संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: स्थिरता सिद्धांत

खैर, हम जारी रखते हैं। हम क्या हाइड्रोडायनामिक्स के लिए काफी मोहक लग रहा है के करीब ले जाएँगे, और यथासंभव सुंदर और सशर्त रूप से सुंदर चित्रों को जोड़ने का प्रयास करेंगे।

एक फ्लैट चैनल में प्रवाह स्थिरता की समस्या के उदाहरण पर पाठ में थोड़ा और सिद्धांत लिखा जाएगा। वास्तव में, ऐसी कई समस्याएं हैं - परतों में और विभिन्न आकृतियों के सीमित गुहाओं में, ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और झुकी हुई परतों में, साधारण तरल पदार्थों में और छिद्रपूर्ण मीडिया में, एक चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में एक प्रवाहकीय तरल पदार्थ में, और तापमान के प्रभाव में कुछ नमक के घोल में। मनमाने ढंग से निर्देशित कंपन के प्रभाव के तहत, दो तरल पदार्थों के बीच इंटरफेस में ... सामान्य तौर पर, जलविद्युत के सभी sublevels का एक मात्र जोड़ कुछ घंटों का समय ले सकता है, और फिर यह सब कुछ याद रखने की संभावना नहीं है। और अतिरिक्त कारकों (लगभग 700 बीबी की छवियों) के प्रभाव के बिना प्रवाह के विशुद्ध रूप से हाइड्रोडायनामिक अस्थिरता के कई उदाहरण भी दिखाए जाएंगे।

पिछले पदों को बाद के पदों में सूत्रों का गणितीय और शब्दार्थ आधार प्रदान करने के लिए लिखा गया था।

संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: क्या आपको याद है कि यह सब कैसे शुरू हुआ?
संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: गति के समीकरण
संक्षेप में हाइड्रोडायनामिक्स के बारे में: ऊर्जा संरक्षण



सामान्य रूप से स्थिरता का सिद्धांत एक बहुत व्यापक क्षेत्र है जिसे सैद्धांतिक यांत्रिकी और रैखिक और गैर-रेखीय दोलनों (जहां यह सबसे विकसित है) के सिद्धांतों में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, यह हाइड्रोडायनामिक स्थिरता के सिद्धांत को धारण करता है, अध्ययन की गई वस्तु की बारीकियों और समीकरणों की संबंधित प्रणालियों के कारण। सरलतम (और, शायद, मौलिक) उदाहरणों के एक जोड़े पर विचार करें।

द्वि-आयामी प्रवाह स्थिरता

हमें एक असंगत चिपचिपा द्रव का कुछ मनमाना प्रवाह है। स्वाभाविक रूप से, यह नवियर-स्टोक्स समीकरणों द्वारा वर्णित है:




समीकरण अभी भी आयामी रूप में हैं। लेकिन वे आगे के काम के लिए सुविधाजनक रूप से बेपरवाह हैं, क्योंकि यह ऑपरेशन मापदंडों की संख्या को कम करता है और तुरंत आपको यह स्थापित करने की अनुमति देता है कि सिस्टम के व्यवहार में कौन से तंत्र सबसे महत्वपूर्ण हैं। आयामहीनता की प्रक्रिया सभी चर को इस तरह से कम करने के लिए कम की जाती है जैसे कि मापदंडों की संख्या को कम करने के लिए। सबसे अधिक बार, समय का पैमाना निर्धारित किया जाता है - हम चारित्रिक समय को इसकी इकाई के रूप में चुन सकते हैं, जिसके दौरान इसकी विशेषता गति के साथ प्रवाह चैनल की कुछ विशेषता लंबाई को पार कर जाएगा (संक्षिप्तता के लिए, हम इसे गतिज कहते हैं, क्योंकि यह विद्यालय के संबंध समय = दूरी / दूरी से निर्धारित होता है) गति, लेकिन ऐसा शब्द कहीं भी नहीं पाया जाता है), नाड़ी का स्थानांतरण समय (चिपचिपा समय), गर्मी (थर्मल समय), बाहरी प्रभाव, आदि। चैनल में गति के समीकरणों के लिए, गतिज समय लेना सबसे सुविधाजनक है, गति, लंबाई के कुछ मनमाने पैमाने को इंगित करें, और समीकरण के सबसे बड़े सरलीकरण के आधार पर दबाव के लिए एक पैमाने चुनें:



