ऐसा हुआ कि पिछले छह महीनों में मैं कई सरल (नियमों के अर्थ में) और कुछ अन्य बोर्ड गेम्स से परिचित होने में कामयाब रहा। इस श्रृंखला में पहले सेट था, फिर मेम्ने, और गर्मियों में हमने डोबल खेला। मुझे तुरंत कहना होगा कि ये सभी खेल बहुत रोमांचक हैं, हालांकि, इस पोस्ट पर चर्चा की जाएगी, निश्चित रूप से इसके बारे में नहीं। तथ्य यह है कि कुछ समय बाद (दूसरे शब्दों में, पर्याप्त खेले जाने के बाद), मुझे उन विचारों में दिलचस्पी थी, जो इन खेलों को रेखांकित करते हैं, और जो कॉम्बिनेटरिक्स के साथ ठीक से जुड़े हुए हैं। इस पोस्ट में, हम सबसे सरल (मेरी राय में) खेल के बारे में बात करेंगे - "मेम्ने", जो संयोग से, मूल संस्करण में एक अधिक सामंजस्यपूर्ण नाम "गीस्टेसब्लिट्ज़" (जर्मन: रोशनी) है।

खेल के नियम

तो खेल क्या है। 5 वस्तुएं हैं, जिनमें से प्रत्येक, अपेक्षाकृत बोलने वाली, इसकी आकृति और रंग (यानी, दो श्रेणियां) की विशेषता है - एक सफेद ड्रम, एक लाल कुर्सी, एक नीली किताब, एक हरी बोतल और एक ग्रे माउस।



इसके अलावा, कई कार्ड हैं, जिनमें से प्रत्येक पर दो वस्तुओं को दर्शाया गया है, एक अलग आकार और एक अलग रंग (लेकिन उपरोक्त आकार और रंगों से)। कुछ कार्डों में ऐसे आइटम होते हैं जो वास्तविक वस्तुओं से बिल्कुल मेल खाते हैं। किसी भी कार्ड में कम से कम एक आइटम में, रंग आकार से मेल नहीं खाता (उदाहरण के लिए, एक लाल बोतल)।



खेल का लक्ष्य यह है कि किसी दिए गए कार्ड के लिए, जितनी जल्दी हो सके, एक वस्तु की पहचान करें कि a) कार्ड पर सही रूप में मौजूद है (आकार और रंग का मिलान), b) या पूरी तरह से अनुपस्थित है (कार्ड पर इस ऑब्जेक्ट का न तो रूप है, न ही इसका) रंग)।



पहले उदाहरण में, हमारे पास एक सफेद ड्रम है, और हमें इसे पकड़ना होगा, दूसरे उदाहरण में, हमारी पसंद एक बोतल है, क्योंकि कार्ड पर कोई बोतल (आकार के रूप में) नहीं है और कोई हरा रंग नहीं है (यह सत्यापित करना आसान है कि इस मामले में बोतल एकमात्र विकल्प है। शेष सभी मदों की अलग-अलग श्रेणियां कार्ड पर मौजूद हैं)।

दरअसल, सभी नियम। खेल खुद कई खिलाड़ियों के लिए बनाया गया है, हर एक खुद के लिए खेलता है, लक्ष्य जितना संभव हो उतने कार्ड इकट्ठा करना है (जिसने पहले सही आइटम पकड़ा है, वह कार्ड है)। ध्यान दें: लंबे नाखूनों वाले लोगों के साथ मत खेलो, छुरा घाव मिलना संभव है!

कार्ड की संख्या

पहला सवाल जिसने मुझे दिलचस्पी दी थी कि इस खेल में कितने अलग-अलग कार्ड संभव हैं। शुद्ध दहनकारी! क्या अच्छा है, यह समस्या काफी आसानी से हल हो गई है। शुरू करने के लिए, हम ध्यान दें कि हमारे पास दो प्रकार के कार्ड हैं, चलो उन्हें सही कहते हैं (उनके पास सही आइटम है) और गलत (ऐसे कार्ड पर कोई आवश्यक वस्तु नहीं है)। हम उन और अन्य लोगों की संख्या की अलग-अलग गणना करते हैं।

