🎎 🙋🏿 ✊🏾 कोपलों के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण 👆🏿 🤵🏾 🛀🏽

पिछले एक लेख में, मैंने कोपल्स के लिए सैद्धांतिक औचित्य का वर्णन किया था। चूंकि मैं खुद एक छात्र था, मुझे पता है कि सैद्धांतिक तंत्र का सबसे अच्छा स्पष्टीकरण इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग का एक उदाहरण हो सकता है। इसलिए, इस लेख में मैं यह दिखाने की कोशिश करूंगा कि कैसे कई यादृच्छिक चर की अन्योन्याश्रितियों को मॉडल करने के लिए कॉपल्स का उपयोग किया जाता है।

फिर से थोड़ा सिद्धांत

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, कई प्रतिरूप न केवल दो की निर्भरता को प्रतिबिंबित कर सकते हैं, बल्कि एक बार में कई मान भी रख सकते हैं। यह, निश्चित रूप से, अच्छा है, लेकिन मानक कॉपुलस कुछ समरूपता का अर्थ है, अर्थात्, सभी जोड़ीदार निर्भरताओं का एक ही पैटर्न होगा। सहमत हूं, यह हमेशा सच नहीं होता है। इस समस्या को दूर करने के लिए, एक दिलचस्प और काफी स्पष्ट (गणितीय विश्लेषण में इस शब्द के पीछे कितनी पीड़ा छिपी हुई है) विधि प्रस्तावित की गई थी - हम दो-आयामी सहसंबंधों के एक सेट में संयुक्त कोपला को तोड़ते हैं। हम जानते हैं कि n चरों के लिए हमारे पास होगा

जोड़ीदार रिश्ते। यही है, हमें बस इतने ही जोड़ीदार सूत्रों को निर्धारित करना होगा। हम बताते हैं कि 4 मात्राओं का संयुक्त वितरण घनत्व निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

थोड़ा सा सबूत

आरंभ करने के लिए, हम याद करते हैं कि कई मात्राओं का वितरण घनत्व निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

इसके अलावा कोपूला की परिभाषा से, हम जानते हैं कि:

जो बदले में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

द्वि-आयामी मामले के लिए, यह इस तरह दिखेगा:

और इसे पहले ही सूत्र के साथ जोड़कर, हम प्राप्त करते हैं:

आप इस उदाहरण को त्रि-आयामी मामले में विस्तारित कर सकते हैं:

और पिछले सूत्र के साथ संयोजन, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, हम देखते हैं कि पहले समीकरण के सभी तत्वों को युग्मित कोपलों और सीमांत घनत्व के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, और ऊपर को विहित बेल कहा जाता है (मैं ईमानदारी से माफी मांगता हूं, लेकिन मुझे गणितीय संदर्भ में "विहित बेल" का स्थापित अनुवाद नहीं मिला, इसलिए मैं सीधे अनुवाद का उपयोग करूंगा)। आलेखीय रूप से, अंतिम समीकरण को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

तीन पेड़ एक 4-आयामी कोप्युला के विभाजन का वर्णन करते हैं। बाईं ओर के पेड़ में, मंडलियां सीमांत वितरण हैं, तीर दो-आयामी पुलिस वाले हैं। हमारा कार्य, मॉडलिंग के लिए जिम्मेदार व्यक्ति के रूप में, सभी "तीर" सेट करना है, अर्थात, जोड़ीदार कोपलों और उनके मापदंडों को निर्धारित करना है।

आइए अब D के आकार के बेल के सूत्र पर नजर डालते हैं:

और इसका चित्रमय प्रतिनिधित्व

वास्तव में, कैनोनिकल और डी-वाइन केवल उस क्रम में भिन्न होते हैं जिसमें जोड़ीदार निर्भरता निर्धारित की जाती है। एक पूछ सकता है, "मैं कैसे आदेश का चयन करूंगा?" या समकक्ष "मुझे किस बेल का चयन करना चाहिए?" मेरे पास इसका उत्तर है: व्यवहार में, वे उन जोड़ों के साथ शुरू करते हैं जो सबसे बड़ा रिश्ता दिखाते हैं। उत्तरार्द्ध केंडल के ताऊ द्वारा निर्धारित किया जाता है। चिंता न करें - बाद में सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा, जब मैं एक प्रत्यक्ष व्यावहारिक उदाहरण दिखाऊंगा।

