एक उदाहरण के रूप में डीजेआई इंडेक्स का उपयोग करके रैंडम वेरिएबल द्वारा स्वीकार किए गए मूल्यों की स्वतंत्रता पर परिकल्पना के परीक्षण की समस्या में सूचना का उदाहरण

आइए हम इस परिकल्पना का परीक्षण करने का प्रयास करें कि डीजेआई सूचकांक की वृद्धि सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र है या नहीं। इस मामले में, एक संदर्भ डेटा स्रोत जिसके साथ हम तुलना करेंगे, हम मूल श्रृंखला के वास्तविक वेतन वृद्धि से उत्पन्न एक कृत्रिम समय श्रृंखला लेते हैं, लेकिन एक ही समय में यादृच्छिक रूप से मिश्रित होते हैं। सांख्यिकीय स्वतंत्रता के उपाय के रूप में, हम पारस्परिक जानकारी के आंकड़ों का उपयोग करेंगे।



प्रयोगात्मक डेटा स्रोत के रूप में हम 1981-08-31 से 2011-08-26 तक 30 वर्षों (दैनिक समापन मूल्य) के लिए डीजेआई डेटा लेते हैं (स्रोत: Finance.yahoo.com )।

डॉव जोन्स इंडस्ट्रियल एवरेज (डीजेआई) इंडेक्स वैल्यू


सूत्र X [t] / X [t-1] - 1 के अनुसार गणना किए गए उद्धरणों की प्रतिशत वृद्धि की एक श्रृंखला


जांच को निरंतर लाने के लिए, इसके सार में, एक असतत प्रकार में परिवर्तनशील, हम 0.01 (1%) तक गोल प्रतिशत वृद्धि की एक श्रृंखला से गुजरते हैं। निरंतर चर के लिए आपसी जानकारी की गणना, हालांकि तकनीकी रूप से संभव है, जानकारीपूर्ण नहीं है, एन के बहुत बड़े मूल्य के कारण, यादृच्छिक चर द्वारा स्वीकार किए गए विशेषता मानों का एक सीमित सेट।

लेख में प्रयुक्त सूचना-सैद्धांतिक विचारों की बुनियादी अवधारणाएं

(सभी सूत्र और साथ ही सिद्धांत से उधार लिया गया है: en.wikipedia.org और साथ ही कई मोनोग्राफ भी हैं जिन्हें कीवर्ड द्वारा खोजा जा सकता है।)

संचार सिद्धांत के साथ सूचना सिद्धांत का अटूट विकास हुआ; मैं इस परंपरा से नहीं हटूंगा।

जानकारी क्या है?

कल्पना कीजिए कि डेटा का एक निश्चित ट्रांसमीटर और रिसीवर है। ट्रांसमीटर एक असतत चर X को प्रसारित करता है, जो सीमित संख्या में x के संभावित मान लेता है (इसे वर्णमाला भी कहा जाता है)। प्रत्येक विशिष्ट मूल्य की प्राप्ति की संभावना शून्य से अलग है, अन्यथा इस तरह के मूल्य को केवल विश्लेषण से बाहर रखा गया है। चर द्वारा लिए गए मानों के स्थान पर संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का रूप मनमाना हो सकता है। प्रत्येक संभावित मान के लिए सभी संभावनाओं का योग 1 है (यदि योग 0 है, तो विचारों की आगे की ट्रेन का कोई मतलब नहीं है)।

रिसीवर X के संचरित मूल्यों को मानता है, या यह कहा जा सकता है कि मान प्राप्त करने के बिंदु पर एक घटना होती है - चर X मान x पर ले जाता है। और कम हम, अर्थात्, पर्यवेक्षकों को पता है कि किस तरह की घटना होगी (दूसरे शब्दों में, रिसीवर किस तरह का मूल्य लेगा), इस प्रणाली में जितना अधिक एन्ट्रापी होगा, और इस घटना के कार्यान्वयन के बारे में अधिक जानकारी होगी।

इसका मतलब यह है कि सूचनात्मक एन्ट्रापी (सैद्धांतिक भौतिकी में एन्ट्रापी से उधार ली गई एक अवधारणा) एक सार प्रणाली में अनिश्चितता का एक मात्रात्मक माप है जिसमें एक घटना और इसकी तत्काल प्राप्ति की संभावना है। हम्म, यह वास्तव में सार लगता है। लेकिन यह इस सिद्धांत की ताकत है: इसे घटना के व्यापक वर्ग पर लागू किया जा सकता है।

