली / पायदान) पर निक्स बना सकते हैं, या कुछ पेड़ों को 10 वस्तुओं को असाइन कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक पत्थर, और एक ही प्रति - एक छड़ी और उन्हें जमीन पर लेटा दें जब तक वे गिने जाते हैं। पहले मामले में, संख्या को तुला उंगलियों या nicks की एक स्ट्रिंग के रूप में दर्शाया जाता है, दूसरे में - पत्थरों और लाठी की एक संरचना, जहां बाईं ओर पत्थर हैं, और दाईं ओर लाठी हैं

संख्या प्रणाली को स्थिति और गैर-स्थिति में विभाजित किया जाता है, और स्थितिगत, बदले में, सजातीय और मिश्रित में।

गैर - स्थिति - सबसे पुराना, इसमें संख्या के प्रत्येक अंक का एक मूल्य है जो इसकी स्थिति (रैंक) पर निर्भर नहीं करता है। यही है, यदि आपके पास 5 डैश हैं, तो संख्या भी 5 है, प्रत्येक डैश के बाद से लाइन में अपनी जगह की परवाह किए बिना, केवल 1 एकल आइटम से मेल खाती है।

स्थितिगत प्रणाली - प्रत्येक अंक का मूल्य संख्या में उसकी स्थिति (रैंक) पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, हमसे परिचित 10 वीं संख्या प्रणाली स्थितीय है। संख्या 453 पर विचार करें। संख्या 4 सैकड़ों की संख्या को दर्शाता है और संख्या 400, 5 - दसियों की संख्या से मेल खाती है और 50 के मान के समान है, और 3 - इकाइयाँ और मान 3. जैसा कि आप देख सकते हैं - जितना बड़ा निर्वहन - उच्च मूल्य। अंतिम संख्या को 400 + 50 + 3 = 453 के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सजातीय प्रणाली - किसी संख्या के सभी अंकों (पदों) के लिए, वैध वर्णों (अंकों) का सेट समान होता है। एक उदाहरण के रूप में, पहले उल्लेखित 10 वीं प्रणाली को लें। एक सजातीय 10 वीं प्रणाली में एक नंबर लिखते समय, आप प्रत्येक अंक में 0 से 9 तक केवल एक अंक का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए संख्या 450 (1 अंक - 0, 2 अंक - 5, 3 अंक - 4) की अनुमति है। और 4F5 नहीं है, क्योंकि वर्ण F 0 से 9 तक के अंकों के सेट में शामिल नहीं है।

मिश्रित प्रणाली - संख्या के प्रत्येक अंक (स्थिति) में, मान्य वर्णों (अंकों) का सेट अन्य अंकों के सेट से भिन्न हो सकता है। एक ज्वलंत उदाहरण एक समय मापन प्रणाली है। सेकंड और मिनट की श्रेणी में, 60 विभिन्न वर्ण संभव हैं ("00" से "59" तक), घंटे की श्रेणी में - 24 विभिन्न वर्ण ("00" से "23" तक), दिन की श्रेणी में - 365, आदि।

गैर पोजिशनिंग सिस्टम

जैसे ही लोगों ने गिनना सीखा, संख्या लिखने की आवश्यकता थी। शुरुआत में, सब कुछ सरल था - किसी भी सतह पर एक पायदान या एक डैश एक वस्तु के अनुरूप होता है, उदाहरण के लिए, एक फल। तो पहली संख्या प्रणाली दिखाई दी - एकल।

सिंगल नंबर सिस्टम

इस संख्या प्रणाली में संख्या डैश (स्टिक्स) की एक स्ट्रिंग है, जिसकी संख्या इस संख्या के मूल्य के बराबर है। इस प्रकार, 100 खजूर के बराबर 100 खजूर की एक फसल होगी।
लेकिन इस प्रणाली में स्पष्ट असुविधाएं हैं - संख्या जितनी बड़ी होगी - लाठी के लंबे समय तक। इसके अलावा, आप गलती से एक अतिरिक्त स्टिक जोड़कर नंबर लिख सकते हैं या, इसके विपरीत, जोड़ नहीं सकते।