आपके द्वारा कोपुला की परिभाषा के आदेश पर निर्णय लेने के बाद, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि कनेक्शन (गॉस, छात्र, गंबेल या अन्य) निर्धारित करने के लिए कौन सा कोपूला का उपयोग करना है। सिद्धांत रूप में, कोई सटीक वैज्ञानिक विधि नहीं है। कोई व्यक्ति "संग्रहीत" मात्राओं के वितरण के युग्मित रेखांकन को देखता है और आंख से कोप्युला निर्धारित करता है। कोई ची-ग्राफिक्स का उपयोग करता है ( यहां यह लिखा गया है कि उनका उपयोग कैसे किया जाए )। अनुसंधान के लिए महारत और विशाल क्षेत्र का मामला।

हम यह तय करने के बाद कि कौन से सहकर्मी जोड़े संबंधों में उपयोग करते हैं, हमें उनके मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। यह निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करके संख्यात्मक अधिकतम संभावना विधि (संख्यात्मक MLE) द्वारा किया जाता है:

विहित बेल के मापदंडों का मूल्यांकन करने के लिए स्यूडोकोड

Log-likelihood=0; for i = 1:n v(0,i) = x(i) end for for j = 1:n-1 for i = 1:nj Log-likelihood = Log-likelihood + L(v(j-1,1), v(j-1,i+1), param(j,i)); end for if j == n then break end if for i = 1:nj v(j,i) = h(v(j-1,i+1), v(j-1,1), param(j,i)); end for end for

डी-बेल मापदंडों का मूल्यांकन करने के लिए स्यूडोकोड

 Log-likelihood=0; for i = 1:n v(0,i) = x(i); end for for j = 1:n-1 Log-likelihood = Log-likelihood + L(v(0,i),v(0,i+1), param(1,i)); end for v(1,1) = h(v(0,1),v(0,2), param(1,1)) for k = 1:n-3 v(1,2k) = h(v(0,k+2), v(0,k+1), param(1,k+1)); v(1,2k+1) = h(v(0,k+1), v(0,k+2), param(1,k+1)); end for v(1,2n-4) = h(v(0,n), v(0,n-1), param(1,n-1)); for j = 2:n-1 for i = 1:nj Log-likelihood = Log-likelihood + L(v(j-1,2i-1),v(j-1,2i), param(j,i)); end for if j == n-1 then break end if v(j,i) = h(v(j-1,1), v(j-1,2), param(j,1)); if n > 4 then for i = 1:nj-2 v(j,2i) = h(v(j-1,2i+2),v(j-1,2i+1),param(j,i+1)); v(j,2i+1) = h(v(j-1,2i+1),v(j-1,2i+2),param(j,i+1)); end for end if v(j,2n-2j-2) = h(v(j-1,2n-2j),v(j-1,2n-2j-1),param(j,nj)) end for

ये लॉगरिदमिक संभावना फ़ंक्शन की गणना के लिए एल्गोरिदम हैं, जो कि जैसा कि आप जानते हैं, अधिकतम करने की आवश्यकता है। यह विभिन्न अनुकूलन पैकेजों के लिए एक कार्य है। यहां, "कोड" में उपयोग किए जाने वाले चर पर थोड़ा स्पष्टीकरण आवश्यक है:

x, n द्वारा आकार T के "संग्रहीत" डेटा का एक सेट है, जहाँ x को अंतराल (0,1) पर बांधा गया है।
v, n-1 द्वारा n-1 द्वारा आकार T का एक मैट्रिक्स है, जहां मध्यवर्ती डेटा लोड किया जाएगा।
परम - युग्मित कोपलों के पैरामीटर, जिन्हें हम ढूंढ रहे हैं, लॉग-लाइबिलिटी को अधिकतम करते हैं।
एल (एक्स, वी, परम) =

h (x, v, परम) =

अपनी गणना के साथ पेपर खराब करने के प्रशंसक अगले स्पॉइलर को नहीं खोल सकते हैं, जहां मैंने मुख्य कोपलों के एच-कार्यों को पेश किया।

