सुई, धागा और पाई

यह पोस्ट आपको एक नाजुक स्थिति से बाहर निकलने में मदद करेगी। मान लें कि आपको एक कमरे में बंद कर दिया गया है, आपके पास धागे और सुई का एक कंकाल है, और आपसे आग्रह किया जाता है कि आप इन वस्तुओं का उपयोग करके पाई नंबर के अनुमानित मूल्य की गणना करें, ठीक है, कुछ भी हो सकता है, आप जानते हैं। इसलिए, आज, पेन्सिलवेनिया विश्वविद्यालय के कर्टन पर एक पाठ्यक्रम सुनकर मुझे अचानक पता चला कि यह कैसे करना है। यही कारण है कि मैं अनुमान नहीं लगा सकता, क्योंकि पीआई नंबर यहां छिपा है। यह पता चला कि इस मुद्दे की जड़ें 18 वीं शताब्दी की हैं, जब जॉर्जेस-लुई लेक्लर डी बफन ने खुद को निम्नलिखित कार्य निर्धारित किया: "मान लीजिए कि फर्श दो रंगों के लकड़ी के स्ट्रिप्स से बना है, वे वैकल्पिक रूप से; इस बात की क्या संभावना है कि फेंकी गई सुई इतनी गिरेगी कि वह दो स्ट्रिप्स को मिलाने वाली रेखा को पार कर जाएगी? ”इस प्रक्रिया का अनुकरण और प्रश्न का उत्तर कट के नीचे मिल सकता है।

सिमुलेशन

साज़िश को खराब न करने के लिए, आइए प्रयोग के साथ शुरू करें। तो, हमारे पास लंबाई एल की कई सुई हैं और हरे रंग के धागे का एक कंकाल है। हम सतह पर एक दूसरे से समान दूरी पर समान लंबाई के समानान्तर खंडों पर लागू होते हैं।



इस मैदान पर 100 सुइयां फेंके।



शायद थोड़ा। 900 और जोड़ें और सुइयों को चिह्नित करें जो धागे को लाल रंग में पार करते हैं।



मान लीजिए कि हमने एक बार में सभी सुइयों को नहीं फेंका, लेकिन एक बार में, और प्रत्येक चरण में दर्ज की गई सुइयों की संख्या का अनुपात जो थ्रेड्स की कुल संख्या के लिए थ्रेड्स पर गिर गया, जिससे संभावना का एक बड़ा और बड़ा अनुमान प्राप्त होता है कि सुई गिर जाएगी और थ्रेड को पार कर जाएगी। ।



यदि आप 10,000 सुइयों को गिराते हैं, तो चित्र अधिक सटीक होगा।



और अब हम निम्नलिखित परिवर्तन करेंगे: परिणामस्वरूप श्रृंखला की प्रत्येक संख्या द्वारा ड्यूस को विभाजित करें।



10,000 सुइयों के लिए पहले से ही अधिक सटीक है।



यदि हम श्रृंखला के अंतिम पाँच हजार सदस्यों का औसत पाते हैं, तो हमें 3.141685 मिलते हैं , जबकि संख्या पाई 3.141593 है ।

सामान्य तौर पर, यह किसी के लिए कोई रहस्य नहीं है कि अंतिम पंक्ति पाई में परिवर्तित होती है। लेकिन यह कैसे हो सकता है? मैंने इस बारे में 28 वर्ष की उम्र में पूर्वोक्त पाठ्यक्रम से सीखा था। हम मटन में डुबकी लगाएंगे।

सिद्धांत

हम सुई और उसके निकटतम रेखा को दाईं ओर मानेंगे। सुई के बाएं छोर से दूरी को एच द्वारा निरूपित किया जाता है, लाइन से विचलन का कोण एक है ।



जाहिर है, कोण से विपरीत पैर की लंबाई एक बार कर्ण की लंबाई के कोण के साइन के बराबर होगी। तब हम तर्क दे सकते हैं कि यदि कोण ए के विपरीत पैर से कम या उसके बराबर है , तो सुई धागे को पार करती है। चलो एक ग्राफ आकर्षित करते हैं:




यदि प्रत्येक फेंकी हुई सुई के लिए हम h और a को गिनते हैं और पिछले ग्राफ पर इन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, तो चित्र इस प्रकार होगा:



इस प्रकार, सुई धागा को पार करने की संभावना ग्राफ के आयत के क्षेत्र के आंकड़े के क्षेत्र के अनुपात के बराबर होगी, अर्थात, सुई की लंबाई का पाई गुना।



यहां से पाई संख्या का वांछित अनुमान प्राप्त किया गया है, जिसे पहले भाग में प्रयोग द्वारा दिखाया गया था।

संदर्भ

• पेंसिल्वेनिया यूनिवर्सिटी मेटन कोर्स
• बफन की सुई की समस्या