शास्त्रीय यांत्रिकी: उंगली विसारक पर

मैंने हाल ही में Farseer Physics Engine सॉर्ट्स को देखा। यह दिलचस्प हो गया कि इस इंजन में एक गतिशील वस्तु कैसे लागू की जाती है। जैसा कि अपेक्षित था, मैं वहां अंतर समीकरणों और उनके असतत कार्यान्वयनों को अंतर समीकरणों या असतत राज्य अंतरिक्ष मॉडल के रूप में नहीं मिला। कई खेल भौतिकी इंजनों में "ईमानदार" यांत्रिकी को खारिज करने के लिए दावा किए गए कारण का मुख्य बहाना अंतर समीकरणों और बहुत अधिक कंप्यूटिंग लोड के साथ काम करने की अत्यधिक जटिलता है।

परिचय

इस लेख में, मैं डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के विषय को जारी रखता हूं। इसमें, मैं अंतर समीकरणों के आधार पर एक दृष्टिकोण का उपयोग करके खेल यांत्रिकी (भौतिकी) की अवधारणा के बारे में सरल भाषा में बताने की कोशिश करूंगा। भविष्य में, मैं यह आकलन करने जा रहा हूं कि क्या इस दृष्टिकोण के कार्यान्वयन से कम्प्यूटेशनल लोड में तेज वृद्धि होगी। इस लेख के ढांचे के भीतर, यह बाहर काम नहीं करेगा - बहुत अधिक मात्रा। इसमें, मैं एक गतिशील वस्तु के गणितीय मॉडल में शामिल गुणांक के उद्देश्य का वर्णन करने जा रहा हूं, उनके भौतिक अर्थ का वर्णन करने के लिए, अर्थात्। एक गतिशील वस्तु के व्यवहार पर उनका प्रभाव।
चलिए शुरू करते हैं ...

भौतिक अर्थ

कलमन फ़िल्टर के बारे में मेरे लेख में, मैंने वर्णन किया कि "इनपुट-आउटपुट" प्रकार के समीकरण क्या हैं, स्थानांतरण फ़ंक्शन और अंतर समीकरण लिखने के ऑपरेटर रूप ([2] में "मूल अवधारणाओं" अनुभाग देखें)। निम्नलिखित समीकरण लेखन के ऑपरेटर रूप में एक गतिशील वस्तु के गणितीय मॉडल के एक भाग के उदाहरण के रूप में काम कर सकता है:
(1)
यह गतिशील प्रणालियों का एक सामान्य सरलीकृत मॉडल है। यह अनुमान लगाते हुए कि मैं लिखूंगा कि फारसीर इंजन में शरीर का मॉडल ऊपर प्रस्तुत मॉडल (दूसरे स्तर के डायनेमिक लिंक) के एक स्ट्रिप-डाउन एनालॉग का उपयोग करता है। नीचे इसमें दिए गए पदनामों का वर्णन है।

• a0, a1, a2 क्रमशः जड़ता, दबाना और कठोरता के गुणांक हैं।
• b0, b1 - इनपुट एक्सपोज़र गुणांक।
• s लाप्लास ऑपरेटर (d / dt) है।
• α (s), β (s) लाप्लास ऑपरेटर के कार्यों के रूप में आउटपुट और इनपुट चर हैं।

