क्या गणित इतना सटीक है जितना लगता है?

शायद, यह सवाल उन सभी से पूछा गया था, जिन्हें गणित में थोड़ी दिलचस्पी थी। लेख 2 x 2 = 4 को पढ़ने के बाद, यह निष्कर्ष निकाला गया कि यह विषय हबलियुदा से भी अपील कर सकता है। यह गणित, विरोधाभासों और विरोधाभासों में स्वयंसिद्धों के बारे में होगा। कौन परवाह करता है - बिल्ली में आपका स्वागत है।

इसके बजाय अग्रदूत

स्कूल में हम में से प्रत्येक ने कुछ गणितीय कथनों की वैधता पर संदेह नहीं किया। खैर यह सच है कि शिक्षक ने सच कहा। लेकिन, कठोर गणित से परिचित होने के कारण (मुझे "उच्चतर" शब्द पसंद नहीं है), हम यह समझने लगे कि जितना अधिक हम इस विषय को औपचारिक रूप देने की कोशिश करेंगे, उतना ही मुश्किल यह करना है, और कभी-कभी यह बिल्कुल भी काम नहीं करता है।

इसलिए हम वास्तविक संख्याओं से परिचित हैं, लियोपोल्ड क्रोनकर के लिए वे नहीं थे, उन्होंने कहा: "भगवान ने प्राकृतिक संख्याएं बनाईं, और बाकी सब मानव हाथों का काम है" ("मर गेनज़ेन ज़हलेन हैट लेबे गोट जेमचैट, एल्स एंड इयर आइएसटी मेन्सचेनर्क")

जॉर्ज कैंटर ने यह साबित करने के बाद कि खंड समरूप है (ए और बी, अगर उनके बीच कोई आपत्ति है) एन-डायमेंशनल स्पेस में है, तो उन्होंने घोषणा की: "मैं इसे देखता हूं, लेकिन मैं इसे नहीं मानता!" ("जे वॉयस,") माई जे नी ले क्राइस पेस! ”)

थोड़ा दर्शन

यह आलेख कुछ गणितीय सेटों, संचालन आदि के स्वयंसिद्धों पर ध्यान केंद्रित करेगा, लेकिन फिर भी एक तार्किक प्रश्न होगा, हमें स्वयंसिद्धों की आवश्यकता क्यों है? मैं एक सरल उदाहरण दूंगा। उदाहरण के लिए, रूसी भाषा और शब्द को लें, तो "देजा वु"। आइए इसका अर्थ देखें, "देजा वु एक मानसिक स्थिति है जिसमें एक व्यक्ति को लगता है कि वह एक बार एक समान स्थिति में था।" लेकिन हम सावधानीपूर्वक हैं, इसलिए अब एक शब्द के बजाय हमारे पास और भी बहुत कुछ होगा। "मानसिक", "स्थिति", "व्यक्ति", "महसूस", "समान", "स्थिति" क्या है। जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें शब्दों का एक पेड़ मिलता है, और इस तथ्य के कारण कि शब्दों की एक सीमित संख्या है जो रूसी में अर्थ रखते हैं, हमें एक पेड़ में एक रास्ता मिलता है जिसमें एक ही शब्द दो बार होता है, अर्थात्। हमने इसे अपने माध्यम से पहचाना।

यह वही है जो स्वयंसिद्ध है। हमें हमेशा एक ऐसी नींव की आवश्यकता होती है जिससे हम शुरुआत कर सकें, कुछ ऐसा जो सभी के लिए सहज रूप से स्पष्ट हो। अशुद्धि 1. गणित में, अक्सर ऐसे कथन होते हैं जो सहज होते हैं, लेकिन विरोधाभास पैदा करते हैं। उदाहरण के लिए, पसंद का स्वयंसिद्ध ( पसंद का Axiom ), लेकिन हम इस बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

अधिक बारीकियाँ। प्राकृतिक संख्याओं के पीनो स्वयंसिद्ध हैं।

एक प्रोग्रामर के रूप में, मुझे लगता है कि 0 प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित है, यह सुविधाजनक है। खैर, अब पीनो का सबसे प्रसिद्ध स्वयंसिद्ध विज्ञान है।

