🤴 🙎🏾 🧣 Freefem ++ का उपयोग करके अभ्यास करें 👩🏿‍🏭 🙎🏿 🥙

पहले प्रकाशित पोस्ट में, हमने मॉडलिंग एयरोडायनामिक प्रक्रियाओं के लिए एक कार्यक्रम में ओपन सोर्स लाइब्रेरी फ्रीफेम ++ और नेटजेन का उपयोग करने के बारे में बात की थी। यह आलेख फ्रीफ़ेम ++ की मूल विशेषताओं को और अधिक विस्तार से जांच करेगा, इसकी इनपुट भाषा के एक छोटे से परिचय के रूप में। यह प्रारंभिक जानकारी प्रदान करेगा जिसे डेवलपर्स को अक्सर डिज़ाइन किए गए एप्लिकेशन में शामिल करने के लिए तीसरे पक्ष के घटकों को चुनने की आवश्यकता होती है।

Freefem ++ प्राप्त करना और निष्पादित करना

Freefem ++ एक प्रोग्राम है जिसे परिमित तत्व विधि के आधार पर गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। Freefem ++ का उपयोग विंडोज और लिनक्स वातावरण दोनों में किया जा सकता है। आधिकारिक वेबसाइट www.freefem.org/ff++ है । हमारे मामले में, Freefem ++ संस्करण 3.18.-1 का उपयोग किया गया था। आधिकारिक साइट से डाउनलोड किए गए संग्रह बंडल में तीन बूट मॉड्यूल हैं, जिसका उद्देश्य निम्नानुसार है:

FreeFem ++। Exe कार्यक्रम का एक पूर्ण संस्करण है, जो यदि आवश्यक हो, तो समाधान के परिणामों के साथ एक ग्राफिकल विंडो प्रदर्शित करता है। यदि आवश्यक हो, तो कॉल करते समय, आप दो कुंजी निर्दिष्ट कर सकते हैं: -nowait ताकि उपयोगकर्ता द्वारा पूरा होने की पुष्टि किए बिना Freefem ++ बाहर निकल जाए, और -nw - समाधान परिणामों के साथ एक चित्रमय विंडो प्रदर्शित करने से इनकार करने के लिए।
FreeFem ++ - mpi.exe - MPI- आधारित कंप्यूटिंग को समानांतर बनाने के लिए।
FreeFem ++ - nw.exe - अनुप्रयोगों से कॉल करने के लिए, परिणामों के चित्रमय आउटपुट को अनदेखा करता है। उसके लिए कार्यक्रम के साथ काम पूरा होने की पुष्टि के लिए इंतजार नहीं करने के लिए, आपको कमांड लाइन पर अनजाने स्विच को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

फ्रीफ़ेम ++ को बूट मॉड्यूल के अलावा, आर्काइव से दूसरे प्रोग्राम के भाग के रूप में पृष्ठभूमि में चलाने के लिए, निम्न फ़ाइलों की आवश्यकता होती है: libff.dll, libgcc_s_dw2-1.dll, libgfortran-3.dll, libgoto2.dll, libstdc ++ - 6.dll।

जब Freefem ++ बूट मॉड्यूल लॉन्च किया जाता है, तो कमांड लाइन को एक विशेष सी-लाइक प्रोग्रामिंग भाषा में लिखी गई स्क्रिप्ट फ़ाइल का नाम दिया जाएगा। आउटपुट ऑपरेटर्स या स्क्रिप्ट में विशेष सेव फ़ंक्शंस का उपयोग करके, परिणामों को आगे उपयोग के लिए फ़ाइल में लिखा जा सकता है।

2 डी त्रिकोण

इससे पहले, हमने दिखाया कि फ़्रीफेम ++ का उपयोग तीन आयामी मॉडल के एसटीएल विवरण बनाने के लिए किया जा सकता है जिसमें फ्लैट चेहरे वाले तत्व शामिल हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, चेहरों का त्रिकोणासन करना आवश्यक है। आइए देखें कि यह फ्रीफैम ++ का उपयोग करके कैसे किया जाता है। सीमाओं द्वारा परिभाषित सतह के त्रिकोणासन को करना आवश्यक है (चित्र 1 देखें)।

