हब सहित इंटरनेट पर, आप कलमन फ़िल्टर के बारे में बहुत सारी जानकारी पा सकते हैं। लेकिन स्वयं सूत्र के आसानी से पचने योग्य निष्कर्ष निकालना कठिन है। एक निष्कर्ष के बिना, यह सभी विज्ञान एक प्रकार का छायावाद माना जाता है, सूत्र प्रतीकों के एक फेसलेस सेट की तरह दिखते हैं, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि सिद्धांत की सतह पर झूठ बोलने वाले कई सरल विवरण समझ से परे हैं। इस लेख का उद्देश्य संभव सबसे सुलभ भाषा में इस फिल्टर के बारे में बात करना होगा।
कलमन फ़िल्टर एक शक्तिशाली डेटा फ़िल्टरिंग उपकरण है। इसका मुख्य सिद्धांत यह है कि फ़िल्टर करते समय, घटना के भौतिकी के बारे में जानकारी का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप कार के स्पीडोमीटर से डेटा को फ़िल्टर करते हैं, तो मशीन की जड़ता आपको माप त्रुटि के रूप में गति में बहुत तेज कूदने का अधिकार देती है। कलमन फिल्टर उस लिहाज से दिलचस्प है, एक लिहाज से यह सबसे अच्छा फिल्टर है। हम नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे कि वास्तव में "सर्वश्रेष्ठ" शब्दों का क्या अर्थ है। लेख के अंत में मैं दिखाऊंगा कि कई मामलों में सूत्र इस हद तक सरल हो सकते हैं कि उनमें से लगभग कुछ भी नहीं बचता है।

शैक्षिक कार्यक्रम

कलमन फिल्टर से परिचित होने से पहले, मैं संभावना सिद्धांत से कुछ सरल परिभाषाओं और तथ्यों को याद करने का सुझाव देता हूं।

यादृच्छिक चर

जब वे कहते हैं कि एक यादृच्छिक चर दिया जाता है

, उनका मतलब है कि यह मान यादृच्छिक मान ले सकता है। यह अलग-अलग संभावनाओं के साथ अलग-अलग मूल्य लेता है। जब आप फेंकते हैं, कहते हैं, एक हड्डी, मूल्यों का एक असतत सेट बाहर निकल जाएगा:

। जब यह आता है, उदाहरण के लिए, एक भटकने वाले कण की गति के लिए, तो, जाहिर है, हमें मूल्यों के निरंतर सेट से निपटना होगा। एक यादृच्छिक चर के "बाहर गिर गया" मान

हम द्वारा निरूपित करेंगे

लेकिन कभी-कभी, हम उसी अक्षर का उपयोग करेंगे, जिसे हम एक यादृच्छिक चर का संकेत देते हैं:

मूल्यों के निरंतर सेट के मामले में, एक यादृच्छिक चर संभावना घनत्व की विशेषता है

, जो हमें संकेत देता है कि एक बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में एक यादृच्छिक चर "ड्रॉप आउट" होने की संभावना

लंबाई

के बराबर है

। जैसा कि हम चित्र से देखते हैं, यह संभावना ग्राफ के नीचे रची आयत के क्षेत्रफल के बराबर है:

जीवन में अक्सर, यादृच्छिक चर को गॉस के अनुसार वितरित किया जाता है, जब संभावना घनत्व होता है

।

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन

एक बिंदु पर केंद्रित घंटी की तरह आकार

और आदेश की एक विशेषता चौड़ाई के साथ

।
एक बार जब हम गौसियन वितरण के बारे में बात करते हैं, तो यह उल्लेख करना पाप नहीं होगा कि यह कहां से आया है। साथ ही संख्या

और

दृढ़ता से गणित में स्थापित और सबसे अप्रत्याशित स्थानों में पाए जाते हैं, और गाऊसी वितरण की संभावना सिद्धांत में गहरी जड़ें हैं। गौसियन सर्वव्यापीता को आंशिक रूप से समझाने वाला एक उल्लेखनीय कथन यह है:
एक यादृच्छिक चर होने दें

एक मनमाना वितरण होने (वास्तव में, इस मनमानी पर कुछ प्रतिबंध हैं, लेकिन वे पूरी तरह से कठोर नहीं हैं)। खींचना

