संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: ऊर्जा संरक्षण

एक बार फिर, मैं योजनाबद्ध श्रृंखला में पदों के धीमे लेखन के लिए माफी माँगता हूँ। इस बार, देरी का कारण वियना में एक सम्मेलन के रूप में उद्देश्य है, हालांकि इसकी अपनी भागीदारी के रूप में एक महत्वपूर्ण व्यक्तिपरक घटक है और तैयारी और भुगतान के कुछ नौकरशाही पहलुओं।

यह पोस्ट एक आदर्श और चिपचिपे तरल पदार्थ में ऊर्जा संरक्षण के नियमों पर चर्चा करता है। वे स्पष्ट रूप से गति के पूर्ण विवरण के लिए आवश्यक हैं, हालांकि, इज़ोटेर्मल मामले में इस तरह के रूप में कोई गर्मी हस्तांतरण नहीं है, और इसलिए यह वर्णन करने के लिए नवियर-स्टोक्स समीकरण और निरंतरता समीकरण का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है। मुझे उम्मीद है कि यह पोस्ट सामान्य सिद्धांत का वर्णन करने वाले अमूर्त पदों में से अंतिम होगा और व्यावहारिक रूप से विशिष्ट समस्या बयानों से बंधा नहीं है।

पिछले पोस्ट:
संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: क्या आपको याद है कि यह सब कैसे शुरू हुआ?
संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: गति के समीकरण



मैं गणना की संख्या को कम करने की कोशिश करूंगा, क्योंकि वे निश्चित रूप से महत्वपूर्ण हैं, लेकिन परिमित समीकरणों के रूप में परिणाम अधिक महत्वपूर्ण हैं।

एक परिपूर्ण तरल पदार्थ में ऊर्जा का स्थानांतरण

तो ऊर्जा संरक्षण। विवरण के लिए दृष्टिकोण बिल्कुल मानक है - हम एक निश्चित मात्रा का परिचय देते हैं, पाते हैं कि कौन से तंत्र इसके परिवर्तन के लिए जिम्मेदार हैं और संरक्षण कानून को पहले अभिन्न रूप में लिखते हैं, और फिर, अंतर में गौस प्रमेय द्वारा सभी सतह इंटीग्रल को वॉल्यूम इंटीग्रल में घटाते हैं।

शास्त्रीय हाइड्रोडायनामिक्स में एक तरल की ऊर्जा, जो विद्युत चालकता के रूप में इस तरह के प्रभाव को भी ध्यान में नहीं रखती है और बाहरी और आंतरिक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के साथ संबंधित बातचीत, आंतरिक और गतिज ऊर्जा के होते हैं। यह ऐसे अभिन्न के बराबर है:



तरल पदार्थ के प्रवाह के साथ-साथ सरल प्रवाह के कारण हमारे वॉल्यूम V के भीतर ऊर्जा भिन्न हो सकती है, बाहरी द्रव तत्वों से दबाव बलों का काम और बाहरी बलों के काम (गुरुत्वाकर्षण के उदाहरण पर नीचे दिखाया गया है):



एक आदर्श तरल पदार्थ में कोई घर्षण नहीं होता है, और इसलिए चिपचिपाहट के कारण कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं होता है। इसके अलावा, गर्मी प्रवाहकत्त्व प्रक्रियाओं को यहां उपेक्षित किया जाता है, जो ऊर्जा अपव्यय के एक अन्य तंत्र की अनुपस्थिति के रूप में एक आदर्श तरल पदार्थ में भी निहित है। विभेदक रूप में, कुल ऊर्जा के संरक्षण का नियम इस प्रकार है:



हालांकि, इसे सुरक्षित रूप से सरलीकृत किया जा सकता है। यूलर समीकरण (पिछली पोस्ट देखें) का उपयोग करते हुए, स्केलरली को गति से गुणा किया जाता है, हम प्राप्त संरक्षण प्रणाली से निम्नलिखित भाग को अलग कर सकते हैं:



और यह पहले से ही और भी सरल रूप में परिवर्तित हो रहा है:



यहां आप पहले से ही ऊष्मप्रवैगिकी को याद कर सकते हैं। थर्मोडायनामिक्स का पहला नियम (तरल की विशिष्ट मात्रा के लिए (जैसे, एक मात्रा जिसका द्रव्यमान एकता के बराबर है) के लिए चिह्नित:



आपको ऊर्जा, एन्ट्रापी और घनत्व के व्युत्पन्न को स्पष्ट रूप से जोड़ने की अनुमति देता है (वॉल्यूम मान के पारस्परिक रूप से)। ऊर्जा के समीकरण में राशियों के अंतर के इस संबंध का उपयोग करना:



द्रव्यमान के संरक्षण के कानून के साथ-साथ, हम एक और समीकरण प्राप्त करते हैं जो एक तरल में एन्ट्रॉपी के विकास का वर्णन करता है:



तरल पदार्थ के उस तत्व से जुड़े संदर्भ के एक बढ़ते फ्रेम में जिसके लिए यह सब लिखा गया है, समीकरण और भी सरल करता है:



यही है, एक व्यक्तिगत मनमाना तरल कण (एक आदर्श तरल में) का एन्ट्रापी संरक्षित है। एन्ट्रॉपी केवल प्रवाह द्वारा निष्क्रिय रूप से किया जाता है, साथ ही माध्यम के दबाव और घनत्व को राज्य के समीकरण से जोड़ता है।

चिपचिपाहट के लिए लेखांकन। गर्मी का समीकरण

अब हम चिपचिपा और गर्मी का संचालन करने वाले अपव्यय को ध्यान में रखते हैं। अभिन्न रूप में, उन्हें संरक्षण कानून में अतिरिक्त शर्तों की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है:



वे एक द्रव तत्व की सीमा पर चिपचिपा घर्षण बल के कार्य और सीमा के माध्यम से गर्मी प्रवाह का वर्णन करते हैं। विभेदक रूप में, कुल ऊर्जा के संरक्षण का समीकरण:



सामान्य रूप में गति हस्तांतरण समीकरण (एक मनमाना चिपचिपा तनाव टैंसर के लिए) और निरंतरता समीकरण (अर्थात्, गति चक्र के द्वारा द्रव्यमान के संरक्षण के नियम को गुणा करके, गति द्वारा संरक्षण के नियम को गुणा करके, उन्हें एक साथ जोड़कर और घटाकर इस संबंध पर कई कार्य किए गए हैं। कुल ऊर्जा के लिए समीकरण से परिणाम), हम गतिज ऊर्जा के साथ शर्तों से छुटकारा पाएँगे:



यहां एक विघटनकारी कार्य उत्पन्न होता है, जो चिपचिपा तनाव टेंसर और टेंसर के दोहरे आक्षेप के बराबर होता है, जिसे सशर्त रूप से कभी-कभी वेग ढाल कहा जाता है:



यहाँ द्रव्यमान संतुलन और ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम लागू करना, इसी तरह ऊपर कैसे किया गया था, हम एंट्रॉपी के संतुलन के समीकरण पर आते हैं:



यह देखा जा सकता है कि यह एक गैर-दाएं हाथ की ओर केवल एक आदर्श तरल पदार्थ में समीकरण से अलग है। एक असंगत तरल पदार्थ के लिए, हम सुरक्षित रूप से एन्ट्रापी से अधिक मूर्त मूल्य तक, अर्थात तापमान तक, निरंतर दबाव पर ताप क्षमता की परिभाषा का उपयोग करके पास कर सकते हैं:



अंत में, विघटनकारी कार्य को उपेक्षित किया जा सकता है, क्योंकि यह आंतरिक घर्षण के कारण रिलीज का वर्णन करता है, और इसलिए यह बहुत ही उच्च चिपचिपाहट वाले तरल पदार्थों में महत्वपूर्ण है, और गर्मी प्रवाह के लिए थर्मल चालकता के फूरियर कानून का उपयोग करता है, जो इसे तापमान के संदर्भ में व्यक्त करने की अनुमति देता है:



परिणाम एक असंगत चिपचिपा द्रव का ऊष्मा समीकरण है:



उनके अनुसार, तरल प्रवाह के साथ प्रत्यक्ष संवहन परिवहन के साथ-साथ आणविक तापीय चालकता (दाईं ओर) के काफी सामान्य तंत्र के कारण एक तरल तत्व का तापमान बदलता है।

संवहन। Boussinesq के पास पहुँचना

दरअसल, हब पर संवहन समस्या के वर्णन के साथ , यह संपूर्ण हाइड्रोडायनामिक "बूथ" शुरू हुआ। तो, हम असंगत चिपचिपा तरल के एक जार को देखते हैं, उदाहरण के लिए, पानी। वॉल्यूम में एक अमानवीय तापमान के मामले में इसका आंदोलन तीन समीकरणों द्वारा वर्णित है:



सामान्य स्थिति में, इस प्रणाली में घनत्व, दबाव और तापमान से संबंधित राज्य का एक समीकरण भी शामिल होता है। हालांकि, तब तरल को अब अयोग्य नहीं माना जा सकता है। हालांकि, अभ्यास (और गणित) से पता चलता है कि पर्याप्त सटीकता के साथ गुरुत्वाकर्षण के साथ शब्द को छोड़कर, हर जगह घनत्व को स्थिर रखा जा सकता है। इसके अलावा, यह तापमान में रैखिक विस्तार के लिए खुद को सीमित करने के लिए पर्याप्त है:



तुरंत, हम ध्यान दें कि यहां अब पूर्ण तापमान दर्ज नहीं किया गया है, लेकिन पहले से ही एक निश्चित "शून्य" स्तर से विचलन है, जिस पर घनत्व है । गर्मी समीकरण हमें इस तरह से लिखने की अनुमति देता है, क्योंकि यह रैखिक है और ऐसी पारियों के लिए अपरिवर्तनीय है। तापमान-स्वतंत्र भाग (हाइड्रोस्टैटिक ग्रेडिएंट) के गुरुत्वाकर्षण के घटक को अलग करना और दबाव में छिपाना संभव है:



और फिर हम Boussinesq सन्निकटन में संवहन समीकरणों पर आते हैं:



यह मॉडल व्यावहारिक रूप से संवहन घटनाओं के अध्ययन में उपयोग किया जाता है, और इसके आधार पर बहुत अधिक संख्या में विभिन्न परिणाम प्राप्त किए गए थे। विशेष रूप से, द्रव संतुलन और अन्य की स्थिरता की समस्याओं में।

उपकरण समस्या

मैं इस विषय से थोड़ा सा पीछे हट जाऊंगा, हालांकि मैं पूरी तरह से समझता हूं कि यह केवल एक अनावश्यक और विचलित करने वाली चर्चा को प्रज्वलित कर सकता है।

क्या आप जानते हैं कि पिछली पोस्ट पर टिप्पणियों में आपको क्या आश्चर्य हुआ था? तथ्य यह है कि पाठक गणनाओं के गणितीय कठोरता के मुद्दे पर बहुत ध्यान देते हैं, जो सामान्य तौर पर, पर्याप्त नहीं है। हाइड्रोडायनामिक्स को फ्रांसीसी भौतिकवाद के शासनकाल के दौरान यूलर और नवियर द्वारा बनाया गया था, जब विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के कठोर परिणाम पूरी दुनिया का वर्णन करते थे। लेकिन इन परिणामों की गंभीरता का स्तर यह है कि यह उन दिनों में क्या हो सकता है, बमुश्किल सिर्फ न्यूटन और अन्य अंतर कैलकुलस द्वारा बनाया गया था, और अधिक नहीं। और वह आज तक बना हुआ है, और हाइड्रोडायनामिक्स की गणितीय कठोरता समान है। व्यवहार में, यह विज्ञान का अंतिम शास्त्रीय क्षेत्र है, जिसमें अभी भी अनसुलझे मूलभूत समस्याएं हैं। शायद उन्हें ठीक से हल नहीं किया गया है क्योंकि वे उस पुराने में तैयार किए गए हैं, बहुत विकसित नहीं हैं और महत्वपूर्ण साधनों से समृद्ध नहीं हैं। मुझे याद है कि गणित में कुछ घटनाक्रम हैं, जहां नवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए उपकरण लागू किया जाता है, जब तक आप याद करते हैं, तब तक डायक बिस्पिनर्स और गामा मैट्रिस (क्वांटम फील्ड सिद्धांत का आधार) या इससे भी बदतर। लेकिन वे अभी भी अलग और लगभग अज्ञात हैं।

व्यक्तिगत रूप से, मैं मानता हूं कि नवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल करने के लिए तंत्र का विकास अभी तक नहीं हुआ है। आखिरकार, जैसा कि आप जानते हैं, ये समीकरण पूरी तरह से आदेशित लामिना के प्रवाह और अशांति की अराजकता दोनों का वर्णन करते हैं। और इसके लिए समीकरणों में आपको केवल एक नियंत्रण पैरामीटर बदलना होगा। जैसा कि गैर-रैखिक प्रणालियों (एक ला लॉरेंत्ज़ सिस्टम ) में, जिसमें सामान्य विश्लेषणात्मक समाधान भी नहीं होते हैं, और सामान्य तौर पर, गणितीय कार्यों के रूप में समाधानों के गुणों का एक विशिष्ट विस्तृत विश्लेषण होता है। व्यवहार के स्तर पर बहुत कुछ - यहाँ अराजकता है, आदेश है, सिंक्रनाइज़ेशन है, पैरामीटर का प्रभाव है, और संक्रमण, जाहिर है, इस तरह से होता है। लेकिन न तो समाधान की चिकनाई, न ही उनके अस्तित्व ऐसी समस्याओं में एक सवाल है, नवियर-स्टोक्स के विपरीत। आखिरकार, हम अभी भी व्यावहारिक रूप से नहीं जानते हैं कि क्या उनके सामान्य चिकनी समाधान मौजूद हैं।