चलो सही लोगों के साथ शुरू करते हैं। सही कार्ड पर पहले आइटम को पांच तरीकों (पांच उपलब्ध वस्तुओं में से) में चुना जा सकता है। दूसरे आइटम को अधिक चालाक रूप से चुना गया है - पहले हम इसके आकार (चार विकल्प, एक आकार पहले से ही पहले आइटम पर कब्जा कर लिया है) का चयन करेंगे, फिर रंग (तीन विकल्प, एक रंग पहले आइटम द्वारा कब्जा कर लिया जाता है, दूसरा उस आइटम पर कब्जा कर लिया जाता है जिसके द्वारा हमने दूसरे चरण में फॉर्म लिया था)। इस प्रकार, उत्पाद के नियम के अनुसार, हमें सही कार्डों की कुल संख्या 5 * 4 * 3 = 60 मिलती है।

गलत कार्ड को इसी तरह माना जाता है। सबसे पहले, पहले आइटम (5 विकल्प) के आकार का चयन करें, फिर उसका रंग (4 विकल्प)। फिर दूसरे आइटम (3 विकल्प) और उसके रंग (2 विकल्प) के आकार का चयन करें। बस एक अनछुई वस्तु बची है - इस कार्ड का उद्देश्य। हम उत्पाद नियम लागू करते हैं, हमें 5 * 4 * 3 * 2 = 120 विकल्प मिलते हैं। लेकिन यह गलत उत्तर है - कार्ड पर आइटम का सेट अव्यवस्थित है , और हमने ऑर्डर किए गए सेट की संख्या की गणना की। सही उत्तर पाने के लिए, आपको 120 को 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है - दो तत्वों (कार्ड "लाल बोतल और सफेद कुर्सी" = कार्ड "सफेद कुर्सी और लाल बोतल") के क्रमपरिवर्तन की संख्या। इस प्रकार, हमें 120/2 = 60 गलत कार्ड मिलते हैं।

हम संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं (यानी योग के नियम को लागू करते हैं) और जवाब मिलता है: खेल के लिए 120 कार्ड। हम खेल में कार्ड गिनते हैं - 60 टुकड़े। या तो गणना में त्रुटि, या कमी। एक साधारण जांच में कमी के तथ्य को दिखाया गया है - प्रत्येक पांच वस्तुओं के लिए छह सही और छह गलत कार्ड हैं, और 12 और 12 होने चाहिए। इसके अलावा, कार्ड के चयन में कोई तर्क नहीं पाया गया (सबसे अधिक संभावना एक यादृच्छिक विकल्प)।

सामान्यकरण

हम समस्या को थोड़ा सुधारते हैं। एन ऑब्जेक्ट्स हैं, जिनमें से प्रत्येक को के श्रेणियों द्वारा वर्णित किया गया है, और प्रत्येक में क्यू कार्ड हैं जिनमें से एन वस्तुओं को दर्शाया गया है (ऊपर विचार किए गए मामले में, एन = 5, के = 2, एन = 2 और क्यू = 120)। सीमाएं हैं - कार्ड सही (उपरोक्त अर्थ में) और गलत हो सकते हैं। किसी भी मामले में, प्रत्येक कार्ड पर, kN में से कोई भी संभव संकेत दोहराया नहीं जाता है (उदाहरण के लिए, सभी रंग अलग हैं और सभी रूप अलग हैं)। इसके अलावा, प्रत्येक आइटम या तो पूरी तरह से कार्ड पर चित्रित किया गया है, या इसमें से एक से अधिक विशेषता नहीं है: उदाहरण के लिए, "ड्रम" में एक सफेद बोतल और एक लाल ड्रम (एक वस्तु से दो संकेत) के साथ कोई कार्ड नहीं है, क्योंकि ऐसे कार्ड के लिए दो विकल्प हैं - एक ग्रे माउस या एक ब्लू बुक। इस तरह के सामान्यीकरण में उत्पन्न होने वाला एकमात्र और प्राकृतिक सवाल यह है कि चर N, k, n और Q के बीच क्या संबंध है?