प्रस्तुत समीकरण "एक इनपुट - एक आउटपुट" (SISO) प्रकार की एक गतिशील प्रणाली का वर्णन करता है। इसका उपयोग किसी वस्तु की गतिशीलता का वर्णन उसकी स्वतंत्रता की डिग्री के अनुसार किया जा सकता है। जैसा कि आप जानते हैं, एक मुक्त शरीर में छह डिग्री की स्वतंत्रता होती है - तीन अनुवादकीय (समन्वय प्रणाली (एससी) के तीन अक्षों के साथ रैखिक गति) और तीन घूर्णी (एससी अक्षों के चारों ओर घुमाव)। इस प्रकार, भौतिक शरीर का पूर्ण मॉडल छह ऐसे समीकरणों (या 2 डी मामले के लिए चार) द्वारा वर्णित किया जाएगा। आप तुरंत कह सकते हैं कि पहले से ही इस दृष्टिकोण की जटिलता बहुत अधिक है। लेकिन वास्तव में, फारसीर में, उदाहरण के लिए, बॉडी क्लास (निकाय) में शरीर के दोनों रैखिक निर्देशांक शामिल हैं (वास्तव में, यह OX और ओए में α (s) की एक जोड़ी है) और रैखिक वेग (O * और ओए में s * α (s) की एक जोड़ी) ) और अभिविन्यास और कोणीय वेग पैरामीटर। इन मापदंडों की गणना प्रत्येक अक्ष के लिए अलग-अलग की जाती है, अर्थात समीकरणों की संख्या समान है - OX अक्ष (रैखिक और कोणीय गति) के साथ दो समीकरण और ओए अक्ष के लिए दो। अंतर केवल समीकरणों के रूप में है।
Farseer इंजन में एल्गोरिथ्म अनुमानित और सरल है, लेकिन चर समय स्लाइस के साथ काम करने की अनुमति देता है। अंतिम पैरामीटर गणना गति पैरामीटर गणना फ़ंक्शन ( Island.Solve (रेफ टाइमस्टेप स्टेप, रेफरी वेक्टर 2 गुरुत्व) ) में पारित होने के बाद से बीता हुआ समय। यह खेल के समय की गति को बनाए रखने के लिए अपर्याप्त कंप्यूटर प्रदर्शन की अनुमति देता है, जिससे गेम ऑब्जेक्ट्स की गति की चिकनाई और यथार्थवाद की निरंतरता बनी रहती है।
अंतर समीकरणों के आधार पर असतत मॉडल का निर्माण करते समय, हम स्पष्ट रूप से एक निश्चित समय क्वांटम से बंधे होते हैं। समीकरणों को शुरू में दिए गए नमूने दर के लिए एकीकृत किया गया है, और यदि किसी कारण से, निर्दिष्ट मात्रा से अधिक अंतिम गणना के बाद से पारित हो गया है (किसी कारण से, इसे अंग्रेजी साहित्य में "समय नमूना" कहा जाता है), तो हमें या तो कई बार गिनती करने की आवश्यकता है, या हमें एक मंदी मिलेगी वस्तु आंदोलन। उत्तरार्द्ध मैं बस एक कमजोर मशीन पर खेल " कमांड कोर्टेक्स " में मनाया गया। अभिनेताओं की चाल सुगम थी लेकिन धीमी गति से (मानव चालित अभिनेता लाभ उठाते हैं)। इस प्रकार, कोई इनमें से किसी एक दृष्टिकोण के असाधारण लाभ की बात नहीं कर सकता है।
अब उपरोक्त समीकरण के गुणांक के लिए क्या जिम्मेदार हैं। यह समीकरण α (s) = 0. पर संतुलन स्थिति के सापेक्ष एक भौतिक निकाय की गति का वर्णन करता है। यह खेल यांत्रिकी में इस तरह के मॉडल का उपयोग करने की असंभव असुविधा का एक और कारण है। बाहरी बलों की अनुपस्थिति में, यह मॉडल जल्दी या बाद में वापस आ जाएगा (यदि मॉडल स्थिर है) शरीर को संतुलन की स्थिति में। गेंदों से भरे एक खेल की दुनिया की कल्पना करें जो हर समय मूल (उदाहरण के लिए, स्क्रीन के ऊपरी बाएं कोने में) में रहती है। कठोरता गुणांक इस व्यवहार की ओर जाता है (ऊपर a2 देखें)। कल्पना करें कि शरीर एक वसंत द्वारा मूल से जुड़ा हुआ है। जबकि बल शरीर पर कार्य करता है, वसंत खिंच जाता है, लेकिन