अंजीर। 1. सतह क्षेत्र

उन क्षेत्रों की सीमाएं जिनके लिए त्रिकोणीयकरण किया जाना चाहिए, उन्हें फ्रीफेम ++ में पैरामीट्रिक रूप में सेट किया गया है। निम्नलिखित कोड पर विचार करें:

  int n = 5;

 सीमा b0 (t = 0,1) {x = 7 * t;  y = 0;  }
 बॉर्डर b1 (t = 0,1) {x = 7;  y = 0 + 6 * टी;  }
 बॉर्डर b2 (t = 0,1) {x = 7 - 7 * t;  y = 6;  }
 बॉर्डर b3 (t = 0,1) {x = 0;  y = 6 - 6 * टी;  }
 बॉर्डर b4 (t = 0,1) {x = 1 + 2 * t;  y = 1.5;  }
 बॉर्डर b5 (t = 0,1) {x = 5;  y = 1.5 + 2 * टी;  }
 बॉर्डर b6 (t = 0,1) {x = 5 - 4 * t;  y = 5.5;  }
 बॉर्डर b7 (t = 0,1) {x = 1;  y = 5.5 - 4 * टी;  }
 बॉर्डर b8 (t = 0,1) {x = 5;  y = 3.5 + 2 * टी;  }
 बॉर्डर b9 (t = 0,1) {x = 3 + 2 * t;  y = 1.5;  }
 बॉर्डर b10 (t = 0,1) {x = 3 + 3 * t;  y = 0.5;  }
 बॉर्डर b11 (t = 0,1) {x = 6;  y = 0.5 + 3 * t;  }
 बॉर्डर b12 (t = 0,1) {x = 6 - 1 * t;  y = 3.5;  }
 सीमा b13 (t = 0,1) {x = 3;  y = 3.5 - 2 * टी;  }
 सीमा b14 (t = 0,1) {x = 5 - 2 * t;  y = 3.5;  }
 सीमा b15 (t = 0,1) {x = 3;  y = 1.5 - 1 * टी;  }

 प्लॉट (b0 (n) + b1 (n) + b2 (n) + b3 (n) + b4 (n) + b5 (n) + b6 (n) + b7 (n) + b8 (n) +9 (n) ) + b10 (n)
  + b11 (n) + b12 (n) + b13 (n) + b14 (n) + b15 (n));

फ्रीफ़ेम ++ स्केलर प्रकार के चर को परिभाषित करता है: इंट, रियल, स्ट्रिंग, बूल। चर घोषणा C ++ के रूप में की जाती है, और चर को आरंभीकृत किया जा सकता है, जैसा कि चर n के लिए किया जाता है।

सीमाओं को मानकीकृत लाइनों का उपयोग करके टुकड़ों द्वारा परिभाषित किया जाता है। सीमा का उद्देश्य इस उद्देश्य के लिए है। सीमा के टुकड़े सिरों पर ही काट सकते हैं। सीमा के टुकड़े की घोषणा में सीमा की पहचानकर्ता, पैरामीटर परिवर्तन की सीमा (इस मामले में, पैरामीटर टी) और पैरामीटर के आधार पर x और y निर्देशांक को बदलने के लिए अभिव्यक्ति शामिल हैं। उदाहरण में, सभी खंड खंड हैं।

माना कोड में अंतिम ऑपरेटर प्लॉट है, यह कुछ प्रकार के डेटा के चित्रमय प्रदर्शन के लिए है। इस मामले में, यह एक सीमा प्रदर्शित करता है जिसमें सीमाओं के टुकड़े होते हैं। सीमा टुकड़े को + ऑपरेटर का उपयोग करके एक आम सीमा में जोड़ा जाता है। प्रत्येक टुकड़े के लिए, एक पैरामीटर जिसमें भागों के टुकड़े को विभाजित किया जाना चाहिए, इंगित करता है। इस पैरामीटर को नीचे एक और संदर्भ में फिर से माना जाएगा। निर्दिष्ट प्लॉट ऑपरेटर का परिणाम अंजीर में दिखाया गया है। 2।

