फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों पर अंकगणित संचालन

हैबर के सभी पाठक किसी न किसी तरह से आईटी दिशा से जुड़े हैं। चाहे आप एक प्रोग्रामर हों या हार्डवेयर, नेटवर्क आदि के साथ काम कर रहे हों, हम सभी सामान्य अवधारणाओं को जानते हैं।

एक बार, विश्वविद्यालय में अपने दूसरे वर्ष में, मैं सिर्फ एक चीज से मिला, जो मेरी राय में, हम सभी को इस तरह के लेख में जानना चाहिए, अच्छी तरह से या कम से कम इसके बारे में सुनना चाहिए। यह फ़्लोटिंग पॉइंट संख्याओं (अन्य फ़्लोटिंग पॉइंट स्रोतों में) का प्रतिनिधित्व करने के लिए मानक है। मुझे यह नाम कैसे मिला: IEEE-754 मानक।

मुझे यकीन है कि प्रत्येक आईटी विशेषज्ञ ने कम से कम एक बार फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के साथ सुना है, लेकिन मेरे लिए पहली बार यह पूरी तरह बकवास लग रहा था। और यह आसान नहीं है: आखिरकार, जिस विषय पर हमने मानक का अध्ययन किया था उसे "कंप्यूटर आर्किटेक्चर" कहा जाता था और शिक्षक था, और अब एक जीवित किंवदंती है। खैर, यह अपमानजनक है।

तो वास्तव में यह IEEE-754 मानक क्या है? मैं तुरंत कहूंगा कि हमें इसे रूसी में इलेक्ट्रॉनिक रूप में विश्वविद्यालय में दिया गया था, लेकिन मैं इसे इंटरनेट पर नहीं ढूंढ सका, यहां तक ​​कि जब मैं Google के 30 वें पृष्ठ पर पहुंचा। अंग्रेजी में एक उदाहरण था जिसमें लेखक ने इसे 4:36 बजे लिखा था। मुझे एक साइट भी मिली जो कहती है कि अगर शैतान ने धीरे-धीरे पृथ्वी पर कब्जा करने का फैसला किया, तो वह इस मानक का निर्माण करेगा। लेकिन यह आपके और मेरे जैसे लोगों द्वारा बनाया गया था।

मानक स्वयं बाइनरी अंकगणितीय संचालन का विवरण है जो फ्लोटिंग पॉइंट प्रारूप में संख्याओं के साथ है। यह ऐसे मामलों में उत्पन्न होने वाली असाधारण स्थितियों का भी वर्णन करता है, इस प्रारूप में रिकॉर्डिंग और बहुत कुछ। स्वाभाविक रूप से, इसे पढ़ने के बाद, और यहां तक ​​कि इस तरह की कठिनाई के साथ, मुझे कुछ भी समझ नहीं आया! आखिरकार, मुझे फ्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप के बारे में कुछ भी नहीं पता था। लेकिन यह अशिष्ट है, किसी भी संख्या के आंशिक भाग को कहते हुए, केवल सटीकता जिसे आपको जानना आवश्यक है।

इस विषय में, विश्वविद्यालय में, हमने आरजीआर (सेटलमेंट और ग्राफिक वर्क) की गणना की और किसी कारण से तब मुझे महसूस हुआ कि किसी चीज की तुलना में इसके लिए अधिक समय देना सार्थक था और यह सही निकला। यह शायद मेरी पढ़ाई का महत्वपूर्ण मोड़ था। मैं इस मानक पर और अपने विशिष्ट कार्य पर रात में बैठा रहा: "दो संख्याओं का विभाजन एक डबल-परिशुद्धता फ़्लोटिंग-पॉइंट फॉर्मेट में निरंतर इकाइयों की श्रृंखलाओं के प्रतिस्थापन के साथ शून्य और निकटतम पर भी गोलाई के साथ"। तब समझ में नहीं आ रहा था। और IEEE-754 मानक ने हमेशा इस असाइनमेंट के साथ पालन किया है। वास्तव में, वहाँ सब कुछ था, बिल्कुल वही सब कुछ जो मुझे चाहिए था।