प्रयोगों और राशि की गणना

एक यादृच्छिक चर के "बाहर गिरा दिया" मान। हम ऐसे कई प्रयोग करेंगे। यह स्पष्ट है कि हर बार हमें राशि का एक अलग मूल्य प्राप्त होगा। दूसरे शब्दों में, यह योग अपने स्वयं के विशिष्ट वितरण कानून के साथ एक यादृच्छिक चर है। यह पता चला है कि पर्याप्त रूप से बड़े के लिए

इस राशि का वितरण कानून गौसियन वितरण को जाता है (वैसे, "घंटी" की विशेषता चौड़ाई के रूप में बढ़ता है)

)। हम विकिपीडिया पर अधिक विस्तार से पढ़ते हैं: केंद्रीय सीमा प्रमेय । जीवन में, बहुत बार ऐसी मात्राएँ होती हैं जिनमें बड़ी संख्या में समान रूप से वितरित स्वतंत्र यादृच्छिक चर होते हैं, और इसलिए गॉस के अनुसार वितरित किए जाते हैं।

औसत मूल्य

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य वह है जो हमें सीमा में मिलता है यदि हम बहुत सारे प्रयोग करते हैं और जो मान गिर गए हैं उनके अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। माध्य का अलग अर्थ है: गणितज्ञों द्वारा निरूपित करना पसंद है

(उम्मीद या मतलब मूल्य), और विदेशी गणितज्ञों के माध्यम से

(अपेक्षा)। के माध्यम से भौतिक विज्ञानी

या

। हम एक विदेशी तरीके से निरूपित करेंगे:

।
उदाहरण के लिए, गौसियन वितरण के लिए

, औसत मूल्य है

।

फैलाव

गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन के मामले में, हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि रैंडम वैरिएबल अपने मूल्य मूल्य के पड़ोस में गिरना पसंद करता है

।

एक बार फिर गौसियन वितरण की प्रशंसा करें

जैसा कि ग्राफ से देखा जा सकता है, क्रम मूल्यों की विशेषता बिखराव

। यदि हम इसके वितरण को जानते हैं, तो एक मनमाने ढंग से यादृच्छिक चर के लिए मूल्यों के इस बिखराव का मूल्यांकन कैसे करें। आप इसकी संभावना घनत्व का एक ग्राफ खींच सकते हैं और आंख से विशेषता चौड़ाई का अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम बीजीय पथ के साथ जाना पसंद करते हैं। आप औसत मान से विचलन की औसत लंबाई (मॉड्यूल) पा सकते हैं:

। यह मान मूल्यों के चारित्रिक प्रसार का एक अच्छा अनुमान होगा।

। लेकिन आप और मैं बहुत अच्छी तरह से जानते हैं कि सूत्रों में मॉड्यूल का उपयोग करना एक सिरदर्द है, इसलिए इस सूत्र का उपयोग शायद ही कभी विशेषता बिखराव के मूल्यांकन के लिए किया जाता है।
एक सरल तरीका (गणना के अर्थ में सरल) खोजना है

। इस मान को फैलाव कहा जाता है, और इसे अक्सर कहा जाता है

। विचरण की जड़ एक यादृच्छिक चर के प्रसार का एक अच्छा अनुमान है। प्रसरण की जड़ को मानक विचलन भी कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, गौसियन वितरण के लिए

यह माना जा सकता है कि ऊपर परिभाषित विचरण

बिल्कुल बराबर

, जिसका अर्थ है मानक विचलन

, जो हमारे ज्यामितीय अंतर्ज्ञान के साथ बहुत सुसंगत है।
वास्तव में, यहां थोड़ा धोखाधड़ी छिपी हुई है। तथ्य यह है कि गौसियन वितरण की परिभाषा में, प्रतिपादक के तहत अभिव्यक्ति है

। हर में यह दो मानक विचलन के लिए ठीक खड़ा है

बराबर होगा

। यही है, गॉसियन वितरण सूत्र स्वयं एक रूप में विशेष रूप से लिखा गया है जो हम इसके मानक विचलन पर विचार करेंगे।

स्वतंत्र रैंडम चर

रैंडम वैरिएबल निर्भर हैं और नहीं। कल्पना करें कि आप एक विमान पर एक सुई फेंकते हैं और दोनों सिरों के निर्देशांक रिकॉर्ड करते हैं। ये दो निर्देशांक निर्भर हैं, वे इस शर्त से जुड़े हैं कि उनके बीच की दूरी हमेशा सुई की लंबाई के बराबर होती है, हालांकि वे यादृच्छिक चर हैं।
यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं यदि उनमें से पहले के नुकसान का परिणाम उनमें से दूसरे के नुकसान के परिणाम से पूरी तरह से स्वतंत्र है। यदि यादृच्छिक चर