सुविधा के लिए, लोगों ने 3, 5, 10 टुकड़ों में समूह लाठी शुरू की। उसी समय, प्रत्येक समूह एक निश्चित चिह्न या वस्तु के अनुरूप होता है। प्रारंभ में, गिनती के लिए उंगलियों का उपयोग किया गया था, इसलिए पहले संकेत 5 और 10 टुकड़ों (इकाइयों) के समूहों के लिए दिखाई दिए। यह सब अधिक सुविधाजनक संख्या रिकॉर्डिंग सिस्टम बनाने के लिए संभव बनाता है।

प्राचीन मिस्र की दशमलव प्रणाली

प्राचीन मिस्र में, संख्या 1, 10, 10 ² , 10 ³ , 10 ⁴ , 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ को दर्शाने के लिए विशेष वर्णों (संख्याओं) का उपयोग किया जाता था। यहाँ उनमें से कुछ हैं:



इसे दशमलव क्यों कहा जाता है? जैसा कि ऊपर कहा गया है - लोगों ने समूह प्रतीकों को शुरू किया। मिस्र में, उन्होंने 10 का एक समूह चुना, जिससे नंबर 1 "अपरिवर्तित" हो गया। इस स्थिति में, संख्या 10 को दशमलव संख्या प्रणाली का आधार कहा जाता है, और प्रत्येक वर्ण कुछ हद तक संख्या 10 का प्रतिनिधित्व है।

प्राचीन मिस्र की संख्या प्रणाली में संख्याओं को इनमें से एक संयोजन के रूप में लिखा गया था
वर्ण, जिनमें से प्रत्येक को नौ बार से अधिक नहीं दोहराया गया था। कुल मूल्य संख्या के तत्वों के योग के बराबर था। यह ध्यान देने योग्य है कि मूल्यों को प्राप्त करने की यह विधि प्रत्येक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली की विशेषता है। एक उदाहरण संख्या 345 है:

बेबीलोनियन सिक्स डेसीमल सिस्टम

मिस्र के विपरीत, बेबीलोनियन प्रणाली में, केवल 2 प्रतीकों का उपयोग किया गया था: इकाइयों को इंगित करने के लिए एक "सीधा" पच्चर और दसियों के लिए एक "झूठ"। किसी संख्या के मूल्य को निर्धारित करने के लिए, संख्या की छवि को दाएं से बाएं ओर अंकों में तोड़ना आवश्यक है। एक नए निर्वहन एक लेटा हुआ के बाद एक प्रत्यक्ष पच्चर की उपस्थिति के साथ शुरू होता है। एक उदाहरण के रूप में 32 लो:

संख्या 60 और इसकी सभी डिग्रियों को भी सीधे वेज द्वारा "1" के रूप में दर्शाया जाता है। इसलिए, बेबीलोन की संख्या प्रणाली को छह-दशमलव कहा जाता था।
1 से 59 तक की सभी संख्याएं बाबुल के लोगों द्वारा दशमलव गैर-स्थिति प्रणाली में लिखी गई थीं, और बड़े मूल्य - 60 के आधार के साथ स्थिति में। संख्या 92:

संख्या का रिकॉर्ड अस्पष्ट था, क्योंकि शून्य का प्रतिनिधित्व करने वाला कोई अंक नहीं था। संख्या 92 का प्रतिनिधित्व न केवल 92 = 60 + 32, बल्कि उदाहरण के लिए, 3632 = 3600 + 32 हो सकता है। संख्या के निरपेक्ष मान को निर्धारित करने के लिए, एक विशेष चरित्र को लापता छह अंकों के अंक को इंगित करने के लिए पेश किया गया था, जो दशमलव संख्या रिकॉर्ड में अंक 0 की उपस्थिति से मेल खाती है:

अब संख्या 3632 को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:



छह-दशमलव बैबिलोनियन सिस्टम पहली संख्या प्रणाली है, जो आंशिक रूप से स्थितीय सिद्धांत पर आधारित है। इस संख्या प्रणाली का उपयोग आज किया जाता है, उदाहरण के लिए, समय निर्धारित करते समय - एक घंटे में 60 मिनट और 60 मिनट का एक मिनट होता है।

रोमन प्रणाली

रोमन प्रणाली मिस्र से बहुत अलग नहीं है। इसमें, संख्या 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000 को इंगित करने के लिए, लैटिन वर्णमाला के कैपिटल अक्षर क्रमशः I, V, X, L, C, D और M हैं। रोमन अंक प्रणाली में एक संख्या लगातार अंकों का एक सेट है।

किसी संख्या का मान ज्ञात करने के तरीके:

1. किसी संख्या का मान उसके अंकों के मान के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, रोमन अंक प्रणाली में संख्या 32 में XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32 है।
2. यदि छोटा अंक बड़े अंक के बाईं ओर है, तो मान बड़े और छोटे अंकों के बीच अंतर के बराबर है। उसी समय, बाएँ अंक परिमाण के एक क्रम से दाएं अंक से कम हो सकते हैं: इसलिए, "युवा" के एल (50) और सी (100) के सामने केवल एक्स (10) खड़े हो सकते हैं, डी (500) और एम (1000) के सामने - केवल सी (100), वी (5) से पहले - केवल मैं (1); संख्या संख्या में माना संख्या प्रणाली CDXLIV = (DC) + (LX) + (VI) = 400 + 40 + 4 = 444 के रूप में लिखा जाएगा।
3. मान उन समूहों और संख्याओं के मान के योग के बराबर है जो 1 और 2 बिंदुओं के तहत फिट नहीं होते हैं।

डिजिटल के अलावा, अल्फाबेटिक (न्यूमेरिक) नंबर सिस्टम भी हैं, उनमें से कुछ इस प्रकार हैं:
1) स्लाव
2) ग्रीक (Ionian)

स्थिति संख्या प्रणाली

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्राचीन बाबुल में एक स्थितीय प्रणाली के उद्भव के लिए पहले आवश्यक शर्तें उत्पन्न हुईं। भारत में, प्रणाली ने शून्य का उपयोग करते हुए स्थितीय दशमलव संख्या का रूप ले लिया, और भारतीयों ने अरबों से संख्याओं की इस प्रणाली को उधार लिया, जिनसे यूरोपीय लोगों ने इसे अपनाया। किसी कारण के लिए, यूरोप में, "अरब" नाम इस प्रणाली को सौंपा गया था।

दशमलव संख्या प्रणाली

यह सबसे आम संख्या प्रणालियों में से एक है। हम इसका उपयोग तब करते हैं जब हम माल की कीमत कहते हैं और बस की संख्या का उच्चारण करते हैं। प्रत्येक श्रेणी (स्थिति) में, केवल एक अंक का उपयोग 0 से 9 तक किया जा सकता है। सिस्टम का आधार 10 नंबर है।

उदाहरण के लिए, संख्या 503 को लीजिए। यदि यह संख्या गैर-स्थिति प्रणाली में दर्ज की गई थी, तो इसका मूल्य 5 + 0 + 3 = 8 था। लेकिन हमारे पास एक स्थिति प्रणाली है और इसलिए संख्या के प्रत्येक अंक को सिस्टम के आधार से गुणा किया जाना चाहिए, इस मामले में संख्या " 10 ”, डिस्चार्ज नंबर के बराबर पावर तक उठाया गया। यह पता चला है कि मान 5 * 10 ² + 0 * 10 ¹ + 3 * 10 ⁰ = 500 + 0 + 3 = 503 है। एक ही समय में कई नंबर सिस्टम के साथ काम करते समय भ्रम से बचने के लिए, आधार को एक सबस्क्रिप्ट के रूप में इंगित किया गया है। इस प्रकार, 503 = 503 ₁₀ ।

दशमलव प्रणाली के अलावा, 2, 8 और 16 वीं प्रणाली विशेष ध्यान देने योग्य हैं।

बाइनरी नंबर सिस्टम

यह प्रणाली मुख्य रूप से कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में उपयोग की जाती है। आपने हमसे परिचित १० वीं का उपयोग क्यों नहीं किया? पहली कंप्यूटिंग मशीन Blaise Pascal द्वारा बनाई गई थी, जिसने इसमें एक दशमलव प्रणाली का उपयोग किया था, जो आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक मशीनों में असुविधाजनक निकला, क्योंकि इसमें 10 राज्यों में संचालन करने में सक्षम उपकरणों के उत्पादन की आवश्यकता थी, जिससे उनकी कीमत और मशीन के कुल आकार में वृद्धि हुई। इन कमियों को 2 सिस्टम में काम करने वाले तत्वों से वंचित किया जाता है। फिर भी, कंप्यूटर के आविष्कार से बहुत पहले प्रश्न प्रणाली को बनाया गया था और इंका सभ्यता में वापस चला जाता है, जहां जटिल रस्सी plexuses और समुद्री मील का ढेर इस्तेमाल किया गया था।