यह बाहरी प्रभाव को हटाने के लायक है और शरीर शून्य हो जाएगा। Farseer इंजन में निकायों का यह व्यवहार नहीं है। यदि हम गुणांक a2 को शून्य के बराबर सेट करते हैं, तो इस मामले में निकायों की उत्पत्ति नहीं होगी (ऊपर देखें, मैंने लिखा था कि फरसेर में मॉडल अनिवार्य रूप से इस मॉडल के छोटे संस्करण हैं)। खैर, इस गुणांक की आवश्यकता क्यों है, तो आप पूछें। यदि आप समीकरण के बाईं ओर (1) और शब्द के बजाय कोष्ठक खोलते हैं
a2 * α (s)
लिखने
a2 * (α (s) - α0)
तब α0 के माध्यम से हम उस स्थिति को सेट करने में सक्षम हो जाएंगे जिसमें गेम ऑब्जेक्ट होगा। गुणांक a2 का मान इस बात के लिए जिम्मेदार है कि किसी दिए गए संतुलन की स्थिति में शरीर कितनी तेजी से आगे बढ़ता है (उच्च मूल्य, उच्च वसंत कठोरता)। मुझे अभी तक यह पता नहीं चला है कि यह फरसेर में कैसे लागू किया जाता है, लेकिन मुझे लगता है कि मुझे प्रभाव का एक अतिरिक्त स्रोत बनाना होगा।
अब गुणांक a1 है। यह भिगोना कारक है। इस गुणांक का मूल्य जितना अधिक होगा, उतनी ही तेजी से बुझती है (रैखिक या कोणीय)। जीवन से एक सादृश्य चिपचिपा तरल पदार्थ जैसे तेल, शहद, एपॉक्सी है। ये तरल पदार्थ बहुत चिपचिपे होते हैं (एक उच्च भिगोना गुणांक होता है)। उनमें शरीर की गति की गति जितनी अधिक होगी, इस आंदोलन का प्रतिरोध उतना ही अधिक होगा। यदि आप धीरे-धीरे उनमें एक चम्मच घुमाते हैं, उदाहरण के लिए, प्रतिरोध को पार करना मुश्किल नहीं होगा, लेकिन अगर आप इसे भव्य पैमाने पर मारते हैं, तो झटका कठिन होगा।
गुणांक a0 का मान वस्तु की जड़ता को दर्शाता है। रैखिक गति के वर्णन में, द्रव्यमान का उपयोग गुणांक a0 के रूप में किया जाता है। इसका मूल्य जितना अधिक होगा, बाहरी बलों पर लागू होने पर शरीर की गति धीमी हो जाती है।
अब समीकरण के दाईं ओर गुणांक के बारे में (1)। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मॉडल उस स्थिति तक विस्तारित होता है जब इनपुट कार्रवाई न केवल बाहरी बल के मूल्य से निर्धारित होती है, बल्कि इसके परिवर्तन से भी होती है। खेल की वस्तुओं की गतिशीलता का वर्णन करने के लिए, यह निरर्थक हो सकता है। हालांकि, औद्योगिक नियंत्रण प्रणालियों में, ऐसे मॉडल भी पाए जाते हैं। उनका भौतिक अर्थ क्या है? गुणांक b1 मूल रूप से वस्तु में बाहरी बल के हस्तांतरण का गुणांक है। आमतौर पर यह एक के बराबर होता है, अर्थात शक्ति का संचार होता है।
गुणांक b0 दिलचस्प है। यह एक बूस्टिंग फैक्टर की भूमिका निभाता है। एक बहुत ही निष्क्रिय वस्तु की कल्पना करें, जिसमें एक बल लगाया जाता है, धीरे-धीरे समय के साथ बढ़ रहा है। यदि बल की दर और अंतिम परिमाण छोटे हैं, तो वस्तु बहुत धीरे-धीरे गति प्राप्त कर रही है। लेकिन यदि बल बड़ा किया जाता है, तो बाहरी बल सेट मान तक पहुंचने के बाद, वस्तु कुछ स्थिति में नहीं रुकेगी, लेकिन जड़ता के प्रभाव के तहत दोलन करेगी। बल एक बाहरी बल के उदय की दर के लिए आनुपातिक है। यदि हम इसे बड़ा चुनते हैं, तो बाहरी बल की वृद्धि की कम दर पर भी, हमारी वस्तु काफी तेजी से गति करेगी, और जब बाहरी बल निर्दिष्ट मूल्य तक पहुंच जाएगा, तो बल बंद हो जाएगा। यहाँ इस तरह के एक चालाक है "b0"।

