ठीक दो बार की तरह

संभवतः, अपने जीवन में कम से कम एक बार खाबरोवस्क नागरिकों ने इस अभिव्यक्ति को सुना। वास्तव में, क्या आसान हो सकता है? हालांकि, मैं गणितीय विश्लेषण के एक शिक्षक को जानता था, जिसने यह सुनकर उसकी मूंछों में दुर्भावनापूर्वक मुस्कुराया और इस तथ्य को साबित करने की पेशकश की। उसके बाद, स्पीकर को आमतौर पर संज्ञानात्मक असंगति का अनुभव हुआ।

और वास्तव में, कोई कैसे साबित कर सकता है कि 2 × 2 = 4? इसका जवाब हैबरात में है।

त्याग

इस लेख में एक गंभीर गणितीय शिक्षा के साथ पाठकों के लिए कुछ नया नहीं है। इसके अलावा, यह संभावना है कि यह विशुद्ध रूप से इंजीनियरिंग मानसिकता वाले लोगों के लिए दिलचस्प नहीं होगा। यह पाठ उन लोगों के लिए लिखा गया था जो गणित की नींव में रुचि रखते हैं, लेकिन जिन्हें अभी भी समझने के लिए समय और ऊर्जा नहीं मिली है।

शुरू से शुरू करो

प्राकृतिक संख्याएँ क्या हैं? सड़क पर मिले पांच लोगों में से चार जवाब देंगे: "यह एक, दो, तीन और इतने पर है।" इस उत्तर की एक और अधिक कठोर शब्दावली, जो मुझे स्कूल की पाठ्यपुस्तक में मिली, बताती है: प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति की सदस्य हैं और इनमें 1. का अंतर है। पाठ्यपुस्तक की एक और परिभाषा: ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं की संख्या को इंगित करने के लिए किया जाता है।

19 वीं शताब्दी के अंत तक, प्राकृतिक संख्याएं लगभग इस तरह से निर्धारित की गईं, या बिल्कुल भी निर्धारित नहीं की गईं, कुछ के लिए निर्भर थी। और फिर पेरोस्ट्रोका शुरू हुआ: गणित की इमारत को सेट सिद्धांत की नींव में स्थानांतरित किया जाना शुरू हुआ, और चीजें जो पहले प्राथमिक लगती थीं, अचानक कठोर औचित्य की आवश्यकता थी।

असोमोमेटिक्स पीनो

कॉमरेड गिउसेप पीनो, एक बड़ी शरारत-निर्माता और कट्टर (जो कम से कम लैटिन-ब्लू-फ्लेक्सियन के लायक है), ने प्राकृतिक संख्याओं की एक बहुत ही सरल और कॉम्पैक्ट स्वयंसिद्धता बनाई, जो आज भी उपयोग की जाती है। उसकी व्याख्या में प्राकृतिक संख्या एक " बस कनेक्ट की गई सूची " की डेटा संरचना के समान है - हालांकि अनंत।

इसलिए, प्राकृतिक संख्याएँ निम्नलिखित फ़ंक्शन के साथ सेट की जाती हैं a → इस पर दिया गया a 'a, जो निम्नलिखित तीन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

1. प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एक अद्वितीय संख्या होती है एक 'निम्नलिखित।

इस स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि हमारी एकल रूप से जुड़ी सूची अंतहीन है। ऐसा कोई तत्व नहीं है जो "अगले" फ़ील्ड में शून्य है। इसके अलावा, यह एक सूची है, न कि कुछ बाइनरी ट्री: प्रत्येक तत्व का केवल एक अगला है।

2. एक और केवल एक संख्या है, किसी अन्य का अनुसरण नहीं करना। इस संख्या को एकता कहा जाता है। शेष संख्याओं में से प्रत्येक वास्तव में एक नंबर का अनुसरण करती है ( कोज़ी के लिए धन्यवाद, मूल संस्करण में मैंने यह वाक्यांश याद किया)।

सूची में एक सिर होना चाहिए, और केवल एक। सूची को चक्रों में नहीं जाना चाहिए (तीसरे तत्व का अनुसरण दूसरे द्वारा नहीं किया जा सकता है)।

3. प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का अपना उपसमुच्चय संतोषजनक स्वयंसिद्ध 1-2 नहीं है।

इस स्वयंसिद्ध के बिना, उदाहरण के लिए, हम प्राकृतिक संख्याओं के सेट को जोड़ सकते हैं एक और यूरोबारोस संख्या जो स्वयं का अनुसरण करता है। या दो और संख्याएँ जो एक दूसरे का अनुसरण करती हैं। दूसरे शब्दों में, स्वयंसिद्ध 3 मेमोरी लीक की अनुमति नहीं देता है जो सूची के अलग-अलग टुकड़ों के कारण हो सकती है जो लिंक से नहीं पहुंच सकते हैं यदि आप सिर से जाते हैं। अगर कुछ प्राकृतिक संख्याओं से बाहर निकाला जा सकता है, तो ये प्राकृतिक संख्याएं नहीं हैं।

जोड़ और गुणा

पीनो के स्वयंसिद्धों में अंकगणितीय संचालन निर्धारित किया जाता है कोई कम दिलचस्प नहीं है। निम्नलिखित दो गुणों द्वारा जोड़ का वर्णन किया गया है:

1. 'a + b)' = a + b '
2. a '= a + 1

- और गुणा - इन दोनों के साथ:

1. a × b '= a × b + a
2. एक × 1 = ए

हैरानी की बात है कि स्कूल में पढ़ाए जाने वाले गुणन, वितरण, और अन्य गुणों और इसके गुणन के बारे में यहाँ एक शब्द भी नहीं है। ये सभी इन चार मूल लोगों से प्राप्त हुए हैं।

2 × 2 = 4

ज्ञान के साथ सशस्त्र, हम अब सबूत के लिए आगे बढ़ सकते हैं। हालांकि, पहले आपको दो चीजों को समझने की जरूरत है: 2 क्या है और 4 क्या है। दो इकाई का अनुसरण करते हैं, इसलिए 2 = 1 '। चार तीन का अनुसरण करता है, जो बदले में, दो का अनुसरण करता है, जो, जैसा कि मैंने कहा था, इकाई का अनुसरण करता है - इसलिए 4 = 1 '' ''।

तो, हमें निम्नलिखित सिद्ध करने की आवश्यकता है: 1 '× 1' = 1 '' ''।

पहले हम साबित करते हैं कि दो दो दो दो प्लस दो हैं। वास्तव में,

1 '× 1' = (1 '× 1) + 1' (पहला गुणन गुण)
1 '× 1 = 1' (दूसरी गुणा संपत्ति)
इसलिए, 1 '× 1' = 1 '+ 1'।

अब हम साबित करते हैं कि 2 + 2 = 4।

1 '+ 1' = (1 '+ 1)' (जोड़ की पहली संपत्ति)
1 '+ 1 = (1') '= 1' '(दूसरी अतिरिक्त संपत्ति)
इसलिए, 1 '+ 1' = (1``) '= 1' ''

निष्कर्ष

कोई भी साधारण बात, अगर आप इसे करीब से देखते हैं, तो थोड़ी देर के बाद यह सरल लगने लगता है। उन पर प्राकृतिक संख्या और संचालन एक अपवाद नहीं है, बल्कि एक ज्वलंत उदाहरण है। आधुनिक गणित में एक और भी अधिक जटिल और दिलचस्प तरीके से, पूर्णांक, तर्कसंगत और वास्तविक संख्याओं के सेट का निर्माण किया जाता है। लेकिन यह पूरी तरह से अलग बातचीत का विषय है।

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