👩‍👩‍👧‍👦 👨‍🚒 👨🏿‍🤝‍👨🏻 फिंगर वेवलेट संपीड़न ⏭️ 🈳 📹

वेवलेट्स अब अच्छी तरह से जाना जाता है। यहां तक कि गणित में अनुभवहीन लोगों ने शायद सुना है कि उनकी मदद से स्वीकार्य गुणवत्ता बनाए रखते हुए छवियों और वीडियो को संपीड़ित करना संभव है। लेकिन एक तरंग क्या है? विकिपीडिया इस प्रश्न का उत्तर पूरे सूत्र के साथ देता है, जिसके लिए सार देखना इतना आसान नहीं है।

आइए सरल उदाहरणों का उपयोग करके यह पता लगाने की कोशिश करें कि वेवलेट्स कहां से आते हैं और उनका उपयोग संपीड़न में कैसे किया जा सकता है। यह माना जाता है कि पाठक रैखिक बीजगणित की मूल बातों से परिचित है, शब्द वेक्टर और मैट्रिक्स से डरता नहीं है, और यह भी जानता है कि उन्हें कैसे गुणा करना है। (और दूसरे भाग में हम कुछ प्रोग्राम करने की कोशिश भी करेंगे।)

छवि संपीड़न

सरल रूप से, एक छवि कोशिकाओं की एक तालिका है जिसमें प्रत्येक पिक्सेल के रंग संग्रहीत होते हैं। यदि हम एक काले-और-सफेद (या, अधिक सटीक, ग्रे) छवि के साथ काम करते हैं, तो रंग के बजाय, अंतराल [0, 1] से चमक मूल्यों को कोशिकाओं में रखा जाता है। इस मामले में, 0 काले, 1 से सफेद से मेल खाती है। लेकिन भिन्नों के साथ काम करना असुविधाजनक है, इसलिए अक्सर चमक मूल्यों को 0 से 255 तक पूर्णांकों से लिया जाता है। तब प्रत्येक मान 1 बाइट पर कब्जा कर लेगा।

यहां तक कि छोटी छवियों को संग्रहीत करने के लिए बहुत अधिक मेमोरी की आवश्यकता होती है। इसलिए, यदि हम प्रत्येक पिक्सेल की चमक को एक बाइट के साथ एन्कोड करते हैं, तो फुलएचडी प्रारूप (1920 × 1080) में एक फ्रेम की छवि लगभग दो मेगाबाइट ले जाएगी। कल्पना कीजिए कि आधे घंटे की फिल्म को स्टोर करने के लिए आपको कितनी मेमोरी चाहिए!

इसलिए, चित्र संकुचित होते हैं। यही है, इस तरह से सांकेतिक शब्दों में बदलना कि कम भंडारण की आवश्यकता है। और देखते समय, हम मेमोरी में दर्ज डेटा को डिकोड करते हैं और मूल फ्रेम प्राप्त करते हैं। लेकिन यह केवल आदर्श है।

कई डेटा संपीड़न एल्गोरिदम हैं। उनकी संख्या आधुनिक अभिलेखागार द्वारा समर्थित स्वरूपों द्वारा आंकी जा सकती है: ZIP, 7Z, RAR, ACE, GZIP, HA, BZ2 इत्यादि। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि वैज्ञानिकों और प्रोग्रामर के सक्रिय काम के लिए धन्यवाद, डेटा संपीड़न की डिग्री अब सैद्धांतिक सीमा के करीब आ गई है।

बुरी खबर यह है कि छवि के लिए यह सैद्धांतिक सीमा इतनी महान नहीं है। पीएनजी प्रारूप में फोटो (विशेष रूप से बहुत सारे छोटे विवरणों के साथ) को बचाने की कोशिश करें - परिणामस्वरूप फ़ाइल का आकार आपको परेशान कर सकता है।