सबसे पहले, यह स्थापित करना आसान है कि एन, के और एन कैसे संबंधित हैं। गलत कार्ड पर विचार करें। इस तरह के प्रत्येक कार्ड में n ऑब्जेक्ट होते हैं, जिसका अर्थ है कि इस पर बिल्कुल घुटने के निशान हैं जो घुटने की वस्तुओं को निर्धारित करते हैं (सभी संकेत अलग-अलग हैं, कोई भी दो एक ही वस्तु से संबंधित नहीं हैं)। चूंकि इस तरह के कार्ड को एक एकल आइटम के अनुरूप होना चाहिए जो इसमें शामिल नहीं है, हमें आइटम की आवश्यक संख्या kn + 1 मिलती है। ध्यान दें कि यह संख्या आपको सही कार्ड बनाने की अनुमति देती है (प्रत्येक सही कार्ड पर एक या दूसरे रूप में 1+ (n-1) k आइटम हैं)। इस प्रकार, एन = घुटने + 1। यह सत्यापित करना आसान है कि सूत्र n = k = 2 और N = 5 के लिए मान्य है जो ऊपर माना गया है। एक तालिका के रूप में मिली निर्भरता की कल्पना करें (खेल "मेम्ने" के लाल रंग पर प्रकाश डाला गया है):



इन नंबरों का क्या मतलब है? मान लीजिए कि हम खेल का एक विस्तारित (सुपर-कॉम्प्लेक्स) संस्करण बनाना चाहते हैं, जिसमें प्रत्येक कार्ड पर n = 5 आइटम होंगे, और प्रत्येक आइटम को k = 5 श्रेणियों द्वारा वर्णित किया जाएगा। हमें एन = 26 मिलता है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक श्रेणी के लिए उसके 26 मूल्यों (विशेषताओं) के साथ आना आवश्यक होगा। यानी यदि श्रेणी रंग है, तो 26 रंग जो एक दूसरे से अच्छी तरह से अलग हैं, की पहचान की जानी चाहिए। यह एक आसान काम नहीं है ... इसलिए, संभव खेल एक्सटेंशन तालिका के ऊपरी बाएं कोने के पास के क्षेत्र तक सीमित होने की संभावना है। वैसे, एन = 1 या के = 1 के प्रतीत होने वाले तुच्छ मामलों में भी जीवन का अधिकार है (हालांकि, इन मामलों में, सबसे अधिक संभावना है, मुख्य बात एक अच्छी प्रतिक्रिया होगी)।

अब हम खेल के विस्तारित (पैरामीटर) संस्करण में क्यू कार्ड की संख्या की गणना करते हैं। उपरोक्त तकनीक का उपयोग करके, हम सही कार्डों की संख्या N / K /! (N-1) पाते हैं! और गलत कार्ड एन / एन की संख्या !, जोड़ने और सरलीकृत करने पर, हमें परिणाम मिलता है

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सूत्र n = k = 2 के लिए काम करता है, और इन मापदंडों के निम्न मूल्यों के लिए भी परीक्षण किया गया है। सच है, मामले में n = k = 1, यह थोड़ा झूठ है, क्योंकि इस स्थिति में, एक आइटम के लिए सही कार्ड किसी अन्य आइटम के लिए गलत कार्ड के साथ मेल खाता है (यानी, कोई भी विकल्प जीत जाएगा), इसलिए परिणाम 2 से विभाजित किया जाना चाहिए। अन्य सभी मामलों में, इस तरह के टकराव नहीं होते हैं। मामले के लिए n = k = 3, सूत्र संख्या Q = 907200 देता है। यदि प्रत्येक कार्ड एक मिलीमीटर मोटी का दसवां हिस्सा है, तो एक पूर्ण स्टैक लगभग 90 मीटर ऊंचा होगा!