द्विआधारी स्थिति संख्या प्रणाली का आधार 2 है और संख्या 2: 0 और 1. लिखने के लिए 2 वर्णों (अंकों) का उपयोग करता है। प्रत्येक अंक में, केवल एक अंक की अनुमति है - या तो 0 या 1।

एक उदाहरण संख्या 101 है। यह दशमलव संख्या प्रणाली में संख्या 5 के समान है। 2 से 10 वें स्थान पर स्थानांतरित करने के लिए, बाइनरी संख्या के प्रत्येक अंक को आधार "2" से गुणा करना आवश्यक है, जो कि श्रेणी के बराबर एक शक्ति के लिए उठाया गया है। इस प्रकार, संख्या १०१ _२ = १ * २ ^२ + ० * २ ^१ + १ * २ ^० = ४ + ० + १ = ५ _१० ।

खैर, मशीनों के लिए 2 डी नंबर सिस्टम अधिक सुविधाजनक है, लेकिन हम अक्सर देखते हैं, हम कंप्यूटर पर 10 वीं प्रणाली में संख्याओं का उपयोग करते हैं। फिर मशीन कैसे निर्धारित करती है कि उपयोगकर्ता किस अंक में प्रवेश करता है? एक संख्या एक प्रणाली से दूसरे में कैसे अनुवाद करती है, क्योंकि इसके निपटान में केवल 2 वर्ण हैं - 0 और 1?

एक कंप्यूटर के लिए बाइनरी नंबर (कोड) के साथ काम करने के लिए, उन्हें कहीं संग्रहीत किया जाना चाहिए। प्रत्येक व्यक्तिगत अंक को संग्रहीत करने के लिए, एक ट्रिगर का उपयोग किया जाता है, जो एक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट है। यह 2 राज्यों में हो सकता है, जिनमें से एक शून्य से मेल खाता है, दूसरा एकता से। एक एकल संख्या को याद रखने के लिए, एक रजिस्टर का उपयोग किया जाता है - ट्रिगर्स का एक समूह, जिसकी संख्या एक द्विआधारी संख्या में बिट्स की संख्या से मेल खाती है। और रजिस्टरों का सेट रैम है। रजिस्टर में निहित संख्या एक मशीन शब्द है। शब्दों के साथ अंकगणित और तार्किक संचालन अंकगणितीय-तार्किक उपकरण (ALU) द्वारा किए जाते हैं। रजिस्टरों तक पहुंच को सरल बनाने के लिए, उन्हें क्रमांकित किया गया है। संख्या को रजिस्टर पता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको 2 नंबर जोड़ने की आवश्यकता है, तो यह उन कोशिकाओं (रजिस्टरों) की संख्या को इंगित करने के लिए पर्याप्त है जिसमें वे स्थित हैं, और संख्याओं को स्वयं नहीं। पते 8-और हेक्साडेसिमल सिस्टम में लिखे गए हैं (उन्हें नीचे वर्णित किया जाएगा), क्योंकि उनसे बाइनरी सिस्टम में संक्रमण और इसके विपरीत काफी सरल है। 2 वें से 8 वें स्थान पर स्थानांतरित करने के लिए, 3 अंकों के समूहों को दाएं से बाएं में विभाजित करना आवश्यक है, और 16 वें तक जाने के लिए 4. यदि अंक बाएं समूह में अंकों तक नहीं पहुंचते हैं, तो वे बाईं ओर शून्य से भरे होते हैं, जिन्हें शून्य कहा जाता है अग्रणी। एक उदाहरण के रूप में, संख्या 101100 _{2 को लें} । अष्टक में यह 101 100 = 54 _{8 है} , और हेक्साडेसिमल में यह 0010 1100 = 2 _{16 है} । महान, लेकिन हम स्क्रीन पर दशमलव संख्या और अक्षर क्यों देखते हैं? जब एक कुंजी दबाया जाता है, तो विद्युत आवेगों का एक निश्चित अनुक्रम कंप्यूटर को प्रेषित होता है, और प्रत्येक प्रतीक के पास विद्युत आवेगों (शून्य और अपने) का अपना अनुक्रम होता है। कीबोर्ड और स्क्रीन ड्राइवर प्रोग्राम चरित्र कोड तालिका तक पहुंचता है (उदाहरण के लिए, यूनिकोड, जो आपको 65536 वर्णों को एन्कोड करने की अनुमति देता है), यह निर्धारित करता है कि प्राप्त कोड किस चरित्र से मेल खाता है और इसे स्क्रीन पर प्रदर्शित करता है। इस प्रकार, ग्रंथों और संख्याओं को कंप्यूटर की मेमोरी में बाइनरी मेमोरी में संग्रहीत किया जाता है, और प्रोग्राम को स्क्रीन पर छवियों में परिवर्तित किया जाता है।