अंजीर। 2. प्लॉट ऑपरेटर द्वारा प्रदर्शित सतह क्षेत्रों की सीमाएँ

अब उस कोड को जोड़ें जो त्रिकोणासन करता है। अंजीर में। 3 इसके कार्यान्वयन का परिणाम दिखाता है।

 mesh Th = buildmesh (b0 (n) + b1 (n) + b2 (n) + b3 (n) + b4 (n) + b5 (n) + b6 (n) + b7 (n) + b8 (n) + b9 (n) + b10 (n)
  + b11 (n) + b12 (n) + b13 (n) + b14 (n) + b15 (n), फिक्सबॉर्डर = 1);
 प्लॉट (Th);

अंजीर। 3. त्रिकोणासन का फल

इस कोड में, टाइप जाली का एक वें चर पेश किया जाता है। मेष प्रकार त्रिभुज जाल का एक सॉफ्टवेयर मॉडल है। इस प्रकार की एक वस्तु प्राप्त करने के लिए, इस मामले में, बिल्डमेश फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिससे विभाजित होने वाले क्षेत्रों की सीमा इनपुट में प्रेषित होती है। बिल्डमेश फ़ंक्शन को एक वैकल्पिक फ़िक्सबॉर्डर पैरामीटर पास किया जा सकता है, जिसके उपयोग से यह सुनिश्चित होता है कि रेखा पर बिंदु त्रिकोणाटन प्रक्रिया के दौरान परिवर्तित नहीं होंगे। दूसरा ऑपरेटर - प्लॉट - इस मामले में, इनपुट पर टाइप मेष की एक वस्तु लेता है और ग्राफिक्स विंडो (छवि 3) में तत्वों का ग्रिड दिखाता है।

जैसा कि पहले से ही दिखाया गया है, एक सीमा को सीमाओं के टुकड़े के योग के रूप में दर्शाया जाता है जो कि प्रकार सीमा के होते हैं। प्रत्येक टुकड़े के लिए निर्दिष्ट पैरामीटर का यहां एक दोहरा उद्देश्य है। सबसे पहले, यह इंगित करता है कि ग्रिड के निर्माण के लिए सीमा के टुकड़े को कितने भागों में विभाजित किया गया है। सीमा टुकड़े का प्रत्येक भाग गठित जाल के त्रिकोण का एक पक्ष बन जाएगा। दूसरे, पैरामीटर का संकेत उस क्षेत्र को इंगित करता है जिसे त्रिकोणासन से गुजरना चाहिए। यदि पैरामीटर सकारात्मक है, तो सीमा के टुकड़े के बाईं ओर त्रिकोणासन किया जाता है। यदि यह नकारात्मक है, तो सीमा के दाईं ओर त्रिकोणासन किया जाता है। आइए एक उदाहरण के साथ इसका उदाहरण दें। यदि सीमा उपरोक्त कोड में निम्नानुसार दी गई थी: b0 (n) + b1 (n) + b2 (n) + b3 (n) + b4 (n) + b5 (-2) + b6 (n) + b7 (n) + b8 (n) + b9 (-2) + b10 (n) + b11 (n) + b12 (n) + b13 (-2) + b14 (-2) + b15 (n), जहां b5, b9 के लिए b13 और b14 को एक नकारात्मक मान के साथ दो खंडों में विभाजित किया गया है, फिर त्रिकोण को अंजीर में दिखाया गया है। 4।

अंजीर। 4. एक खाली उपडोमेन के साथ त्रिकोणासन

वह कोड जोड़ें, जो एक प्रकार के जाल, एक लूप ऑपरेटर और फ़ाइल के आउटपुट के साथ संचालन को प्रदर्शित करता है।

 इनस्ट्रीम फ़ाउट ("ट्राइंगुलेशन.आउट");
 fout.preaches (14);

 fout << Th.nt << endl;
 for (int i = 0; मैं <Th.nt; i ++)
 {
   fout 
     << Th [i] [0] .x << "" 
     << Th [i] [0] .y << "" 
     << Th [i] [1] .x << "" 
     << Th [i] [1] .y << "" 
     << Th [i] [2] .x << "" 
     << Th [i] [2] .y << "" 
     << एंडल;
 }

