संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: गति के समीकरण

पिछले पोस्ट को लिखने के बाद , ऐतिहासिक और आंशिक रूप से विज्ञापन (हालांकि संभावित आवेदकों को इसे पढ़ने की संभावना नहीं है), हम "सार" में बातचीत के लिए आगे बढ़ सकते हैं। दुर्भाग्य से, यह संभावना नहीं है कि विवरण की उच्च लोकप्रियता हासिल करना संभव होगा, लेकिन फिर भी मैं सूखे व्याख्यान के पाठ्यक्रम की व्यवस्था नहीं करने की कोशिश करूंगा। हालांकि, सूखापन से छुटकारा पाना संभव नहीं था, और पोस्ट को ठीक एक महीने के परिणामस्वरूप लिखा गया था।

यह प्रकाशन एक आदर्श और चिपचिपा द्रव के लिए गति के मूल समीकरणों का वर्णन करता है। यदि संभव हो, तो उनके निष्कर्ष और भौतिक अर्थ की संक्षिप्त समीक्षा की जाती है, और उनके सटीक समाधानों के कई सरल उदाहरणों का वर्णन किया जाता है। काश, नवियर-स्टोक्स समीकरणों के विश्लेषणात्मक रूप से उपलब्ध समाधानों के ये कुछ उदाहरण बड़े पैमाने पर समाप्त हो गए हैं। आपको याद दिला दूं कि क्ले इंस्टीट्यूट ने सहस्राब्दी की समस्याओं के समाधान के अस्तित्व और सुगमता के प्रमाण को जिम्मेदार ठहराया। Perelman स्तर और ऊपर की प्रतिभा - कार्य आप इंतजार कर रहा है।

सतत मध्यम अवधारणा

इसलिए, "पारंपरिक" हाइड्रोडायनामिक्स, जो ऐतिहासिक रूप से विकसित हुआ है, बोलने के लिए, नींव एक सतत माध्यम का एक मॉडल है। यह पदार्थ की आणविक संरचना से विचलित होता है, और कई निरंतर क्षेत्र मात्राओं द्वारा माध्यम का वर्णन करता है: घनत्व, वेग (किसी दिए गए वॉल्यूम तत्व में अणुओं की कुल गति के माध्यम से निर्धारित) और दबाव। एक सतत माध्यम का मॉडल मानता है कि किसी भी अनंत मात्रा में अभी भी बहुत सारे कण हैं (जैसा कि वे कहते हैं, बहुत सारे ऊष्मप्रवैगिकी हैं - संख्याएं अवोगाद्रो संख्या के परिमाण के करीब हैं - 10 ²³ टुकड़े)। इस प्रकार, मॉडल तरल की आणविक संरचना की असंगति से नीचे से सीमित है, जो विशिष्ट स्थानिक तराजू की समस्याओं में पूरी तरह से महत्वहीन है।

हालांकि, यह दृष्टिकोण हमें टेस्ट ट्यूब या जलाशय में न केवल पानी का वर्णन करने की अनुमति देता है, और बहुत अधिक सार्वभौमिक है। चूंकि हमारे ब्रह्मांड व्यावहारिक रूप से बड़े पैमाने पर सजातीय हैं, फिर, विचित्र रूप से पर्याप्त, एक निश्चित पैमाने से शुरू, यह पूरी तरह से एक निरंतर माध्यम के रूप में वर्णित है, निश्चित रूप से, आत्म-गुरुत्वाकर्षण को ध्यान में रखते हुए।

अन्य, एक निरंतर माध्यम के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों में लोचदार निकायों, प्लाज्मा गतिशीलता और ढीले निकायों के गुणों का वर्णन है। आप लोगों के टोल को एक संपीड़ित तरल पदार्थ के रूप में भी वर्णित कर सकते हैं।

एक सतत माध्यम के सन्निकटन के समानांतर, हाल के वर्षों में गतिज मॉडल एक दूसरे के साथ बातचीत करते हुए छोटे कणों में माध्यम के विवेकाधिकार के आधार पर (सबसे सरल मामले में, ठोस गेंदों की तरह एक टक्कर द्वारा निरस्त) गति प्राप्त कर रहा है। यह दृष्टिकोण मुख्य रूप से कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के कारण उत्पन्न हुआ, हालांकि, इसने शुद्ध हाइड्रोडायनामिक्स में पर्याप्त रूप से नए परिणाम नहीं लाए, हालांकि यह प्लाज्मा भौतिकी की समस्याओं के लिए अत्यंत उपयोगी निकला, जो कि सूक्ष्म स्तर पर सजातीय नहीं है, लेकिन इसमें इलेक्ट्रॉन और सकारात्मक रूप से आवेशित आयन होते हैं। खैर, फिर से, ब्रह्मांड अनुकरण करने के लिए ।