यह इस तथ्य के कारण है कि वास्तविक दुनिया (उदाहरण के लिए तस्वीरों) से छवियों में, चमक के मूल्य शायद ही कभी पड़ोसी पिक्सल के लिए भी समान हैं। हमेशा सबसे छोटे कंपन होते हैं जो मानव आंख के लिए मायावी होते हैं, लेकिन जो संपीड़न एल्गोरिदम ईमानदारी से ध्यान में रखने की कोशिश कर रहा है।

डेटा में एक पैटर्न होने पर संपीड़न एल्गोरिदम "प्यार" करता है। शून्य के लंबे अनुक्रम सर्वश्रेष्ठ संकुचित हैं (पैटर्न यहां स्पष्ट है)। वास्तव में, मेमोरी में 100 शून्य लिखने के बजाय, आप बस 100 नंबर लिख सकते हैं (ज़ाहिर है, एक नोट के साथ कि यह बिल्कुल शून्य की संख्या है)। डिकोडिंग प्रोग्राम "समझ" करेगा कि शून्य का मतलब था और उन्हें पुन: पेश करना।

हालांकि, यदि मध्य में हमारे अनुक्रम में एक अचानक प्रकट होता है, तो एक नंबर 100 सीमित नहीं होगा।

लेकिन क्यों कोड सभी विवरण बिल्कुल? दरअसल, जब हम एक तस्वीर को देखते हैं, तो समग्र पैटर्न हमारे लिए महत्वपूर्ण होता है, और हम चमक में मामूली उतार-चढ़ाव नहीं देखेंगे। तो, एन्कोडिंग करते समय, हम छवि को थोड़ा बदल सकते हैं ताकि यह अच्छी तरह से एन्कोड हो जाए। इस मामले में, संपीड़न अनुपात तुरंत बढ़ जाएगा। सच है, डिकोड की गई छवि मूल से थोड़ी अलग होगी, लेकिन कौन नोटिस करेगा?

हार परिवर्तन

इसलिए, हमारा लक्ष्य छवि को बदलना है ताकि यह शास्त्रीय एल्गोरिदम द्वारा अच्छी तरह से संपीड़ित हो। आइए इस बारे में सोचते हैं कि शून्य की लंबी श्रृंखला प्राप्त करने के लिए इसे कैसे बदलना है।

"रियल" छवियों, जैसे कि तस्वीरों में एक विशेषता है - पड़ोसी पिक्सल की चमक आमतौर पर एक छोटी राशि से भिन्न होती है। वास्तव में, दुनिया में आप शायद ही कभी तेज, विपरीत चमक में अंतर देख सकते हैं। और अगर वे हैं, तो वे छवि के केवल एक छोटे हिस्से पर कब्जा कर लेते हैं।

प्रसिद्ध लेनना छवि (चित्र में) से चमक की पहली पंक्ति के एक टुकड़े पर विचार करें।

  154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156

यह देखा जा सकता है कि पड़ोसी संख्या बहुत करीब है। वांछित शून्य प्राप्त करने के लिए, या कम से कम उनके करीब कुछ, आप पहले नंबर को अलग कर सकते हैं, और फिर पिछले एक से केवल प्रत्येक संख्या के अंतर पर विचार कर सकते हैं।

हमें मिलता है:

  154, 1, 1, 1, 0, 0, 1, -2।

पहले से बेहतर! इस विधि का वास्तव में उपयोग किया जाता है और इसे डेल्टा कोडिंग कहा जाता है। लेकिन उसकी एक गंभीर खामी है - वह गैर-स्थानीय है। यही है, आप अनुक्रम का एक टुकड़ा नहीं ले सकते हैं और यह पता लगा सकते हैं कि इस टुकड़े के सामने सभी मूल्यों को डिकोड किए बिना इसमें कौन सी चमक एन्कोडेड है।

आइए अलग-अलग प्रयास करें। हम तुरंत एक अच्छा अनुक्रम प्राप्त करने की कोशिश नहीं करेंगे, हम इसे कम से कम थोड़ा सुधारने की कोशिश करेंगे।

ऐसा करने के लिए, हम सभी संख्याओं को जोड़ियों में विभाजित करते हैं और उनमें से प्रत्येक में आधे-अधूरे और मूल्यों के आधे-अंतर को पाते हैं।