किसी फ़ाइल में डेटा को आउटपुट करने के लिए, टाइपस्ट्रीम प्रकार प्रदान किया जाता है, C ++ के लिए फ़्लोस्टाइल लाइब्रेरी से फ़ाइल आउटपुट स्ट्रीम का एक एनालॉग। फ़ाइल चर को इनिशियलाइज़ करते समय, आपको फ़ाइल नाम निर्दिष्ट करना होगा। यदि आपको केवल फ़ाइल में डेटा जोड़ने की आवश्यकता है, तो आपको दूसरे एपेंड इनिशियलाइज़ेशन पैरामीटर को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। आप फ़ाइल चर के साथ कई ऑपरेशन कर सकते हैं। उदाहरण में, सटीक फ़ंक्शन दशमलव विभाजक के बाद प्रदर्शित अंकों की संख्या निर्धारित करता है। कई और फ़ंक्शंस हैं जो आउटपुट प्रारूप को नियंत्रित करते हैं, आईओस्ट्रीम लाइब्रेरी से जोड़तोड़ के समान। << ऑपरेटर आपको फ़ाइल पर स्केलर प्रकारों के चर के आउटपुट मानों की अनुमति देता है। वर्ण स्ट्रिंग में, आप पंक्ति वर्ण '\ n' के अंत का उपयोग कर सकते हैं, या इस उद्देश्य के लिए वैश्विक चर एंडल का उत्पादन कर सकते हैं।

उपरोक्त कोड में लूप स्टेटमेंट है जो C ++ में स्टेटमेंट के तर्क को पूरी तरह से दोहराता है। वेतन वृद्धि और वेतन वृद्धि ऑपरेटर भी समान C ++ ऑपरेटरों को दोहराते हैं।

Freefem ++ जाल प्रकार द्वारा प्रतिनिधित्व तत्वों के जाल के विभिन्न गुणों तक पहुंच प्रदान करता है। यहां हम ध्यान दें कि Freefem ++ दो-आयामी जाल प्रकार मेष के साथ काम करने के लिए एक ही इंटरफेस प्रदान करता है, और तीन-आयामी जाल प्रकार mesh3 के साथ। इसलिए, यहां हम दो प्रकार के संकेत के लिए इस इंटरफ़ेस पर विचार करते हैं, ताकि बाद में मेश 3 के लिए इसके विवरणों को न दोहराएं। जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, nt गुण ग्रिड तत्वों की संख्या (मेष के लिए त्रिकोण या जाल 3 के लिए टेट्राहेड्रॉन) लौटाता है। आप ग्रिड बिंदुओं की संख्या - एनवी संपत्ति, सीमा तत्वों की संख्या - एनबीई भी प्राप्त कर सकते हैं।

दो प्रकार की अनुक्रमणिका को मेष या मेश 3 के ऑब्जेक्ट पर लागू किया जा सकता है: वर्ग कोष्ठक "[]" और कोष्ठक के साथ अनुक्रमण "()"। उनमें से सबसे पहले एक दिया सूचकांक के साथ एक ग्रिड तत्व (मेष के लिए एक त्रिकोण या जाल 3 के लिए एक टेट्राहेड्रॉन) देता है। इस प्रकार, Th [i] ग्रिड तत्व (इस उदाहरण में त्रिकोण) है, जिससे, तत्व के लिए प्रदान किए गए कुछ कार्यों को लागू किया जाता है। "()" - अनुक्रमण किसी दिए गए सूचकांक के साथ एक शीर्ष प्रदान करता है। इसके निर्देशांक प्राप्त करने के लिए संचालन एक शीर्ष पर लागू किया जा सकता है। निम्न तत्व ग्रिड तत्व पर लागू होते हैं: तत्व के कोने प्राप्त करने के लिए अनुक्रमण, एक लेबल प्राप्त करना।