टिप्पणियों में "नबला एक रूप है" जैसी चीजों को देखकर, मैंने पहली बार सोचा कि क्या मैं अपनी शिक्षा में कुछ चूक गया था। हां, मेरे पाठ्यक्रमों में विभिन्न प्रकार के एन-रूपों के बारे में यह उल्लेख किया गया था (लेकिन कोई और नहीं) एक सेमेस्टर विशेष पाठ्यक्रम में भौतिकी में समूह सिद्धांत कहा जाता है, जो, हालांकि, गंभीर संरचित प्रस्तुति की कमी के कारण बहुत कुछ सीखा नहीं जा सकता था। लेकिन किसी को कभी यह अनुमान लगाने की ज़रूरत नहीं है कि नबला एक वेक्टर है या नहीं। भौतिकी में, जो कि स्तर के गणितीय समस्याओं की चिंता नहीं करता है, कहते हैं, सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत और इसके लिए स्वाभाविक रूप से आवश्यक अंतर ज्यामिति, नाबला हमेशा लगभग एक वेक्टर रहा है। बेशक, बिल्कुल सामान्य नहीं, उनके साथ नहीं आना और कई अन्य संपत्तियां रखना। एक साधारण, सामान्य रूप से, यहां तक ​​कि एक साधारण ऑपरेटर जो दिखाता है कि वेक्टर का कौन सा घटक और हम कैसे अंतर करेंगे। यह सिर्फ एक उपकरण है जिसे हम निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर उपयोग कर सकते हैं और महसूस कर सकते हैं कि हमें किसी उपयुक्त क्षेत्र की सीमा से परे जाते समय इसकी उपयुक्तता की जांच करने की आवश्यकता है, यहां तक ​​कि, उदाहरण के लिए, जब कार्टेशियन से समान गोलाकार में चलते हैं।

कभी-कभी आप हथौड़ा की संरचना को समझने में बहुत अधिक समय बिता सकते हैं, लेकिन आप वास्तव में यह नहीं सीख सकते कि इसके साथ नाखूनों को कैसे लगाया जाए। उदाहरण के लिए, इसका आकार ऐसा क्यों है, अलग-अलग हथौड़ों का अलग आकार क्यों है, और फिर गहरी खुदाई शुरू करें - धातु चमक क्यों नहीं है, और एक लकड़ी का हैंडल आदि नहीं है, लेकिन इस समझ से हथौड़ा के सबसे लगातार उपयोग का सार नहीं बदलेगा। वे नाखूनों को हथौड़ा देंगे, धातु को मंडरेल पर संरेखित करेंगे, आदि। - वे अभी भी खटखटाए जाएंगे, अधिमानतः उंगलियों पर नहीं।

इस स्तर पर क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के तंत्र के साथ मेरा व्यक्तिगत परिचित है। सिद्धांत के अनुसार - मुझे याद है कि कुछ बीत गया। इसके अलावा, यहां तक ​​कि प्रशिक्षण मैनुअल भी पिछले साल इस विषय के शिक्षक के साथ प्रकाशित किया गया था, लेकिन किसी तरह यह अभी भी किनारे पर है - मैं ऐसा नहीं कर रहा हूं।

आगे

अगली पोस्ट संतुलन और स्थिर प्रवाह के लिए स्थिरता की समस्याओं के लिए समर्पित होगी। एक बार फिर, हम देखेंगे कि हाइड्रोडायनामिक्स की सबसे सरल समस्याओं को भी विश्लेषणात्मक रूप से पूर्ण रूप से हल नहीं किया जा सकता है, और इसलिए हमें कई अलग-अलग, पहली नज़र में बहुत ही विवादास्पद, लेकिन एक ही समय में पूरी तरह से काम करने और अच्छी तरह से जमी हुई विधियों को लागू करना होगा। मुझे उम्मीद है कि हम पहले से ही अमूर्त से अधिक मूर्त चीजों में जाने में सक्षम होंगे।