मजबूत अनुमान लगाने वाले

मैं तुरंत माफी मांगना चाहता हूं, मैंने अंग्रेजी साहित्य से मजबूत आकलनकर्ताओं के बारे में सीखा है, इसलिए कुछ शर्तें अंग्रेजी से सीधे ट्रेसिंग पेपर हैं, यह अच्छी तरह से हो सकता है कि रूसी-भाषा के साहित्य में मजबूत मूल्यांकन के विषय का अपना स्थिर गति है।



विश्वविद्यालय में अध्ययन करते समय, सांख्यिकी पाठ्यक्रम जो हमें सिखाया गया था (और यह 15 साल से अधिक समय पहले था) सबसे विशिष्ट था: संभावना सिद्धांत और अक्सर वितरण के माध्यम से एक परिचय। तब से इस सेमेस्टर कोर्स के बारे में मेरे सिर में ज्यादा कुछ नहीं बचा है। यह मुझे लगता है कि सांख्यिकीय भौतिकी के पाठ्यक्रम में बहुत बेहतर दिया गया है। बहुत बाद में, जीवन ने मुझे चिकित्सा भौतिकी के साथ सामना किया, जहां सांख्यिकीय तरीके एनएमआर टोमोग्राफी का उपयोग करके प्राप्त आंकड़ों के विश्लेषण के लिए मुख्य उपकरण हैं। यह पहली बार है जब मैं मजबूत आंकड़ों और मजबूत अनुमानकों के बीच आया हूं। तुरंत एक आरक्षण करें, मैं मजबूत अनुमानकों के उपयोग के केवल सरल उदाहरण दिखाऊंगा और साहित्य को लिंक दूंगा, जो रुचि रखते हैं वे इस लेख के अंत में साहित्य की सूची का उपयोग करके अपने ज्ञान को आसानी से गहरा और विस्तारित कर सकते हैं। आइए एक नमूना में एक विश्वसनीय अनुमान प्रदर्शित करने के लिए सबसे अधिक बार सामना किए गए सबसे सरल उदाहरण पर एक नज़र डालें। मान लीजिए छात्र वास्या एक भौतिक कार्यशाला में बैठता है और एक निश्चित उपकरण की गवाही लिखता है:

4.5
4.1
5.2
5.5
3.9
4.3
5.7
6.0
45
47

डिवाइस बहुत सटीक रूप से काम नहीं करता है, प्लस वसना एक लीना व्यवसायी के साथ बातचीत से विचलित होता है। परिणामस्वरूप, वसीली अंतिम दो प्रविष्टियों में दशमलव बिंदु नहीं रखते हैं, और वॉइला, हमें एक समस्या है।

एक कदम, हम अपने नमूने को आरोही क्रम में क्रमबद्ध करते हैं और औसत मूल्य की गणना करते हैं

माध्य = 13.12

यह तुरंत स्पष्ट है कि पिछले दो आउटलेर्स के नमूने में गिर जाने के कारण औसत मूल्य वास्तविक औसत से बहुत दूर है। उत्सर्जन के प्रभाव को ध्यान में रखकर औसत का अनुमान लगाने का सबसे आसान तरीका मंझला है

माध्य = 5.35

इस प्रकार, सबसे सरल मजबूत अनुमानक मध्यिका है; वास्तव में, हम देख सकते हैं कि 50% तक डेटा विभिन्न प्रकार के आउटलेर्स के साथ "प्रदूषित" हो सकता है, लेकिन मध्य का अनुमान नहीं बदलेगा। इस सरल उदाहरण का उपयोग करते हुए, कई अवधारणाओं को एक साथ पेश किया जा सकता है: आंकड़ों में मजबूती क्या है (डेटा में आउटलेर्स के संबंध में अनुमानों की स्थिरता), कितना इस्तेमाल किया अनुमानक मजबूत है (अनुमानों को महत्वपूर्ण रूप से बदलते हुए डेटा को "प्रदूषित" करना कितना संभव है) [1]। क्या माध्यिका अंक में सुधार किया जा सकता है? बेशक, आप एक और भी अधिक विश्वसनीय अनुमानक दर्ज कर सकते हैं, जिसे माध्य (औसत निरपेक्ष विचलन या MAT) से पूर्ण विचलन के रूप में जाना जाता है।

MAD = माध्यिका (! Xi-median [xj] |

एक सामान्य वितरण के मामले में, एमएडी से पहले एक संख्यात्मक कारक पेश किया जाता है, जो अनुमान को अपरिवर्तित रखने की अनुमति देता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, एमएडी की स्थिरता भी 50% है।