  (154, 155), (156, 157), (157, 157), (158, 156)

  (154.5, 0.5), (156.5, 0.5), (157, 0.0), (157, -1.0)

आधे-अधूरे और आधे अंतर क्यों? और सब कुछ बहुत सरल है! आधा-योग पिक्सेल की एक जोड़ी की चमक का औसत मूल्य है। और आधा-अंतर एक जोड़े में मूल्यों के बीच अंतर के बारे में जानकारी प्रदान करता है। जाहिर है, एक के आधे और आधे के अंतर को जानते हुए, कोई स्वयं मान भी पा सकता है:
जोड़ी में पहला मूल्य = a - d,
जोड़ी में दूसरा मूल्य = ए + डी।

यह परिवर्तन 1909 में अल्फ्रेड हर द्वारा प्रस्तावित किया गया था और उसका नाम भालू था।

और संपीड़न कहां है?

प्राप्त संख्याओं को "अलग-अलग मक्खियों, अलग-अलग कटलेट" के सिद्धांत के अनुसार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, आधा-अर्ध और आधा अंतर को विभाजित कर सकता है:

  154.5, 156.5, 157, 157;  0.5, 0.5, 0.0, -1.0।

अनुक्रम की दूसरी छमाही में संख्या आमतौर पर छोटी होगी (तथ्य यह है कि वे पूर्णांक नहीं हैं, यद्यपि शर्मनाक नहीं)। ऐसा क्यों?

जैसा कि हमने पहले पाया, वास्तविक छवियों में, पड़ोसी पिक्सेल शायद ही कभी एक दूसरे से काफी भिन्न होते हैं। यदि एक का मूल्य महान है, तो दूसरा महान है। ऐसे मामलों में, यह कहा जाता है कि पड़ोसी पिक्सेल सहसंबद्ध हैं।

वास्तव में, पड़ोसी पिक्सल के पहले 2000 जोड़े पर विचार करें और ग्राफ पर बिंदु के रूप में प्रत्येक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करें।

सभी बिंदुओं को एक सीधी रेखा के साथ जोड़ दिया जाता है। और इसलिए लगभग सभी वास्तविक छवियों में। छवि के ऊपरी बाएं और निचले दाएं कोने लगभग हमेशा खाली होते हैं।

और अब हम उस चार्ट पर विचार करेंगे जिसमें अंक आधे-अधूरे और आधे अंतर होंगे।

यह देखा जा सकता है कि आधे अंतर मूल्यों की एक बहुत संकीर्ण सीमा में हैं। इसका मतलब है कि आप उन पर एक से कम बाइट खर्च कर सकते हैं। कोई भी, लेकिन संपीड़न।

चलो गणित लागू करें!

आइए उन गणितीय अभिव्यक्तियों को लिखने का प्रयास करें जो Haar परिवर्तन का वर्णन करते हैं।

तो हमारे पास कुछ जोड़े थे (वेक्टर)

, और हम एक युगल प्राप्त करना चाहते हैं

।

ऐसा परिवर्तन मैट्रिक्स द्वारा वर्णित है

।

वास्तव में

, जो हमें चाहिए था।

एक चौकस पाठक ने देखा होगा कि पिछले दो ग्राफ़ पर बिंदुओं के पैटर्न समान हैं। एकमात्र अंतर 45 ° के कोण पर बदल रहा है।

गणित में, घूर्णन और स्ट्रेच को एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है और इसे केवल वेक्टर द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करके वर्णित किया जाता है। हमें ऊपर क्या मिला। यही है, हार परिवर्तन केवल बिंदुओं को मोड़ रहा है ताकि वे आसानी से और कॉम्पैक्ट रूप से एन्कोड हो सकें।

सच है, वहाँ एक चेतावनी है। Affine परिवर्तनों के साथ, एक आंकड़ा का क्षेत्र बदल सकता है। ऐसा नहीं है कि यह बुरा था, लेकिन किसी तरह गलत था। जैसा कि ज्ञात है, क्षेत्र में परिवर्तन का गुणांक मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है। आइए देखें कि यह हरार परिवर्तन के लिए क्या है।

निर्धारक के लिए एकता के बराबर बनने के लिए, मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को गुणा करना पर्याप्त है

। यह रोटेशन कोण को प्रभावित नहीं करेगा (और इसलिए, परिवर्तन की "संपीड़ित क्षमता")।

परिणामस्वरूप हम मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं

कैसे डिकोड करें?

