Tadao Takaoka अधिकतम सबर्रे या अधिकतम सबार्रे समस्या खोजने के लिए एल्गोरिथम

इतना समय पहले नहीं, Acceler8 2011 समानांतर प्रोग्रामिंग प्रतियोगिता आयोजित की गई थी । समस्या का सार इस मैट्रिक्स में अधिकतम सबमेट्रिक्स को ढूंढना था (पाया गया सबमेट्रिक्स के तत्वों का योग अधिकतम होना चाहिए)। एक छोटे "googling" के बाद, यह पाया गया कि एक निश्चित Tadao Takaoka एल्गोरिथ्म दूसरों की तुलना में इस समस्या को तेजी से हल करता है।

"कॉल स्वीकार किया जाता है!", और मुझे यह एहसास होने के लक्ष्य के साथ, जहाँ भी संभव हो, इस एल्गोरिथम की तलाश शुरू कर दी। इस तथ्य के बावजूद कि यह खराब रूप से समानांतर है और इसकी जटिलता में एक बड़ा निरंतरता शामिल है।

हालाँकि, यह सब पाया गया था अंग्रेजी में Tadao Takaoka द्वारा लेख (यहाँ इन लेखों में से एक है)। मुझे अनुवाद करना था।

पहले एल्गोरिथ्म का बहुत विचार अपमानजनक रूप से सरल लग रहा था:

सबसे पहले, हमें ऐसे मेट्रिसेस के लिए सभी उपसर्ग योगों [i, j] की गणना करने की आवश्यकता है जैसे कि [1..i, 1..j], सभी i और j के लिए प्रतिबंध s [i, 0] = s [0, के साथ j] = 0. जाहिर है, यह समय O (mn) में किया जाता है।
मुख्य एल्गोरिथ्म:
यदि मैट्रिक्स एक तत्व बन जाता है, तो हम उसका मान लौटाते हैं।
अन्यथा:

• यदि m> n, तो मैट्रिक्स को 90 डिग्री पर घुमाएं।

इस प्रकार, एम ≤ एन।

• A_left बाएं आधे के लिए समाधान होने दें।
• A_right सही आधे के लिए समाधान है।
• A_column - स्तंभ-केंद्रित कार्य के लिए समाधान (ऐसी अधिकतम सबमेट्रिक्स प्राप्त करना जो केंद्र रेखा को अवरुद्ध करेगा)
• सामान्य समाधान तीन में से अधिकतम है।

यदि A_left और A_right पुनरावर्तन के माध्यम से पाए जाते हैं, तो A_column मैन्युअल रूप से पाया जाना चाहिए।

यहाँ मूल लेख में इस बहुत समाधान खोजने के बारे में लिखा गया है:

" अब कॉलम-केंद्रित कार्य को निम्नानुसार हल किया जा सकता है।
A_column = max (k = 1: i-1, l = 0: n / 2-1, i = 1: m, j = n / 2 + 1: n) {s [i, j] - s [i, l] - s [k, j] + s [k, l]}।
हम i और k को ठीक करते हैं, और l और j को बदलकर शेष अभिव्यक्ति को अधिकतम करते हैं। फिर यह निम्नलिखित अभिव्यक्ति के बराबर है:
i = 1, ..., m और k = 1, ..., i - 1।
A_column [i, k] = max (l = 0: n / 2-1, j = n / 2 + 1: n) {is [i, l] + s [k, l] + s [i, j ] - एस [के, जे]}
चलो − [i, j] = ∗s [j, i]। तब इस अभिव्यक्ति को निम्न किया जा सकता है:
A_column [i, k] = lmin (l = 0: n / 2-1) {s [i, l] + s + [l, k]} + max (j = n / 2 + 1: n) { s [i, j] + s j [j, k]} "

इसके बाद, हमें टाडो तकाओका के कुछ अन्य कार्य का उल्लेख करना चाहिए: दूरी मैट्रिक्स गुणन (मैं इस शब्द का अनुवाद नहीं करता)।

नीचे पंक्ति है:

DMM का लक्ष्य दूरी उत्पाद C = AB की गणना दो n- आयामी मेट्रिसेस A = [a, i], और B = b [i, j] के लिए करना है, जिनके तत्व वास्तविक संख्याएँ हैं।

c [i, j] = min (k = 1: n) {a [i, k] + b [k, j}}

C [i, j] का सार पहली परत से सबसे छोटी दूरी है पहली परत से शीर्ष j की तीसरी परत में तीन परतों वाले एक चक्रीय उन्मुख ग्राफ में। ये परतें प्रत्येक परत में 1, ..., n, और पहली परत में i से दूसरी परत में j तक एक [i, j] होती हैं और दूसरी परत में j से तीसरी परत - b [i, j] तक होती हैं। ]। जाहिर है, न्यूनतम के बजाय अधिकतम की गणना करने के लिए इस अभिव्यक्ति को आसानी से कम किया जा सकता है - यह सबसे बड़ा मार्ग खोजने का कार्य होगा।

