गणित को दिलों को मोड़ दो

एक और एक - यह दो निकलता है। सभी अकेले हैं - यहाँ आप हैं, और मैं वहाँ हूँ।
लोग हमेशा अकेले अपने साथ दोगुना अकेले होते हैं।
अगर कुछ उन्हें एक साथ ला सकता है, तो दोनों में से एक एक को बाहर कर देगा।
गणित को दिलों को जोड़ने दें - अंत तक हमारा रास्ता बनाने के लिए।

विलियम्स जे, हीरोज ऑफ नोव्हेयर

संभवतः, पोस्ट को "अन्य उद्देश्यों के लिए गणित का उपयोग करते हुए वेलेंटाइन डे के लिए एक एनिमेटेड दिल कैसे आकर्षित किया जाए" कहा जाना चाहिए। मैंने इस नाम को एक और अधिक काव्य के पक्ष में खारिज कर दिया: आखिरकार, एक अद्भुत रोमांटिक छुट्टी आ रही है, जिसे हम, आईटी विशेषज्ञों और अन्य नर्ड्स को पूरी तरह से सशस्त्र मिलना चाहिए। मैं तुरंत आपको परिणाम दिखाऊंगा, और हैबरकट के तहत इस परिणाम को प्राप्त करने के बारे में कई पत्र होंगे।

त्याग

मुझे एहसास है कि गणित के थोड़े से ज्ञान के बिना एक सुंदर निमिष दिल बनाया जा सकता है। लेकिन क्या यह वाकई दिलचस्प है?

चरण 1. दिल को परिमित करें।

शुरू करने के लिए, हमें एक गणितीय वस्तु की आवश्यकता है, कम से कम दूर से दिल जैसा दिखने वाला। सौभाग्य से, मेरे लिए यह कदम तुच्छ था: कुछ साल पहले मैंने इस मामले के लिए एक अद्भुत सूत्र खोजा था (सौंदर्य कारणों से, आंकड़े में ग्राफ क्षैतिज रूप से फैला है, वास्तव में, यह -1 और 1 के बीच फिट होना चाहिए)।



सूत्र को निम्नलिखित विचारों से खोजा गया था: एक साधारण वृत्त (x = cos (t); y = sin (t)) लें और कल्पना करें कि इसमें जेली शामिल है, जबकि y- अक्ष से दृढ़ता से जुड़ा हुआ है। अब हम इसे नीचे से "झटका" देंगे: हम खेलों को एक निश्चित कार्य w (x) = w (x (t)) के समन्वय में जोड़ते हैं, जो कि x = 0 पर शून्य के बराबर है, जो कि x> 0 पर और यहां तक ​​कि x में भी एकरूपता से बढ़ रहा है। इस तरह के एक "झटका" के बाद, सर्कल के हिस्सों को ऊपर की ओर शिफ्ट किया जाएगा, जिससे दिल का "उभार" बनेगा, और वाई अक्ष के लिए कठोर लगाव के कारण, एक निचला "पूंछ" और एक ऊपरी "डेंट" बनेगा। इस स्थिति में, w (x (t)) = | x | ^1/2 = | cos (t) | ^१/२ आप स्वयं एक और "फंक्शन फंक्शन" आज़मा सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या आता है

चरण 2. एक पैरामीट्रिक नौकरी से एक निहित कार्य तक।

हमारी कपटी योजना के लिए, पैरामीट्रिक समीकरण (x (t); y (t)) असुविधाजनक है; प्रपत्र f (x, y) = 0 का एक निहित कार्य बेहतर होगा। सब कुछ हमारे हाथ में है। तो, पैंट बारी:

x = cos (t)
y = sin (t) + | cos (t) | ^1/2
y - | x | ^1/2 = पाप (टी)
(y - | x | ^1/2 ) ² + x ² = 1 |
f (x, y) = (y - | x | ^1/2 ) ² + x ² - 1 = 0 |