1. मैं एक प्राकृतिक संख्या है।
2. प्राकृतिक के बाद की संख्या भी एक प्राकृतिक है।
3. मैं किसी भी प्राकृतिक संख्या का पालन नहीं करता।
4. यदि धनात्मक पूर्णांक संख्या b और संख्या c दोनों का तुरंत अनुसरण करता है, तो b और c संयोग होता है।
5. (इंडक्शन ऑफ़ एज़िओशन) यदि 0 (इंडक्शन के आधार) के लिए कोई प्रस्ताव सिद्ध होता है और यदि यह धारणा कि यह प्राकृतिक संख्या n के लिए सही है, तो यह निम्नानुसार है कि यह n के बाद के अगले प्राकृतिक नंबर के लिए सही है (एक प्रेरण परिकल्पना), तो यह वाक्य सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सच है।

आइए इसे क्रम में जानें।
1 स्वयंसिद्ध कहते हैं कि कम से कम एक सकारात्मक पूर्णांक है। अन्यथा, हम कहेंगे कि यह आम तौर पर एक खाली सेट है और सभी स्वयंसिद्ध इसके लिए पूरे होंगे।
2 और 3 इतने स्पष्ट प्रतीत होते हैं।
4. यह स्वयंसिद्ध आवश्यक है ताकि "शाखाएं" दिखाई न दें। अन्यथा, हम कह सकते हैं कि 3 2 और 2 'का अनुसरण करते हैं, और फिर 2 और 2' क्रमशः 1 और 1 'का अनुसरण करते हैं, आदि। सिद्धांत रूप में, इस तरह के एक मॉडल को अस्तित्व का अधिकार है, लेकिन उस पर एक ऑर्डर रिलेशन शुरू करना बेहद मुश्किल है।
5. पंक्ति में पहला व्यक्ति एक महिला है। प्रत्येक महिला के बाद एक महिला है। वास्तविक जीवन में, इसका मतलब है कि पूरे मोड़ में महिलाएं शामिल हैं। और जब से हम फिर भी अधिक महत्वपूर्ण वस्तुओं का वर्णन करना चाहते हैं, हम प्रेरण के स्वयंसिद्ध परिचय देते हैं, क्योंकि यह पिछले वाले से पालन नहीं करता है।

आरामदायक मॉडल, सब कुछ ठीक है, हर कोई खुश है। सवाल यह है कि कैच क्या है? यह पता चला है कि यदि हम अपने सामान्य प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक नया प्राकृतिक संख्या जोड़ते हैं और कहते हैं कि यह हमारे सभी सामान्य लोगों की तुलना में अधिक है, तो हम किसी भी विरोधाभास में नहीं आएंगे। यानी हमारे पास न केवल हमारा मॉडल N है, बल्कि उदाहरण के लिए, N + Z. जहाँ N और Z में (पूर्णांक) संख्याओं की सामान्य तुलना, साथ ही N से कोई भी संख्या, Z से किसी भी संख्या से कम है।

प्रश्न यह है कि क्या स्वयंसिद्ध शब्दों को इस तरह से प्रस्तुत करना संभव है कि हम अपनी सामान्य प्राकृतिक संख्याओं का वर्णन करते हैं, और केवल उन्हें (अर्थात क्या कोई ऐसा सूत्र है, जिसमें यह निर्दिष्ट करते हुए कि प्राकृतिक संख्या सही है, और कोई अन्य संख्या गलत है)? जवाब है नहीं। प्रमाण का विचार यह है कि सभी सूत्र प्राकृतिक संख्याओं द्वारा कूटबद्ध किए जा सकते हैं। और फिर, एक चालाक सूत्र लिखा है, और (एक सूत्र है कि धारणा द्वारा, प्राकृतिक स्वाभाविकता निर्धारित कर सकते हैं) में अपने कोड को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं।

