🛴 🚽 🙏🏻 गणितीय त्रुटियों के देश में मिलान, या ऐलिस तोड़ना ⛷️ 👊🏾 🚍

मेरा एक पसंदीदा पहेली मंच है। मैं हाल ही में वहाँ निम्नलिखित कार्य में आया था:

एक बार वस्या अपनी रसोई में बैठ गई और कुछ नहीं करने के लिए कुछ नहीं तोड़ दिया। तोड़ना, तोड़ना और सोचना - क्या संभावना है कि कम से कम एक मैच बीच में ही टूट जाए? वास्या के लिए मैचों की आपूर्ति असीमित है।

मैंने जल्दी से साबित कर दिया कि इस घटना की संभावना शून्य है। अपने आप पर गर्व है, मैंने एक निर्णय और एक जवाब पोस्ट किया है, कर्म में एक प्लस साइन की उम्मीद है। हालांकि, यह पता चला कि लेखक का जवाब पूरी तरह से अलग था: 1 - 1 / ई । आगे देखते हुए, मैं कहूंगा कि यह उत्तर गलत है।

ऑनलाइन पहेली में गलत कॉपीराइट समाधान एक सामान्य घटना है। और मैं इस पोस्ट को कभी नहीं लिखूंगा यदि समस्या का लेखक, साथ ही साथ इसका गलत समाधान, ब्रिटिश तर्कशास्त्री और बीजगणितवादी चार्ल्स एल डोडसन नहीं थे, जो छद्म नाम लुईस कैरोल के तहत बेहतर ज्ञात थे।

सामान्य ज्ञान

सभी गणितज्ञ जानते हैं कि एलिस इन वंडरलैंड के लेखक एक गणितज्ञ थे। यह व्यापक रूप से जाना जाता है कि महारानी विक्टोरिया, दोनों एलिस को पढ़ते हुए, लेखक की अन्य पुस्तकों के साथ खुद को परिचित करना चाहती थीं और जब वे विश्लेषणात्मक ज्यामिति और रैखिक बीजगणित पर अपने ग्रंथों को लेकर आईं तो बहुत हैरान थीं। इन मूलभूत क्षेत्रों के अलावा, कैरोल को गणितीय पहेलियाँ और अन्य दिलचस्प चीजों में दिलचस्पी थी। 1888 में, उन्होंने "गणितीय जिज्ञासा" पुस्तक प्रकाशित की और पांच साल बाद, इसकी निरंतरता, "मिडनाइट टास्क", जिसमें से मैचों की समस्या को लिया गया (निश्चित रूप से, कोई वास्या मूल में प्रकट नहीं हुआ)। पांच साल बाद, चार्ल्स डोडसन की मृत्यु हो गई।

कैरोल का फैसला

मंच पर तैनात समाधान बहुत ही अनाड़ी था। मुझे यह अनुमान लगाना था कि लेखक क्या कहना चाहता है। फिर मैंने स्रोत की ओर रुख किया - बहुत ही पुस्तक "मिडनाइट टास्क।" मुझे दूसरी बार आश्चर्यचकित होना पड़ा: मेरे मंच के प्रतिद्वंद्वी ने एक भी शब्द का गलत अर्थ नहीं निकाला। रूसी से रूसी में अनुवाद करते हुए, मुझे निम्नलिखित जैसा कुछ मिला:

N माचिस लें, उनमें से प्रत्येक को n अंक 1 n बराबर भागों में विभाजित किया गया है। मान लीजिए कि n विषम है, और मिलान केवल चिह्नित बिंदुओं पर, और प्रत्येक पर समान संभावना के साथ टूट सकता है। फिर बीच में नहीं होने वाले मैच को तोड़ने की संभावना 1 - 1 / n है , किसी भी मैच के बीच में नहीं टूटने की संभावना 1 (1 - 1 / n) ^{n है} । अनन्तता के लिए झुकाव, हम 1 / ई प्राप्त करते हैं। तदनुसार, ठीक बीच में कम से कम एक मैच तोड़ने की संभावना 1 - 1 / ई होगी ।

यह काम क्यों नहीं कर रहा है?