जैसा कि ज्ञात है, यदि मैट्रिक्स का एक निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो इसके लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है जो इसकी क्रिया को "रद्द" करता है। यदि हम H के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजते हैं, तो डिकोडिंग में केवल आधे हिस्से और इसके द्वारा आधे अंतर वाले वैक्टर को गुणा करना शामिल होगा।

आम तौर पर बोलना, उलटा मैट्रिक्स ढूंढना इतना आसान काम नहीं है। लेकिन शायद हम किसी तरह इस कार्य को सरल बना सकते हैं?

आइए हमारे मैट्रिक्स पर करीब से नज़र डालें। इसमें दो पंक्ति वाले वैक्टर शामिल हैं:

और

। उन्हें v ₁ और v ₂ कहें।

उनके पास दिलचस्प गुण हैं।

सबसे पहले, उनकी लंबाई 1 है, अर्थात्।

। यहाँ T अक्षर ट्रांसपोज़ेशन के लिए है। एक अनुप्रस्थ पंक्ति वेक्टर द्वारा एक पंक्ति वेक्टर को गुणा करना एक अदिश उत्पाद है।

दूसरे, वे ऑर्थोगोनल हैं, अर्थात्।

।

एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों में संकेतित गुण हैं उन्हें ऑर्थोगोनल कहा जाता है। ऐसे मेट्रिसेस की एक अत्यंत महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि उनके लिए उलटा मैट्रिक्स सरल ट्रांसपोज़िशन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

इस अभिव्यक्ति की वैधता को एच उलटा मैट्रिक्स को गुणा करके सत्यापित किया जा सकता है। विकर्ण पर, हम अपने आप से वेक्टर पंक्तियों के स्केलर उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो 1. है और विकर्णों के बाहर, वेक्टर पंक्तियों के स्केलर उत्पादों को एक दूसरे से, यानी 0. है। परिणामस्वरूप, उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर होगा।

हम ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस से प्यार करते हैं!

अंकों की संख्या बढ़ाएं

उपरोक्त सभी दो बिंदुओं के लिए अच्छी तरह से काम करता है। लेकिन अगर अधिक अंक हों तो क्या होगा?

इस मामले में, कोई मैट्रिक्स द्वारा परिवर्तन का भी वर्णन कर सकता है, लेकिन आकार में बड़ा। इस मैट्रिक्स के विकर्ण में मेट्रिसेस एच शामिल होगा, इसलिए प्रारंभिक मानों के वेक्टर में जोड़े का चयन किया जाएगा, जिसमें हर परिवर्तन को स्वतंत्र रूप से लागू किया जाएगा।

वह है मूल वेक्टर केवल जोड़े में स्वतंत्र रूप से संसाधित होता है।

फिल्टर

इसलिए, जब हम हाॅर ट्रांसफॉर्मेशन को करना जानते हैं, तो आइए जानने की कोशिश करते हैं कि यह हमें क्या देता है।

परिणामी "अर्ध-रकम" (इस तथ्य के कारण कि हम 2 से विभाजित नहीं करते हैं, हमें उद्धरण चिह्नों का उपयोग करना होगा), जैसा कि हमने पहले ही पता लगा लिया है, पिक्सेल के जोड़े में औसत मूल्य। यही है, वास्तव में, अर्ध-मूल मूल छवि की एक छोटी प्रति है! आधी हो गई क्योंकि आधी रकम मूल पिक्सल जितनी ही है।

लेकिन अंतर क्या हैं?