चित्रों में गतिशीलता

स्पष्ट रूप से अंतर गुणांक के प्रभाव को दिखाने के लिए। एक गतिशील वस्तु के व्यवहार के लिए समीकरणों ने चरण ( चरण प्रतिक्रिया ) और आवेग ( आवेग प्रतिक्रिया ) इनपुट क्रियाओं के साथ संक्रमण प्रक्रिया के ग्राफ़ बनाने का फैसला किया। कुल मिलाकर, रेखांकन के 6 समूह प्रस्तुत किए गए हैं (प्रत्येक गुणांक के लिए एक समूह)। ग्राफ ऑक्टेव पैकेज (वी। 3.4) में "सिग्नल प्रोसेसिंग" पैकेज स्थापित के साथ बनाया गया है।
इसलिए, एक स्रोत के रूप में हम फॉर्म का एक मॉडल लेते हैं:
=========================================
>>> w = tf ([१ १], [१ १ १]]

फ़ंक्शन "w" इनपुट "u1" से आउटपुट में ...

y1: (s + 1) / (s ^ 2 + s + 1)

निरंतर समय मॉडल।
=========================================


प्रतीकात्मक रूप में कोड "w = tf ([1 1], [1 1 1])" का रूप है:
>>> w = tf ([b0 b1], [a1 a2 a2])
नीचे स्क्रीनशॉट में, दाईं ओर लगभग स्थिरीकरण समय है (हम दिए गए मूल्य का hots 5% स्थिरता गलियारे के रूप में मानते हैं)।

चलो कठोरता गुणांक a2 के साथ खेलने की कोशिश करते हैं।
>>> w1 = 0.1 * tf ([1 1], [1 1 0.1])
y1: (s + 1) / (s ^ 2 + s + 0.1)

>>> w2 = 10 * tf ([1 1], [1 1 10])
y1: (s + 1) / (s ^ 2 + s + 10)
नोट: मुझे लाभ के साथ पॉडसमैनिट करना था ताकि परिणामस्वरूप लाभ एक के बराबर हो।


रेखांकन पर क्या दिखाई देता है? डब्ल्यू, डब्ल्यू 1 और डब्ल्यू 2 के लिए ग्राफ क्रमशः बाएं से दाएं प्रस्तुत किए जाते हैं। W1 ग्राफ एक स्थिर स्थिति तक पहुंचने के लिए चिकना और धीमा है। डब्ल्यू 2 ग्राफ प्रकृति में अधिक दोलनशील हैं, लेकिन जल्दी से एक स्थिर-राज्य मूल्य तक पहुंचते हैं। निष्कर्ष: एक स्टिफ़र स्प्रिंग का अर्थ है अधिक कंपन, लेकिन एक छोटी संक्रमण प्रक्रिया।

चलो भिगोना (ए 1) के साथ खेलने की कोशिश करें।
>>> w1 = tf ([1 1], [1 0.25 1])
y1: (s + 1) / (s ^ 2 + 0.25s + 1)

>>> w2 = tf ([1 1], [1 2 1])
y1: (s + 1) / (s ^ 2 + 2s + 1)


तुरंत निष्कर्ष: अधिक चिपचिपाहट - तेजी से भिगोना दोलन।

आइए जड़ता (a0) से खेलने का प्रयास करें।
>>> w1 = tf ([1 1], [0.1 1 1])
y1: (s + 1) / (0.1s ^ 2 + s + 1)