लेकिन जानकारी क्या है? यह एक मात्रात्मक माप भी है जो एन्ट्रापी, या अनिश्चितता की मात्रा को दर्शाता है, जिसने किसी विशेष घटना के कार्यान्वयन में सिस्टम को छोड़ दिया है। इसलिए, सूचना, मात्रात्मक रूप से एंट्रोपी के बराबर है।

अगर हम सिस्टम में लागू होने वाले मूल्यों की पूरी श्रृंखला के बारे में बात कर रहे हैं, तो हम औसत जानकारी या सूचना एन्ट्रापी की बात कर रहे हैं। इस मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:



यदि हम एक यादृच्छिक चर के एकल कार्यान्वयन की जानकारी के बारे में बात कर रहे हैं, तो हम अपनी खुद की जानकारी के बारे में बात कर रहे हैं:


उदाहरण के लिए, एक उचित सिक्के को बार-बार फ्लिप करने के साथ एक प्रयोग 1 बिट के बराबर औसत जानकारी के साथ एक प्रणाली है (जब सूत्र में आधार 2 लघुगणक को प्रतिस्थापित करता है)। इसके अलावा, प्रत्येक उछाल से पहले, हम समान संभावना (इन घटनाओं से स्वतंत्र हैं? एक दूसरे से!) और अनिश्चितता के साथ बाहर गिरने के लिए एक पूंछ या एक बाज की उम्मीद है। 1. और सिक्के के गिरने की असमान संभावना के साथ इस प्रणाली का सूचनात्मक प्रवेश क्या होगा? कहते हैं, ईगल 0.6 की संभावना के साथ गिरता है, और पूंछ - 0.4 की संभावना के साथ। गणना और प्राप्त करें: 0.971 बिट्स। प्रणाली की एन्ट्रापी कम हो गई है, क्योंकि प्रयोग की अनिश्चितता पहले से ही कम है: हम एक पूंछ की तुलना में अधिक बार ईगल की उम्मीद करते हैं।

ट्रांसमीटर और रिसीवर के साथ उदाहरण पर लौटना, अगर उनके बीच संचार पूरी तरह से अच्छा है, तो सूचना (व्यापक अर्थ में) हमेशा 100% सही ढंग से प्रेषित की जाएगी। दूसरे शब्दों में, ट्रांसमीटर और रिसीवर के बीच की पारस्परिक जानकारी स्वयं रिसीवर की औसत जानकारी (घटना के कार्यान्वयन का प्रतीक) के बराबर होगी, और अगर ट्रांसमीटर से डेटा किसी भी तरह से रिसीवर द्वारा प्राप्त किए गए डेटा से जुड़ा नहीं है, तो उनके बीच पारस्परिक जानकारी 0. अन्य शब्दों में, क्या होगी ट्रांसमीटर ट्रांसमीटर ट्रांसमीटर रिसीवर के बारे में कुछ भी नहीं कहता है। यदि जानकारी का कुछ नुकसान होता है, तो पारस्परिक जानकारी 0 से औसत रिसीवर की जानकारी तक होगी।



इस आलेख में मैंने जिस समस्या के बारे में लिखा था, उसके संदर्भ में, पारस्परिक जानकारी रिसीवर (आश्रित चर) और ट्रांसमीटर (स्वतंत्र चर) के बीच एक मनमानी प्रकार की निर्भरता खोजने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करती है। चर की एक जोड़ी के बीच आपसी जानकारी का अधिकतमकरण इसके अतीत के कार्यान्वयन के संबंध में यादृच्छिक मूल्य के कार्यान्वयन में कुछ नियतत्ववाद की उपस्थिति को इंगित करता है। आप निश्चित रूप से, स्वतंत्र चर के रूप में कुछ भी ले सकते हैं, सुबह गायन पक्षियों की रचना से, स्टॉक ट्रेडिंग के विषय पर ऑनलाइन प्रकाशनों में कुछ शब्दों की आवृत्ति तक। "सच्चाई कहीं पास में है।"

तो, डेटा स्रोत की एन्ट्रापी की गणना करते हैं (http://ru.wikipedia.org/):



इस डेटा स्रोत की औसत जानकारी (या बस एन्ट्रापी) (आधार 2 के साथ लघुगणक द्वारा गणना) 2.098 बिट्स है।