3 डी मेष

Freefem ++ एक 3D जाल के लिए mesh3 के प्रकार को परिभाषित करता है। पीढ़ी के कार्यों का उपयोग करके ऐसा ग्रिड प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन बिल्डलेर्स () आपको Z अक्ष के साथ 2D त्रिभुज खींचकर एक 3D जाल बनाने की अनुमति देता है। हालांकि, Freefem ++ में अपना स्वयं का जनरेटर नहीं है। इन उद्देश्यों के लिए, एक तृतीय-पक्ष TetGen जनरेटर का उपयोग किया जाता है (आधिकारिक वेबसाइट wias-berlin.de/software/tetgen ), और Freefem ++ के संबंधित कार्य इस जनरेटर के लिए प्रोग्राम इंटरफ़ेस हैं। लेखक की अनुमति के बिना व्यावसायिक परियोजनाओं में TetGen का उपयोग नहीं किया जा सकता है। लेकिन अगर ऐसा लाइसेंस समस्या पैदा करता है, तो आप दूसरे ग्रिड जनरेटर का उपयोग कर सकते हैं। Freefem ++ में एक फ़ाइल से 3 डी मेष आयात करने की क्षमता है जो मेष प्रारूप के अनुरूप है। मेष फ़ाइल में निम्न प्रारूप है:

फ़ाइल की शुरुआत में प्रारूप संस्करण (MeshVersionFormatted 1), अंतरिक्ष आयाम (आयाम 3) के बारे में जानकारी दर्ज की गई है।
```
 MeshVersionFormatted 1 
 आयाम ३
```
वर्टिस कीवर्ड के बाद, ग्रिड कोने की संख्या को इंगित किया जाता है और कोने को सूचीबद्ध किया जाता है जिसके लिए X, Y, Z निर्देशांक और शीर्ष लेबल को दर्शाया जाता है।
```
 कोने 
 65 
 ५ १.५ ० 
 ३ १.५ ० 
 ३ ० ० ० 
 ५ ३.५ ० 
 ...
```
टेट्राहेड्रा कीवर्ड के बाद, ग्रिड तत्वों की संख्या इंगित की जाती है और वे तत्व जिनके लिए चार वर्टेक्स नंबर और एक लेबल लिखा जाता है, सूचीबद्ध होते हैं।
```
 टेट्राहेड्रा 
 185 
 ५२ ५ ९ ४ ९ ५० ० 
 ३ १ 3 १४ ६१ ० 
 ४। ६४ ५ 47 ५४ ० 
 ...
```
त्रिकोण कीवर्ड के बाद, सीमा त्रिकोणों की संख्या दर्ज की जाती है। प्रत्येक त्रिभुज के लिए, ग्रिड नोड्स के कोने की संख्या जो इन त्रिकोणों के कोने हैं सूचीबद्ध हैं, और सीमा लेबल इंगित किया गया है।
```
 त्रिकोण
 96 
 २ ३ 2 २ 
 २ 2 १ २ 
 4 1 7 2 
 ...
```
फ़ाइल अंतिम कीवर्ड के साथ समाप्त होती है।

मेष फ़ाइल readmesh3 फ़ंक्शन का उपयोग करके आयात की जाती है, जो फ़ाइल नाम निर्दिष्ट करती है:

 mesh3 गु;
 Th = readmesh3 ("example3d.mesh");
 प्लॉट (Th);

मेष-फाइल से जाली आयात करने के लिए टेट्राहेड्रों की शीर्ष संख्याओं का क्रम महत्वपूर्ण होता है। Freefem ++ स्रोत कोड में, Mesh3dn.hpp फ़ाइल में, आप डेटाटेट संरचना पा सकते हैं, जिसमें मेसचर () टेट्राहेड्रॉन की मात्रा की गणना करने की एक विधि है। यदि मेष फ़ाइल में टेट्राहेड्रोन के कोने इस तरह से अनुसरण करते हैं कि गणना की गई मात्रा ऋणात्मक है, तो फ्रीफ़्लोर ++ विफल हो जाता है। इसलिए, जाली फ़ाइल में कोने सूचीबद्ध किए जाने चाहिए ताकि यह स्थिति उत्पन्न न हो।

