दो बराबर भागों में काटना, भाग एक

काटने की समस्याएँ गणित का वह क्षेत्र हैं जहाँ, जैसा कि वे कहते हैं, मैमथ चारों ओर नहीं पड़ा था। कई व्यक्तिगत समस्याएं, लेकिन वास्तव में कोई सामान्य सिद्धांत नहीं है। प्रसिद्ध बोयाया-गेरविन प्रमेय के अलावा , इस क्षेत्र में व्यावहारिक रूप से कोई अन्य मौलिक परिणाम नहीं हैं। अनिश्चितता कार्यों को काटने का शाश्वत साथी है। उदाहरण के लिए, हम एक नियमित पेंटागन को छह भागों में काट सकते हैं, जिसमें से एक वर्ग को मोड़ा जा सकता है; हालाँकि, हम यह साबित नहीं कर सकते कि इसके लिए पाँच भाग पर्याप्त नहीं होंगे।

चालाक उत्तराधिकारियों, कल्पना और आधा लीटर की मदद से, हम कभी-कभी एक विशिष्ट समाधान खोजने का प्रबंधन करते हैं, लेकिन, एक नियम के रूप में, हमारे पास इस समाधान की न्यूनतमता या इसके गैर-अस्तित्व को साबित करने के लिए उपयुक्त उपकरण नहीं हैं (उत्तरार्द्ध, निश्चित रूप से, उस मामले को संदर्भित करता है जब हमें समाधान नहीं मिला) । यह दुखद और अनुचित है। और एक बार मैंने एक खाली नोटबुक ले ली और एक विशिष्ट कार्य के पैमाने पर न्याय को बहाल करने का निर्णय लिया: एक सपाट आकृति को दो बराबर (सर्वांगसम) भागों में काटना। लेखों की इस श्रृंखला के भाग के रूप में (वैसे, उनमें से तीन होंगे), कामरेड, हम नीचे दिखाए गए इस मज़ेदार बहुभुज को देखेंगे, और निष्पक्ष रूप से यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि क्या इसे दो समान आंकड़ों में काटा जा सकता है, या नहीं।

परिचय

सबसे पहले, स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को ताज़ा करें और याद रखें कि समान आंकड़े क्या हैं। Yandex सहायक रूप से संकेत देता है:

एक समतल पर दो आकृतियाँ समान कहलाती हैं यदि कोई गति होती है जो एक-से-एक करके एक आकृति को दूसरे में बदल देती है।

अब विकिपीडिया से आंदोलन के बारे में पूछें। वह हमें बताएगी, सबसे पहले, यह गति एक विमान का परिवर्तन है जो बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित करता है। दूसरे, विमान पर आंदोलनों का एक वर्गीकरण भी है। उनमें से सभी निम्नलिखित तीन प्रकारों में से एक हैं:

• समानांतर स्थानांतरण
• मोड़
• चलित समरूपता (यहां, सुविधा और लाभ के लिए, मैं दर्पण समरूपता को एक पतित मामले के रूप में शामिल करता हूं, जहां समानांतर स्थानांतरण शून्य वेक्टर के लिए किया जाता है)

हम कुछ संकेतन पेश करते हैं। हम कट आकृति को एक आकृति ए, और दो काल्पनिक समान आंकड़े कहेंगे, जिसमें हम इसे काट सकते हैं, जैसे कि, हम क्रमशः बी और सी कहेंगे। आकृति ए द्वारा कब्जा नहीं किए गए विमान का हिस्सा, हम क्षेत्र डी को कॉल करेंगे। उन मामलों में जब चित्र से एक विशिष्ट बहुभुज को कट आंकड़ा माना जाता है, हम इसे ए ₀ कहेंगे।

इसलिए, यदि एक आकृति A को दो समान भागों B और C में काटा जा सकता है, तो एक आंदोलन है जो B से C. का अनुवाद करता है। यह आंदोलन या तो एक समानांतर स्थानांतरण, या एक घूर्णन, या एक चलती समरूपता हो सकता है (इस क्षण से शुरू होकर, मैं अब अलग नहीं करता हूं) उस दर्पण समरूपता को भी गतिमान माना जाता है)। इस सरल और, मैं यहां तक ​​कहूंगा, स्पष्ट आधार, हमारा निर्णय होगा। इस भाग में हम सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे - समानांतर स्थानांतरण। रोटेशन और स्लाइडिंग समरूपता क्रमशः दूसरे और तीसरे भाग में गिर जाएगी।

केस 1: समानांतर स्थानांतरण

समानांतर स्थानांतरण एक एकल पैरामीटर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है - वेक्टर जिसके द्वारा शिफ्ट होता है। हम कुछ और शर्तें पेश करते हैं। शिफ्ट वेक्टर के समानांतर एक रेखा और चित्र A के कम से कम एक बिंदु को एक सेकंड कहा जाएगा। सेकंड लाइन और आंकड़ा ए के चौराहे को अनुभाग कहा जाएगा। वह सेक्रेटरी, जिसके संबंध में ए (माइनस सेक्शन) का आंकड़ा पूरी तरह से एक हाफ-प्लेन में निहित है, सीमा कहलाएगा ।



