मोंटे कार्लो की गणना पाई

पाई की गणना करने के कई तरीके हैं। सबसे सरल और सबसे समझने योग्य संख्यात्मक मोंटे कार्लो विधि है, जिसका सार क्षेत्र पर बिंदुओं के सबसे सरल गणन तक कम हो जाता है। गणना का सार यह है कि हम एक = 2 ​​आर के साथ एक वर्ग लेते हैं, इसमें त्रिज्या आर का एक चक्र दर्ज करें, और वर्ग के अंदर बेतरतीब ढंग से अंक डालना शुरू करें। ज्यामितीय रूप से, संभाव्यता P ₁ जो बिंदु वृत्त में आती है वह वृत्त और वर्ग के क्षेत्रों के अनुपात के बराबर होती है:
P ₁ = S _{वृत्त} / S _वर्ग = =R ² / a ² = / R ² / (2 R ) ² = 2 R ² / (2 R ) ² = π / 4 (1)
यह इस तरह दिखता है:



एक बिंदु के घेरे में आने की संभावना की गणना एक संख्यात्मक प्रयोग के बाद और भी सरल रूप से की जा सकती है: चक्र में बिंदुओं की संख्या की गणना करें और उन्हें निर्धारित अंकों की कुल संख्या से विभाजित करें:
पी ₂ = एन _{एक सर्कल में फंस गया} / एन _अंक ; (2)
इसलिए, संख्यात्मक प्रयोग में बड़ी संख्या में अंकों के साथ, संभावनाओं को निम्नानुसार व्यवहार करना चाहिए:
lim _{(N points → ∞) ⁡} (P2-P1) = 0; (3)
इसलिए:
π / 4 = N _{सर्कल में फंस गया} / N _अंक ; (4)
π = सर्कल में 4 Nfallen / N _अंक ; (5)
लेकिन! मॉडलिंग करते समय, हम छद्म यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग करते हैं, जो एक यादृच्छिक प्रक्रिया नहीं है।
इसलिए, अभिव्यक्ति (5), दुर्भाग्य से, कड़ाई से संतुष्ट नहीं है। तार्किक प्रश्न हैं: वर्ग के इष्टतम आकार क्या हैं और आपको लागू करने के लिए कितने बिंदुओं की आवश्यकता है?
यह जानने के लिए, मैंने यह कार्यक्रम लिखा:

#include<stdio.h> #include<math.h> #define limit_Nmax 1e7 //   #define limit_a 1e6 //   #define min_a 100 //  double circle(double, double); //  y        . int main() { double x,y,Pi; long long int a=min_a//  i=0;// double Ncirc=0;// ,    double Nmax=a; //   while (a<limit_a) //   { Nmax=a; while (Nmax<=limit_Nmax) //     { Ncirc=0; i=0; // while (i<Nmax) { x = (random() % (a * 1000))/1000; //   3    y = (random() % (a * 1000))/1000; // Y  3    if (y*y<=circle(x,(a/2))) //     { Ncirc++; } i++; } Pi=(Ncirc/Nmax)*4; Nmax *= 2; printf("\n%lld,%.0f,%f",a,Nmax,Pi); } a*=2; } } double circle(double x, double radius) { double y=radius*radius-x*x; return y; } 

कार्यक्रम त्रिज्या और अंकों की संख्या के आधार पर पाई मान प्रदर्शित करता है। पाठक के लिए केवल एक चीज बची है कि वह उसे स्वयं संकलित करे और उसे अपने इच्छित मापदंडों के साथ चलाए।

मैं प्राप्त मूल्यों के साथ केवल एक तालिका दूंगा:

त्रिज्या	Ntochek	अनुकरणीय
102,400	204,800	3.145664
102,400	409,600	3.137188
102,400	819,200	3.139326
102,400	1638400	3.144478
102,400	3276800	3.139875
102,400	6553600	3.142611
102,400	13107200	3.140872
102,400	26214400	3.141644
102,400	52428800	3.141217
102,400	1,05E + 08	3.141324
102,400	2,1E + 08	3.141615
102,400	4.19E + 08	3.141665
102,400	8.39E + 08	3.141724
102,400	1,68E + 09	3.141682

यदि कुछ भी हो, तो पाई का मान यहां एक निश्चित चिह्न तक देखा जा सकता है ।
छवि का स्रोत विकिपीडिया है।