एक समाधान है और प्रभावी रूप से यह तय करता है कि अंतर क्या है?

शुभ दिन, हब्राली! अक्सर, गणितज्ञ एक समाधान के अस्तित्व पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और यह कुछ ऐसा ही करता है।

होटल एक इंजीनियर, भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ द्वारा बसाया गया था। कमरे में सभी को आग लगी है।
इंजीनियर गलियारे में भागता है, दीवार पर एक आग की नली देखता है, उसे पकड़ता है, पानी खोलता है, कमरे में चलाता है और आग को भड़काता है।
भौतिकशास्त्री, दहनशील पदार्थों की मात्रा, लौ का तापमान, पानी की गर्मी क्षमता और भाप, वायुमंडलीय दबाव इत्यादि का शीघ्रता से अनुमान लगाता है, एक कड़ाई से निर्धारित मात्रा में पानी को एक कंटर ग्लास में डालता है और इस पानी से आग डालता है।
गणितज्ञ गलियारे में कूद जाता है, दीवार पर एक आग बुझाने वाला यंत्र देखता है, और, ख़ुशी से आह्वान करता है: "समाधान मौजूद है!", शांत कमरे में लौटता है।

और रास्ते में कौन से रेक "कड़वे सिरे" पर आते हैं, मैं एक कट के तहत बताऊंगा।

अनुस्मरण

खैर, शुरुआत के लिए, आइए तीन "ऐसे" कार्यों को याद करें और उन्हें जानने का प्रयास करें।

1. n> 0 के लिए nth डिग्री का समीकरण, n जटिल जड़ें हैं। बीजगणित के मुख्य प्रमेय में इन जड़ों की तलाश कैसे की जाती है, कहा नहीं गया है।
2. लगभग किसी भी ज्यामिति की समस्या को हल किया जा सकता है, अर्थात एक एल्गोरिथ्म है जो यह पता लगाता है कि कुछ ज्यामितीय कथन सही है या गलत।
3. एक सतत फ़ंक्शन एक कॉम्पैक्ट सेट पर अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों तक पहुंचता है (यूक्लिडियन एन-डायमेंशनल स्पेस में, यह एक बाउंडेड और बंद सेट है। उदाहरण के लिए, आर में यह एक सेगमेंट है। लेकिन अंतराल अब बंद नहीं है, और उदाहरण के लिए, अंतराल (0, 1), फ़ंक्शन 1 पर है। / x अपना सबसे बड़ा मूल्य नहीं लेता है)।

यही है, कार्य वास्तव में अक्सर उत्पन्न होते हैं।

तो उनके बारे में क्या बुरा है?

मानव विकास के इस स्तर पर कार्य संख्या 1 में कुछ भी गलत नहीं है। हम कह सकते हैं कि हम इसे काफी प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं। डिग्री <5 के समीकरण रेडिकल में हल करने योग्य हैं (यानी, सटीक मूल मान पाए जा सकते हैं)। यह साबित होता है कि डिग्री> 4 के समीकरण रेडिकल में हल करने योग्य नहीं हैं (अर्थात्, विशिष्ट समीकरण जिन्हें हल नहीं किया जा सकता है) दिए गए हैं, इसके लिए गैल्विस समूहों का उपयोग किया जाता है। लेकिन ऐसा होता है कि हमें अभी भी समीकरण की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, 100 वीं डिग्री। लेकिन वे पहले से ही जानते हैं कि इस एल्गोरिदम को कैसे हल किया जाए, अर्थात् - सभी जड़ों को मनमाने ढंग से उच्च सटीकता के साथ देखने के लिए। अगर किसी को विश्वास नहीं है - wolframalpha.com