अष्टक संख्या प्रणाली

8 वीं संख्या प्रणाली, बाइनरी की तरह, अक्सर डिजिटल प्रौद्योगिकी में उपयोग की जाती है। इसका आधार 8 है और संख्या को रिकॉर्ड करने के लिए 0 से 7 तक अंकों का उपयोग करता है।

एक अष्टक संख्या का एक उदाहरण: 254. 10 वीं प्रणाली में स्थानांतरित करने के लिए, मूल संख्या के प्रत्येक बिट को 8 ^{n से} गुणा किया जाना चाहिए, जहां n बिट की संख्या है। यह पता चला है कि 254 ₈ = 2 * 8 ² + 5 * 8 ¹ + 4 * 8 ⁰ = 128 + 40 + 4 = 172 ₁₀ ।

हेक्साडेसिमल संकेतन

आधुनिक कंप्यूटरों में हेक्साडेसिमल प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, इसका उपयोग करके रंग का संकेत दिया जाता है: # FFFFFFF - सफेद रंग। प्रश्न में प्रणाली का आधार 16 है और संख्याओं को लिखने के लिए उपयोग करता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, जहां अक्षर 10, 11, हैं। क्रमशः 12, 13, 14, 15।

एक उदाहरण के रूप में 4F5 ₁₆ लें। ऑक्टल सिस्टम में अनुवाद करने के लिए, पहले हेक्साडेसिमल संख्या को बाइनरी में परिवर्तित करें, और फिर, 3 अंकों के समूहों को ऑक्टल में तोड़कर। संख्या को 2 में बदलने के लिए, प्रत्येक अंक को 4-बिट बाइनरी नंबर के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। 4F5 ₁₆ = (100 1111 101) ₂ । लेकिन समूहों 1 और 3 में कोई डिस्चार्ज नहीं है, इसलिए प्रत्येक को अग्रणी शून्य से भरें: 0100 1111 0101। अब आपको परिणामी संख्या को 3 अंकों के समूहों में दाईं से बाईं ओर विभाजित करने की आवश्यकता है: 0100 1111 0101 = 010/11 110 101. हम प्रत्येक बाइनरी समूह को एक अष्टक प्रणाली में अनुवाद करते हैं। प्रत्येक अंक को 2 ^{n से} गुणा करना, जहाँ n अंक संख्या है: (0 * 2 ² + 1 * 2 ¹ + 0 * 2 ⁰ ) (0 * 2 ² + 1 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ) (1 * 2 ²⁾ + 1 * 2 ¹ + 0 * 2 ⁰ ) (1 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ) = 2365 ₈ ।

माना स्थितीय संख्या प्रणाली के अलावा, अन्य हैं, उदाहरण के लिए:
1) त्रिमूर्ति
2) चतुर्भुज
3) ग्रहणी

स्थिति प्रणालियों को सजातीय और मिश्रित में विभाजित किया गया है।

सजातीय स्थितीय संख्या प्रणाली

लेख की शुरुआत में दी गई परिभाषा सजातीय प्रणालियों का पर्याप्त रूप से वर्णन करती है, इसलिए शोधन अनावश्यक है।

मिश्रित संख्या प्रणाली

हम उपर्युक्त परिभाषा में प्रमेय को जोड़ सकते हैं: "यदि P = Q ⁿ (P, Q, n धनात्मक पूर्णांक हैं, और P और Q आधार हैं), तो मिश्रित (PQ) संख्या प्रणाली में किसी भी संख्या का अंकन संयोग से होता है। आधार प्रणाली के साथ संख्या प्रणाली में एक ही नंबर लिखकर। "

प्रमेय के आधार पर, हम Pth से Qth सिस्टम में स्थानांतरण के नियम बना सकते हैं और इसके विपरीत:

1. Qth से Pth में स्थानांतरित करने के लिए, आपको Qth सिस्टम में एक नंबर की आवश्यकता होती है, n अंकों के समूहों में विभाजित होता है, सही अंक से शुरू होता है, और प्रत्येक समूह को Pth सिस्टम में एक अंक से प्रतिस्थापित करता है।
2. Pth से Qth में ट्रांसफर करने के लिए, Pth सिस्टम में संख्या के प्रत्येक अंक को Qth में ट्रांसलेट करना और लेफ्ट को छोड़कर, अग्रणी शून्य के साथ अनुपलब्ध अंकों को भरना होता है, ताकि आधार Q वाले सिस्टम में प्रत्येक संख्या में N अंक हों। ।

एक हड़ताली उदाहरण बाइनरी से ऑक्टल में रूपांतरण है। चलो बाइनरी नंबर 10011110 ₂ लेते हैं, इसे ऑक्टल में बदलने के लिए, हम इसे 3 अंकों के समूहों में दाएं से बाएं विभाजित करते हैं: 010 011 110, अब प्रत्येक अंक को 2 ^{n से} गुणा करें, जहां n अंक संख्या है, 010 +11 110 = (0 * 2 ² +1) * 2 ¹ + 0 * 2 ⁰ ) (0 * 2 ² + 1 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ) (1 * 2 ² + 1 * 2 ¹ + 0 * 2 ⁰ ) = 236 ₈ । यह पता चला है कि 10011110 ₂ = 236 ₈ । असंदिग्धता के लिए, एक बाइनरी ऑक्टल नंबर की छवि को तीन भागों में विभाजित किया गया है: 236 ₈ = (10 011 110) _2-8 ।

मिश्रित संख्या प्रणाली भी हैं, उदाहरण के लिए:
1) तथ्य
2) फाइबोनैचि

एक नंबर सिस्टम से दूसरे में ट्रांसफर

कभी-कभी एक संख्या को एक संख्या प्रणाली से दूसरे में बदलना आवश्यक होता है, इसलिए, हम विभिन्न प्रणालियों के बीच स्थानांतरण के तरीकों पर विचार करते हैं।

दशमलव में परिवर्तित करें

आधार संख्या के साथ संख्या प्रणाली में एक संख्या ₁ ए ₂ ए ₃ है। 10 वीं प्रणाली में स्थानांतरित करने के लिए, बी की संख्या के प्रत्येक बिट को गुणा करना आवश्यक है, जहां n बिट की संख्या है। इस प्रकार, ( ₁ ए ₂ ए ₃ ) _बी = (एक ₁ * बी ² + ए ₂ * बी ¹ + ए ₃ * बी ⁰ ) ₁₀ ।

उदाहरण: 101 ₂ = 1 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ = 4 + 0 + 1 = 5 ₁₀

दशमलव से दूसरे में बदलें

पूरा हिस्सा:

1. हम क्रमिक रूप से दशमलव संख्या के पूर्णांक भाग को उस प्रणाली के आधार से विभाजित करते हैं जिसमें हम तब तक अनुवाद करते हैं जब तक कि दशमलव संख्या शून्य नहीं हो जाती।
2. विभाजन द्वारा प्राप्त अवशेष वांछित संख्या की संख्याएं हैं। नई प्रणाली में संख्या अंतिम शेष से शुरू होती है।

आंशिक भाग:

1. दशमलव संख्या का आंशिक भाग उस प्रणाली के आधार से गुणा किया जाता है जिसमें आप अनुवाद करना चाहते हैं। पूरे हिस्से को अलग करें। हम नई प्रणाली के आधार द्वारा भिन्नात्मक भाग को गुणा करना जारी रखते हैं जब तक कि यह 0 के बराबर न हो जाए।
2. नई प्रणाली में संख्याएँ उनकी प्राप्ति के अनुरूप क्रम में गुणन परिणामों के पूर्णांक भाग हैं।

उदाहरण: १५ _१० से अष्टक का अनुवाद करें:
15 \ 8 = 1, शेष 7
1 \ 8 = 0, शेष 1

नीचे से ऊपर तक सभी अवशिष्ट लिखने के बाद, हम अंतिम संख्या 17 प्राप्त करते हैं। इसलिए, 15 ₁₀ = 17 ₈ ।