जब हम समीकरण में तराजू को प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अरेखीय शब्द के सामने घनत्व और कारक द्वारा कम करते हैं, तो हम देखते हैं कि सभी गुणांक एकात्मकता के बराबर हो जाते हैं, जिसमें अस्पष्ट शब्द का अपवाद होता है। वहाँ मापदंडों का एक संयोजन उलटा रेनॉल्ड्स संख्या व्यक्त करता है:



आयामहीन होने पर अपनी तरह का दूसरा समीकरण नहीं बदलता है। इस प्रकार, रेनॉल्ड्स संख्या एकमात्र पैरामीटर है जो सिस्टम के व्यवहार को निर्धारित करता है।



ठाठ यह है कि प्रवाह के टुकड़े टुकड़े या अशांति के लिए केवल यह एक पैरामीटर जिम्मेदार है, जबकि समीकरण थोड़ा नहीं बदलते हैं।

आगे मान लीजिए कि हमारे पास कुछ स्थिर, समय-गतिमान प्रवाह है , और इस प्रवाह के कुछ अपरिमेय छिद्र हैं:



आप इस रूप में सिस्टम में गति और दबाव को सुरक्षित रूप से स्थानापन्न कर सकते हैं, सब कुछ छोड़ सकते हैं जिसमें केवल गति और दबाव के स्थिर क्षेत्र शामिल हैं, क्योंकि वे अपने दम पर समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और पूरे सिद्धांत में नॉनलाइन शब्द की उपेक्षा सबसे महत्वपूर्ण कदम है। क्योंकि हम गड़बड़ियों को अपरिमेय मानते हैं, फिर रूप का एक शब्द दूसरे क्रम का असीम हो जाता है। इसलिए, यह कहते हुए कि हम एक ऐसे क्षेत्र में काम कर रहे हैं जहाँ गड़बड़ी को अभी भी छोटा माना जा सकता है (यानी, भविष्य की अस्थिरताओं के विकास की शुरुआत में), हम गैर-रैखिकता को सुरक्षित रूप से त्याग सकते हैं। नतीजतन, दो रैखिक समीकरण बने हुए हैं, चर गुणांकों के साथ:



यह प्रणाली हाइड्रोडायनामिक स्थिरता के रैखिक सिद्धांत के समीकरणों की बुनियादी प्रणाली है, और सबसे सामान्य स्थितियों का वर्णन करती है। आइए अब हम एक और विशिष्ट स्थिति को देखते हैं - एक निश्चित चैनल में विमान-समानांतर प्रवाह की स्थिरता। सब कुछ ( x , z ) प्लेन में होता है, और y अक्ष के साथ चैनल असीम रूप से विस्तारित होता है - अर्थात, विशुद्ध रूप से द्वि-आयामी प्रवाह। स्थिर समाधान में केवल एक घटक होता है, जो चैनल के अनुप्रस्थ समन्वय पर निर्भर करता है, और गड़बड़ी के दो घटक होते हैं:



हम यह भी स्वीकार करते हैं (चूंकि समीकरण रैखिक हैं और घातीय उनके लिए एक विशिष्ट समाधान है) घातीय समय निर्भरता । इस तरह की गड़बड़ी को आमतौर पर "सामान्य" कहा जाता है, हालांकि इस शब्द का इतिहास अस्पष्ट है। संकेतित निर्भरता को प्रतिस्थापित करना और अक्ष पर अनुमानों में समीकरणों को लिखना, हम विमान के गड़बड़ी के लिए एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। इसके अलावा, इसमें गुणांक x निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए यह अतिरिक्त रूप से माना जा सकता है कि इस अक्ष पर आवधिक आवधिक हैं - वास्तव में, यह एक फूरियर श्रृंखला में विस्तार करने के करीब है और केवल एक घटक पर विचार कर रहा है: । यह इस तरह की प्रणाली को बदल देता है, पहले से ही सामान्य अंतर समीकरणों से (प्रधानमंत्री z के संबंध में व्युत्पन्न को दर्शाता है):



मध्यवर्ती परिवर्तनों को स्वीकार करना जो सरल हैं लेकिन कुछ पृष्ठों को लेते हैं, हम संकेत करते हैं कि इस प्रणाली को वेग घटक w के लिए एक एकल समीकरण में घटाया जा सकता है:



यदि हम इसमें जटिल वृद्धि लिखते हैं और गड़बड़ी के चरण वेग का परिचय देते हैं



हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जिसे Orr-Sommerfeld समीकरण के रूप में जाना जाता है:



प्रवाह के हाइड्रोडायनामिक स्थिरता का संपूर्ण रैखिक सिद्धांत इस समीकरण पर आधारित है। सच है, इसके लिए कोई सटीक समाधान नहीं हैं, स्थिर प्रवाह और सीमा की स्थिति की परवाह किए बिना, हालांकि बाह्य रूप से सब कुछ बेहद सरल दिखता है और कार्य बंद है।

इस समस्या को हल करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण थे। उदाहरण के लिए, बड़े रेनॉल्ड्स संख्याओं के सन्निकटन में रेले ने केवल दाहिने हाथ की ओर उपेक्षा की। बेशक, यह हमेशा सही नहीं होता है, क्योंकि चौथे डेरिवेटिव आसानी से हर के लिए क्षतिपूर्ति कर सकते हैं। सच है, यह अभी भी समीकरण को हल करने के लिए संभव नहीं था, लेकिन यह प्रवाह की स्थिरता के लिए आवश्यक स्थिति पर प्रमेय साबित करने के लिए निकला। सच है, यह स्थिति पॉइज़ुईल प्रवाह के लिए पूरी नहीं हुई है, लेकिन यह अभी भी अस्थिर हो सकती है।

एक ही पैरामीटर में, एक छोटे पैरामीटर के रूप में उलटा रेनॉल्ड्स संख्या में विस्तार करना संभव है। इस विस्तार के शून्य क्रम में, हमें उल्लिखित रेले समस्या मिलती है, और यदि हम थोड़ा आगे जाते हैं, तो हम मापदंडों के विमान ( k , Re) में दो वक्रों को पकड़ सकते हैं, जिसके बीच हम प्रवाह अस्थिरता का एक क्षेत्र पाएंगे, जिसमें गड़बड़ी बढ़ जाती है और स्थिर प्रोफ़ाइल के विनाश की ओर ले जाती है। । सबसे पहले, हाइजेनबर्ग (वही वर्नर हाइजेनबर्ग, मैट्रिक्स क्वांटम यांत्रिकी के निर्माता) ने इस समस्या को हल करने की कोशिश की, पॉइज़ुइल प्रवाह के लिए, लेकिन उन्होंने पूरी तरह से अपघटन को पूरा करने का प्रबंधन नहीं किया। नतीजतन, 1944 में, रोगी चीनी लिन जिया-जियाओ व्यापार के लिए नीचे उतरे, डिकम्पोजिशन को थोड़ा आगे बढ़ाया और दोनों घटों को एक्सट्रपलेशन किया, जो एक में बंद हो गए। यह पता चला कि उसके पास निम्नलिखित (ठोस रेखा) है:



वास्तव में, यह ग्राफ पहले से ही एक अन्य प्रणाली के लिए थोड़ा सा है - सामान्य तरल पदार्थ के बजाय, लेखकों ने चैनल में कुछ तंतुओं के निलंबन पर विचार किया, लेकिन इसका अर्थ समान है और लिन के सिद्धांत (यू झेंग्जेंग, लिन जियानज़ोंगा, यू ज़होशेंगब से चित्रण) से कोई महत्वपूर्ण गुणात्मक अंतर नहीं हैं चैनल प्रवाह में फाइबर निलंबन की हाइड्रोडायनामिक अस्थिरता । द्रव गतिशीलता अनुसंधान, वॉल्यूम 34 (4), 2004, पीपी। 251–271)। सामान्य तौर पर, लगभग किसी भी तरल पदार्थ के लिए पॉइज़ुइल प्रवाह में ऐसे स्थिरता गुण होते हैं जो केवल लिन के परिणामों की मौलिक प्रकृति पर जोर देते हैं।

अस्थिरता के उदाहरण

नीचे चित्र हैं, ज्यादातर "तरल पदार्थ और गैस के प्रवाह के एल्बम" (एम। वैन डाइक) से फाड़ा गया और नेटवर्क से सिर्फ विशिष्ट समस्या बयानों पर छोटी टिप्पणियों के साथ।