निरंतरता का समीकरण। मास संरक्षण कानून

सबसे प्रारंभिक कानून। हमें कुछ पूरी तरह से मनमाना है, लेकिन सतह एफ (देखें। अंजीर) से घिरा द्रव वी की मैक्रोस्कोपिक मात्रा। इसके अंदर द्रव का द्रव्यमान अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है:



और आंदोलन के अलावा, इसके अंदर तरल को कुछ भी नहीं होने दें। यही है, कोई रासायनिक प्रतिक्रियाएं और चरण संक्रमण नहीं हैं, पंप या ब्लैक होल के साथ कोई ट्यूब नहीं। खैर, सब कुछ कम गति से और पदार्थ के छोटे द्रव्यमान के लिए होता है, क्योंकि सापेक्षता का कोई सिद्धांत, अंतरिक्ष की वक्रता, किसी तरल का आत्म-गुरुत्वाकर्षण (यह एक तारकीय पैमाने पर महत्वपूर्ण हो जाता है)। और वॉल्यूम को स्वयं और उसकी सीमाओं को गतिहीन होने दें। तब केवल एक चीज जो हमारे आयतन में द्रव्यमान को बदल सकती है, वह है इसका आयतन की सीमा पर प्रवाहित होना (निश्चितता के लिए, द्रव्यमान को आयतन में कमी होना):



जहां वेक्टर जम्मू सीमा के पार पदार्थ का प्रवाह है। बिंदु, हम याद करते हैं, अदिश उत्पाद है । चूंकि वॉल्यूम की सीमाएं, जैसा कि कहा गया था, तय की गई हैं, समय व्युत्पन्न को अभिन्न के तहत पेश किया जा सकता है। और दाहिने हाथ की तरफ गॉस-ओस्ट्रोग्रैडस्की प्रमेय द्वारा बायीं ओर वॉल्यूम को अभिन्न रूप में बदल दिया जा सकता है ।

नतीजतन, समानता के दोनों पक्षों में हमें एक ही पूरी तरह से मनमानी मात्रा पर एक अभिन्न अंग मिलता है, जो हमें पूर्णांक को समान करने और समीकरण के अंतर रूप में जाने की अनुमति देता है:



यहाँ (और आगे) वेक्टर हैमिल्टन ऑपरेटर का उपयोग किया जाता है। व्यावहारिक रूप से, यह एक सशर्त वेक्टर है जिसके घटक संबंधित निर्देशांक के संबंध में विभेदन संचालक हैं। इसकी मदद से, स्केलर, वैक्टर, उच्च रैंक के दसियों और अन्य गणितीय बुरी आत्माओं पर विभिन्न प्रकार के संचालन को बहुत संक्षेप में सूचित करना संभव है, जिनमें से मुख्य ढाल , विचलन और रोटर हैं । मैं उन पर विस्तार से ध्यान नहीं दूंगा, क्योंकि यह मुख्य विषय से विचलित करता है।

अंत में, पदार्थ का प्रवाह प्रति इकाई समय इकाई क्षेत्र के माध्यम से स्थानांतरित द्रव्यमान के बराबर होता है:



अंत में, एक सतत माध्यम के लिए जन संरक्षण कानून (जिसे निरंतरता समीकरण भी कहा जाता है) इस प्रकार है:



यह अभिव्यक्ति एक चर घनत्व के साथ एक माध्यम के लिए सबसे आम है। हकीकत में, प्रयोग तरल के एक बहुत ही कमजोर संपीड़ितता और घनत्व के लगभग निरंतर मूल्य को इंगित करता है, जो उच्च सटीकता के साथ आपको अपूर्णता की स्थिति के रूप में द्रव्यमान के संरक्षण के कानून को लागू करने की अनुमति देता है:



जो गैसों के लिए कम अच्छी सटीकता के साथ काम करता है, जबकि ध्वनि वेग की तुलना में प्रवाह वेग कम है।

