मतलाब में भग्न आकृतियों का निर्माण

उन्होंने कहा, '' मैं इंसान हूं। पुनर्मिलन भगवान से है। ”एल। पीटर Deutsch

परिचय

हममें से कई लोगों ने भग्नियों के बारे में सुना है, मुझे लगता है कि कई लोगों को इन अद्भुत गणितीय वस्तुओं और प्राकृतिक भौतिक संरचनाओं के साथ उनके घनिष्ठ संबंध के बारे में भी स्पष्ट विचार है। हालाँकि, इस लेख में मैं इस मुद्दे के अनुसंधान और दार्शनिक पहलुओं पर ध्यान देना चाहूंगा। सरल गणितीय अभिव्यक्तियों की मदद से जटिल विमान पर जटिल पैटर्न उत्पन्न करने की संभावना बहुत ही आकर्षक है, और यह वास्तव में लेख के लेखन का कारण बना। कोड की कुछ पंक्तियों को लिखने के बाद, हम स्केलेबल फ्रैक्टल पैटर्न का अध्ययन करते हुए, अपने पीसी के बिट ग्रिड के बहुत नीचे तक गिर सकते हैं।

भग्न के बारे में

बीबीसी चक्र (द सीक्रेट लाइफ ऑफ कैओस) के कार्यक्रमों में से एक में एक दिलचस्प विचार तैनात किया गया था, निश्चित रूप से यह इस वीडियो के लेखकों द्वारा नहीं, बल्कि एलन ट्यूरिंग और अराजकता सिद्धांत एडवर्ड लोरेंज के पिता द्वारा पोस्ट किया गया था। जैसा कि यह निकला, बड़ी संख्या में कनेक्शन और तत्वों (यहां तक ​​कि समान वाले) के साथ जटिल प्रणालियों में एक पूर्वानुमानित सीमा होती है। इसका क्या मतलब है? निर्धारक तर्क के साथ सबसे सरल संरचनाओं का संयोजन आउटपुट पर बहुत, बहुत जटिल व्यवहार प्राप्त कर सकता है। हमारे मामले में लगभग यही स्थिति है: सरल पुनरावृत्ति संबंध Z [i + 1] = Z [i] ^ (n) + C, i = 1, 2, ... inf जहां C एक जटिल संख्या है, Z [0] = 0 , हम देखेंगे कि कुछ मात्राएं परिमित होंगी, और कुछ अनंत (चयनित सी के आधार पर) तक चलेंगी। नीचे कोड है, यह स्पष्ट हो जाएगा। अभिरुचि सीमा पर बिंदुओं के व्यवहार में बहुत रुचि है। वे जटिल, कभी-कभी स्व-दोहराए जाने वाले पैटर्न बनाते हैं जो स्केलिंग की बढ़ती डिग्री के साथ बदल सकते हैं, एक अंतहीन गतिशील पैटर्न पैदा करते हैं। कभी-कभी इन आंकड़ों का पालन करना दिलचस्प होता है, बहुपद की डिग्री को बदलना या पुनरावर्ती सूत्र में नए कार्य करना, आप बहुत दिलचस्प चित्र प्राप्त कर सकते हैं।

कोड लेखन

आइए हम स्क्रिप्ट फ्रैकलएम लिखना शुरू करें: चलो छवि का आकार 500x500 पिक्सेल पर सेट करें, क्षेत्र [-2, 1] हमारे लिए दिलचस्प होगा; वास्तविक अक्ष के साथ और [-1.5, 1.5]; काल्पनिक अक्ष के साथ, इसमें हम एक भग्न का निरीक्षण करेंगे। यदि श्रृंखला का योग इस वर्ग की सीमाओं से परे जाता है, तो हम मानते हैं कि श्रृंखला विचलन करती है।

image_size = 500; bound_re = [-2, 1]; bound_im = [-1.5, 1.5]; 

अगला, हम draw_fractal फ़ंक्शन का उपयोग करके एक भग्न खींचते हैं, हम बाद में इस पर विचार करेंगे। यह एक बाउंडिंग बॉक्स और इनपुट पर छवि का आकार लेता है। यह फ़ंक्शन बढ़े हुए क्षेत्र में पुनर्गठित पिक्सेल आकार को लौटाता है यानी pb_re pb_im - काल्पनिक और वास्तविक अक्ष के साथ पिक्सेल का गणितीय आकार। अगला, हम सही , current_point के माध्यम से अनुमानित किए जाने वाले क्षेत्र का चयन करते हैं, - ज़ूम आयत के ऊपरी बाएं बिंदु, हमें माउस द्वारा निर्दिष्ट बाउंडिंग बॉक्स की चौड़ाई और ऊंचाई मिलती है। बाउंड_रे और बाउंड_इम विचाराधीन क्षेत्र की नई सीमाएं हैं (शुरुआती लोगों के समान)। फिर सब कुछ दोहराता है।

 while(1) [pb_re pb_im] = draw_fractal(bound_re, bound_im, image_size); rect = getrect; current_point = complex(bound_re(1) + rect(1) * pb_re - 0.5 * pb_re , ... bound_im(1) + rect(2) * pb_im - 0.5 * pb_im); current_width = rect(3) * pb_re; current_height = rect(4) * pb_im; bound_re = [real(current_point), real(current_point) + current_width]; bound_im = [imag(current_point), imag(current_point) + current_height]; end 