एच कार्य करता है

जब हम अपने सहस्राब्दियों के मापदंडों को पाते हैं जो लघुगणक संभावना फ़ंक्शन को अधिकतम करते हैं, तो हम यादृच्छिक चर उत्पन्न करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं जिनके संबंध हमारे प्रारंभिक डेटा के समान संरचना है। इसके लिए, एल्गोरिदम भी हैं:

विहित बेल डेटा बनाने के लिए स्यूडोकोड

 w = rand(n,1); %  n    x(1) = v(1,1) = w(1); for i = 2:n v(i,1) = w(i); for k = i-1:1 v(i,1) = h_inv(v(i,1), v(k,k), param(k,ik)); %  ,     . end for x(i) = v(i,1); if i = n then break end if for j = 1:i-1 v(i,j+1) = h(v(i,j), v(j,j), param(j,ij)); end for end for

डी-बेल डेटा उत्पन्न करने के लिए स्यूडोकोड

 w = rand(n,1); %  n    x(1) = v(1,1) = w(1); x(2) = v(2,1) = h_inv(w(2), v(1,1), param(1,1)); v(2,2) = h(v(1,1), v(2,1), param(1,1)); for i = 3:n v(i,1) = w(i); for k = i-1:2 v(i,1) = h_inv(v(i,1), v(i-1,2k-2), param(k,ik)); end for v(i,1) = h_inv(v(i,1), v(i-1,1), param(k,i-1)); x(i) = v(i,1); if i == n break end if v(i,2) = h(v(i-1,1), v(i,1), param(1,i-1)); v(i,3) = h(v(i,1), v(i-1,1), param(1,i-1)); if i>3 for j = 2:i-2 v(i,2j) = h(v(i-1,2j-2), v(i,2j-1), param(j,ij)); v(i,2j+1) = h(v(i,2j-1), v(i-1,2j-2), param(j,ij)); end for end if v(i,2i-2) = h(v(i-1,2i-4), v(i,2i-3), param(i-1,1)); end for

आप मॉडल आकलन एल्गोरिदम का उपयोग करके प्राप्त किए गए मापदंडों का उपयोग करते हैं और एन चर उत्पन्न करते हैं। इस एल्गोरिथ्म टी बार चलाएं और n द्वारा मैट्रिक्स टी प्राप्त करें, जिसमें डेटा मूल डेटा के समान संबंध पैटर्न है। पिछले एल्गोरिदम की तुलना में एकमात्र नवाचार उलटा एच-फ़ंक्शन (h_inv) है, जो पहले चर पर सशर्त वितरण का व्युत्क्रम कार्य है।

फिर से, मैं आपको लम्बी गणनाओं से बचाता हूँ:

उलटा एच-कार्यों

वह मूल रूप से यह है। और अब वादा किया ...

व्यावहारिक उदाहरण

1. उदाहरण के लिए, मैंने एक छोटे बैंक क्लर्क की भूमिका निभाने का फैसला किया, जिसे अपने पोर्टफोलियो के लिए दैनिक वीआर की गणना करने के लिए कहा गया था। 1 जनवरी, 2012 को यार्ड में और समान शेयरों में मेरे पोर्टफोलियो में 4 कंपनियों के शेयर हैं: 3 एम (एमएमएम), एक्सॉन मोबिल (एक्सओएम), फोर्ड मोटर्स (एफ) और टोयोटा मोटर्स (टीएम)। अच्छी आह-तिश्निकी के साथ नाराज होकर, उन्हें पिछले 6 वर्षों से हमारे सर्वर से मूल्य इतिहास अनलोड करने के लिए, मुझे एहसास हुआ कि उनके पास कोई समय नहीं था (1 जनवरी को यार्ड में, जो सभी पर काम करता है) और याहु के सर्वर पर इस जानकारी को उतार दिया। मैंने 3 जनवरी 2005 से 31 दिसंबर 2011 तक दैनिक मूल्य इतिहास लिया। परिणामी मैट्रिक्स 1763 4 से है।

2. लॉग-रिटार मिला:

