एक चार आयामी घन ड्राइंग के लिए कार्यक्रम

आइए एक व्याख्या के साथ शुरू करें कि चार-आयामी स्थान क्या है।


यह एक वन-डायमेंशनल स्पेस है, यानी ओएक्स एक्सिस है। इस पर किसी भी बिंदु को एक समन्वय की विशेषता है।


अब ओए अक्ष पर लंबवत ओए अक्ष को खींचें। इसलिए हमें दो आयामी स्थान मिला, यानी XOY विमान। इस पर कोई भी बिंदु दो निर्देशांक की विशेषता है - फरसीसा और ऑर्डिनेट।


OZ और ओए अक्षों के लिए OZ अक्ष सीधा खींचें। परिणाम एक तीन-आयामी स्थान है जिसमें किसी भी बिंदु पर एक फरसा, समन्वय और आवेदन होता है।


तार्किक रूप से, चौथा अक्ष, OQ, एक ही समय में OX, OY और OZ अक्षों के लंबवत होना चाहिए। लेकिन हम इस तरह की धुरी का निर्माण ठीक से नहीं कर सकते हैं, और इसलिए यह केवल इसकी कल्पना करने की कोशिश करना है। चार-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के चार निर्देशांक हैं: x, y, z और q।

अब देखते हैं कि एक चार आयामी घन कैसे दिखाई दिया।


चित्र एक आयामी स्थान का एक आंकड़ा दिखाता है - एक रेखा।


यदि आप ओए अक्ष के साथ इस रेखा के समानांतर स्थानांतरण करते हैं, और फिर दो परिणामी लाइनों के संगत छोरों को जोड़ते हैं, तो आपको एक वर्ग मिलता है।


इसी तरह, यदि आप OZ अक्ष के साथ वर्ग के समानांतर स्थानांतरण करते हैं और संबंधित कोने को जोड़ते हैं, तो आपको एक घन मिलता है।


और अगर हम OQ अक्ष के साथ क्यूब के समानांतर स्थानांतरण करते हैं और इन दो क्यूब्स के कोने को जोड़ते हैं, तो हमें एक चार-आयामी क्यूब मिलता है। वैसे, इसे टेसरैक्ट कहा जाता है।

एक विमान पर एक क्यूब खींचने के लिए, आपको इसे प्रोजेक्ट करने की आवश्यकता है। यह नेत्रहीन इस तरह दिखता है:

कल्पना कीजिए कि सतह के ऊपर हवा में क्यूब का एक फ्रेम मॉडल लटका हुआ है, जैसे कि "तार से बना है", और इसके ऊपर एक प्रकाश बल्ब है। यदि आप प्रकाश बल्ब को चालू करते हैं, तो घन की छाया के चारों ओर एक पेंसिल खींचें, और फिर प्रकाश बल्ब को बंद कर दें, घन प्रक्षेपण सतह पर प्रदर्शित होगा।

चलो थोड़ा और अधिक जटिल पर चलते हैं। एक बार फिर, एक प्रकाश बल्ब के साथ ड्राइंग को देखें: जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी किरणें एक बिंदु पर परिवर्तित हो गईं। इसे लुप्त बिंदु कहा जाता है और इसका उपयोग एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण (और कभी-कभी यह समानांतर होता है, जब सभी किरणें एक-दूसरे के समानांतर होती हैं। परिणाम का कोई अर्थ नहीं होता है, लेकिन यह हल्का होता है, और यदि गायब हो जाने वाला बिंदु अनुमानित ऑब्जेक्ट से काफी दूर है, तो अंतर है। ये दोनों अनुमान शायद ही ध्यान देने योग्य हैं)। लुप्त बिंदु का उपयोग करके किसी दिए गए विमान पर दिए गए बिंदु को प्रोजेक्ट करने के लिए, आपको लुप्त बिंदु और दिए गए बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचने की आवश्यकता है, और फिर परिणामी रेखा और विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु को ढूंढें। और अधिक जटिल आंकड़ा प्रोजेक्ट करने के लिए, कहते हैं, एक क्यूब, आपको इसके प्रत्येक कोने को प्रोजेक्ट करने की आवश्यकता है, और फिर संबंधित बिंदुओं को कनेक्ट करें। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक उप-स्थान पर अंतरिक्ष को पेश करने के लिए एल्गोरिथ्म को 4 डी-> 3 डी के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, न कि केवल 3 डी-> 2 डी।

जैसा कि मैंने कहा, हम ठीक-ठीक कल्पना नहीं कर सकते हैं कि ओक्यू एक्सिस कैसा दिखता है, न ही टेसेरैक्ट। लेकिन हम इसके बारे में एक सीमित विचार प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे वॉल्यूम पर प्रोजेक्ट करते हैं, और फिर इसे कंप्यूटर स्क्रीन पर ड्रा करते हैं!