अर्ध-औसत औसत चमक मान, यानी "फ़िल्टर आउट" मानों के यादृच्छिक फटने। हम मान सकते हैं कि यह किसी प्रकार का फ़्रीक्वेंसी फ़िल्टर है।

इसी तरह, अंतर "अंतर" अंतर-पिक्सेल "मूल्यों से" फट जाता है और निरंतर घटक को खत्म करता है। यही है, वे कम आवृत्तियों को "फ़िल्टर आउट" करते हैं।

इस प्रकार, Haar परिवर्तन फिल्टर की एक जोड़ी है जो सिग्नल को कम-आवृत्ति और उच्च-आवृत्ति घटकों में अलग करता है। मूल संकेत प्राप्त करने के लिए, आपको बस इन घटकों को फिर से संयोजित करने की आवश्यकता है।

यह हमें क्या देता है? मान लीजिए हमारे पास एक पोर्ट्रेट फोटो है। कम-आवृत्ति घटक चेहरे के सामान्य आकार के बारे में जानकारी देता है, चमक में चिकनी अंतर के बारे में। उच्च-आवृत्ति शोर और छोटे विवरण हैं।

आमतौर पर, जब हम एक चित्र को देखते हैं, तो हम कम-आवृत्ति वाले घटक में अधिक रुचि रखते हैं, जिसका अर्थ है कि संपीड़न के दौरान, उच्च आवृत्ति वाले कुछ डेटा को छोड़ दिया जा सकता है। इसके अलावा, जैसा कि हमें पता चला, इसमें आमतौर पर कम मूल्य होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह अधिक कॉम्पैक्ट रूप से एन्कोडेड है।

कई बार Haar परिवर्तन लागू करके संपीड़न अनुपात को बढ़ाया जा सकता है। वास्तव में, उच्च आवृत्ति घटक संख्याओं के पूरे सेट का केवल आधा है। लेकिन क्या हमें अपनी प्रक्रिया को फिर से कम आवृत्ति डेटा पर लागू करने से रोकता है? बार-बार उपयोग के बाद, उच्च आवृत्ति जानकारी पहले से ही 75% पर कब्जा कर लेगी।

यद्यपि हमने अब तक संख्या के एक आयामी श्रृंखला के बारे में बात की है, यह दृष्टिकोण दो आयामी डेटा के लिए अच्छी तरह से लागू है। दो-आयामी Haar परिवर्तन (या समान) करने के लिए, आपको केवल प्रत्येक पंक्ति के लिए और प्रत्येक स्तंभ के लिए इसे निष्पादित करना होगा।

उदाहरण के लिए बार-बार आवेदन करने के बाद, लिकटेंस्टीन के महल की तस्वीरें, हम निम्नलिखित आंकड़ा प्राप्त करते हैं।

काले क्षेत्र कम चमक के अनुरूप हैं, अर्थात, शून्य के करीब मूल्य। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, यदि मूल्य काफी छोटा है, तो इसे डिकोड किया गया चित्र को बहुत नुकसान पहुंचाए बिना गोल या शून्य किया जा सकता है।

इस प्रक्रिया को परिमाणीकरण कहा जाता है। और यह इस स्तर पर है कि जानकारी का एक हिस्सा खो गया है। (वैसे, जेपीईजी में एक ही दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है, केवल वहां, हर परिवर्तन के बजाय, एक असतत कॉस ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग किया जाता है।) अशक्त गुणांक की संख्या को बदलकर, आप संपीड़न अनुपात को समायोजित कर सकते हैं!

बेशक, यदि आप बहुत अधिक रीसेट करते हैं, तो विकृतियां आंख को दिखाई देंगी। सब कुछ एक उपाय की जरूरत है!