अष्टाधारी और हेक्साडेसिमल रूपांतरण के लिए द्विआधारी

ऑक्टल में बदलने के लिए, हम बाइनरी नंबर को 3 अंकों के समूहों में दाईं से बाईं ओर विभाजित करते हैं, और अग्रणी शून्य के साथ लापता चरम अंकों में भरते हैं। अगला, हम प्रत्येक समूह को अंकों को क्रमिक रूप से 2 ^{n से} गुणा करते हैं, जहां n अंक की संख्या है।

एक उदाहरण के रूप में, 1001 ₂ : 1001 ₂ = 001 001 = (0 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ) (0 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ) = (0+) लें। 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 ₈

हेक्साडेसिमल में अनुवाद करने के लिए, हम द्विआधारी संख्या को दाएं से बाएं से 4 अंकों के समूहों में विभाजित करते हैं, फिर - इसी तरह 2 से 8 वें में रूपांतरण के लिए।

ऑक्टल और हेक्साडेसिमल से बाइनरी में कनवर्ट करें

ऑक्टल से बाइनरी में अनुवाद - हम ऑक्टल संख्या के प्रत्येक अंक को 2 से विभाजित करके बाइनरी 3-अंकीय संख्या में विभाजित करते हैं (विभाजन पर अधिक विवरण के लिए, अनुभाग "ऊपर दशमलव संख्या प्रणाली से दूसरे में परिवर्तित" देखें), अग्रणी शून्य के साथ लापता चरम सीमा में भरें।

उदाहरण के लिए, संख्या _{8 8} : 45 = (100) (101) = 100 101 _{2 पर विचार करें}

16 वीं से 2 वीं में अनुवाद - हम एक हेक्साडेसिमल संख्या के प्रत्येक अंक को 2 से विभाजित करके एक बाइनरी 4-अंकीय संख्या में परिवर्तित करते हैं, अग्रणी शून्य के साथ लापता चरम अंकों में भरें।

किसी भी संख्या प्रणाली के भिन्नात्मक भाग को दशमलव में बदलें

रूपांतरण उसी तरह से पूरे भागों के लिए किया जाता है, सिवाय इसके कि संख्या के अंकों को आधार द्वारा "-n" की शक्ति से गुणा किया जाता है, जहां n 1 से शुरू होता है।

उदाहरण: 101.011 ₂ = (1 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ), (0 * 2 ^-1 + 1 * 2 ^-2 + 1 * 2 ^-3 ) = (5), (0 + 0) , 25 + 0.125) = 5.375 ₁₀

बाइनरी सिस्टम के भिन्नात्मक भाग को 8 वें और 16 वें भाग में परिवर्तित करना

भिन्नात्मक भाग को उसी तरह से संख्या के पूर्णांक भागों के लिए अनुवादित किया जाता है, एकमात्र अपवाद के साथ जो 3 और 4 अंकों के समूहों में टूटने दशमलव बिंदु के दाईं ओर जाता है, लापता अंक सही पर शून्य के साथ पूरक हैं।

उदाहरण: 1001.01 ₂ = 001 001, 010 = (0 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ) (0 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ ), (0 * 2 ²⁾ + 1 * 2 ¹ + 0 * 2 ⁰ ) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1), (0 + 2 + 0) = 11.2 ₈

दशमलव प्रणाली के भिन्नात्मक भाग को किसी अन्य में परिवर्तित करें

किसी संख्या के भिन्न भाग को अन्य संख्या प्रणालियों में अनुवाद करने के लिए, आपको पूर्णांक भाग को शून्य में बदलना होगा और परिणामी संख्या को उस प्रणाली के आधार से गुणा करना शुरू करना होगा जिसमें आप अनुवाद करना चाहते हैं। यदि, गुणन के परिणामस्वरूप, पूरे भाग फिर से दिखाई देते हैं, तो उन्हें वापस शून्य में बदल दिया जाना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप पहले पूरे भाग का मूल्य (नीचे लिखा गया है)। जब आंशिक भाग पूरी तरह से गायब हो जाता है तो ऑपरेशन समाप्त हो जाता है।

उदाहरण के लिए, हम बाइनरी सिस्टम में 10.625 _{10 का} अनुवाद करते हैं:
0.625 * 2 = 1.25
0.250 * 2 = 0.5
0.5 * 2 = 1.0
ऊपर से नीचे तक सभी अवशिष्ट लिखे जाने के बाद, हमें 10.625 ₁₀ = (1010), (101) = मिलता है। 1010,101 ₂