और उनके जोड़ीदार वितरण का निर्माण किया।

खैर, बड़ी तस्वीर पेश करने के लिए।

3. फिर मुझे वित्त पर व्याख्यान याद आया और जिस तरह से हमारे बीच झगड़े हुए थे - “दोस्तों, यह तथ्य कि सेवानिवृत्त लोगों को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, बकवास है; वास्तविक जीवन में ऐसा नहीं है। ” मैंने सोचा कि अगर मुझे यह अनुमान लगाना चाहिए कि रिटर्न्स एनआईजी (सामान्य उलटा गौसियन) के अनुसार वितरित किए गए हैं। अध्ययन बताते हैं कि यह वितरण अनुभवजन्य डेटा के साथ अच्छे समझौते में है। लेकिन मुझे एक वीआरआर गणना मॉडल के साथ आने की जरूरत है, और फिर ऐतिहासिक डेटा पर इसका परीक्षण करें। कोई भी मॉडल जो दूसरे क्षण के क्लस्टरिंग को ध्यान में नहीं रखता है, खराब परिणाम दिखाएगा। फिर विचार आया - मैं GARCH (1,1) का उपयोग करूंगा। मॉडल वितरण के 3 और 4 क्षणों को अच्छी तरह से समझ लेता है, साथ ही दूसरे क्षण की अस्थिरता को भी ध्यान में रखता है। इसलिए मैंने फैसला किया कि मेरे रिटायर निम्नलिखित कानून का पालन करेंगे

। यहाँ c ऐतिहासिक औसत है, z सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर मानक है, और सिग्मा पहले से ही अपने स्वयं के कानून का पालन करता है:

।

4. इसलिए, अब हमें इन चार शेयरों की अन्योन्याश्रयता को ध्यान में रखना होगा। सबसे पहले, मैंने अनुभवजन्य सहसंबंधों का उपयोग किया और "संग्रहीत" टिप्पणियों की जोड़ी पर निर्भरताएँ दीं:

यह देखते हुए कि आज 1 जनवरी है, और मैं एक आलसी मवेशी हूं, मैंने फैसला किया कि यहां के सभी पैटर्न स्टूडेंट्स कॉपुला के समान हैं, लेकिन अन्योन्याश्रितों को बेहतर ढंग से बताने के लिए, मैंने 4-आयामी कोप्युला का उपयोग नहीं करने का फैसला किया, लेकिन सभी को छः 2-आयामी कोपलों में तोड़ दिया।

5. युग्मित कोप्लस में विभाजित करने के लिए, आपको प्रस्तुति आदेश चुनने की आवश्यकता है - विहित या डी-बेल। इसके लिए, मैंने अन्योन्याश्रय के स्तर को निर्धारित करने के लिए केंडल के ताऊ को गिना:

यह देखना आसान है कि MMM का अन्य सभी कंपनियों के साथ सबसे मजबूत संबंध है। यह लताओं की हमारी पसंद को निर्धारित करता है - विहित। क्यों? PageUp को कुछ बार दबाएं और उसके ग्राफिक डिस्प्ले को देखें। पहले पेड़ में, सभी तीर एक नोड से आते हैं - यह ठीक हमारी स्थिति है जब एक कंपनी के सबसे मजबूत कनेक्शन होते हैं। यदि अंतिम तालिका में केंडल के उच्च ताऊ अलग-अलग रेखाओं और विभिन्न स्तंभों पर होते हैं, तो हम डी-बेल का चयन करेंगे।

6. इसलिए हमने प्रस्तुति का क्रम निर्धारित किया है और सभी आवश्यक जोड़ीदार कोपलों - हम मापदंडों का मूल्यांकन करना शुरू कर सकते हैं। विहित बेल के मापदंडों के मूल्यांकन के लिए उपरोक्त एल्गोरिथ्म को लागू करना, मुझे सभी आवश्यक पैरामीटर मिले।