यादृच्छिक चर के बीच की आपसी जानकारी की गणना सूचना एन्ट्रापी की अवधारणा के माध्यम से की जाती है (http://ru.wikipedia.org/):



निर्भर चर के बीच आपसी जानकारी के मूल्यों का एक हिस्टोग्राम - कीमतों को बंद करके गणना किए गए सूचकांक का प्रतिशत वृद्धि - और समय के साथ 1 से 250 कदमों की शिफ्ट के साथ इसका मान।


विशेष रूप से, यह देखा जा सकता है कि लैग 5 के साथ चर के साथ अधिकतम पारस्परिक जानकारी पर विचार किया जाता है, अर्थात्, एक सप्ताह पहले मूल्य एक ट्रेडिंग के साथ होता है। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि लैग स्पेस में डूबने पर आपसी जानकारी की मात्रा कम हो जाती है।

पारस्परिक सूचना की राशि के मूल्यों के प्राप्त सेट के लिए संभाव्यता घनत्व वितरण समारोह का रूप:


हम संदर्भ उद्देश्यों के लिए एक कृत्रिम समय श्रृंखला तैयार करते हैं। स्रोत www.random.org पूर्णांकों की श्रृंखला के स्रोत के रूप में चुना गया था जो विशेषता के मूल्यों के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है। साइट की जानकारी के अनुसार, वे सही मायने में यादृच्छिक संख्या (PRNG, छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर के विपरीत) प्रदान करते हैं।

बेतरतीब ढंग से मिश्रित कालानुक्रमिक क्रम के साथ वेतन वृद्धि की श्रृंखला


आँख से, यह नोट किया जा सकता है कि डेटा कितना अधिक स्थिर हो गया है।

गोल मूल्यों के साथ एक ही श्रृंखला


आश्रितों की कृत्रिम समय श्रृंखला के साथ समय में 1 से 250 कदम पीछे की बदलाव के साथ आश्रित चर और उसके मूल्यों के बीच आपसी जानकारी के मूल्यों का एक हिस्टोग्राम (विशेषता के मूल्य के स्थान में संभावना घनत्व घनत्व के एक ही रूप को बनाए रखते हुए)


दिए गए नमूने के लिए संभाव्यता घनत्व वितरण कार्य का प्रकार:


2 की तुलना आपसी सूचनाओं की गणना के मामलों पर विचार करती है


एक आंख से देख सकते हैं कि आपसी जानकारी की मात्रा के मूल्यों के प्राप्त नमूने कितने भिन्न हैं।

आइए हम प्रारंभिक और कृत्रिम समय श्रृंखला के लिए - आपसी जानकारी के परिकलित मूल्यों के दो नमूनों के अंतर के महत्व (संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के रूप में अंतर) की परिकल्पना को सत्यापित करें। गैर-पैरामीट्रिक परीक्षणों का उपयोग करते हुए, हम कोलमोगोरोव-स्मिर्नोव विधि द्वारा आँकड़ों की गणना करते हैं (कोलमोगोरोव-स्मिर्नोव परीक्षण का उपयोग मूल्यों के दो स्वतंत्र नमूनों की तुलना करने के लिए किया जाता है ताकि नमूना मूल्यों के बीच मतभेदों के सांख्यिकीय महत्व को निर्धारित किया जा सके। इस उद्देश्य के लिए, मान और व्हिटनी यू-टेस्ट का उपयोग किया जाता है)।

परिणाम: p = 0.00 स्वीकृत दहलीज महत्व 0.05 के स्तर पर।

मान और व्हिटनी की विधि के अनुसार यू-परीक्षण का परिणाम: पी = 0.00।

हम देखते हैं कि दोनों मामलों में गुण मानों के नमूनों के बीच अंतर की परिकल्पना स्वीकार की जाती है (पी 0.05 से कम)।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्राकृतिक वित्तीय आंकड़ों (कम से कम डीजेआई इंडेक्स) में वृद्धि के उद्धरणों के बीच मनमाने ढंग से महत्वपूर्ण निर्भरताएं हैं। यही है, डेटा की ऐसी श्रृंखला को यादृच्छिक नहीं माना जा सकता है। सैद्धांतिक रूप से, इस तरह की श्रृंखला के भविष्य के मूल्यों की भविष्यवाणी करने के लिए संभावनाओं का एक स्थान है, उदाहरण के लिए, तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करना।

पुनश्च: मुझे टिप्पणियों, आलोचनाओं पर खुशी होगी।