टास्क नंबर 2 थोड़ा और दिलचस्प है। सामान्यतया, यह टार्स्की - सेडेनबर्ग प्रमेय का परिणाम है। प्रमाण सरल है, यह उन छात्रों को भी बताया जा सकता है जो एक स्तंभ में बहुपद और भाजित बहुपद का व्युत्पन्न लेना जानते हैं। संक्षेप में और सरल रूप से, प्रमेय का सार यह है कि क्वांटिफायर को वास्तविक संख्याओं में बहुपद के किसी भी अभिव्यक्ति से हटाया जा सकता है ("कोई x है", "किसी भी x के लिए")।
उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति: "x x है कि x ^ 2 + px + q = 0." यानी हमें पूछा जाता है कि इस तरह के द्विघात समीकरण की जड़ें कब हैं। हम इसे जानते हैं जब p ^ 2 - 4q> = 0 (ध्यान दें कि यहां कोई मात्रा निर्धारित नहीं है!)। प्रमेय का विचार यह है कि आप एक एल्गोरिथ्म लिख सकते हैं जो हमारे लिए यह पता लगाएगा, और डिग्री महत्वपूर्ण नहीं है।
यह ज्यामिति से कैसे संबंधित है? लेकिन कैसे, लगभग किसी भी बयान को एक समन्वय प्रणाली शुरू करने और क्वांटिफायर के एक गुच्छा को लटकाकर लिखा जा सकता है। विचार यह है कि जब हम क्वांटिफायर को "मार" देते हैं, तो हमारे पास एक चर शेष होता है। और जब हमारे पास कोई चर नहीं बचेगा, तो हमें फॉर्म 5> 3 की अभिव्यक्ति मिलेगी, जिसकी सच्चाई हम सभी पहले से ही जानते हैं।
Pff, तो यह पता चला कि ज्यामिति एक तुच्छ विज्ञान है? एक एल्गोरिथ्म है जो यह पता लगाएगा: एक बयान सही है, या गलत है। संभवतः कुछ गणितज्ञ ऐसा सोचते थे, लेकिन इतना सरल नहीं था। यदि हम x ^ 2 + px + q = 0 के साथ एक उदाहरण पर विचार करते हैं, तो एक क्वांटिफायर को "मारने" के लिए, हमें काफी बड़ी संख्या में चरणों की आवश्यकता होती है। और कुछ इसी तरह से सार्थक ज्यामितीय प्रमेय साबित करने के लिए, पृथ्वी के अस्तित्व के समय की तुलना में समय लगेगा।
लेकिन शायद हम किसी तरह गलत फैसला लेते हैं? वास्तव में, यह साबित होता है कि कोई प्रभावी एल्गोरिथ्म नहीं है जो इस समस्या को हल करता है।
हुर्रे, ज्यामिति तुच्छ नहीं है। फूह, इसे सुलझा लिया। हम और आगे जा रहे हैं।

टास्क 3 सब कुछ कैसा था

यहाँ मैं आपको एक छोटी पृष्ठभूमि बताऊंगा। सामान्य तौर पर, गणित एक काफी सार विज्ञान है, इसलिए गर्मियों में मैंने वित्त तैयार करने का फैसला किया और coursera.org पर एक ऑनलाइन पाठ्यक्रम लिया। वहां, शेयरों को अच्छी तरह से सुलझाया गया, हां और कैसे। लेकिन शिक्षक अक्सर कहते थे कि हमेशा एक विकल्प होता है, या तो आपके पास एक बड़ा जोखिम और एक बड़ी आय, या एक छोटा जोखिम और कम आय है। मैं सोच रहा था, क्या कोई बीच का मैदान है? क्या एन कंपनियों से स्टॉक चुनना संभव है ताकि आपके पास कम जोखिम और उच्च आय हो? इस समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म लिखना अच्छा होगा। शब्दांकन स्पष्ट है, अब विवरण।