खैर, अब IEEE-754 मानक के बारे में और अधिक। यह कई अध्यायों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें मैं अधिक विस्तार से वर्णन करना चाहूंगा।
सब कुछ, हमेशा की तरह, परिचय के साथ शुरू होता है। तथ्य यह है कि कार्यक्रम हैं जो मैंने देखा उससे कहीं अधिक जटिल है। मानक के निर्माण के इतिहास का वर्णन करता है। आखिरकार, कार्यक्रम अधिक से अधिक कठिन होते जा रहे हैं, और डिजिटल कंप्यूटर उम्र बढ़ने और एक नई वास्तुकला के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। यही कारण था कि 70 के दशक के उत्तरार्ध में IEEE (इंस्टीट्यूट ऑफ इलेक्ट्रिकल एंड इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स ऑफ अमेरिका) ने एक आयोग बनाया जिसने इन प्रस्तावों पर विचार किया। आयोग के कार्य का परिणाम IEEE 754 मानक point बाइनरी फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणितीय ≫ (1985) था, जो अंतर्राष्ट्रीय बन गया। इसकी नींव विलियम केहन के बर्कले विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफेसर द्वारा विकसित की गई थी।
निम्नलिखित वर्षों में, IEEE 754 - 1985 के आधार पर निम्नलिखित मानकों का विकास किया गया:

- IEEE 854 - 1987, दशमलव अंकगणित के साथ-साथ बाइनरी को कवर करना;

- IEC 60559 - 1989 IEC point बाइनरी फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित
माइक्रोप्रोसेसर सिस्टम≫ (IEC - अंतर्राष्ट्रीय इलेक्ट्रोटेक्निकल कमीशन)।

IEEE 754 मानक उपकृत नहीं करता है, लेकिन इसमें निर्दिष्ट प्रारूपों के एक पैकेज के उपयोग की सिफारिश करता है, डेटा एन्कोडिंग के तरीके, परिणाम गोल करना, और बहुत कुछ। एक सार्वभौमिक डिजिटल कंप्यूटर के डिजाइनर के लिए एक प्रारूप को चुनने का कार्य बेहद सरल था, और उस समय से, फर्मों ने मानक की सिफारिशों को संतुष्ट करते हुए फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के साथ सार्वभौमिक डिजिटल कंप्यूटर का उत्पादन शुरू किया। प्रोग्रामर का काम भी कुछ सरलीकृत है, क्योंकि विभिन्न कंप्यूटरों के बाइनरी फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणितीय की विशेषताओं का अध्ययन करने की आवश्यकता नहीं है, बस मानक के ज्ञान में महारत हासिल है।
लेकिन आपको याद रखना चाहिए कि मानक रूढ़िवादी हैं, लेकिन शाश्वत नहीं। और, फिर भी, हम सभी, सहकर्मी, इस मानक का उपयोग करते हैं।

मानक कई स्वरूपों का समर्थन करता है: एकल परिशुद्धता (32 बिट्स), डबल (64 बिट्स) और डबल उन्नत सटीकता। गोलाई त्रुटियों आदि को रोकने के लिए अन्य प्रारूप भी दिए गए हैं। मानक आपात स्थितियों के मामलों का वर्णन करता है: नान, अनन्तता, शून्य से विभाजन, आदि। क्या कुछ भी समान नहीं है? फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्मेट में राउंडिंग नंबर बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह भी मानक में वर्णित है।