>>> w2 = tf ([1 1], [2 1 1])
y1: (s + 1) / (2s ^ 2 + s + 1)


निष्कर्ष: कच्चा लोहा का कम द्रव्यमान - कम बकबक और कम संक्रमण प्रक्रिया।

चलो दाईं ओर चलते हैं और बी 1 के साथ खेलते हैं।
>>> w1 = 10 * tf ([1 0.1], [1 1 1])
y1: (10 s + 1) / (s ^ 2 + s + 1)

>>> w2 = 0.25 * tf ([1 4], [1 1 1])
y1: (0.25 s + 1) / (s ^ 2 + s + 1)


ऐसा लगता है कि चरण रेस्पॉन्स के ग्राफ को देखें तो यह अंतर मुश्किल से ध्यान देने योग्य है। लेकिन इम्पल्स रिस्पांस के चार्ट पर, इस गुणांक का प्रभाव स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। यदि यह एकता के बराबर है, तो पल्स संक्रमण प्रक्रिया का ग्राफ एकता से शुरू होता है (वास्तव में, यह शून्य से जाता है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता - ग्राफ में दूसरा मूल्य एकता है)। ग्राफ w1 "शुरू होता है" 10 के मान से (0.1 से पारस्परिक), और ग्राफ w2 - 0.25 (4 से उलटा) के मान से शुरू होता है। इस प्रकार, गुणांक बी 1 को नियंत्रण दक्षता (इनपुट प्रभाव) के गुणांक "कहा जा सकता है"।

और अंत में, स्वादिष्ट - बी 0 के गुणांक के साथ खेल। यह एक मुश्किल कारक है, क्योंकि तुलना ऊपर के समान नहीं होगी। इसके प्रभाव को दिखाने के लिए कई कारकों को अलग-अलग करना होगा।
>>> w1 = tf ([6 1], [1 1 1])
y1: (6 s + 1) / (s ^ 2 + s + 1)

>>> w2 = tf ([६ १], [१ ३ १])
y1: (6 s + 1) / (s ^ 2 + 3 s + 1)


W1 और w2 में क्या अंतर है? डब्लू 2 में भिगोना गुणांक है। नतीजतन, हमें दिलचस्प निष्कर्ष मिलते हैं। चार्ट w1 और w2 पहले डिफ़ॉल्ट चार्ट की तुलना में स्थिर-राज्य स्तर को पार करते हैं। हालाँकि, ग्राफ़ w1 अपने दोलन के साथ डिफ़ॉल्ट रूप को बरकरार रखता है, और बढ़े हुए दबंग के कारण ग्राफ w2 चिकना है। इस प्रकार, जबरदस्ती और भिगोना के साथ खेलना, हम एक कच्चा लोहा लोहे की अंगूठी के माध्यम से एक तितली की तरह बिना किसी हिचकिचाहट के आगे-पीछे कर सकते हैं।

पीएस के रूप में

इस लेख में, मैंने गुणांक के केवल सकारात्मक मूल्यों पर विचार किया। स्थिरता के लिए उनकी सकारात्मकता एक आवश्यक शर्त है। मॉडल। हालांकि, आप नकारात्मक मूल्यों के साथ खेलने की कोशिश कर सकते हैं। एक अस्थिर प्रणाली को भी नियंत्रित किया जा सकता है। पांचवीं पीढ़ी के विमान के बारे में सोचें (उदाहरण के लिए, हमारा गोल्डन ईगल)। विंग का रिवर्स स्वीप एक अस्थिर ग्लाइडर है, लेकिन एक ही समय में उच्च गतिशीलता है। स्वचालन इस अस्थिरता को ठीक करने में सक्षम है और एक ही समय में, जब आवश्यक हो, खड़ी मोड़ें।
यदि संभव हो तो, मैं एक खिलौने को जन्म देता हूं जिसके साथ आप इन सभी प्रभावों को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं।

सूत्रों का कहना है

1. खेल भौतिकी इंजन " फारसीर "
2. कलमन फ़िल्टर - जटिल?