यदि आवश्यक हो, तो ग्रिड को ग्राफिक विंडो में प्लॉट फ़ंक्शन (चित्र 5 देखें) के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है।

अंजीर। 5. 3 डी मेष डिस्प्ले प्लॉट फ़ंक्शन के साथ

विभेदक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान

Freefem ++ का मुख्य उद्देश्य परिमित तत्व विधि का उपयोग करके आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करना है। इसके लिए, समीकरण की प्रणाली में शामिल कार्य एक परिमित तत्व ग्रिड पर निर्धारित किए जाते हैं। Freefem ++ आपको FE स्पेस का प्रकार (परिमित तत्व स्पेस) निर्धारित करने की अनुमति देता है। अंतरिक्ष के प्रकार के अनुसार, एक निश्चित स्थान के कार्यों की वस्तुओं को पेश किया जाता है। उदाहरण के लिए

     फ़ेसस्पेस Vh (Th, P23d);
     Vh f = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2;

जहां V, ग्रिड Th पर स्पेस का प्रकार है, f इस स्पेस पर एक फंक्शन है।

एक परिमित तत्व स्थान के प्रकार की घोषणा करते समय, तत्वों के लिए एक आधार का संकेत दिया जाता है। यह मान P03d ले सकता है - टुकड़ावार स्थिर, P13d - टुकड़ावार रैखिक, P23d - टुकड़ावार द्विघात, आदि। अंजीर में। चित्र 6 एक द्विघात आधार, और अंजीर के साथ उदाहरण से फ़ंक्शन को दर्शाता है। 7 - एक रेखीय आधार के साथ और ध्यान देने योग्य विकृति के साथ एक ही कार्य।

अंजीर। 6. द्विघात आधार के साथ परिमित-तत्व कार्य

अंजीर। 7. रैखिक आधार के साथ परिमित तत्व कार्य

Freefem ++ में आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए, समस्या का एक भिन्न विवरण निर्दिष्ट किया जाता है, और जब समस्या हल हो जाती है, तो वांछित फ़ंक्शन बनते हैं। निम्नलिखित स्क्रिप्ट के आधार पर, हम विचार करेंगे कि परिवर्तनशील सूत्रीकरण और अन्य प्रोग्रामिंग तत्व कैसे लिखे जाते हैं।

 mesh3 Th = readmesh3 ("example3d.mesh");
  
 Fespace VVh (Th, [P2, P2, P2, P1]);
 फ़ेसस्पेस Vh (Th, P23d);

 मैक्रो ग्रैड (यू) [डीएक्स (यू), डाई (यू), डीजेड (यू)] //
 मैक्रो डिव (u1, u2, u3) (dx (u1) + डाई (u2) + dz (u3)) //

 वीवीएच [यू 1, यू 2, यू 3, पी];
 VVh [v1, v2, v3, q];

 func fup = (1-x) * (x) * y * (1-y) * 16;

 समाधान ([u1, u2, u3, p], [v1, v2, v3, q]) = हल करें 
   int3d (Th, qforder = 3) (ग्रेड (u1) '* ग्रैड (v1) + ग्रैड (u2)' * ग्रैड (v2) + ग्रैड (u3) '* ग्रैड (v3)
		        - div (u1, u2, u3) * q - div (v1, v2, v3) * p + 1e-10 * q * p) 
 + पर (5, u1 = 0, u2 = 0, u3 = 0)
 + पर (1, u1 = fup, u2 = 0, u3 = 0);

 प्लॉट (p, nbiso = 10);

निम्नलिखित निर्माण इस उदाहरण में प्रस्तुत किए गए हैं। एक परिमित तत्व स्थान एक वेक्टर क्षेत्र के लिए निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण में, VVh एक वेक्टर फ़ील्ड के लिए चार घटकों के साथ निर्दिष्ट है, और Vh एक स्केलर फ़ील्ड के लिए।