चरण 3. एक अंतर्निहित फ़ंक्शन से दो चर के एक समारोह में। रंग समारोह।

हाथ पर f (x, y) के साथ, हम अंततः अपने सपने को पूरा कर सकते हैं: एक सुंदर रंग चित्र बनाने के लिए। ऐसा करने के लिए, हमें एक और फ़ंक्शन की आवश्यकता है: रंग फ़ंक्शन। इसे एक वास्तविक तर्क r लेना चाहिए और 0 से 255 तक पूर्णांक मान वापस करना चाहिए। यह भी वांछनीय है कि यह प्रत्येक अक्ष पर एकरस हो और शून्य पर अधिकतम हो। इस तरह के एक समारोह के रूप में, आप ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, यह:

c (r) = अधिकतम ([२५५ - १०० * | r |], ०)

यहां 100 "मैजिक नंबर" है, बाद में हम इसे "अच्छी प्रोग्रामिंग शैली" पैरामीटर के साथ पूरी तरह से बदल देंगे।
अब प्रत्येक बिंदु (x, y) के लिए हम रंग को rgb (c (f (x, y)), 0, 0) के रूप में सेट कर सकते हैं। वे बिंदु जो सीधे "दिल" चार्ट से संबंधित थे, चमकीले लाल हो गए (जीआईएफ पर गतिहीन प्रकाश रूपरेखा पर ध्यान दें)। जब आप ग्राफ से दूर जाते हैं, तो रंग तब तक फीका रहेगा जब तक कि वह उससे कुछ दूरी पर काला न हो जाए।

चरण 4. एक पैरामीटर जोड़ें, एक एनीमेशन बनाएं।

अब मैजिक नंबर 100 को पैरामीटर k के साथ बदलें। नया रंग फीचर इस तरह दिखता है:

c (r, k) = अधिकतम ([२५५ - k * | r |], ०)

आज्ञा देना समय का एक समारोह है। फिर समय में प्रत्येक क्षण छवि के प्रत्येक बिंदु के लिए हम उसके रंग (जो वास्तव में, एनीमेशन की गणितीय परिभाषा) की गणना कर सकते हैं। पहले तो मैं k (t) = 80 (sin (t) +1) जैसा कुछ लेना चाहता था। फिर, हालांकि, मुझे एहसास हुआ कि बड़ी संख्या में फ़्रेमों के साथ, जीआईएफ का वजन 640 किलोबाइट से अधिक होगा। दूसरी ओर, कम संख्या में फ्रेम के साथ, यह विश्लेषणात्मक कार्य k (t) से परेशान होने का कोई मतलब नहीं है। परिणामस्वरूप, स्पंदित हृदय प्राप्त करने के लिए, मैंने क्रमिक रूप से 80, 90, 100, 110, 120, 110, 100, 90 के k मूल्यों को असाइन किया और फिर इन मानों के लिए उत्पन्न छवियों को एक चक्रीय GIF में संयोजित किया। सामान्य तौर पर, यह सब है।

निष्कर्ष

दुर्भाग्य से, मैं अपनी प्रेमिका के लिए एक आश्चर्य की व्यवस्था करने में सक्षम नहीं था: जब वह एनीमेशन के लिए फ्रेम उत्पन्न करता था, तो वह मेरे पीछे ही चुपचाप बैठ जाती थी। हालाँकि, उसे यह पसंद आया।
कलाकारों, डिजाइनरों और अन्य कामरेड सौंदर्य की ऊँची भावना के साथ निश्चित रूप से कहेंगे कि दिल और अधिक सुंदर हो सकता था। भाग में, मैं उनसे सहमत हूं: तस्वीर दोषों के बिना नहीं है। हालांकि, इसकी असली सुंदरता गणितीय कठोरता में निहित है। मेरी प्रेमिका ने इसकी सराहना की। आपके बारे में क्या?