और

स्वतंत्र, तब उनके उत्पाद का औसत मूल्य उनके औसत मूल्यों के उत्पाद के बराबर होता है:

सबूत

उदाहरण के लिए, नीली आँखें होना और स्वर्ण पदक के साथ स्कूल से स्नातक होना स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। अगर नीली आंखों वाला, तो कहने दो

और स्वर्ण पदक विजेता

नीली आंखों वाले पदकधारी

यह उदाहरण हमें बताता है कि यदि यादृच्छिक चर

और

उनकी संभावना घनत्व द्वारा दी गई

और

, फिर इन मात्राओं की स्वतंत्रता इस तथ्य में व्यक्त की जाती है कि संभावना घनत्व

(पहला मूल्य बाहर गिर गया

और दूसरा

) सूत्र द्वारा पाया जाता है:

यह तुरंत इस प्रकार है कि:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सबूत यादृच्छिक चर के लिए किया जाता है जिसमें मूल्यों का एक निरंतर स्पेक्ट्रम होता है और उनकी संभावना घनत्व द्वारा दी जाती है। अन्य मामलों में, सबूत का विचार समान है।

कलमन फ़िल्टर

समस्या का बयान

द्वारा निरूपित करें

वह मान जिसे हम मापेंगे और फिर फ़िल्टर करेंगे। यह एक समन्वय, गति, त्वरण, आर्द्रता, बदबू डिग्री, तापमान, दबाव, आदि हो सकता है।
हम एक साधारण उदाहरण से शुरू करते हैं, जो हमें सामान्य समस्या के सूत्रीकरण की ओर ले जाएगा। कल्पना कीजिए कि हमारे पास एक रेडियो-नियंत्रित मशीन है जो केवल आगे और पीछे जा सकती है। कार, आकार, सड़क की सतह, आदि के वजन को जानने के बाद, हमने गणना की कि नियंत्रण जॉयस्टिक गति को कैसे प्रभावित करता है

।

फिर मशीन का समन्वय कानून के अनुसार बदल जाएगा:

वास्तविक जीवन में, हम अपनी गणना में कार (हवा, सड़क पर कंकड़, कंकड़) पर काम करने वाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों को ध्यान में नहीं रख सकते हैं, इसलिए कार की वास्तविक गति की गणना एक से अलग होगी। लिखित समीकरण के दाईं ओर एक यादृच्छिक चर जोड़ा जाएगा

हमारे पास एक जीपीएस-माउंटेड सेंसर है जो सच्चे समन्वय को मापने की कोशिश करता है

कारें, और निश्चित रूप से, इसे सुनिश्चित करने के लिए माप नहीं सकते हैं, लेकिन एक त्रुटि के साथ उपाय करते हैं

, जो एक यादृच्छिक चर भी है। परिणामस्वरूप, हमें सेंसर से गलत डेटा मिलता है:

कार्य यह है कि, गलत सेंसर रीडिंग को जानना

मशीन के सही समन्वय के लिए एक अच्छा अनुमान लगाएं

। इस अच्छे सन्निकटन को निरूपित किया जाएगा

।
समन्वय के लिए, सामान्य समस्या के निर्माण में

कुछ भी जवाब दे सकता है (तापमान, आर्द्रता ...), और बाहर से सिस्टम को नियंत्रित करने के लिए जिम्मेदार सदस्य हम नामित करेंगे

(एक मशीन के साथ उदाहरण में

)। समन्वय और सेंसर रीडिंग के समीकरण इस तरह दिखेंगे:

(1)

आइए विस्तार से चर्चा करें कि हम क्या जानते हैं:

एक ज्ञात मात्रा है जो एक प्रणाली के विकास को नियंत्रित करती है। हम उसे हमारे भौतिक मॉडल से जानते हैं।
मॉडल त्रुटि और सेंसर त्रुटि - यादृच्छिक चर। और उनके वितरण कानून समय पर (पुनरावृत्ति संख्या पर) निर्भर नहीं करते हैं )।
औसत त्रुटि मान शून्य हैं: ।
यादृच्छिक चर के वितरण का बहुत नियम हमें ज्ञात नहीं हो सकता है, लेकिन उनके परिवर्तन ज्ञात हैं और । ध्यान दें कि संस्करण स्वतंत्र हैं , क्योंकि वितरण के नियम इस पर निर्भर नहीं हैं।
यह माना जाता है कि सभी यादृच्छिक त्रुटियां एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं: समय पर क्या त्रुटि होगी समय में एक और बिंदु पर पूरी तरह से त्रुटि से मुक्त ।