मामले का बोध n = k = 3

जब मैंने पूरी रसोई का पता लगाया, उसके बाद 1 और 3 से n के सभी मूल्यों के लिए खेल के विस्तारित संस्करण का एक सरल प्रोटोटाइप प्रदर्शन बनाने का निर्णय लिया गया। हालांकि, जब यह प्रोग्रामिंग में आया, तो मेरा उत्साह थोड़ा कम हो गया और मैंने खुद को इस मामले में सीमित करने का फैसला किया। n = k = 3 (N = 10)। चूंकि यह लेख के लिए सिर्फ एक प्रदर्शन है, यह ग्राफिक्स के साथ परेशान नहीं करने का फैसला किया गया था, लेकिन खेल के लगभग पाठ संस्करण बनाने के लिए। तो, तीन श्रेणियां पत्र हैं (ए से जे तक), संख्याएं (0 से 9 तक - यह बहुत सफल है कि हमारे पास एक दशमलव संख्या प्रणाली है) और विशेष वर्ण (प्रतिशत, डॉलर, आदि) इस प्रकार, प्रत्येक "आइटम" तीन अक्षरों (अक्षर + संख्या + विशेष वर्ण) का एक सेट (अव्यवस्थित) है: A0%, B1 $, आदि। खेल एक खिलाड़ी के लिए डिज़ाइन किया गया है जिसे चीजों का अनुमान लगाने के लिए 100 सेकंड दिए जाते हैं। एक आइटम का सही विकल्प स्कोर में 1 जोड़ता है, गलत 1 से स्कोर कम कर देता है (लेकिन केवल शून्य पर)। गेम को HTML + JS में लागू किया गया है और यहां पोस्ट किया गया है (केवल क्रोम के तहत परीक्षण किया गया है)। इंटरफ़ेस बहुत सरल है:



तीन वस्तुओं वाला कार्ड ऊपरी पंक्ति में दिखाया गया है, और निचली पंक्ति में स्वयं वस्तुएं हैं। नीचे की पंक्ति से एक वस्तु का चयन करना आवश्यक है जो या तो कार्ड पर है (सभी तीन वर्ण संयोग करते हैं), या एक वस्तु जो कार्ड पर एक भी प्रतीक नहीं है। इस उदाहरण में, सही विकल्प पत्र जी के साथ एक कार्ड है। थोड़ा ऑब्जेक्टिफिकेशन ("ऑब्जेक्ट्स" और "ऑब्जेक्ट्स" में प्रतीकों को मिलाकर) गेम को जटिल करने के लिए उपयोग किया जाता है। ध्यान दें कि "मेम्ने" का मूल संस्करण भी अव्यवस्थित है - वस्तुओं के अलग-अलग आकार होते हैं और कार्ड पर अलग-अलग तरीकों से स्थित होते हैं (इसके अलावा, वास्तविक वस्तुओं को खेल के दौरान खिलाड़ियों द्वारा खुद को लगातार मिलाया जाता है)। उन लोगों के लिए शुभकामनाएं जो खेलने की हिम्मत करते हैं (मेरा अब तक का रिकॉर्ड लगभग 6 अनुमानित आइटम है)!

आपका ध्यान देने के लिए आप सभी का धन्यवाद!

पुनश्च: और ऑर्थोगोनल बहुपद इसके साथ क्या करना है, चौकस पाठक पूछेगा। ईमानदारी से, मुझे नहीं पता! लेकिन अगर हम Q और 2 में k = का विकल्प का सूत्र लेते हैं, तो हमें एक संख्यात्मक अनुक्रम मिलता है जो इस तरह शुरू होता है: 1, 9, 120, 2100, आदि। इस तरह की एक अद्भुत साइट है - पूर्णांक अनुक्रमों का एक शब्दकोश, जो आपको अनुक्रम के कई तत्वों (जैसे कि "खेल का अनुमान लगाता है") का उपयोग करके अनुक्रम को खोजने की अनुमति देता है। मैंने वहां पाए गए नंबरों को निकाल दिया और एकमात्र अनुक्रम पाया गया जो ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स के गुणांक के साथ ठीक से जुड़ा हुआ है ... परीक्षण से पता चला कि सूत्र (मेरा और उनके) समान हैं। मैं बहुत आलसी नहीं था, मूल लेख को पाया और डाउनलोड किया, मेरी संख्या व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन की प्रक्रिया में किसी तरह से प्राप्त बहुपद में तीसरा सबसे पुराना गुणांक निकला। दुर्भाग्य से, इन बहुपद और "मेम्ने" के बीच क्या संबंध मुझे समझ में नहीं आया ...