🧒🏼 👩‍👩‍👧‍👧 ✊🏻 कार्यों का आरएमएस सन्निकटन 🧛🏾 ➕ ♒️

दूसरे दिन, एक प्रोग्राम लिखना आवश्यक था जो किसी तालिका में दिए गए फ़ंक्शन के रूट-माध्य-वर्ग सन्निकटन की गणना पावर-लॉ बेस के आधार पर करता है - सबसे कम-वर्ग विधि। तुरंत एक आरक्षण करें कि मैंने त्रिकोणमितीय आधार पर विचार नहीं किया और मैं इसे इस लेख में नहीं लूंगा। लेख के अंत में आप सी # में कार्यक्रम के लिए स्रोत कोड पा सकते हैं।

सिद्धांत

अनुमानित फ़ंक्शन f (x) के मान N + 1 नोड्स f (x ₀ ), ..., f (x _N ) पर दिए जाएं । हम कुछ पैरामीट्रिक परिवार F (x, c) से अनुमानित फ़ंक्शन का चयन करेंगे, जहां c = (c ₀ , ..., c _n ) ^T मापदंडों का वेक्टर है, N> n ।

RMS सन्निकटन समस्या और प्रक्षेप समस्या के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नोड्स की संख्या मापदंडों की संख्या से अधिक है। इस मामले में, लगभग हमेशा मापदंडों का ऐसा कोई वेक्टर नहीं होता है जिसके लिए सन्निकटन फ़ंक्शन के मान सभी नोड्स पर सन्निकटन फ़ंक्शन के मूल्यों के साथ मेल खाते हैं।

इस मामले में, सन्निकटन समस्या को c = (c ₀ , ..., c _n ) ^T के मापदंडों के ऐसे सदिश को खोजने की समस्या के रूप में पेश किया जाता है, जिसमें सन्निकटन समारोह के मान सभी के कुल में एफ (x, c) के मान से यथासंभव कम विचलन करते हैं। नोड्स।

आलेखीय रूप से, समस्या का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

हम कम से कम वर्ग विधि के लिए आरएमएस सन्निकटन मानदंड लिखते हैं:
J (c) = √ (Σ _{i = 0} ^N [f (x _i ) - F (x, c)] ² ) → मिनट

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति एक द्विघात फ़ंक्शन है जो कि सन्निकट बहुपद के गुणांक के संबंध में है। यह c ₀ , ..., c _{n के} संबंध में निरंतर और भिन्न है। जाहिर है, इसकी न्यूनतम उस बिंदु पर है जहां सभी आंशिक डेरिवेटिव शून्य के बराबर हैं। आंशिक डेरिवेटिव को शून्य के बराबर करते हुए, हम सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन के बहुपद के अज्ञात (वांछित) गुणांक के लिए रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं।

कम से कम चौकोर विधि को विभिन्न पैरामीट्रिक कार्यों के लिए लागू किया जा सकता है, लेकिन अक्सर इंजीनियरिंग अभ्यास में बहुपद का उपयोग कुछ रैखिक रूप से स्वतंत्र आधार पर एक सन्निकटन समारोह के रूप में किया जाता है { ( _k (x), k = 0, ..., n }:
F (x, c) = Σ _{k = 0} ⁿ [ c _k x _k (x) ] ।

इस मामले में, गुणांक निर्धारित करने के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का एक निश्चित रूप होगा:
a ₀₀ c ₀ + ₀₁ c ₁ + ... + a _0n c _n = b ₀
एक ₁₀ सी ₀ + ₁₁ ए ₁ सी + ... + ₁ _एन सी _एन = बी ₁
...
a _n0 c ₀ + a _n1 c ₁ + ... + a _nn c _n = b _n

a _kj = _k _{i = 0} ^N [( _k (x _i ) x _j (x _i )], b _j = ^N _{i = 0} ^N [f (x _i ) ( _j (x _i )]

इस प्रणाली के लिए एक अनूठा समाधान है, यह आवश्यक है और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स ए (ग्राम निर्धारक) के निर्धारक नॉनजरो हों। सिस्टम के लिए एक अनूठा समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि आधार कार्यों की प्रणाली ( _k (x), k = 0, ..., n , सन्निकटन नोड्स के सेट पर रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

इस लेख में शक्ति आधार { es _k (x) = x ^k , k = 0, ..., n } में बहुपद द्वारा माध्य-वर्ग सन्निकटन पर चर्चा की गई है।