यह ध्यान देने योग्य है कि फ़िल्टरिंग कार्य एक चौरसाई कार्य नहीं है। हम सेंसर से डेटा को सुचारू करने का प्रयास नहीं करते हैं, हम वास्तविक समन्वय के निकटतम मूल्य प्राप्त करने का प्रयास करते हैं

।

कलमन एल्गोरिदम

हम प्रेरण द्वारा कारण करेंगे। उस पर कल्पना कीजिए

कदम में हम पहले से ही सेंसर से फ़िल्टर किया गया मान पाया

जो अच्छी तरह से सिस्टम के सही समन्वय का अनुमान लगाता है

। मत भूलो कि हम अज्ञात समीकरण में परिवर्तन को नियंत्रित करने वाले समीकरण को जानते हैं:

इसलिए, सेंसर से अभी तक मूल्य प्राप्त नहीं किया गया है, हम इसे कदम पर मान सकते हैं

प्रणाली इस कानून के अनुसार विकसित होती है और सेंसर कुछ के करीब दिखाएगा

। दुर्भाग्य से, अब तक हम कुछ भी अधिक सटीक नहीं कह सकते हैं। दूसरी ओर, कदम में

हमारे पास एक गलत सेंसर रीडिंग होगी

।
कलामान का विचार सही समन्वय के लिए सबसे अच्छा अनुमान प्राप्त करना है

हमें पढ़ने के बीच बीच का मैदान चुनना चाहिए

गलत सेंसर और

- हम उससे क्या देखने की उम्मीद करते हैं की हमारी भविष्यवाणी। सेंसर हम वजन देंगे

और अनुमानित मूल्य वजन रहेगा

फ़ैक्टर

जिसे कलमन गुणांक कहा जाता है। यह चलना कदम पर निर्भर करता है, इसलिए इसे लिखना अधिक सही होगा

लेकिन अभी के लिए, इसलिए गणना सूत्रों को अव्यवस्थित करने के लिए नहीं, हम इसके सूचकांक को छोड़ देंगे।
हमें कलमन गुणांक चुनना चाहिए

ताकि परिणामी इष्टतम समन्वय मूल्य हो

सही समन्वय के सबसे करीब होगा

। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि हमारा सेंसर बहुत सटीक है, तो हम इसके पढ़ने पर भरोसा करेंगे और मूल्य देंगे

अधिक वजन (

एक के करीब)। यदि संवेदक, इसके विपरीत, बिल्कुल सटीक नहीं है, तो हम सैद्धांतिक रूप से अनुमानित मूल्य पर अधिक ध्यान केंद्रित करेंगे

।
सामान्य तौर पर, कलमन गुणांक का सटीक मान ज्ञात करने के लिए

, आपको बस त्रुटि को कम करने की आवश्यकता है:

हम त्रुटि के लिए अभिव्यक्ति को फिर से लिखने के लिए समीकरणों (1) (नीले रंग की पृष्ठभूमि पर बनाए गए) का उपयोग करते हैं:

सबूत

अब चर्चा करने का समय है कि त्रुटि को कम करने का क्या मतलब है? आखिरकार, एक त्रुटि, जैसा कि हम देखते हैं, अपने आप में एक यादृच्छिक चर है और हर बार अलग-अलग अर्थ लेता है। वास्तव में, यह निर्धारित करने के लिए कोई स्पष्ट दृष्टिकोण नहीं है कि त्रुटि न्यूनतम है या नहीं। जिस तरह एक यादृच्छिक चर के फैलाव के मामले में, जब हमने इसके फैलाव की विशेषता चौड़ाई का अनुमान लगाने की कोशिश की, तो यहां हम गणना के लिए सबसे सरल मानदंड चुनते हैं। हम चुकता त्रुटि के औसत मूल्य को कम करेंगे:

हम अंतिम अभिव्यक्ति लिखते हैं:

प्रमाण की कुंजी

इस तथ्य से कि के लिए अभिव्यक्ति में सभी यादृच्छिक चर

स्वतंत्र हैं और सेंसर और मॉडल की त्रुटियों के औसत मान शून्य के बराबर हैं:

, यह निम्नानुसार है कि सभी "क्रॉस" शब्द शून्य के बराबर हैं:

।
इसके अलावा, विभिन्न रूपों के लिए सूत्र बहुत सरल लगते हैं:

और

(के बाद से

)

यह अभिव्यक्ति न्यूनतम मान लेती है (जब हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं)

यहां हम पहले से ही चरण सूचकांक के साथ कलमन गुणांक के लिए एक अभिव्यक्ति लिख रहे हैं

, इसलिए हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह चलना कदम पर निर्भर करता है।
मानक त्रुटि के लिए अभिव्यक्ति में स्थानापन्न

कलमन गुणांक के अपने मूल्य को कम करना

। हमें मिलता है:

।

हमारी समस्या हल हो गई है। हमें कलमान गुणांक की गणना करने के लिए एक पुनरावृत्ति सूत्र मिला।

एक ही स्थान पर सभी सूत्र

उदाहरण

लेख की शुरुआत में विज्ञापन की तस्वीर पर, डेटा को काल्पनिक कार पर स्थापित एक काल्पनिक जीपीएस सेंसर से फ़िल्टर किया जाता है, जो एक ज्ञात काल्पनिक त्वरण के साथ समान रूप से त्वरित रूप से यात्रा करता है

।

फ़िल्टरिंग परिणाम पर फिर से देखें।

मतलाब कोड

clear all; N=100 % number of samples a=0.1 % acceleration sigmaPsi=1 sigmaEta=50; k=1:N x=k x(1)=0 z(1)=x(1)+normrnd(0,sigmaEta); for t=1:(N-1) x(t+1)=x(t)+a*t+normrnd(0,sigmaPsi); z(t+1)=x(t+1)+normrnd(0,sigmaEta); end; %kalman filter xOpt(1)=z(1); eOpt(1)=sigmaEta; % eOpt(t) is a square root of the error dispersion (variance). It's not a random variable. for t=1:(N-1) eOpt(t+1)=sqrt((sigmaEta^2)*(eOpt(t)^2+sigmaPsi^2)/(sigmaEta^2+eOpt(t)^2+sigmaPsi^2)) K(t+1)=(eOpt(t+1))^2/sigmaEta^2 xOpt(t+1)=(xOpt(t)+a*t)*(1-K(t+1))+K(t+1)*z(t+1) end; plot(k,xOpt,k,z,k,x)

के विश्लेषण

यदि आप चलना कदम के साथ पालन करते हैं

कलमन गुणांक में परिवर्तन

, तो यह दिखाया जा सकता है कि यह हमेशा एक निश्चित मूल्य पर स्थिर होता है

। उदाहरण के लिए, जब सेंसर और मॉडल की माध्य-वर्ग त्रुटियां दस से एक के रूप में एक-दूसरे से संबंधित होती हैं, तो कलमन गुणांक का ग्राफ पुनरावृति कदम के आधार पर इस तरह दिखता है:

निम्नलिखित उदाहरण में, हम चर्चा करेंगे कि यह कैसे हमारे जीवन को आसान बनाने में मदद करेगा।

दूसरा उदाहरण

व्यवहार में, अक्सर ऐसा होता है कि हम जो फ़िल्टर कर रहे हैं उसके भौतिक मॉडल के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। उदाहरण के लिए, आप अपने पसंदीदा एक्सेलेरोमीटर से रीडिंग फ़िल्टर करना चाहते थे। आप पहले से नहीं जानते हैं कि आप एक्सीलरोमीटर को मोड़ने के लिए किस कानून का इरादा रखते हैं। अधिकतम जानकारी जो आपको मिल सकती है, वह सेंसर एरर का विचरण है।

। ऐसी मुश्किल स्थिति में, मोशन मॉडल के सभी अज्ञान को यादृच्छिक मूल्य में संचालित किया जा सकता है

लेकिन, स्पष्ट रूप से, इस तरह की प्रणाली अब उन स्थितियों को पूरी तरह से संतुष्ट नहीं करती है जिन्हें हमने एक यादृच्छिक चर पर लगाया था

, क्योंकि अब गति के सभी भौतिकी हमारे लिए अज्ञात है, और इसलिए हम यह नहीं कह सकते हैं कि विभिन्न बिंदुओं पर समय में मॉडल त्रुटियां एक-दूसरे से स्वतंत्र होती हैं और उनका औसत मान शून्य के बराबर होता है। इस मामले में, बड़े और कलमन फ़िल्टर सिद्धांत पर लागू नहीं है। लेकिन, हम इस तथ्य पर ध्यान नहीं देंगे, लेकिन, हम मूर्खतापूर्ण रूप से सभी गुणसूत्रों को लागू करते हैं, गुणांक का चयन करते हैं