लेम्मा 1. एक सीमा से एक खंड में एक से अधिक बिंदु होना चाहिए।

प्रमाण: स्पष्ट है। अच्छी तरह से या अधिक विस्तारित: हम इसके विपरीत से साबित होते हैं। यदि यह बिंदु चित्र B से संबंधित है, तो इसकी छवि (यानी, वह बिंदु जिसके समानांतर स्थानांतरण के दौरान यह जाएगा) चित्र C => से संबंधित है छवि A => छवि से संबंधित है जो छवि अनुभाग की है। विरोधाभास। यदि यह बिंदु आकृति C से संबंधित है, तो इसकी प्रतिलोम छवि (वह बिंदु जो, जब इसे पास करने के लिए समानांतर किया जाता है) आंकड़ा B से संबंधित है, और फिर इसी तरह। यह पता चला है कि अनुभाग में कम से कम दो अंक होने चाहिए।

इस सरल लेम्मा द्वारा निर्देशित, यह समझना आसान है कि वांछित समानांतर स्थानांतरण केवल ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ हो सकता है (चित्र के वर्तमान अभिविन्यास में) यदि यह किसी अन्य दिशा में था, तो कम से कम सीमा के एक खंड में एक बिंदु शामिल होगा। इसे मानसिक रूप से कतरनी सदिश को घुमाने और सीमाओं पर क्या होता है, इसे देखकर समझा जा सकता है। ऊर्ध्वाधर समानांतर स्थानांतरण के मामले को बाहर करने के लिए, हमें एक ट्रिकियर टूल की आवश्यकता है।

लेम्मा 2. आकृति C की सीमा पर स्थित एक बिंदु का प्रोटोटाइप या तो आंकड़े B और C की सीमा पर है, या आकृति B और क्षेत्र D की सीमा पर है।

प्रमाण: स्पष्ट नहीं है, लेकिन अब हम इसे ठीक कर देंगे। आपको याद दिला दूं कि इस तरह के बिंदु को एक आंकड़े का एक सीमा बिंदु कहा जाता है, जो मनमाने ढंग से इसके करीब होता है क्योंकि ऐसे बिंदु होते हैं जो आकृति से संबंधित होते हैं, और ऐसे बिंदु जो इसके नहीं होते हैं। तदनुसार, आंकड़ा सी के सीमा बिंदु (चलो इसे ओ 'कहते हैं) में अंक C और अन्य बिंदुओं के दोनों बिंदु हैं जो या तो आंकड़ा B या क्षेत्र D. से संबंधित हैं। केवल आकृति B के बिंदु बिंदुओं के व्युत्क्रम चित्र हो सकते हैं। इसलिए, यह मनमाने ढंग से बंद है। बिंदु O 'की व्युत्क्रम छवि (इसे बिंदु O कहलाना तर्कसंगत होगा) चित्र B के बिंदु हैं। आकृति B के बिंदुओं की व्युत्क्रम छवियां कोई भी बिंदु हो सकती हैं जो B से संबंधित नहीं हैं (अर्थात, या तो चित्र C या क्षेत्र D के बिंदुओं से संबंधित हैं)। इसी तरह, डोमेन डी के बिंदुओं के लिए। मनमाने ढंग से बिंदु O के करीब, या तो आकृति C के बिंदु हैं (और फिर बिंदु O B और C की सीमा पर होगा) या डोमेन D के बिंदु (और फिर B और D की सीमा पर व्युत्क्रम छवि)। यदि आप इन सभी पत्रों के माध्यम से प्राप्त करने का प्रबंधन करते हैं, तो आप सहमत होंगे कि लेम्मा साबित हुई है।

प्रमेय 1. यदि आकृति A का खंड खंड है, तो इसकी लंबाई शिफ्ट वेक्टर की लंबाई से कई गुना अधिक है।

प्रमाण: इस खंड के "दूर" अंत पर विचार करें (अर्थात, वह अंत जिसका व्युत्क्रम छवि भी खंड से संबंधित है)। यह अंत स्पष्ट रूप से आंकड़ा C का है और इसका सीमा बिंदु है। इसलिए, इसकी प्रतिलोम छवि (वैसे, एक खंड पर पड़ी है और शिफ्ट वेक्टर की लंबाई से छवि से अलग हो जाती है) या तो बी और सी की सीमा पर होगी, या बी और डी की सीमा पर होगी। यदि यह बी और सी की सीमा पर है, तो हम इसकी व्युत्क्रम छवि भी लेते हैं। । हम इस ऑपरेशन को तब तक दोहराएंगे जब तक कि अगली उलटी छवि C की सीमा पर न हो जाए और D की सीमा पर हो - और यह अनुभाग के दूसरे छोर पर होगा। नतीजतन, हमें व्युत्क्रम छवियों की एक श्रृंखला मिलती है जो अनुभाग को कई छोटे खंडों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई कतरनी वेक्टर की लंबाई के बराबर होती है। इसलिए, पार-अनुभागीय लंबाई कतरनी सदिश की लंबाई की एक बहु है, जिसमें शामिल है

प्रमेय का सिद्धांत 1. खंडों वाले कोई भी दो खंड सराहनीय होने चाहिए।

इस कोरोलरी का उपयोग करना, यह दिखाना आसान है कि ऊर्ध्वाधर समानांतर स्थानांतरण भी गायब हो जाता है।



वास्तव में, एक क्रॉस-सेक्शन में एक बार तीन कोशिकाओं की लंबाई होती है, और दो का एक क्रॉस-सेक्शन तीन शून्य से आधे में दो की जड़ है। जाहिर है, ये मात्राएँ अयोग्य हैं।

निष्कर्ष

यदि आंकड़ा A _{0 है} और B और C को दो समान आकृतियों में काटा जा सकता है, तो B का समानांतर अनुवाद द्वारा C में अनुवाद नहीं किया गया है। जारी रखा जाए।