अधिक बारीकियाँ। Zermelo-Frenkel सेट (ZF) के स्वयंसिद्ध

नीचे दिए गए स्वयंसिद्ध शब्द आधुनिक गणित के निर्माण के लिए उपयोग किए जाते हैं, ठीक है, एक गहरी साँस लें ... चलो शुरू करें। शुरू करने के लिए, मैं एक आरक्षण करूंगा कि हम सभी प्रकार के सेटों पर विचार करेंगे। उदाहरण के लिए, रूस में सभी घरों के सेट, एक ही समय में, सेट के प्रत्येक तत्व, इस मामले में घर में कुछ अन्य सेट हो सकते हैं, यह अच्छी तरह से हो सकता है कि वे विषम हो गए, उदाहरण के लिए, घर में राउटर की संख्या (इकाइयां - संख्या) ) और लोग (इकाई - व्यक्ति) इस घर में रहते हैं। प्रोग्रामर के लिए एक अधिक प्राकृतिक उदाहरण नेस्टेड सूची [[1, 2, [3, -19]], [0, 1], [5, [26, 1]], 27] है। इस उदाहरण में, हमारे पास 4 तत्वों [1, 2, [3, -19]], [0, 1], [5, [26, 1]], 27 से मिलकर बना है। एक स्पष्ट समझ के लिए, हम ध्यान दें यह 0 इस सेट का एक तत्व नहीं है, हालांकि यदि आप गहराई से खोदते हैं, तो यह पता चलता है कि 0 है! अब हम स्वयंसिद्धों की ओर बढ़ते हैं। मैं अपने आप को उबाऊ योगों को देने की अनुमति नहीं देता, लेकिन अपने शब्दों में समझाने के लिए।

1. मात्रा का स्वयंसिद्ध। यदि दो सेट में समान तत्व होते हैं, तो वे समान हैं।
2. सबसेट का स्वयंसिद्ध। यदि हमारे पास कुछ सूत्र हैं, तो यह किसी भी सेट से सेट को "कट आउट" करता है।
3. प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध। यदि प्रत्येक सेट x के लिए , F (x) = {y | ) (X, y)} भी एक सेट है, तो किसी भी के लिए , {y | x का संबंध एक से है, y का संबंध F (x)} से है - एक सेट भी।
4. डिग्री का एनाउंस। कई सबसेट भी कई हैं।
5. अनंत का स्वयंसिद्ध। एक सेट होता है जिसमें एक खाली सेट होता है, और प्रत्येक तत्व x के साथ सेट {{x}, x} होता है - यानी सभी तत्व x और x स्वयं एक तत्व के रूप में हैं।
6. नियमितता का स्वयंसिद्ध। सेट की अनंत समावेश श्रृंखलाएं नहीं हैं, अर्थात्। a1 में a1 सेट करना असंभव है, फिर बदले में a3 , आदि।

स्पष्टीकरण।
1. सब कुछ स्पष्ट है।
2. आइए हम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर विचार करें। और सूत्र यह है: x! = 0. यह स्पष्ट है कि यह शून्य को छोड़कर सभी प्राकृतिक संख्याओं से संतुष्ट है। Axiom का कहना है कि शून्य के बिना प्राकृतिक संख्या भी कई हैं। यदि आप इस प्रमेय को सामान्य बनाने की कोशिश करते हैं, तो आपको रसेल विरोधाभास मिलता है ।
3. मुझे नहीं पता था कि इस स्वयंसिद्ध वर्णन करना कितना आसान है, संक्षेप में, यदि हम सेटों को जोड़ते हैं, तो हमें एक सेट मिलता है।
4. [1, 2, 3], इस सेट के सबसेट (मैं "सेट" शब्द के उच्च विशिष्ट गुरुत्व के लिए माफी माँगता हूँ) - 1, 2, 3, [1, 2], [1, 3], [2, 3] , [१, २, ३]। सवाल यह है कि ऐसा कब हो सकता है कि हम कुछ करेंगे और हमारे पास कई नहीं होंगे? कम से कम, सभी सेटों के सेट पर विचार करें! स्वयंसिद्ध 4 द्वारा, इसके कई उपसमुच्चय हैं, लेकिन यह साबित करना आसान है कि यह हमारे कई की तुलना में अधिक शक्ति है।
5. पहला स्वयंसिद्ध जहां कम से कम कुछ सेट के अस्तित्व के लिए पूछ रहा है। स्वयंसिद्ध में कौन सा वर्णित है।
6. सब कुछ स्पष्ट भी है।

