उंगली की टोपोलॉजी

टोपोलॉजी - एक सुंदर, सुंदर शब्द, कुछ गैर-गणितीय हलकों में बहुत लोकप्रिय, मुझे 9 वीं कक्षा में दिलचस्पी थी। बेशक, मेरे पास एक सटीक विचार नहीं है, हालांकि, मुझे संदेह था कि सब कुछ ज्यामिति से बंधा हुआ था।

शब्दों और पाठ को इस तरह से चुना गया था कि सब कुछ "सहज रूप से स्पष्ट हो।" परिणामस्वरूप, गणितीय साक्षरता का पूर्ण अभाव।

टोपोलॉजी क्या है ? मुझे तुरंत कहना होगा कि कम से कम दो शब्द "टोपोलॉजी" हैं - उनमें से एक बस एक निश्चित गणितीय संरचना को दर्शाता है, दूसरा - एक संपूर्ण विज्ञान को वहन करता है। इस विज्ञान में एक वस्तु के गुणों का अध्ययन किया जाता है जो विकृत होने पर नहीं बदलेगा।

उदाहरण उदाहरण 1. कप बैगल।

हम देखते हैं कि सर्कल निरंतर विकृति (आम लोगों में "दो आयामी टोरस") द्वारा एक डोनट में बदल जाता है। यह देखा गया है कि टोपोलॉजी ऐसे विकृति के तहत अपरिवर्तित रहती है। इस स्थिति में, किसी वस्तु में "छेद" की संख्या अपरिवर्तित रहती है - यह एक है। जब तक हम इसे छोड़ देते हैं, तब तक, बाद में हम इसे सुनिश्चित करेंगे)

उदाहरणात्मक उदाहरण 2. सामयिक व्यक्ति।

लगातार विकृतियों से, एक व्यक्ति (आंकड़ा देखें) अपनी उंगलियों को खोल सकता है - एक तथ्य। तुरंत स्पष्ट नहीं है, लेकिन आप अनुमान लगा सकते हैं। और अगर हमारे सामयिक व्यक्ति ने विवेकपूर्ण ढंग से एक हाथ पर नजर रखी, तो हमारा काम असंभव हो जाएगा।

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इसे स्पष्ट करते हैं

इसलिए, मुझे आशा है कि कुछ उदाहरणों से कुछ स्पष्टता आई है कि क्या हो रहा है।
आइए इसे बचकाने तरीके से सभी को औपचारिक रूप देने की कोशिश करें।
हम मानते हैं कि हम प्लास्टिसिन के आंकड़ों के साथ काम कर रहे हैं, और प्लास्टिसिन खिंचाव, सेक कर सकता है , और विभिन्न बिंदुओं को तोड़ना मना है । होमियोमॉर्फिक उन आंकड़ों को कहा जाता है जो एक दूसरे में पहले से वर्णित निरंतर विकृतियों द्वारा अनुवादित होते हैं।


एक बहुत ही उपयोगी मामला हैंडल के साथ एक क्षेत्र है। एक गोले में 0 हैंडल हो सकते हैं - फिर यह सिर्फ एक गोला है, शायद एक - फिर यह एक डोनट है (आम लोगों में "दो आयामी टोरस"), आदि।
तो क्यों हैंडल के साथ एक गोला अन्य आंकड़ों से अलग खड़ा है? सब कुछ बहुत सरल है - कोई भी आंकड़ा एक निश्चित संख्या के हैंडल के साथ एक गोले के लिए होमोमोर्फिक है। यही है, वास्तव में, हमारे पास O_o के अलावा और कुछ भी नहीं है। किसी भी वस्तु को एक निश्चित संख्या के हैंडल के साथ गोलाकार के रूप में व्यवस्थित किया जाता है। यह एक कप, चम्मच, कांटा (चम्मच = कांटा!) हो, एक कंप्यूटर माउस, एक व्यक्ति हो।

यह काफी प्रमेय सिद्ध होता है। हमारे द्वारा नहीं और अब नहीं। अधिक सटीक रूप से, यह अधिक सामान्य स्थिति के लिए सिद्ध होता है। मुझे समझाने दें: हमने खुद को प्लास्टिसिन से और बिना गुहाओं से ढंके आंकड़ों पर विचार करने तक सीमित कर दिया। यह निम्नलिखित परेशानियों को पूरा करता है:
1) हम एक गैर-उन्मुख सतह (क्लेन बोतल, मोबियस स्ट्रिप, प्रोजेक्टिव प्लेन) प्राप्त नहीं कर सकते,
2) हम खुद को दो-आयामी सतहों तक सीमित रखते हैं (n / a: गोला एक दो-आयामी सतह है),
3) हमें सतहें नहीं मिल सकतीं, आंकड़े जो अनंत तक फैले हैं (बेशक आप इसकी कल्पना कर सकते हैं, लेकिन कोई प्लास्टिसिन पर्याप्त नहीं है)।

मोबिअस पट्टी

क्लेन बोतल

टिप्पणी: आत्म-प्रतिच्छेदन को दर्शाया गया है, जिसे हमने शुरू में मना किया था। वास्तव में, यदि हम चार-आयामी स्थान में एम्बेड करने पर विचार करते हैं, तो हम आत्म-चौराहों से छुटकारा पा सकते हैं, लेकिन "थ्री-डायमेंशनल से अधिक" रिक्त स्थान दिखाई नहीं देते हैं।

गैर-उन्मुख सतह इस तथ्य के लिए उल्लेखनीय हैं कि वे अंतरिक्ष को दो भागों में विभाजित नहीं करते हैं, उदाहरण के लिए, क्योंकि क्षेत्र।
लेकिन सब कुछ इतना बुरा नहीं है। अधिक सटीक रूप से, उन्मुख मामले में सब कुछ उतना ही अच्छा है - किसी भी गैर-उन्मुख दो-आयामी सतह (यह जोड़ने के लिए सही है: कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड, बिना किनारे के) एक निश्चित संख्या में "मोबियस फिल्मों" के साथ गोले के लिए होमियोमॉर्फिक है और संभालती है। वैसे, क्लेन बॉटल दो मोबियस धारियों वाला एक गोला है।

उप-योग

हमने खुद को निरंतर मैपिंग (विरूपताओं) के सार के सरलतम कथन से परिचित कराया, स्पष्ट रूप से एक किनारे के बिना दो आयामी कॉम्पैक्ट जुड़े सतहों के लिए एक वर्गीकरण प्रमेय तैयार किया, और उंगलियों पर अभिविन्यास की धारणा के साथ खुद को परिचित किया।

अगला, हम गणित / यांत्रिकी की अन्य शाखाओं के साथ टोपोलॉजी के कनेक्शन के बारे में बात करेंगे, मैं कुछ हाइलाइट्स खोजने की कोशिश करूंगा।