और अंत में, मुख्य अनुभाग - फ्लोटिंग पॉइंट प्रारूप में संख्याओं पर संचालन करना। यह खंड विभाजन की तुलना में सभी अंकगणितीय कार्यों का वर्णन करता है, साथ ही साथ इस तरह के संचालन करते समय सभी बारीकियों का भी वर्णन करता है। इस खंड के बारे में इस तरह नहीं कहा जा सकता है, "संक्षेप में।" मैं केवल यह कह सकता हूं कि यह एक वास्तविक गड़बड़ है और मैंने यह समझने के कार्य का सामना किया कि यह कैसे होता है।
मैं संक्षेप में "फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्मेट में डिवीजन" के काम के लिए अपने एल्गोरिथ्म का वर्णन करूंगा। जब हम ऑपरेशंस A और B प्राप्त करते हैं, तो असाधारण स्थितियों के सभी संभावित मामलों के लिए उन्हें जांचना आवश्यक था। यह शून्य और नान और अनंत द्वारा विभाजन है। तालिका के थोड़ा नीचे, संख्याओं के प्रतिनिधित्व के प्रकार दिखाए गए हैं कि प्रारूप समर्थन करता है:



यदि ऑपरेशन्स वास्तव में IEEE-754 प्रारूप में संख्याएँ थीं, तो ऑपरेशन का दूसरा चरण शुरू हुआ: आदेशों का रूपांतरण। यह कोई रहस्य नहीं है कि फ्लोटिंग पॉइंट संख्या कुछ इस तरह दिखती है:



यह एक संख्या का एकल सटीक प्रतिनिधित्व है।
एक कंप्यूटर में एक संख्या का क्रम मेरी समझ में है, एक कंप्यूटर में एक संख्या का क्रम संख्या, अर्थात् इसका क्रम है। निश्चित रूप से एक वैज्ञानिक परिभाषा है, लेकिन यह केवल और भी अधिक भ्रमित करेगा। इसलिए, चूंकि संख्याओं के अलग-अलग आदेश हैं, उन्हें विभाजित नहीं किया जा सकता है। सबसे पहले, ऑर्डर शिफ्ट करके एक फॉर्म में ऑर्डर लाएं। लेकिन इसके लिए न्यूनतम और अधिकतम मूल्य के आदेशों का विश्लेषण करना आवश्यक था। और जब कोई ऑर्डर शिफ्ट होता है, तो मंटिस भी शिफ्ट हो जाते हैं। यदि आदेश समान हैं, तो आपको मंटिस की जांच करने की आवश्यकता है, चाहे वे सीमाओं से बाहर उड़ गए हों और क्या वे शून्य से भरे हुए थे, आदि। चेक की एक श्रृंखला को पूरा करने के बाद, आप सबसे महत्वपूर्ण बात पर आगे बढ़ सकते हैं: अंत में मंत्रों को विभाजित करें। खैर, सब कुछ सरल है, सभी बाइनरी अंकगणित की तरह। मैंने भाजक को लाभांश से विभाजित किया, और शेष को रजिस्टर में लिखा और जोड़ा। विभाजित करने के लिए अभी भी कई तरीके हैं: वसूली के साथ और शेष को बहाल किए बिना। और वह सब नहीं है! अंत में, आपको वांछित स्थिति के अनुसार परिणाम को गोल करना चाहिए और भागफल के संकेत को निर्धारित करना चाहिए।

यह सिर्फ शब्दों में है, हालांकि यह डरावना लगता है, वास्तव में यह बहुत बेहतर दिखता है। तब मैं खुलकर इस मानक के लिए गिर गया, जिसने मुझे न केवल डिजिटल कंप्यूटर और बाइनरी अंकगणित में गहन ज्ञान प्राप्त किया, बल्कि यह खुशी भी कि मैं ऐसा करने में सक्षम था, यह महसूस करने का आनंद कि मैं कुछ बहुत महत्वपूर्ण जानता हूं।
मेरे पास सब कुछ है, वास्तव में विषय बहुत दिलचस्प और आकर्षक है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं ख़ुशी से IEEE-754 मानक छोड़ दूंगा और आपके प्रश्नों का उत्तर दूंगा।

आपका धन्यवाद