उस व्यक्ति के लिए जो इस मामले में जानकार नहीं है, ऐसा लगेगा कि जोखिम रैखिक है, आय रैखिक है - और इसका फैसला करने के लिए क्या है? जो भी हो, जोखिम को अधिक चालाक तरीका माना जाता है, क्योंकि कंपनियां आपस में जुड़ी होती हैं। सौभाग्य से, अंतिम जोखिम को दूसरी डिग्री के बहुपद के रूप में माना जाता है, लेकिन निश्चित रूप से एन चर से, जहां एन कंपनियों की संख्या है।
ठीक है, अब जोखिम और राजस्व से कैसे संबंधित हैं? यदि जोखिम, उदाहरण के लिए, 5% है, और $ 100 की आय 10% के जोखिम से बेहतर है, और $ 150 की आय, या इससे भी बदतर है? मोटे तौर पर, आप औसत जोखिम की गणना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए 10%, औसत आय, उदाहरण के लिए $ 200 और जोखिम का 1 प्रतिशत $ 20 (200/10) के बराबर है। उम, और इसने हमें क्या दिया? लेकिन यहां तथ्य यह है कि हमारे पास एन कंपनियां हैं। इक्विटी अनुपात - X1, x2, ..., xN। फिर जोखिम को कुछ बहुपद के रूप में माना जाता है (जिनमें से प्रत्येक मोनोमियल दूसरी डिग्री से अधिक नहीं है), और आय रैखिक रूप से माना जाता है। हम सुधार कारक (आय "+" के साथ आय, "-" के साथ जोखिम) से गुणा करके, एक समीकरण को दूसरे से लेते और घटाते हैं। यह अंतिम सूत्र होगा जिसके लिए आपको अधिकतम खोजने की आवश्यकता है। वैसे, हमारे पास एक सीमा है कि X1 + x2 + ... + xN = 1, X1> = 0, ..., xN> = 0।

अब हम समस्या का विश्लेषण करने का प्रयास करेंगे। एक गणितज्ञ के रूप में, मैं तुरंत एन-आयामी अंतरिक्ष पर विचार करने के लिए विचार के साथ आया, वहां हमारे पास इस X1 + x2 + ... + xN = 1, X1> = 0, ..., xN> = 0 और बहुपद जैसे एक कॉम्पैक्ट सेट है। दूसरी डिग्री। Pff, हाँ, सब कुछ प्राथमिक है - मैंने सोचा। हम जानते हैं कि एक कॉम्पैक्ट समीकरण पर सबसे बड़ा मूल्य लगता है, और या तो इस बिंदु पर ढाल शून्य है, या सीमा पर अधिकतम झूठ है, अर्थात। आपको यह और वह दोनों जांचने की आवश्यकता है। इन विचारों के साथ, मैंने लगभग एक महीने के लिए कार्य को वापस फेंक दिया। लेकिन कुछ अकेला नहीं छोड़ा। खाली समय था, एक मनमाना समीकरण लिया गया था, कागज और कलम। ओप्पा - हाँ, मेरा समाधान (एन!) - फैक्टरियल के लिए काम करता है। यदि इसे कंप्यूटर पर लागू किया जाता है, तो 100 कंपनियों के लिए यह सौर प्रणाली के अस्तित्व की तुलना में अधिक समय तक काम करेगा। संक्षिप्त स्पष्टीकरण: जब हम एक कॉम्पैक्ट की सीमाओं की जांच करते हैं, तो हम एन-आयामी स्थान से एन (एन -1) के-आयामी स्थानों तक जाते हैं। भयानक - मैंने सोचा, लेकिन मैंने समस्या को हल करने की उम्मीद नहीं खोई।

चतुर गणितज्ञों के बीच घूमना और उनके बारे में पूछना, मैंने असमानताओं के लिए लैगरेंज गुणक विधि के बारे में सीखा (हम केवल समीकरणों के लिए गए थे)। और इसलिए वह इस समस्या को प्रभावी ढंग से हल करता है। आप विकिपीडिया पर थोड़ा पढ़ सकते हैं।

एक समाधान के अस्तित्व पर रोक नहीं है, लेकिन अंत में जाएं। नए साल में शुभकामनाएँ :)!
पढ़ने के लिए धन्यवाद!