तो इस परिभाषा का उपयोग करके, आप निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं:
सूत्र में A_column [i, k] = lmin (l = 0: n / 2-1) {s [i, l] + s l [l, k]} + max (j = n / 2 + 1: n ) {s [i, j] + s, [j, k]} यह देखा जा सकता है कि सूत्र का पहला भाग न्यूनतम के लिए DMM, अधिकतम के लिए दूसरा - DMM है। बता दें कि S1 और S2 मैट्रिस हैं जिनके तत्व (i, j) क्रमशः [i, j - 1] s [i, j + n / 2] हैं। किसी भी मैट्रिक्स T के लिए, T neg ट्रांसपोज़िशन और निगेटिव द्वारा T से प्राप्त मैट्रिक्स है। तब ऊपरी अभिव्यक्ति की गणना एक न्यूनतम के लिए "गुणा" S1 और S1 be द्वारा की जा सकती है और एक कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करके, अधिकतम के लिए "2" S2 और S2 be गुणा करके और एक कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करके और अंत में, पिछले पिछले मैट्रिक्स से घटाकर। इसमें अधिकतम गणना करने के बाद, हमें उत्तर मिलता है:
A_column = max (DMM_max (S2 * S2 max) - DMM_min (S1 * S1 max))।

अगला, आकार ए और बी के matrices के लिए DMM समस्या को हल करने के लिए छद्म कोड का अनुवाद किया गया है:

Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.

1. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
2. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
3. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
4. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
5. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
6. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
7. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
8. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
9. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
10. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
11. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
12. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
13. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
14. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
15. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
16. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
17. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
18. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
19. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
20. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
21. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
22. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
23. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
24. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
25. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
26. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
27. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
28. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
29. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
30. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
31. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
32. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
33. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.
34. Copy Source | Copy HTML / n B list[ i ], .. list[ i ] i ; / V = { 1 , ..., n}; for i := 1 to n do begin for k := 1 to n do begin cand[k]:=first of list[k]; d[k] := a [ i , k] + b [k, cand[k]]; end; / V d[ 1 ], ..., d[n]; / S - ; /* 1 : */ while |S| ≤ n − n log n do begin / v ; / cand[v] S; c[ i , cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; for w in W do while cand[w] is in S do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; U := S; /* 2 : */ while |S| < n do begin / v ; if cand[v] is not in S then begin / cand[v] S; c[v, cand[v]] := d[v]; / W = {w|cand[w] = cand[v]}; end else W = {v}; for w in W do cand[w]:=next of list[w]; while cand[w] is in U do cand[w]:= next of list[w]; / W d[w] = a [ i , w]+ b [w, cand[w]]; end; end.

यह आलेख कतारों के लिए एक बाइनरी हीप का उपयोग करने की सलाह देता है। बाद के संस्करणों ने संकेत दिया कि फाइबोनैचि हीप का उपयोग करने से प्रक्रिया और भी तेज हो सकती है, हालांकि, मेरी शर्म की बात है कि मैं इसे पूरी तरह से लागू नहीं कर पाया। इसलिए, मैंने बाइनरी का इस्तेमाल किया।

हालाँकि, इस छद्म कोड को लागू करने के बाद भी, मैंने पाया कि समाधान काम नहीं आया। S1 और S2 की गणना के चरण में एक स्पष्ट त्रुटि पाई गई - इन मैट्रिस के निर्माण के लिए वर्णित नियम एल्गोरिदम के लिए सही ढंग से काम करने के लिए पर्याप्त नहीं था। और किसी भी लेख में मुझे अधिक विस्तृत विवरण नहीं मिला। इस प्रकार, हमें मैट्रिक्स का निर्माण करना था।

इसलिए, कई घंटे छँटाई और जाँच के बाद, निम्नलिखित नियम प्राप्त हुए।

चलो S, मैट्रिक्स A के लिए उपसर्ग मैट्रिक्स है।

फिर n / 2 के आयामों वाले मैट्रिक्स S1 में 0 का पहला कॉलम होता है, और शेष n / 2-1 कॉलम में उपसर्ग मैट्रिक्स S का पहला कॉलम होता है:


मी द्वारा आकार n / 2 के मैट्रिक्स S1 matrix में पहली पंक्ति और 0 का कॉलम होता है, शेष सबमेट्रिक्स, उपसर्ग मैट्रिक्स S की पहली पंक्तियों और स्तंभों का निषेध और वाष्पोत्सर्जन होता है:

(k = n div 2 + n mod 2)

मैट्रिक्स S2, k द्वारा आयामों के साथ k से शुरू होने वाले उपसर्ग मैट्रिक्स S के कॉलम हैं:


मैट्रिक्स S2 k आयामों k के साथ m: 0 का पहला कॉलम, फिर ट्रांसफ़ॉर्म करें और उपेक्षित करें मैट्रिक्स S के कॉलम, kth कॉलम से शुरू:


सामान्य तौर पर, एल्गोरिथ्म को समझना और लागू करना बहुत मुश्किल हो गया और असाधारण गति के लिए इसकी अपेक्षाओं को पूरा नहीं किया (कोई अतिरिक्त अनुकूलन नहीं किया गया था)।

एक ही लेख का दावा है कि यह एल्गोरिथ्म O (n ^ 3 * लॉग (लॉग) (n)) / लॉग (n)) समय में काम करता है, और यह भी उल्लेख करता है कि एल्गोरिथ्म बड़े मैट्रिसेस पर अन्य एल्गोरिदम की तुलना में तेजी से काम करता है ( जाहिरा तौर पर बहुत बड़ी)।

यदि कोई व्यक्ति रुचि या महत्वपूर्ण होगा, तो यहां मेरे कार्यान्वयन के स्रोत हैं (पेशेवरों पर लिखा गया है, इसलिए मैं "समझ" की गारंटी नहीं दे सकता)। मुझे बहुत खुशी होगी अगर यह लेख किसी की मदद करता है (यह व्यर्थ नहीं था कि मैंने इस एल्गोरिथम के साथ जांच में इतना समय बिताया।)