मजबूत अनुमानकर्ताओं ने रेखीय रजिस्टरों में महान व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया है। एक रैखिक निर्भरता (x, y) के मामले में, इस तरह की निर्भरता के बहुप्रतिक्षित अनुमानों को प्राप्त करना अक्सर आवश्यक होता है (अक्सर बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन के मामले में)

y = Bx + E ,

जहां बी पहले से ही गुणांक का एक मैट्रिक्स हो सकता है, ई कुछ शोर हमारे माप को खराब कर रहा है, और एक्स मापदंडों (वेक्टर) का एक सेट है, जिसे हम वास्तव में y (वेक्टर) के मापा मूल्यों का उपयोग करके मूल्यांकन करना चाहते हैं। ऐसा करने का सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध तरीका सबसे कम वर्ग विधि (सबसे कम वर्ग) [2] है। सिद्धांत रूप में, यह सुनिश्चित करना बहुत आसान है कि सबसे कम वर्ग विधि एक मजबूत अनुमानक नहीं है और इसकी मजबूत विश्वसनीयता 0% है, क्योंकि यहां तक ​​कि एक एकल रूपरेखा भी अनुमान को बदल सकती है। स्कोर में सुधार करने के लिए सबसे गणितीय सुंदर चालों में से एक को कम से कम छंटनी वाले वर्गों या "छंटनी" वर्गों (एमयूके) की विधि कहा जाता है। उनका विचार मूल रूप से मूल OLS को संशोधित करना है, जिसमें उपयोग किए जाने वाले अनुमानों की संख्या में कटौती की जाती है, अर्थात्:

मूल OLS

min \sum_{i=1}^N r_i^2, 

MUK

  min \sum_{i=1}^h {r_i^2}_{1:N}, 

जहां r_i पहले से ही अनुमानों (y - O (x)) की त्रुटियों का आदेश दे चुके हैं, अर्थात r_1 <r_2 <... <r_N । फिर, कोई भी आसानी से यह सत्यापित कर सकता है कि न्यूनतम ट्रिमिंग कारक, जो h = N / 2 + p का विश्वसनीय अनुमान देता है ( p स्वतंत्र चर की संख्या प्लस एक है), अर्थात्। मजबूत मूल्यांकन विश्वसनीयता फिर से लगभग 50% हो सकती है। वास्तव में, IUK बहुत सरल के साथ, घंटा की पसंद के साथ जुड़े एक गैर तुच्छ मुद्दे को छोड़कर। पसंद की पहली दृष्टि पद्धति को "दृष्टि से" के रूप में जाना जा सकता है। यदि नमूना जहां हम प्रतिगमन का संचालन करते हैं वह बहुत बड़ा नहीं है, तो आउटलेर्स की संख्या का अनुमान लगाया जा सकता है और कई करीबी मूल्यों की कोशिश करके चयनित ट्रिमिंग कारक, खासकर अगर अनुमान घटने / बढ़ने के साथ नहीं बदलता है। हालांकि, अधिक कठोर चयन मानदंड हैं [3,4], जो दुर्भाग्य से, रेखीय प्रतिगमन के मामले में भी गणना के समय में ध्यान देने योग्य वृद्धि का कारण बनते हैं।

साहित्य में अक्सर उपयोग किए जाने वाले अन्य प्रसिद्ध अनुमानकों की संक्षिप्त सूची [1]:

1) कम से कम वर्ग (औसत वर्ग विधि)

  min median r_i^2 

2) एम-, आर-, एस-, क्यू- अनुमानकर्ता, कुछ मूल्यांकन समारोह के आधार पर अनुमानक (उदाहरण के लिए, ओएलएस को एम-अनुमानक भी कहा जा सकता है), और
त्रुटि आकलन के विभिन्न रूपांतर (हाइपरप्लेन आदि को काटते हुए पल)।
3) नॉनलाइनर रिग्रेसमेंट के लिए अनुमानक [5]

क्योंकि सुविधा के लिए एक ढेर में कई काफी प्रकृति आकलनकर्ता में विभिन्न एकत्र इस सूची के अनुच्छेद दो, कुछ हद तक गलत है।

मजबूत अनुमानों के एक सरल लेकिन बहुत दिलचस्प अनुप्रयोग के रूप में, हम एनएमआर टोमोग्राफी [6] में प्रसार टेंसर का एक मजबूत अनुमान देते हैं। एनएमआर इमेजिंग अनुप्रयोगों में, ब्याज में से एक पानी के अणुओं जो मस्तिष्क में ब्राउनियन गति के अधीन हैं पर प्रसार माप कर रहे हैं। हालांकि, विभिन्न प्रतिबंध (न्यूरो-फाइबर के साथ आंदोलन, डेंड्राइड में, अंदर और बाहर की कोशिकाओं, आदि) के कारण उनके अलग-अलग प्रसार पैरामीटर हैं। छह अलग-अलग दिशाओं में माप करना (प्रसार टेंसर सकारात्मक निश्चित है, यानी हमें इसके तत्वों में से केवल 6 को जानने की जरूरत है), हम अच्छी तरह से ज्ञात सिग्नल क्षय मॉडल के माध्यम से, टेंसर को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। स्पंदनात्मक दिशाएं एक स्पंदित क्रम में ढाल कुंडल द्वारा कूटबद्ध की जाती हैं। हम मस्तिष्क में तंत्रिका धागे की एक छवि प्राप्त करने के लिए एक दीर्घवृत्त की तरह फैलने वाले तन्यता की कल्पना कर सकते हैं (उदाहरण के लिए विकी में एमआरआई प्रसार देखें)