अपने फैसले में, लेखक ने केवल चर n को प्रबंधित किया। वास्तव में, हमारे पास दो चर हैं: उनमें से प्रत्येक पर मैचों की संख्या और अंकों की संख्या। क्रमशः पी और क्यू द्वारा उन्हें निरूपित करें। तब संभावना है कि क्यू बिंदुओं के बीच में कोई भी पी मैच नहीं तोड़ा जाएगा एफ (पी, क्यू) = (1 - 1 / q) ^पी । जब हम पी और क्यू को अनंत तक ले जाते हैं, तो एफ संभावित वांछितता तक पहुंच जाता है ... या जल्दी नहीं?

समस्या यह है कि दो चर F के कार्य की अनंतता की कोई सीमा नहीं है। इस मामले में, हालाँकि, हम एक निश्चित प्रक्षेपवक्र के साथ अनंत की ओर बढ़ कर एक निश्चित सीमा प्राप्त कर सकते हैं (इस मामले में, कैरोल समीकरण पी = क्ष द्वारा वर्णित प्रक्षेपवक्र के साथ एक सीमा पाता है)। हालांकि, इस सीमा का मूल्य पूरी तरह से प्रक्षेपवक्र पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम n अंक चिह्नित करते हैं, लेकिन n मिलान नहीं करते हैं, लेकिन 2n, हमें संभावना (1 - 1 / n) ^{2n प्राप्त होती है} , जो सीमा में 1 / e ^{2 देती है} ।

उसी तरह, हम 1 / ई ³ , और 1 / ई ⁴² , और यहां तक कि 1 / ई ^{256 प्राप्त कर सकते हैं} । जाहिर है, चुना समाधान विधि इस कार्य के लिए उपयुक्त नहीं है।

विकलों में तेजी

दो मूलभूत कारण हैं कि यह सीमा संक्रमण मदद नहीं करता था और कैरोल को समस्या को हल करने में मदद नहीं कर सकता था (कम से कम इसे सही तरीके से हल करें)। उनमें से पहला इस प्रकार है: एक सेगमेंट पर सीमित संख्या में अंक चिह्नित करना, सीमा में हमें एक असीम, लेकिन गणनीय, उन्हें सेट करना है। इसी समय, सेगमेंट के बिंदुओं के सेट में एक शक्ति निरंतरता है, जो एक उच्चतर क्रम की अनंतता है। इस अंतर को XIX सदी के 70 के दशक में जॉर्ज कैंटर ने कहीं स्थापित किया था। हालांकि, मिडनाइट प्रॉब्लम लिखने के समय, कैंटर सेट सिद्धांत अभी तक गणितीय विश्लेषण की नींव नहीं था कि यह बाद में बन गया, और जीवनी के अनुसार कैरोल, "अपने समय के गणितीय विज्ञान के अत्याधुनिक से दूर था।" एक रास्ता या दूसरा, एक संभावित फ्रैक्चर की जगह की सीमा में भी, वे मैच पॉइंट्स का केवल एक छोटा उपसमूह बन जाते हैं।

दूसरा कारण यह है कि प्रारंभिक और सीमित मामले में, हम, वास्तव में, अलग-अलग संभावना स्थानों और संभाव्यता की विभिन्न परिभाषाओं के साथ काम कर रहे हैं। जब हम n से एक बिंदु का चयन करते हैं, तो यह असतत प्रायिकता स्थान के भीतर होता है, जबकि एक खंड पर एक बिंदु चुनना पहले से ही एक ज्यामितीय संभावना है। यहां तक कि अगर ऐसा संक्रमण सही है, तो उसे अतिरिक्त औचित्य की आवश्यकता है।

सही उत्तर क्या है?

शून्य, बिल्कुल। किसी एक बिंदु पर होने की ज्यामितीय संभावना शून्य है, यह एक में नहीं मिल रहा है। एक बार अनंत प्रयासों में एक बार नहीं मिलने की संभावना अनंतता की डिग्री में एकता के बराबर है, जो बदले में, एकता के बराबर है ...? वास्तव में नहीं। यह वही अनिश्चितता है जो शून्य से शून्य से विभाजित है। यहां और अधिक सूक्ष्म विधियों की आवश्यकता होगी।

प्रभावशाली नहीं देखने के लिए

आइए हम बताते हैं कि मनमाने ढंग से छोटे घ के लिए, आधे में कम से कम एक मैच को तोड़ने की संभावना P, d से कम है।