और

आँख से, ताकि फ़िल्टर्ड डेटा अच्छा लगे।
लेकिन आप एक अलग, बहुत सरल तरीके से जा सकते हैं। जैसा कि हमने ऊपर देखा, कलमन गुणांक है

बढ़ते कदम संख्या के साथ

हमेशा स्थिर रहता है

। इसलिए, गुणांक का चयन करने के बजाय

और

और जटिल सूत्रों द्वारा जटिल कलमन गुणांक का पता लगाएं

, हम मान सकते हैं कि यह गुणांक हमेशा एक स्थिर है, और केवल इस स्थिरांक का चयन करें। यह धारणा लगभग कुछ भी नहीं बिगाड़ती है। सबसे पहले, हम पहले से ही कलमन सिद्धांत का अवैध रूप से उपयोग करते हैं, और दूसरी बात, कलमैन गुणांक जल्दी से स्थिर हो जाता है। नतीजतन, सब कुछ बहुत सरल हो जाएगा। सामान्य तौर पर, हमें Kalman के सिद्धांत से किसी भी सूत्र की आवश्यकता नहीं है, हमें केवल एक स्वीकार्य मूल्य खोजने की आवश्यकता है

और पुनरावृति सूत्र में चिपकाएँ:

निम्नलिखित ग्राफ दो अलग-अलग तरीकों से फ़िल्टर किए गए काल्पनिक सेंसर से डेटा दिखाता है। बशर्ते कि हम घटना के भौतिकी के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। पहला तरीका ईमानदार है, कलमैन के सिद्धांत के सभी सूत्रों के साथ। और दूसरा बिना सूत्रों के सरल है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, तरीके लगभग अलग नहीं हैं। एक छोटा सा अंतर केवल शुरुआत में मनाया जाता है, जब कलमन गुणांक अभी तक स्थिर नहीं हुआ है।

चर्चा

जैसा कि हमने देखा, कलमन फ़िल्टर का मुख्य विचार गुणांक को खोजना है

फ़िल्टर किया गया मान

औसत पर, वास्तविक समन्वय मूल्य से कम से कम भिन्न होगा

। हम देखते हैं कि फ़िल्टर किया गया मान

सेंसर रीडिंग का एक रैखिक कार्य होता है

और पिछले फ़िल्टर किए गए मान

। और पिछला फ़िल्टर किया गया मान

बदले में, सेंसर पढ़ने का एक रैखिक कार्य करता है

और पिछले फ़िल्टर किए गए मान

। और इसी तरह, जब तक श्रृंखला पूरी तरह से तैनात नहीं हो जाती। अर्थात्, फ़िल्टर किया गया मान रैखिक रूप से सभी पिछले सेंसर रीडिंग पर निर्भर करता है:

इसलिए, कलमन फ़िल्टर को एक रैखिक फ़िल्टर कहा जाता है।
यह साबित किया जा सकता है कि सभी रैखिक फिल्टर, कलमन फ़िल्टर सबसे अच्छा है। इस अर्थ में सबसे अच्छा है कि फ़िल्टर त्रुटि का औसत वर्ग न्यूनतम है।

बहुआयामी मामला

पूरे कलमन फ़िल्टर सिद्धांत को बहुआयामी मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है। वहाँ के सूत्र थोड़े ख़राब लगते हैं, लेकिन उनकी व्युत्पत्ति का विचार वैसा ही है जैसा कि एक आयामी मामले में होता है। इस अद्भुत लेख में आप उन्हें देख सकते हैं: http://habrahabr.ru/post/140274/
और इस अद्भुत वीडियो में, उनका उपयोग करने के तरीके का एक उदाहरण का विश्लेषण किया गया है।

साहित्य

कलमन का मूल लेख यहां डाउनलोड किया जा सकता है: http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf ।
इस पोस्ट को अंग्रेजी में http://david.wf/kalmanfilter पर भी पढ़ा जा सकता है

कलमन फ़िल्टर

शैक्षिक कार्यक्रम

यादृच्छिक चर

औसत मूल्य

फैलाव

स्वतंत्र रैंडम चर

कलमन फ़िल्टर

समस्या का बयान

कलमन एल्गोरिदम

उदाहरण

के विश्लेषण

दूसरा उदाहरण

चर्चा

बहुआयामी मामला

साहित्य

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