7. यहां मैं थोड़ा समझाऊंगा कि यह सब बैकिंग के संदर्भ में कैसे हुआ। यह जांचने के लिए कि मेरा मॉडल वाह्य रूप से कितना उपयुक्त है, मैं यह देखना चाहता था कि यह अतीत में कैसे संभाला था। ऐसा करने के लिए, मैंने उसे एक छोटी सी शुरुआत दी - 500 दिन और, 501 दिनों से शुरू करके, मैंने अगले दिन के लिए अपने जोखिम मैट्रिक्स पर विचार किया। हाथ पर मैथुन के मापदंडों के होने के कारण, मैंने समान रूप से वितरित मूल्यों के 10,000 चौके उत्पन्न किए, उनमें से चार को सामान्य रूप से वितरित मूल्यों (शोर) से प्राप्त किया और इस उदाहरण के 3 बिंदुओं से प्रतिगामी गणना के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित किया। वहाँ मैंने पिछले दिनों के आंकड़ों का उपयोग करके GARCH (1,1) मॉडल द्वारा एक सिग्मा पूर्वानुमान डाला (यह मैटलैब फ़ंक्शंस के एक संयोजन द्वारा किया गया था कुरूप और बदसूरत) और ऐतिहासिक औसत। इस प्रकार शेयरों के 10,000 चौकों को प्राप्त करने के बाद, मैंने अपने पोर्टफोलियो के 10,000 शेयरों को प्राप्त किया, स्टॉक के शेयरों का अंकगणितीय औसत

(चूंकि हमारे पास समान शेयर और लॉग-लिंक हैं, इसलिए हमें ऐसा करने का अधिकार है)। फिर क्रमशः ५० वीं, १०० वीं और ५०० वीं मानों की छंटनी और चयन ९९ .५%, ९९% और ९ ५% सीमा स्तर के लिए। इस प्रकार शेष 1263 दिनों के लिए मीट्रिक के जोखिम की गणना करने के बाद, मुझे एक सुंदर ग्राफ और स्तर टूटने के आंकड़े मिले।

वीआर ब्रेकडाउन आंकड़ों के लिए पी-वैल्यू कैसे पढ़ें

1995 में, कॉमरेड कूपिच ने वीआर गणना मॉडल की विश्वसनीयता की गणना के लिए एक सूत्र का प्रस्ताव किया:

यहां x मॉडल के अनुसार ब्रेकडाउन की संख्या है, टी परीक्षण की संख्या है (हमारे पास = 1263), पी ब्रेकडाउन की अपेक्षित हिस्सेदारी है (हमारे मामले में 0.5%, 1% और 5%)।
शून्य परिकल्पना के अनुसार, इन आंकड़ों में एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ ची-स्क्वायर वितरण है । आंकड़े प्राप्त करने के बाद, इसके पी-मूल्य की गणना करना आसान है।

सिद्धांत रूप में, सटीकता में बढ़ने के लिए अभी भी बहुत कुछ है। लेकिन अगर हम सामान्य रूप से अंतरनिर्भरता पर ध्यान दिए बिना एक बेंचमार्क मॉडल के रूप में लेते हैं, तो आम तौर पर सीम होते हैं:

ईमानदार होने के लिए, हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि अगर हम सहसंबंधों का उपयोग करते हैं और बहुआयामी सामान्य वितरण से रिट्रेंस की गणना करने के लिए शोर उत्पन्न करते हैं तो मॉडल कैसे व्यवहार करेगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, VaR 95% के लिए यह मॉडल हमारी तुलना में भी बेहतर है। लेकिन दूर, बदतर - जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सामान्य वितरण पूंछ नहीं पकड़ता है।

सामान्य तौर पर, कोपल्स का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन यह समझदारी से किया जाना चाहिए। वे अन्योन्याश्रितताओं को ध्यान में रखने के लिए अधिक अवसर प्रदान करते हैं, लेकिन किसी भी सटीक मॉडल के रूप में, किसी को यहां सावधान रहना चाहिए - मान्यताओं को याद करना और मानक मॉडल की तुलना में खराब परिणाम प्राप्त करना संभव है।

पीएस मैंने अक्सर मेरे पीछे जीभ से बंधा हुआ देखा है, इसलिए मुझे खुशी होगी अगर आप मुझे पाठ में ऐसे क्षणों की ओर इशारा करते हैं। मैंने अपने विचारों को यथासंभव स्पष्ट रूप से व्यक्त करने की कोशिश की, लेकिन हमेशा मैं सफल नहीं हुआ।

कोपलों के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

फिर से थोड़ा सिद्धांत

व्यावहारिक उदाहरण

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