Poiseuille प्रवाह की अस्थिरता का विकास

यह प्रयोग 1883 में रेनॉल्ड्स द्वारा किया गया था। तस्वीरों को उसी स्थापना पर लिया गया था, जिसे लगभग सौ साल बाद सुरक्षित रूप से संरक्षित किया गया था। ऊपर से नीचे तक, तस्वीरों में प्रवाह दर बढ़ जाती है। एक पतली टिंटेड ट्रिकल को धारा में पेश किया जाता है, जो प्रवाह के उत्कृष्ट दृश्य की अनुमति देता है।

द्रव स्तंभ अस्थिरता (रेले-पठार समस्या)

एक बहुत ही सुंदर अस्थिरता जो हम हर दिन देख सकते हैं। यह नल को खोलने के लिए पर्याप्त है ताकि ट्रिक समान और पतली हो, लेकिन एक ही समय में काफी लंबे समय तक। यादृच्छिक गड़बड़ी और केशिका बलों की बातचीत के कारण, एक सतत धारा छोटी बूंदों में टूट जाती है, क्योंकि यह ऊर्जावान रूप से अधिक लाभदायक है। यहां, लाउडस्पीकर के कारण तरल असाध्य है, जिससे आउटपुट ट्यूब जुड़ा हुआ है। नीचे की तस्वीर में गड़बड़ी तरंगदैर्ध्य सैद्धांतिक महत्वपूर्ण मूल्य के करीब है।

रेले-टेलर अस्थिरता

एक बिल्कुल सीधी स्थिति - हम एक हल्के तरल की सतह पर एक भारी डालते हैं। यह स्पष्ट है कि एक भारी व्यक्ति नीचे "गिर" जाएगा, हालांकि समय के लिए, सतह तनाव प्रक्रिया का सामना कर सकता है। लेकिन जब आंदोलन शुरू होता है, तो यह बहुत खूबसूरती से होता है, दोनों प्रयोगशालाओं और गणनाओं में, और प्रकृति में (दूसरी तस्वीर उल्टा है, जैसा कि इसके लेखक, फोटो कलाकार द्वारा कल्पना की गई है)।



एक समान घटना देखी जाती है यदि बहुत अलग दबाव वाले दो क्षेत्र माध्यम में मौजूद हैं - उनके बीच के इंटरफेस के माध्यम से पदार्थ "निचोड़ता है" और सरल "डुबकी" के समान संरचनाओं को जन्म देता है।

टेलर व्हर्लविंड

अस्थिरता का एक और संस्करण, एक समान टेलर रेले के मूल में कुछ। द्रव दो समाक्षीय सिलेंडरों के बीच होता है और तेजी से घूर्णन में संचालित होता है। केन्द्रक त्वरण के कारण, विपरीत प्रवाह दिशाओं वाले कुंडली कोशिकाएं माध्यम में बनती हैं, जो शुरू में सिलेंडर की दीवारों के सापेक्ष स्थिर होती है।

केल्विन-हेल्महोल्त्ज़ अस्थिरता

और अस्थिरता का एक और संस्करण। इसके अलावा, शारीरिक रूप से, बहुत सरल है। हमारे पास एक-दूसरे के विपरीत जाने वाली तरल पदार्थों की दो धाराएँ हैं। या बस अलग गति के साथ - अर्थात उनके बीच के इंटरफेस में एक गति कूद है, जिसके कारण सतह के गड़बड़ी विकृत हो जाते हैं, मुड़ जाते हैं और जटिल एडियों को जन्म देते हैं, और फिर पूरी तरह से तरल पदार्थों को मिलाते हैं। यह गणनाओं में, और प्रायोगिक सेटअप में, और प्रकृति में उतना ही दिलचस्प लगता है।

यहां, निश्चित रूप से, संभव अस्थिरताओं के पूरे स्पेक्ट्रम से दूर दिखाया गया है - क्षेत्र अटूट है, और इसमें बेमिसाल अस्पष्ट घटनाएं और उनकी विशेषताएं शामिल हैं। अगली पोस्ट सिस्टम में तापमान की असमानता के कारण होने वाली संवहन और संबंधित अस्थिरताओं के बारे में होगी।