उदाहरण

अब उदाहरण पर चलते हैं। सारणीबद्ध निर्भरता f (x) के लिए कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके एक अनुभवजन्य सूत्र प्राप्त करना आवश्यक है।

एक्स	0.75	1.50	2.25	3.00	3.75
y	2.50	1.20	1.12	2.25	4.28

हम एक सन्निकटन समारोह के रूप में लेते हैं
y = F (x) = c ₀ + c ₁ x + c ₂ x ² , अर्थात, n = 2, N = 4

गुणांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की प्रणाली:
a ₀₀ c ₀ + ₀₁ c ₁ + ... + a _0n c _n = b ₀
एक ₁₀ सी ₀ + ₁₁ ए ₁ सी + ... + ₁ _एन सी _एन = बी ₁
...
a _n0 c ₀ + a _n1 c ₁ + ... + a _nn c _n = b _n

a _kj = _k _{i = 0} ^N [( _k (x _i ) x _j (x _i )], b _j = ^N _{i = 0} ^N [f (x _i ) ( _j (x _i )]

गुणांक की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:
a ₀₀ = N + 1 = 5, एक ₀₁ = _{0 i = 0} ^N x _i = 11.25, एक ₀₂ =, _{i = 0} ^N x _i ² = 30.94
एक ₁₀ = ₁₀ _{i = 0} ^N x _i = 11.25, एक ₁₁ = _{0 i = 0} ^N x _i ² = 30.94, एक ₁₂ = = _{i = 0} ^N x _i ³ = 94.92
एक ₂₀ = ₂₀ _{i = 0} ^एन x _i ² = 30.94, एक ₂₁ = Σ _{i = 0} ^N x _i ³ = 94.92, एक ₂₂ = = _{i = 0} ^N x _i ⁴ = 303.76
b ₀ = ₀ _{i = 0} ^N y _i = 11.25, b ₁ = Σ _{i = 0} ^N x _i y _i = 29, b ₂ = Σ _{i = 0} ^N x _i ² y _i = 90.21

हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं और गुणांक के निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:
सी ₀ = 4.822, सी ₁ = -3.882, सी ₂ = 0.999

इस तरह से
y = 4.8 - 3.9x + x ²

परिणामी फ़ंक्शन का ग्राफ़

सी # रिलीज

अब आइए कोड को लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं जो इस तरह के मैट्रिक्स का निर्माण करेगा। और यहाँ, यह पता चला है, सब कुछ काफी सरल है:

private double[,] MakeSystem(double[,] xyTable, int basis) { double[,] matrix = new double[basis, basis + 1]; for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix[i, j] = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable[0, k], i) * Math.Pow(xyTable[0, k], j); sumB += xyTable[1, k] * Math.Pow(xyTable[0, k], i); } matrix[i, j] = sumA; matrix[i, basis] = sumB; } } return matrix; }

इनपुट पर, फ़ंक्शन फ़ंक्शन मानों की एक तालिका प्राप्त करता है - एक मैट्रिक्स, जिसका पहला कॉलम जिसमें x के मान हैं, दूसरे में क्रमशः, वाई, साथ ही साथ शक्ति के आधार का मान भी है।

सबसे पहले, मेमोरी को मैट्रिक्स के लिए आवंटित किया जाता है, जिसे रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए गुणांक लिखा जाएगा। फिर, वास्तव में, हम मैट्रिक्स की रचना करते हैं - गुणांक एआईजेड के मानों को बायोम, सुंब में - सभी को सैद्धांतिक भाग में ऊपर वर्णित सूत्र के अनुसार लिखा जाता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों के संकलित प्रणाली को हल करने के लिए, मेरा कार्यक्रम गॉस विधि का उपयोग करता है। परियोजना के साथ पुरालेख यहां डाउनलोड किया जा सकता है ।

ऊपर हल किए गए उदाहरण का उपयोग करके कार्यक्रम का स्क्रीनशॉट:

प्रयुक्त स्रोत:
सुलिमोवा वी.वी. पाठ्यक्रम "कम्प्यूटेशनल कार्यशाला" के लिए दिशानिर्देश - तुला, तुलसु, 2009 - 65 पी।

कार्यों का आरएमएस सन्निकटन

सिद्धांत

उदाहरण

सी # रिलीज

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