इन सभी कार्यों के बाद, हमारे पास एक मैट्रिक्स होगा जिसमें कई शून्य होंगे। यह एक फाइल के लिए लाइन से लाइन लिखी जा सकती है और किसी प्रकार के संग्रह द्वारा संपीड़ित की जा सकती है। उदाहरण के लिए, वही 7Z। परिणाम काफी अच्छा होगा।

डिकोडिंग को रिवर्स ऑर्डर में किया जाता है: हम संग्रह को अनपैक करते हैं, उलटा हैर ट्रांसफॉर्म लागू करते हैं और डिकोड किए गए चित्र को एक फाइल में लिखते हैं। देखा!

हार परिवर्तन कहाँ प्रभावी है?

हार परिवर्तन कब सबसे अच्छा परिणाम देगा? जाहिर है, जब हमें बहुत सारे शून्य मिलते हैं, यानी जब छवि में समान चमक मूल्यों के लंबे खंड होते हैं। तब सभी अंतर शून्य पर रीसेट हो जाएंगे। यह हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक एक्स-रे, एक स्कैन किया गया दस्तावेज़।

यह कहा जाता है कि Haar परिवर्तन निरंतर घटक को समाप्त कर देता है (यह शून्य क्रम का एक क्षण भी है), अर्थात् स्थिरांक को शून्य में बदल देता है।

लेकिन अभी भी वास्तविक तस्वीरों में एक ही चमक के साथ इतने सारे क्षेत्र नहीं हैं। आइए परिवर्तन को बेहतर बनाने का प्रयास करें ताकि यह रैखिक घटक को भी हल करे। दूसरे शब्दों में, यदि चमक मान रैखिक रूप से बढ़ते हैं, तो वे शून्य पर भी रीसेट हो जाएंगे।

यह कार्य, और अधिक जटिल वाले (उच्च आदेशों के क्षणों को नष्ट करना), तरंग सिद्धांत के रचनाकारों में से एक इंग्रिड डोबेसी द्वारा हल किया गया था।

दुबेशी का परिवर्तन

हमारे उन्नत रूपांतरण के लिए, पहले से ही कुछ दो बिंदु होंगे। इसलिए, हम चार मान लेंगे, हर बार दो को स्थानांतरित करते हुए।

यही है, यदि प्रारंभिक अनुक्रम 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., एन -1, एन है, तो हम चौके (1, 2, 3, 4), (3, 4, 5, 6) लेते हैं। आदि अंतिम चार "पूंछ द्वारा अनुक्रम काटता है": (एन -1, एन, 1, 2)।

उसी तरह, हम दो फिल्टर बनाने की कोशिश करेंगे: हाई-पास और लो-पास। प्रत्येक चार को दो नंबरों से बदल दिया जाएगा। चूंकि चार ओवरलैप होते हैं, रूपांतरण के बाद मूल्यों की संख्या नहीं बदलती है।

उलटा मैट्रिक्स को पढ़ने के लिए सुविधाजनक बनाने के लिए, हमें परिवर्तन की ऑर्थोगोनलिटी की भी आवश्यकता है। फिर व्युत्क्रम मैट्रिक्स की खोज ट्रांसपोज़ेशन को कम करती है

चार में चमक मानों को x, y, z, t मानें। फिर हम फॉर्म में पहला फिल्टर लिखते हैं

परिवर्तन मैट्रिक्स की पंक्ति वेक्टर बनाने वाले चार गुणांक अभी तक हमें ज्ञात नहीं हैं।

ताकि दूसरे फिल्टर के गुणांक के पंक्ति वेक्टर पहले के लिए रूढ़िवादी हो, हम समान गुणांक लेते हैं, लेकिन उन्हें पुनर्व्यवस्थित करते हैं और संकेत बदलते हैं:

परिवर्तन मैट्रिक्स का रूप होगा।

पहले और दूसरे पंक्तियों के लिए ओर्थोगोनलिटी की आवश्यकता स्वचालित रूप से संतुष्ट है। हमें यह चाहिए कि लाइनें 1 और 3 भी ऑर्थोगोनल हों:

सेक्टरों की इकाई लंबाई होनी चाहिए (अन्यथा निर्धारक एकल नहीं होगा):

परिवर्तन को समान मूल्यों की श्रृंखला को कम करना चाहिए (उदाहरण के लिए, (1, 1, 1, 1)):