)। तंतु का आदेश दिया जाता है कि कुछ अनुमानित वक्र tensors (प्रसिद्ध Runge-Kutta विधि के माध्यम से)। इस दृष्टिकोण को स्ट्रीमलाइन [7] कहा जाता है।

हालांकि, दिल की धड़कन के कारण, विभिन्न प्रकार की कलाकृतियों (चित्रों के अन्य प्रकारों की तुलना में), छाती की श्वसन गति, माप के दौरान सिर की हलचल, अलग-अलग टिक्स, अक्सर कंपित चुंबकीय स्विचन के कारण टेबल कांपना आदि में इस तरह के माप सबसे अमीर होते हैं। । इस प्रकार, पुनर्निर्मित विसरण टैंसर में वास्तविक मूल्यों से ध्यान देने योग्य विचलन हो सकते हैं और इसके परिणामस्वरूप, इसके स्पष्ट अनिसोट्रॉपी के मामले में गलत दिशा। यह तंत्रिका तंतुओं के पटरियों का उपयोग करने के तंत्रिका कनेक्शन की या अनुसूची सर्जरी करने के लिए संरचना के बारे में जानकारी का एक विश्वसनीय स्रोत के रूप में संभव नहीं है। वास्तव में, दृष्टिकोण, प्रसार टेन्सर तंत्रिका तंतुओं की छवि बहाल करने के लिए नहीं किया जाता है के आधार पर तो रोगियों के बहुमत अभी तक चिंतित नहीं कर सकता है।

मजबूत अनुमानकों का गणितीय सिद्धांत काफी दिलचस्प है, क्योंकि कई मामलों में यह पहले से ही ज्ञात दृष्टिकोणों पर आधारित है (इसका मतलब है कि अधिकांश कठोर और शुष्क सिद्धांत पहले से ही ज्ञात हैं), लेकिन इसमें अतिरिक्त गुण हैं जो अनुमानित परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से पूरक और सुधार सकते हैं। अगर हम MNC upomyanotomu पहले से ही करने के लिए वापस, तो भार कारकों की शुरूआत एक रेखीय प्रतिगमन के मामले में एक मजबूत आकलनकर्ता प्रदान करता है। अगला कदम अनुमानों में पुनरावृत्तियों को प्रस्तुत करके भारित कारकों को बदलना है, जिसके परिणामस्वरूप हमें अच्छी तरह से ज्ञात पुनरावृत्त कम से कम वर्गों का दृष्टिकोण मिलता है [2]।

मुझे आशा है कि मजबूत आंकड़े के साथ अपरिचित पाठक, मजबूत आकलनकर्ता की एक झलक मिल गया, और दोस्तों - अपने ज्ञान का दिलचस्प अनुप्रयोगों को देखने के लिए।

साहित्य

1. रूससी पीजे, लेरॉय एएम, रोबस्ट रिग्रेशन और आउटलाइयर डिटेक्शन। विली, 2003।
2. बोज़र्क ए, न्यूमेरिकल तरीके कम से कम वर्गों की समस्याओं के लिए। SIAM, 1996।
3. Agullo, कंप्यूटिंग कम से कम छंटनी वर्गों प्रतिगमन आकलनकर्ता के लिए जे नई एल्गोरिथ्म। कम्प्यूटेशनल सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण 36 (2001) 425-439।
4. हॉफमैन एम, गट्टू सी, कोंथोघोरघेस ईजे। कवरेज मानों की एक सीमा के लिए एक सटीक कम से कम छंटनी वाले वर्ग एल्गोरिथ्म। कम्प्यूटेशनल और ग्राफिकल आंकड़ों के जर्नल 19 (2010) 191-204।
5. मोटुलस्की एचजे, ब्राउन आरई। ग़ैर-प्रतिगामी प्रतिगमन के साथ डेटा फिटिंग करते समय आउटलेर्स का पता लगाना - एक नया तरीका जो कि नॉनलाइनियर रिग्रेशन और मजबूत खोज दर पर आधारित है। बीएमसी बायोइनफॉरमैटिक्स 7 (2006) 123।
6. नियंत्रण रेखा बदलें, जोन्स डीके, Pierpaoli सी पुनर्स्थापित: oulier अस्वीकृति द्वारा tensors के मजबूत आकलन। मेडिसिन 53 (2005) 1088-1085 में चुंबकीय अनुनाद।
7. जोन्स डीके, डिफ्यूजन एमआरआई: सिद्धांत, विधियाँ और अनुप्रयोग। ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010।