अब बात करते हैं टेसेरैक्ट के प्रक्षेपण की।


बाईं ओर समतल पर घन का प्रक्षेपण है, और दायीं ओर आयतन पर अश्रु है। वे काफी समान हैं: घन प्रक्षेपण दो वर्गों की तरह दिखता है, छोटे और बड़े, एक दूसरे के अंदर, और जिनके संगत कोने लाइनों के साथ जुड़े हुए हैं। और टेसेरेक्ट का प्रक्षेपण दो क्यूब्स की तरह दिखता है, छोटे और बड़े, एक दूसरे के अंदर, और जिनके संगत कोने जुड़े हुए हैं। लेकिन हम सभी ने क्यूब को देखा, और हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि छोटे वर्ग और बड़े दोनों, और ऊपर, नीचे और दाईं ओर छोटे वर्ग के चार ट्रेपेज़ियम वास्तव में वर्ग हैं, इसके अलावा, वे समान हैं। और तप एक ही है। और एक बड़ा क्यूब, और एक छोटा क्यूब, और एक छोटा क्यूब के किनारों पर छह छंटे हुए पिरामिड - ये सभी क्यूब्स हैं, और एक ही समय में।

मेरा कार्यक्रम न केवल वॉल्यूम पर टेसेरैक्ट के प्रक्षेपण को आकर्षित कर सकता है, बल्कि इसे घुमा भी सकता है। विचार करें कि यह कैसे किया जाता है।

सबसे पहले, मैं आपको बताता हूं कि विमान के समानांतर क्या रोटेशन है ।

कल्पना कीजिए कि एक घन अक्ष OZ के चारों ओर घूमता है। फिर इसके प्रत्येक कोने पर अक्ष OZ के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया गया है।

और वृत्त एक सपाट आकृति है। और इनमें से प्रत्येक सर्कल के विमान एक दूसरे के समानांतर हैं, और इस मामले में, एक्सओवाई विमान के समानांतर हैं। यही है, हम न केवल ओजेड अक्ष के चारों ओर घूमने के बारे में बात कर सकते हैं, बल्कि एक्सओवाई विमान के समानांतर रोटेशन के बारे में भी बात कर सकते हैं। जैसा कि हम देखते हैं, उन बिंदुओं के लिए जो एक्सओवाई अक्ष के समानांतर घूमते हैं केवल फरस्किसा और ऑर्डिनेट परिवर्तन, आवेदक अपरिवर्तित है और, वास्तव में, हम। हम एक सीधी रेखा के चारों ओर घूमने के बारे में केवल तभी बात कर सकते हैं जब हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के साथ काम कर रहे हों। दो-आयामी में सब कुछ एक बिंदु के चारों ओर घूमता है, चार-आयामी में - एक विमान के चारों ओर, पांच-आयामी अंतरिक्ष में हम एक वॉल्यूम के चारों ओर घूमने के बारे में बात कर रहे हैं। और अगर हम एक बिंदु के चारों ओर घूमने की कल्पना कर सकते हैं, तो एक विमान के चारों ओर घूमना और एक मात्रा कुछ अकल्पनीय है। और अगर हम विमान के समानांतर रोटेशन की बात करते हैं, तो किसी भी एन-डायमेंशनल स्पेस में एक पॉइंट प्लेन के समानांतर घूम सकता है।

आप में से कई लोगों ने शायद रोटेशन मैट्रिक्स के बारे में सुना है। इसके द्वारा एक बिंदु को गुणा करते हुए, हम एक कोण phi द्वारा विमान के समानांतर एक बिंदु को घुमाते हैं। दो-आयामी स्थान के लिए, यह इस तरह दिखता है:

गुणा कैसे करें: प्रारंभिक बिंदु के कोण phi = x के कोण phi = cosine द्वारा घुमाए गए बिंदु का x = प्रारंभिक बिंदु के कोण phi * गेम की साइन माइनस;
बिंदु के खिलाड़ी को कोण phi द्वारा घुमाया जाता है = प्रारंभिक बिंदु के कोण phi * x की साइन प्लस कोण के गुणक phi * प्रारंभिक बिंदु का खिलाड़ी।
Xa` = cosph * Xa - sinph * Ya
या` = पापफल * Xa + cosph * Ya
जहां Xa और Ya फरसीसा हैं और बिंदु के समन्वय को घुमाया जा सकता है, Xa` और Ya` अनुपस्थित हैं और पहले से ही घुमाए गए बिंदु का समन्वय हैं

तीन आयामी स्थान के लिए, इस मैट्रिक्स को सामान्यीकृत किया गया है:

XOY विमान के समानांतर रोटेशन। जैसा कि आप देख सकते हैं, Z समन्वय नहीं बदलता है, लेकिन केवल X और Y बदल जाता है
Xa` = cosph * Xa - sinph * Ya + Za * 0
हां` = पापी * Xa + कोस * * Ya + Za * 0
ज़ा = = एक्सए * 0 + हां * 0 + ज़ै * 1 (अनिवार्य रूप से ज़ा = ज़ा)


XOZ विमान के समानांतर रोटेशन। कोई नई बात नहीं
Xa` = cosph * Xa + Ya * 0 - sinph * Za
Ya` = Xa * 0 + Ya * 1 + Za * 0 (वास्तव में, Ya` = Ya)
ज़ै = सिन्फ़ * Xa + Ya * 0 + cosph * ज़ा


और तीसरा मैट्रिक्स।
Xa` = Xa * 1 + Ya * 0 + Za * 0 (अनिवार्य रूप से Xa` = Xa)
या` = Xa * 0 + cosph * Ya - sinph * Za
ज़ै = ज़ा * 0 + सिन्फ़ * या + सफ़्फ़ * ज़ा

और चौथे आयाम के लिए, वे इस तरह दिखते हैं:

मुझे लगता है कि आप पहले से ही समझ गए थे कि क्या गुणा करना है, इसलिए मैं इसे फिर से नहीं रंगूंगा। लेकिन मैंने ध्यान दिया कि यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विमान के समानांतर रोटेशन के लिए मैट्रिक्स के समान काम करता है! वह और यह दोनों केवल समन्वय और आवेदन को बदल देते हैं, और शेष निर्देशांक स्पर्श नहीं किए जाते हैं, इसलिए इसका उपयोग त्रि-आयामी मामले में किया जा सकता है, बस चौथे समन्वय पर ध्यान नहीं दिया जाता है।

लेकिन प्रक्षेपण सूत्र इतना सरल नहीं है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं मंचों को कितना पढ़ता हूं, कोई भी प्रक्षेपण विधि मेरे अनुकूल नहीं है। समानांतर मेरे अनुरूप नहीं था, क्योंकि प्रक्षेपण तीन आयामी नहीं लगेगा। कुछ प्रक्षेपण फ़ार्मुलों में, एक बिंदु को खोजने के लिए, आपको समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है (लेकिन मुझे नहीं पता है कि कंप्यूटर को कैसे हल करना है), मुझे बस दूसरों को समझने की ज़रूरत नहीं है ... सामान्य तौर पर, मैंने अपने तरीके से आने का फैसला किया। इसके लिए प्रोजेक्शन 2D-> 1D पर विचार करें।


pov का अर्थ है "देखने का बिंदु", ptp का अर्थ है "परियोजना का बिंदु" (वह बिंदु जिसे आप प्रोजेक्ट करना चाहते हैं), और ptp` OX अक्ष पर वांछित बिंदु है।

कोण povptpB और ptpptp`A समान हैं (धराशायी रेखा OX अक्ष के समानांतर है, सीधी रेखा povptp secant है)।
बिंदु ptp` का x, बिंदु ptp के x के बराबर है, जो खंड ptp`A की लंबाई के बराबर है। यह खंड त्रिकोण ptpptp`A: ptp`A = ptpA / tangent of angle ptpptp`A से पाया जा सकता है। हम इस स्पर्शरेखा को povptpB त्रिकोण से पा सकते हैं: कोण की स्पर्शरेखा ptpptp`A = (Ypov-Yptp) (Xpov-Xptp)।
उत्तर: Xptp` = Xptp-Yptp / कोण की स्पर्शरेखा ptpptp`A।

मैंने इस एल्गोरिथ्म का यहां विस्तार से वर्णन नहीं किया है, क्योंकि जब कुछ सूत्र बदलते हैं तो बहुत सारे विशेष मामले होते हैं। यह किसके लिए दिलचस्प है - कार्यक्रम के स्रोत कोड में देखें, सब कुछ वहां टिप्पणियों में वर्णित है।