यूलर समीकरण। संवेग के संरक्षण का नियम

ऊपर इस्तेमाल किए गए अभिन्न अंग को बदलने वाले जादू टोना की पूरी अपेक्षाकृत बोझिल प्रक्रिया हमें न केवल निरंतरता समीकरण देती है। वास्तव में एक ही अनिवार्य रूप से परिवर्तन गति और ऊर्जा के संरक्षण के नियमों को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं, और अंत में एक तरल के वेग के लिए और इसमें गर्मी हस्तांतरण के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं। हालांकि, अभी के लिए, हम बहुत जल्दी नहीं करेंगे, और हम केवल गति को संरक्षित नहीं करेंगे, बल्कि एक आदर्श अयोग्य तरल पदार्थ में गति को भी संरक्षित करेंगे - अर्थात। चिपचिपाहट की पूरी कमी के साथ एक मॉडल पर विचार करें।

तर्क व्यावहारिक रूप से समान है, केवल अब हम द्रव्यमान में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन समान मात्रा में तरल के पूर्ण गति में । यह बराबर है:



उपरोक्त शर्तों के तहत, वॉल्यूम में गति भिन्न हो सकती है:

• संवहन स्थानांतरण - अर्थात सीमा के पार गति के साथ आवेग "बहता" है
• आसपास के तरल तत्वों का दबाव
• केवल बाहरी ताकतों के कारण, उदाहरण के लिए - गुरुत्वाकर्षण से।

संबंधित अभिन्न (आदेश सूची से मेल खाती है) निम्नलिखित संबंध देते हैं:



चलो उन्हें बदलना शुरू करते हैं। सच है, इसके लिए आपको टेन्सर विश्लेषण और इंडेक्स के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है। अधिक विशेष रूप से, गॉस-ओस्ट्रोग्रैडस्की प्रमेय को सामान्यीकृत रूप में पहले और दूसरे अभिन्न पर लागू किया जाता है (यह न केवल वेक्टर क्षेत्रों के लिए काम करता है)। और यदि हम समीकरण के अंतर रूप में जाते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं:



सर्कल में एक क्रॉस टेंसर उत्पाद को इंगित करता है, इस मामले में, वैक्टर।

सिद्धांत रूप में, यह पहले से ही यूलर समीकरण है, लेकिन इसे थोड़ा सरल किया जा सकता है - आखिरकार, बड़े पैमाने पर संरक्षण के कानून को रद्द नहीं किया गया है। यहाँ अंतर ऑपरेटरों में कोष्ठक खोले और फिर समान शर्तों का हवाला देते हुए, हम देखेंगे कि तीनों शब्द निरंतरता समीकरण में सुरक्षित रूप से एकत्र किए गए हैं, और इसलिए कुल शून्य देते हैं। अंतिम समीकरण इस प्रकार है:



यदि हम एक चलते हुए तरल पदार्थ से संबंधित संदर्भ फ्रेम में जाते हैं (हम इस पर ध्यान केंद्रित नहीं करेंगे कि यह कैसे किया जाता है), तो हम देखेंगे कि यूलर समीकरण न्यूटन के दूसरे नियम को माध्यम की इकाई मात्रा के लिए व्यक्त करता है।

चिपचिपाहट के लिए लेखांकन। नवियर-स्टोक्स समीकरण

एक आदर्श तरल पदार्थ, निश्चित रूप से अच्छा है (हालांकि यह अभी भी निश्चित रूप से हल नहीं किया जा सकता है), लेकिन कई मामलों में चिपचिपापन लेखांकन आवश्यक है। यहां तक ​​कि एक ही संवहन में, पाइप के माध्यम से द्रव के प्रवाह के दौरान। चिपचिपाहट के बिना, ब्रह्मांडीय गति से पानी हमारे क्रेन से बाहर निकलेगा, और पानी में थोड़ी सी भी विषमता इसके अति तीव्र और तीव्र मिश्रण का कारण बनेगी। इसलिए, चलो अपने आप में तरल के प्रतिरोध को ध्यान में रखें।

यूलर समीकरण को विभिन्न (लेकिन समकक्ष, निश्चित रूप से) तरीकों से पूरक किया जा सकता है। हम दसियों के विश्लेषण की मूल तकनीक का उपयोग करेंगे - समीकरण लिखने का सूचकांक रूप। और जब हम बाहरी ताकतों को भी त्याग देते हैं, तो ऐसा न हो कि भुजाओं के नीचे / पैरों के नीचे / आँखों के सामने भ्रमित न हों (आवश्यक हो तो रेखांकित करें)। इस स्थिति में, समय व्युत्पन्न को छोड़कर सब कुछ एक ऐसे टेंसर के विचलन के रूप में एकत्र किया जा सकता है:



अर्थ में, यह एक तरल में गति प्रवाह घनत्व है। दूसरे टेंसर शब्द के रूप में इसमें चिपचिपाहट बलों को जोड़ना आवश्यक है। चूंकि वे स्पष्ट रूप से ऊर्जा (और गति) का नुकसान उठाते हैं, इसलिए उन्हें घटाया जाना चाहिए:



ऐसे टेंसर के साथ समीकरण में वापस जाने पर, हम एक चिपचिपे द्रव की गति के सामान्यीकृत समीकरण को प्राप्त करते हैं:



यह चिपचिपाहट के लिए किसी भी कानून की अनुमति देता है।

यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि प्रतिरोध गति की गति पर निर्भर करता है। चिपचिपाहट, जैसे विभिन्न वर्गों के साथ द्रव वर्गों के बीच गति हस्तांतरण, वेग ढाल पर निर्भर करता है (लेकिन स्वयं वेग पर नहीं - सापेक्षता का सिद्धांत इसे रोकता है)। यदि हम इस निर्भरता को रैखिक शब्दों में विस्तारित करने के लिए खुद को सीमित करते हैं, तो हमें ऐसी एक भयानक वस्तु मिलती है:



जिसमें व्युत्पन्न के सामने मूल्य में 81 गुणांक होते हैं। हालांकि, 81 गुणांक से तरल पदार्थ की समरूपता और समरूपता के बारे में पूरी तरह से उचित धारणाओं का उपयोग करते हुए, आप केवल दो में जा सकते हैं, और एक संपीड़ित माध्यम के लिए सामान्य मामले में, चिपचिपा तनाव टेंसर:



जहाँ where (यह) कतरनी चिपचिपाहट है, और z (ज़ेटा या ज़ेटा) थोक चिपचिपाहट है। यदि माध्यम भी असंगत है, तो एक कतरनी चिपचिपाहट गुणांक पर्याप्त है, क्योंकि दूसरा कार्यकाल। चिपचिपाहट का ऐसा नियम



इसे नवियर विधि कहा जाता है, और इसे प्रतिस्थापित करके प्राप्त गति का समीकरण नवियर-स्टोक्स समीकरण है:

सटीक समाधान

हाइड्रोडायनामिक्स की मुख्य समस्या इसके समीकरणों के सटीक समाधानों की कमी है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना कठिन है, यह अभी भी वास्तव में सार्वभौमिक परिणाम प्राप्त करना संभव नहीं है, और मुझे याद है कि क्ले इंस्टीट्यूट के मिलेनियम समस्याओं की सूची में नवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और चिकनाई का सवाल है।

हालांकि, इस तरह के दुखद तथ्यों के बावजूद, कुछ परिणाम हैं। सभी को यहां प्रस्तुत नहीं किया जाएगा, लेकिन केवल सबसे सरल मामले।

संभावित मुद्राएँ

विशेष रूप से ब्याज प्रवाहित होता है जिसमें द्रव नहीं घूमता है। ऐसी स्थिति के लिए, हम वेक्टर वेग क्षेत्र पर विचार करने से इनकार कर सकते हैं, क्योंकि यह स्केलर फ़ंक्शन - क्षमता के ग्रेडिएंट के माध्यम से व्यक्त किया गया है। क्षमता, हालांकि, अच्छी तरह से अध्ययन किए गए लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करती है, जिसका समाधान पूरी तरह से इस बात से निर्धारित होता है कि विचाराधीन क्षेत्र की सीमाओं पर क्या दिया गया है:



इसके अलावा, चिपचिपाहट की अनुपस्थिति में, दबाव को स्पष्ट रूप से यूलर समीकरण से भी व्यक्त किया जा सकता है, जो बिल्कुल उल्लेखनीय है और हमें समस्या के पूर्ण समाधान की ओर ले जाता है। आह, अगर यह हमेशा से इस तरह से था ... तो हाइड्रोडायनामिक्स, शायद, अब एक आधुनिक और प्रासंगिक उद्योग के रूप में मौजूद नहीं होगा।