Draw_fractal.m फ़ंक्शन यह गणना करता है कि कौन सा गणितीय आकार पिक्सेल पिक्सेल_बाउंड्स_रे और पिक्सेल_बाउंड्स_म से मेल खाता है , फिर हम छवि मैट्रिक्स पर जाते हैं और प्रत्येक पिक्सेल के लिए, प्रत्येक बिंदु के लिए, फ़ंक्शन [color] = is_a_m_point (current_point) का उपयोग करके , हम गणितीय मैट्रिक्स पर विचार करते हैं। अनन्तता है या नहीं।

 function [pixel_bounds_re, pixel_bounds_im]=draw_fractal( bound_re, bound_im, image_size) pixel_bounds_re = (bound_re(2) - bound_re(1) ) / image_size; pixel_bounds_im = (bound_im(2) - bound_im(1) ) / image_size; frac = zeros([image_size, image_size]); parfor re = 1 : image_size for im = 1 : image_size current_point = complex(bound_re(1) + re * pixel_bounds_re - 0.5 * pixel_bounds_re , bound_im(1) + ... im * pixel_bounds_im - 0.5 * pixel_bounds_im); [color] = is_a_m_point(current_point); frac(im,re) = color; end end frac = mat2gray(frac); imshow(frac); end 

इसके अलावा, तेजी से बिंदु अनंत तक भाग जाता है, यह जितना तेज होगा, यह is_a_m_point.m फ़ंक्शन से स्पष्ट होता है। यह पुनरावर्ती सूत्र Z [i + 1] = Z [i] ^ (n) + C , कार्य से हमारा निरंतर C प्राप्त करता है। फ़ंक्शन रंग रंग वापस करने के लिए है, - तेजी से श्रृंखला विचलन, रंग उज्जवल, यदि बिंदु सीमाओं से बच जाता है [-2 1] (वास्तविक अक्ष) [-1.5 1.5] (काल्पनिक अक्ष), तो हम मानते हैं कि श्रृंखला का परिवर्तन होता है । हम मानते हैं कि Z [0] = 0, और श्रृंखला में हम 50 संख्याओं को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं (एक नियम के रूप में, यह समझने के लिए पर्याप्त है कि श्रृंखला विचलन करेगी या नहीं)।

 function [ color] = is_a_m_point( constant ) color = 0; z = 0; %  Z[0] for i = 1 : 50 z = z^(2) / (1 + z + z^(4)) + constant; %    if real(z) < -2 || real(z) > 1 || imag(z) > 1.5 || imag(z) < -1.5 color = 255 - 5.5 * (i - 1); return; end end end 

वह सब है। कुछ स्क्रिप्ट लिखने के बाद, आप आराम कर सकते हैं और यह जानने की कोशिश कर सकते हैं कि परिणामस्वरूप क्या हुआ। चूंकि खराब मोंडलब्रॉट सेट पहले से ही अंधेरे में था, इसलिए हम कुछ और दिलचस्प तलाशने की कोशिश करेंगे, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन z = z ^ (2) / (1 + z + z ^ (4)) + स्थिरांक;

दृश्य

संकेतित निर्भरता जटिल विमान पर निम्नलिखित आकृति उत्पन्न करती है:

इस चित्र का बायां मध्य भाग दिलचस्प है कि जैसे ही हम इसे करीब लाते हैं हम आत्म-समान आंकड़ों के एक अंतहीन, नवीकरण पैटर्न में गिर जाएंगे। इस तथ्य के लिए एक अद्भुत रूपक है कि विविधता को परिमित प्राइमेटिक्स के समूह द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है।

प्रस्तुत मैटलैब लिपियों का उपयोग करते हुए, विमान पर भग्न पैटर्न में परिवर्तन की गतिशीलता प्राप्त करना आसान है, उदाहरण के लिए, पुनरावर्ती सूत्र Z [i] = Z [i-1] ^ ^ (n) + C, n = 1, 2 ... 200 में बहुपद n की डिग्री को बदलने से आप निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं।
http://video.yandex.ru/users/alexhoppus/view/2/

निष्कर्ष

इस लेख में मैंने मतलाब परिवेश में लिपियों के कार्यान्वयन के सरलतम संस्करण को प्रस्तुत करने का प्रयास किया है जो पैमाने पर क्षमता के साथ एक मनमानी पुनरावर्ती निर्भरता से भग्न पैटर्न बनाते हैं। यह नोटिस करना आसान है कि प्रत्येक निर्भरता अपने स्वयं के "समरूपता के साथ" अपने स्वयं के "पैटर्न गठन के कानूनों" के साथ, जटिल विमान पर एक अनोखी दुनिया के लिए अपने तरीके से जन्म देती है। इस सब से एक कई सहज निष्कर्ष निकाल सकते हैं, जिनमें से कुछ मैं पहले ही लेख के पाठ में उद्धृत कर चुका हूं। व्याख्यान की एक श्रृंखला में, फ्रैंकलिन मेरेल-वुल्फ (गणित, दर्शनशास्त्र के योग) ने मानव सोच की द्वैतता और एक व्यक्ति की इच्छा को वास्तविकता से हटा दिया, साथ ही साथ सवाल "क्या यह सच है कि दुनिया में कुछ शामिल है?" तो क्या यह शामिल है, या यह एक एकल पुनरावर्ती फार्मूले के साथ है जो वास्तविकता की एक विशाल विविधता उत्पन्न करता है?