खैर, थकाऊ के साथ दूर किया। इन स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हुए, कोई भी प्राकृतिक संख्या का निर्माण कर सकता है, उदाहरण के लिए। वे इस तरह दिखेंगे (ई एक खाली सेट है)। 0 = ई, 1 = {ई}, 2 = {ई, {ई}}, 3 = {ई, {ई}, {ई, {ई}}}, आदि। वास्तव में, इस सिद्धांत पर आधुनिक गणित का निर्माण किया गया है।

विरोधाभास और विरोधाभास

सबसे पहले, यह साबित नहीं होता है कि जेडएफ के स्वयंसिद्ध सुसंगत हैं, लेकिन यदि वे विरोधाभासी हैं, तो किसी भी कथन को व्युत्पन्न किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 0 = 1, और हमारा विज्ञान बेकार है। इससे भी अधिक, यह साबित होता है कि ZF की स्थिरता साबित नहीं की जा सकती है । एक मजेदार बात सामने आती है, लेकिन चिंता की कोई बात नहीं है। अगर हम कुछ साबित नहीं कर सकते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह इस मामले में नहीं है। चल रहा है।

गणित एक मतलबी विज्ञान बन जाता है, अर्थात यदि पसंद के स्वयंसिद्ध योग को न जोड़ा जाए तो बहुत कम साबित हो सकता है। और यह किस प्रकार का स्वयंसिद्ध है? तीन शब्दों में - किसी भी गैर-रिक्त सेट से आप एक तत्व का चयन कर सकते हैं। ऐसा लगता है कि यह एक बहुत ही प्राकृतिक स्वयंसिद्ध है, लेकिन यह Banach-Tarski विरोधाभास की ओर जाता है, अर्थात्, गेंद को 5 टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है और उन्हें उसी गेंद के 2 से इकट्ठा किया जा सकता है। यानी सेब को 5 भागों में काटा जा सकता है और दो सेब एकत्र कर सकते हैं? इसलिए विरोधाभास। और भी दिलचस्प, यह साबित होता है कि यदि ZF सिद्धांत सुसंगत है, तो इसे पसंद के स्वयंसिद्ध (ZF + Axiom of Choice = ZFC) से जोड़कर हमें एक सुसंगत स्वयंसिद्धता मिलती है!

आशा का स्पार्क

हम कुछ साबित नहीं कर सकते, फिर कुछ प्रकार का विरोधाभास। शायद गणित पूरी बकवास है? शायद आपको इसका अध्ययन नहीं करना चाहिए? उत्तर: कोई बकवास नहीं, अध्ययन किया जाना चाहिए। क्यों, पाठक पूछेगा। मैं पर्याप्त शारीरिक प्रमाण दूंगा। आमतौर पर भौतिकी में ऐसा होता है। "वाह, 100 वर्षों तक हमने सैंडविच गिरते हुए देखा और यह पता चला कि वे मक्खन नीचे गिर गए हैं, चलो इसे कानून कहते हैं।" आपको लगता है कि मैं मजाक कर रहा हूं? और यह साबित करने की कोशिश करते हैं कि शरीर अणुओं से बने हैं। इस तथ्य से कुछ भी कठोर नहीं है कि 2,000 वर्षों तक यह सिद्धांत विफल नहीं हुआ, आप कल्पना कर सकते हैं। तो गणित के साथ भी यही स्थिति है। हम इसका इस्तेमाल करते हैं, ऐसा लगता है जैसे कारें जा रही हैं, विमान उड़ रहे हैं, इमारतें खड़ी हैं और सब कुछ ठीक है। यह सहज रूप से स्पष्ट है कि अगर गणित में कोई विरोधाभास था, तो हम इस विज्ञान के विकलों में जितना गहरा हो गए, उतने ही आसान प्रमेयों को साबित करना होगा, लेकिन ऐसा नहीं होता है।

और फिर भी, Banach-Tarsky विरोधाभास कहाँ से आता है, यह अभी भी काफी तार्किक है! वास्तव में, यदि आप ध्यान से देखें, तो ब्रह्मांड में अनंत कुछ भी नहीं है। असीम रूप से छोटा कुछ भी नहीं है, आदि। अंतहीन सेट के साथ काम करना सुविधाजनक है। इसलिए यह बिल्कुल सामान्य है कि परिणाम जीवन पर लागू नहीं हो सकते हैं।

इस विषय को सीखने में सभी को शुभकामनाएँ! =)