इसके अलावा, यह मानते हुए कि द्रव प्रवाह द्वि-आयामी है, यह मानकर समस्या को सरल करना संभव है - कहते हैं, सब कुछ (एक्स, वाई) विमान में चलता है, और एक भी कण z अक्ष के साथ नहीं चलता है। यह दिखाया जा सकता है कि इस मामले में, गति को स्केलर फ़ंक्शन द्वारा बदला जा सकता है (इस बार, स्ट्रीम फ़ंक्शन द्वारा):



जो एक संभावित प्रवाह के साथ, कॉची-लैग्रेग की स्थितियों को एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत से संतुष्ट करता है और इसी गणितीय उपकरण का उपयोग करता है। इलेक्ट्रोस्टैटिक तंत्र के साथ पूरी तरह से संयोग। संभावित प्रवाह के सिद्धांत को उच्च स्तर पर विकसित किया जाता है, और, सिद्धांत रूप में, अच्छी तरह से समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला का वर्णन करता है।

सरल चिपचिपा द्रव बहता है

एक चिपचिपा तरल पदार्थ के लिए समाधान सबसे अधिक बार प्राप्त किया जाता है जब समस्या के समरूपता गुणों के कारण गैर-रैखिक शब्द नवियर-स्टोक्स समीकरण से बाहर हो जाता है।

कूप कतरनी प्रवाह

सबसे प्रारंभिक कार्य। एक निश्चित निचली और एक चल ऊपरी दीवार के साथ एक चैनल जो एक निश्चित गति से समान रूप से चलता है। सीमाओं पर, द्रव उनका पालन करता है, ताकि द्रव का वेग सीमा के वेग के बराबर हो। यह परिणाम एक प्रयोगात्मक तथ्य है, और किसी भी तरह पहले प्रयोगों के लेखकों का भी उल्लेख नहीं है, बस - प्रयोगों की समग्रता से।

ऐसी स्थिति में, Navier-Stokes समीकरण फॉर्म v '' = 0 का समीकरण बना रहेगा, और इसलिए चैनल में वेग प्रोफ़ाइल रैखिक होगी:



स्नेहन के सिद्धांत के लिए यह समस्या व्यावहारिक रूप से बुनियादी है, क्योंकि आपको उस बल को सीधे निर्धारित करने की अनुमति देता है जिसे आप एक विशिष्ट गति के साथ उसके आंदोलन के लिए ऊपरी दीवार पर लागू करना चाहते हैं।

पॉइज़ुइल करंट

दूसरा सबसे प्राथमिक चैनल में लामिना का प्रवाह है। या पाइप में। परिणाम एक है - वेग प्रोफ़ाइल परवलयिक है:



पॉइज़ुइल समाधान के आधार पर, चैनल अनुभाग के माध्यम से द्रव प्रवाह दर निर्धारित करना संभव है, लेकिन, केवल एक लामिना का प्रवाह और चिकनी दीवारों के साथ। दूसरी ओर, अशांत प्रवाह और खुरदरी दीवारों के लिए कोई सटीक समाधान नहीं हैं, लेकिन केवल अनुमानित अनुभवजन्य कानून हैं।

एक झुकाव विमान पर एक तरल परत की अपवाह

यहां - लगभग पॉइज़िल समस्या में, तरल की केवल ऊपरी सीमा मुक्त होगी। यदि हम मानते हैं कि कोई लहर इसके साथ नहीं चल रही है, और सामान्य तौर पर ऊपर से कोई घर्षण नहीं होता है, तो वेग प्रोफ़ाइल व्यावहारिक रूप से पिछले आंकड़े के निचले आधे हिस्से में होगी। सच है, अगर हम प्राप्त निर्भरता से औसत सादे नदी के लिए वर्तमान वेग की गणना करते हैं, तो यह लगभग 10 किमी / सेकंड होगा, और पानी को अनायास अंतरिक्ष में जाना चाहिए। प्रकृति में देखी गई कम प्रवाह दर प्रवाह की विकसित हो रही अस्थिरता और अशांति के साथ जुड़ी हुई है, जो प्रभावी रूप से पानी की चिपचिपाहट को लगभग 1 मिलियन गुना बढ़ाती है।

अगली पोस्ट में यह ऊर्जा के संरक्षण के कानून और द्रव प्रवाह के दौरान गर्मी हस्तांतरण के संबंधित समीकरणों के बारे में बात करने की योजना है।