Freefem ++ मैक्रो की घोषणा करने की क्षमता प्रदान करता है जो मैक्रो कीवर्ड से शुरू होता है। मैक्रो प्रतिस्थापन के दौरान, मैक्रो नाम को मैक्रो बॉडी के साथ औपचारिक मापदंडों के प्रतिस्थापन के साथ वास्तविक लोगों के साथ बदल दिया जाएगा। उदाहरण में, दो मैक्रो हैं: ग्रैड (यू) और डिव (यू 1, यू 2, यू 3)। ये मैक्रोज़ विशेष संकेतन dx, du, dz का उपयोग करते हैं, जो उनके संबंधित निर्देशांक द्वारा अंतर को दर्शाते हैं।

एक फ़ंक्शन को फंक कीवर्ड का उपयोग करके घोषित किया गया है। इसके अलावा, यदि x, y, z, द्वारा फ़ंक्शन के तर्कों को निरूपित किया जाता है, जो आरक्षित शब्द हैं, तो आपको औपचारिक मापदंडों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

हल निर्माण का उपयोग समस्या के परिवर्तनकारी सूत्रीकरण और समाधान को रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता है। कार्य नाम के बाद, अज्ञात और परीक्षण फ़ंक्शन सूचीबद्ध हैं। इस मामले में, प्रोब प्रॉब्लम में स्पेस वीवीएच पर परिभाषित दो वेक्टर फ़ंक्शन हैं: [u1, u2, u3, p] - वांछित एक और [v1, v2, v3, q] - ट्रायल एक। समान संकेत के बाद, वैचारिक सूत्रीकरण के लिए अभिव्यक्ति लिखी जाती है। इस बिंदु पर उदाहरण में, दो विशिष्ट Freefem ++ कंस्ट्रक्शन हैं। एक त्रि-आयामी अभिन्न रिकॉर्ड करने के लिए, एक विशेष इंट 3 डी निर्माण का उपयोग किया जाता है जिसमें एकीकरण स्थान निर्दिष्ट किया जाता है, इस मामले में, ग्रिड ठा। इसके अलावा, एपोस्ट्रोफ द्वारा निरूपित मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन ऑपरेटर का उपयोग यहां किया जाता है। वैरिएबल फॉर्मूलेशन के अंत में, बाउंड्री कंडीशंस को सॉल्यूशन कंस्ट्रक्शन में लिखा जाता है। सीमा की स्थिति को विशेष शब्द द्वारा इंगित किया जाता है, जिसके बाद वर्ग जाल 3 के ऑब्जेक्ट से क्षेत्र के अनुरूप लेबल कोष्ठक में इंगित किया गया है। इन लेबलों को जाली फ़ाइल में लिखने पर ऊपर चर्चा की गई थी। क्षेत्र के लिए, वांछित क्षेत्र के घटकों को सूचीबद्ध किया गया है और उनमें से प्रत्येक के लिए एक बाधा लिखी गई है। अड़चन एक मनमाना अभिव्यक्ति हो सकती है। उदाहरण में, संख्याएं और फ़ूप फ़ंक्शन एक बाधा के रूप में निर्दिष्ट हैं।

जब फ़ील्ड घटक प्लॉट फ़ंक्शन का उपयोग करके आउटपुट होता है, तो आइसोसुरफेस के साथ तैयार तत्व स्थान ग्राफिक विंडो में दिखाया गया है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 8. isosurfaces की संख्या स्क्रिप्ट में nbiso पैरामीटर के साथ सेट की जा सकती है, और फिर मैन्युअल रूप से ग्राफिक्स विंडो में बदल दी जाती है।

अंजीर। 8. निर्णय का परिणाम

निष्कर्ष

Freefem ++ गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है, जिसका उपयोग वाणिज्यिक लोगों सहित अनुप्रयोगों के विकास में किया जा सकता है। बाद के मामले में, फ्रीफ़ेम ++ की एक उपयोगी विशेषता परिमित तत्वों के एक 3 डी जाल को आयात करने की क्षमता है, जो तीसरे पक्ष के जाल जनरेटर के उपयोग की अनुमति देता है।

Freefem ++ का उपयोग करके अभ्यास करें

Freefem ++ प्राप्त करना और निष्पादित करना

2 डी त्रिकोण

3 डी मेष

विभेदक समीकरणों की प्रणालियों का समाधान

निष्कर्ष

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