बीजगणितीय और पारलौकिक समीकरणों का एक अनुमानित समाधान

परिचय

प्रत्येक स्वाभिमानी अभियंता या आईटी-व्यक्ति विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए कम्प्यूटेशनल गणित और इसके संख्यात्मक तरीकों के साथ आपके साथ होना चाहिए, संभवतः तुच्छ लोग भी, जो "आपके सिर को क्रम में रखते हैं"। अध्ययन की प्रक्रिया में, मैं बीजीय और ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के अनुमानित समाधान के साथ-साथ उनके विश्लेषण के तरीकों पर अधिक ध्यान देना चाहता था।

Nonlinear समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए तरीके

मैंने समाधान के कार्य को 3 भागों में विभाजित किया है:

• जड़ों को अलग करने का एक विश्लेषणात्मक तरीका
• जड़ों के शोधन के लिए संख्यात्मक तरीके
• कंप्यूटिंग प्रक्रिया का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन

लेख का उद्देश्य, जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, संख्यात्मक विधियों का विश्लेषण और विश्लेषण है; इसलिए, इस लेख में मैं जड़ों को अलग करने के विश्लेषणात्मक तरीके पर विचार नहीं करूंगा।

डाइकोटॉमी या आधे विभाजन की विधि।

द्विभाजन विधि एक खंड के अनुक्रमिक विभाजन में होती है। फ़ंक्शन की श्रेणी का चयन किया जाता है - जड़ों को अलग करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, चित्रमय तरीके से । फ़ंक्शन के अंतराल को प्राप्त करने के बाद, इसके मध्य की गणना की जाती है और यह निर्धारित किया जाता है कि फ़ंक्शन का कौन सा सेगमेंट, मध्य से विभाजित है, शून्य से अधिक या कम है, अंतराल के आगे संकुचन का चयन करना आवश्यक है। संकीर्ण करने की प्रक्रिया एक निश्चित त्रुटि के लिए जारी है, जो सेट है।
इस विधि के फायदे, निश्चित रूप से, इसकी सादगी शामिल हैं। उनके लिए विश्लेषणात्मक और प्रोग्रामेटिक रूप से गणना करना आसान है। नुकसान में उदाहरण के लिए कॉर्ड और स्पर्शरेखा की विधि की तुलना में दिए गए पुनरावृत्तियों की लागत शामिल है।

संयुक्त या जीवा और स्पर्श विधि

जीवा के तरीके और स्पर्शरेखा की विधि विभिन्न पक्षों से जड़ को सन्निकटन देते हैं। विधियों का संयुक्त उपयोग एक को प्रत्येक मान पर एक कमी और एक अतिरिक्त के साथ अनुमानित मूल्यों को खोजने की अनुमति देता है, जो अभिसरण की प्रक्रिया को गति देता है।
कॉर्ड विधि का विचार खंड पर फ़ंक्शन को कॉर्ड के साथ बदलना है, और स्पर्श विधि या न्यूटन विधि का विचार फ़ंक्शन के वक्र को उसके स्पर्शरेखा से बदलना है। यह ध्यान देने योग्य है कि कॉर्ड विधि का प्रारंभिक अनुमान अंतराल के अंत तक निर्धारित किया जाता है, जिसके लिए दिए गए बिंदु समय पर व्युत्पन्न एक ही बिंदु के डबल व्युत्पन्न शून्य से कम है, और स्पर्शरेखा विधि के लिए यह शून्य से अधिक है। संकीर्ण प्रक्रिया भी निर्दिष्ट सटीकता के लिए किया जाता है। प्लसस, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, दिए गए पुनरावृत्तियों के लिए खोज और कम लागत की गति है

Iteration विधि

सबसे पहले, समीकरण x (x) = 0 को रूप x = x (x) में बदलना आवश्यक है।
प्रारंभिक सन्निकटन x0 के रूप में, अंतराल के किसी भी बिंदु [ए, बी] को चुना जाता है।
2 पुनरावृत्त विधियाँ हैं: एक सीढ़ी और एक सर्पिल। यदि व्युत्पन्न φ (x) का चिन्ह सकारात्मक है, तो सीढ़ी विधि और इसके विपरीत सर्पिल का उपयोग करें।


पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण के लिए मुख्य और पर्याप्त स्थिति है | ('(x) | <1 |
विधि का लाभ। विश्वसनीयता (आत्म-सुधार): एक गणना त्रुटि जिसमें x [a, b] के भीतर रहता है, अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि गलत मान को नए x0 के रूप में माना जा सकता है।

अभ्यास। विधियों का अनुप्रयोग।

आइए, उदाहरण के लिए, स्वचालित नियंत्रण के क्षेत्र से एक कार्य - ल्यपुनोव विधि का उपयोग करके इसकी स्थिरता का मूल्यांकन करने के लिए एक बंद उच्च-क्रम स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के हस्तांतरण समारोह के विशेषता समीकरण के शून्य को खोजना। विधि स्वयं इस पद के दायरे से परे है, लेकिन प्रत्यक्ष लायपुनोव विधि प्रणाली की स्थिरता को प्रकट करने के लिए शून्य जड़ों के निर्धारण का उपयोग करती है। और जड़ों को खोजने के लिए, सूचीबद्ध विधियां काफी उपयुक्त हैं। कौन सी विधि अधिक प्रभावी है? जिस प्रणाली को लागू किया जाएगा, उस विशिष्ट प्रणाली को जाने बिना इस प्रश्न का उत्तर देना मुश्किल है। यह न केवल संचालन की गति को ध्यान में रखा जाना चाहिए, बल्कि संसाधनों पर भी कब्जा कर लिया जाना चाहिए।

निष्कर्ष:

1. जड़ों को परिष्कृत करने के लिए विचाराधीन तरीके बीजगणितीय और पारलौकिक दोनों समीकरणों पर समान रूप से लागू होते हैं।
2. बीजों को अलग करने की क्रिया बीजीय लोगों की तुलना में ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के लिए बहुत अधिक जटिल है।
3. माना जाने वाला सबसे अधिक उत्पादक संयुक्त विधि है।

वर्णित तरीकों के Mat.chast ।

पुनश्च: पहली पोस्ट और अभी भी काफी आदी नहीं है। मैंने पोस्ट को एल्गोरिदम में रखा, क्योंकि मुझे गणना करके कोई ब्लॉग नहीं मिला