परिवर्तन को रैखिक रूप से बढ़ते मूल्यों की श्रृंखला को कम करना चाहिए (उदाहरण के लिए, (1, 2, 3, 4)):

वैसे, अगर यह चार शून्य है, तो किसी भी अन्य रैखिक रूप से बढ़ने या रैखिक रूप से कम होने वाले रीसेट हो जाएंगे। यह समान समीकरण लिखकर और सभी गुणांकों को पहले कारक द्वारा आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

गुणांकों को जोड़ने वाले 4 समीकरण मिले। उन्हें हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उन्हें मैट्रिक्स में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित परिवर्तन प्राप्त करते हैं। इसे तस्वीरों पर लागू करने के बाद, हमें अधिक शून्य और छोटे गुणांक मिलते हैं, जो छवि को और अधिक संकुचित करेंगे।

एक और अच्छी विशेषता - परिमाणीकरण के बाद की कलाकृतियां इतनी ध्यान देने योग्य नहीं होंगी।

इस परिवर्तन को डी 4 तरंगिका कहा जाता है (पाठक को स्वतंत्र रूप से इस अल्फ़ान्यूमेरिक नाम के रहस्य को सुलझाने के लिए आमंत्रित किया जाता है)।

अन्य तरंगें

बेशक, हम यहां नहीं रुक सकते हैं, और परवलयिक घटक (दूसरे क्रम के क्षण) और इतने पर उन्मूलन की मांग कर सकते हैं। नतीजतन, हमें तरंगिका डी 6, डी 8 और अन्य मिलते हैं।

मैन्युअल रूप से सब कुछ नहीं गिनने के लिए, गुणांक को विकिपीडिया पर देखा जा सकता है।

Daubechies ने इन परिवर्तनों के गुणांक प्राप्त करने का एक बहुत ही दिलचस्प तरीका खोजा, लेकिन अफसोस, यह पहले से ही हमारे लेख के दायरे से परे है।

घर का पाठ

मूल रूप से मूल बातें समझने के लिए, मैं आपकी पसंदीदा भाषा में एक प्रोग्राम लिखने का सुझाव देता हूं जो छवि को खोलता है, Haar (या यहां तक कि D4) रूपांतरण करता है, परिणाम की मात्रा निर्धारित करता है, और फिर परिणाम को फ़ाइल में सहेजता है। अपने पसंदीदा अभिलेखागार के साथ इस फ़ाइल को संपीड़ित करने का प्रयास करें। अच्छी तरह से सिकुड़ता है?

प्रतिलोम परिवर्तन करने का प्रयास करें। आप छवि में कलाकृतियों की प्रकृति की व्याख्या कैसे करते हैं?

निष्कर्ष

इसलिए, हमने संक्षेप में असतत तरंग परिवर्तन के मुख्य विचारों की जांच की।

बेशक, इस आलेख में कई दिलचस्प गणितीय विवरण और वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म के व्यावहारिक अनुप्रयोगों पर विचार नहीं किया गया था। लेकिन आप अमरता को गले नहीं लगा सकते। हां, और मटान की डिग्री को बढ़ाए बिना बहुत कुछ समझाना मुश्किल है। मुझे उम्मीद है कि जो लिखा गया था वह किसी के लिए उपयोगी था।

आपका ध्यान के लिए धन्यवाद!

निरंतरता: वेवलेट संपीड़न "उंगलियों पर": अभ्यास ।

साहित्य

कई अच्छी अच्छी किताबें हैं जो तरंगों की गहरी समझ देती हैं। मैं निम्नलिखित के साथ शुरू करने की सलाह देता हूं:

कार्रवाई में छवि संपीड़न के लिए वेलस्टेड एस फ्रैक्टल्स और वेवलेट्स। - एम ।: ट्राइंफ, 2003।
स्टार्क जी- जी। डीएसपी के लिए तरंगों का उपयोग। - एम ।: टेक्नोस्फीयर, 2007।

फिंगर वेवलेट संपीड़न