एक विमान पर तीन आयामी स्थान का एक बिंदु पेश करने के लिए, हम बस दो विमानों पर विचार करते हैं - XOZ और YOZ, और उनमें से प्रत्येक के लिए हम इस समस्या को हल करेंगे। चार-आयामी स्थान के मामले में, तीन विमानों पर पहले से ही विचार किया जाना चाहिए: XOQ, YOQ और ZOQ।

और अंत में, कार्यक्रम के बारे में। यह इस तरह से कार्य करता है: उपयोगकर्ता द्वारा दर्ज किए गए आदेशों के आधार पर टेसरैक्ट के सोलह शीर्षकों को इनिशियलाइज़ करें - इसे घुमाएं - वॉल्यूम पर प्रोजेक्ट -> उपयोगकर्ता द्वारा दर्ज किए गए आदेशों के आधार पर, इसके प्रोजेक्शन को घुमाएं -> प्लेन पर प्रोजेक्ट> ड्रा करें।

अनुमान और मोड़ मैंने खुद लिखे। वे उन सूत्रों के अनुसार काम करते हैं जिनका मैंने अभी वर्णन किया है। OpenGL लाइब्रेरी लाइनों को खींचती है, और रंगों को भी मिलाती है। और टेसरैक्ट के कोने के निर्देशांक की गणना निम्नानुसार की जाती है:

मूल और लंबे 2 - (1) और (-1) पर केंद्रित रेखा के कोने के निर्देशांक;
- "-" - वर्ग - "-" - और लंबाई 2 की एक बढ़त:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) और (-1; -1);
- "-" - घन - "-" -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; 1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1) ; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक वर्ग ओए अक्ष के ऊपर एक रेखा और ओए अक्ष के नीचे एक रेखा है; एक घन XOY विमान के सामने एक वर्ग है, और उसके बाद एक; एक टीज़र XOYZ वॉल्यूम के दूसरी तरफ एक क्यूब है, और इस पर एक। लेकिन इकाइयों और माइनस इकाइयों के इस विकल्प को समझना बहुत आसान है यदि वे एक कॉलम में लिखे गए हैं

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

पहले कॉलम में, एक और माइनस एक वैकल्पिक। दूसरे कॉलम में, पहले दो प्लसस हैं, फिर दो मिन्यूज़ हैं। तीसरे में चार प्लस एक, और फिर चार माइनस एक। ये घन के शीर्ष थे। टेसरैक्ट में उनमें से दो के रूप में कई हैं, और इसलिए उन्हें घोषित करने के लिए एक चक्र लिखना आवश्यक था, अन्यथा भ्रमित होने में बहुत आसान होगा।

मेरा कार्यक्रम भी जानता है कि कैसे एनाग्लिफ़ खींचना है। 3 डी चश्मे के खुश मालिक एक त्रिविम तस्वीर का निरीक्षण कर सकते हैं। चित्र बनाने में कुछ भी मुश्किल नहीं है, बस दो अनुमानों को एक विमान पर खींचा जाता है, दाईं और बाईं आंख के लिए। लेकिन कार्यक्रम बहुत अधिक दृश्य और दिलचस्प हो जाता है, और सबसे महत्वपूर्ण बात - यह चार-आयामी दुनिया का एक बेहतर विचार देता है।

कम महत्वपूर्ण कार्य - लाल रंग में किसी एक चेहरे को उजागर करना, ताकि आप घुमावों के साथ-साथ छोटी-मोटी सुविधाओं को भी बेहतर ढंग से देख सकें - "नेत्र" बिंदुओं के निर्देशांक को समायोजित करना, रोटेशन की गति को बढ़ाना और घटाना।

उपयोग के लिए कार्यक्रम, स्रोत और निर्देश के साथ पुरालेख: www.dropbox.com/s/xilxouqmgnsf6zs/%D0%A2%D0%B5%D1%81%D1%81%D1%81%D1%80%D0%B0%D0%D0% BA% D1% 82.rar (आपको ड्रॉपबॉक्स प्रोग्राम डाउनलोड और इंस्टॉल करने की आवश्यकता है: www.dropbox.com )

स्रोत: docs.google.com/document/d/1sGjBTb-od84Qp_la0LS9tWFZL4aYk-1exUs0Za5_Uq0/edit