ग ऐसे ज्ञात करें कि 1 - d = e ^c । सटीक होने के लिए, c = ln (1 - d) । बता दें कि मैचों की एक इकाई लंबाई होती है और इन्हें क्रमांकित किया जाता है। पहले मैच के बीच में, लंबाई के एक खंड में भरें - 1 ^{c / 2} , दूसरे के बीच में - 1 की लंबाई - e ^{c / 4} , nth के बीच में - 1 की लंबाई - e ^{c / 2 ⁿ} । ध्यान दें कि c <0 ; इसलिए, सभी संकेतित लंबाई सकारात्मक होगी।

संभावना है कि छायांकित खंड से संबंधित बिंदु पर कोई मैच नहीं टूटेगा, ई ^{c / 2} * e ^{c / 4} * ... * e ^{c / 2 ⁿ} * ... = e ^{(c / 2 + c / 4 + ... + के} बराबर है ^{c / 2 ⁿ + ...)} = e ^c = 1 - d। इसलिए, संभावना है कि कम से कम एक गलती छायांकित खंड में आती है। चूंकि यदि किसी एक मैच को बीच में ही तोड़ दिया जाता है, तो गलती छायांकित खंड पर आ जाएगी, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पी <डी ।

संख्या d को मनमाने ढंग से चुना गया था। इसलिए, P किसी भी सकारात्मक संख्या से कम है, अर्थात P = 0, t.p.d.

वास्तव में

एक पेशेवर गणितज्ञ की रहस्यमय गलती ने मुझे परेशान किया, और मैंने मूल पुस्तक खोजने का फैसला किया। Google को लगभग बीस मिनट तक पीड़ा देने के बाद, मैं अभी भी वह हासिल करने में कामयाब रहा जो मैं चाहता था। मैंने क्या देखा?

पेज स्कैन

सबसे पहले, प्रस्तुति रूसी अनुवाद की तुलना में बहुत अधिक तार्किक थी, जो शुरू में मुझे बहुत अजीब लगती थी। तुलना करें, उदाहरण के लिए:

एक विफलता का मौका (एन - 1) / एन है

और

एक बिंदु पर एक मैच को तोड़ने की संभावना है (n - 1) / n

दूसरे, मूल में अनुवाद से सबूत का हिस्सा बस गायब था! विशेष रूप से, मूल्य 1 - 1 / ई को भी वहां इंगित नहीं किया गया था। इसके अलावा, एक दिलचस्प नोट था:

नायब यहाँ क्या था सोचा नहीं गया था।
महत्वपूर्ण नोट: अगले भाग को ध्यान से नहीं सोचा गया है।

यह सब इंगित करता है कि कैरोल का "गलत निर्णय" एक पूर्ण तर्क के बजाय एक मसौदा था। हमारे लिए अज्ञात कारण से, वह बस इस कार्य के लिए पर्याप्त ध्यान नहीं दे सकता था। यह गणनाओं से भी ध्यान देने योग्य है कि गणितीय विश्लेषण लेखक के विशेषज्ञता का क्षेत्र नहीं है।

इस तरह से मुझे परेशान करने वाले सवाल को स्पष्ट करते हुए, मैं हैबर पर अपनी पहली पोस्ट लिखने के लिए बैठ गया।

पोस्ट स्क्रिप्ट

मैंने इस संभावना के अस्तित्व के बारे में टिप्पणियों के बारे में सोचा। दरअसल, यह एक गंभीर समस्या है जिस पर मैंने तुरंत गौर नहीं किया।

यदि आप "चेहरे में" एक संभाव्य स्थान बनाने की कोशिश करते हैं, जिसमें ऐसी संभावना के बारे में बात करना समझ में आता है, तो एक समस्या उत्पन्न होती है, वास्तव में, माप के साथ। ऐसा लगता है कि एक गणनीय-आयामी इकाई क्यूब में एक उपयुक्त सिग्मा-योजक उपाय सेट करना उतना आसान नहीं है जितना मैं चाहूंगा।

दूसरी ओर, मैचों के अंतहीन ब्रेकिंग के दौरान किसी घटना की संभावना को निर्धारित करना संभव है क्योंकि एन मैचों को तोड़ने के लिए इस संभावना की सीमा जब एन को पता चलता है कि आप खुद कहां हैं। तब सब कुछ पूरी तरह से स्पष्ट हो जाता है, और स्पॉइलर के तहत मेरे फैसले की अब आवश्यकता नहीं है।

गणितीय त्रुटियों के देश में मिलान, या ऐलिस तोड़ना

सामान्य ज्ञान

कैरोल का फैसला

यह काम क्यों नहीं कर रहा है?

सही उत्तर क्या है?

वास्तव में

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