गणित का दर्शन

कार्ल गौस ने, एक समय में, गणित को सभी विज्ञानों की रानी कहा, जिससे उन्हें मानव ज्ञान के क्षेत्र में एक विशेष स्थान मिला। वास्तव में, अन्य विज्ञानों के विपरीत, यह उनकी भाषा या अध्ययन की पद्धति के रूप में कार्य करता है। शायद सभी विज्ञानों में सबसे कठोर होने के नाते, इसकी अपनी सख्त और आम तौर पर स्वीकृत परिभाषा नहीं है। अपने पूरे इतिहास में, स्वयं को परिवर्तित करते हुए, गणित की अवधारणा को रूपांतरित किया गया। वैज्ञानिक, गणित के विकास के दौरान, गणित की परिभाषाओं के बजाय बनाने में सक्षम थे, लेकिन इसके बारे में विचार या विचारों का एक सेट।

"गणित वह भाषा है जिसमें प्रकृति की पुस्तक लिखी जाती है" (जी। गैलीली)
"गणित आवश्यक निष्कर्ष का विज्ञान है" (बी पियर्स)
"गणित एक सख्त भाषा है जो एक अनुभवी निर्णय से दूसरे में स्थानांतरित करने का कार्य करती है" (एन। बोहर)
"गणित औपचारिक संरचनाओं का एक पदानुक्रम है" (एन। बॉरबकी)
"गणित मात्रात्मक संबंधों और वास्तविक दुनिया के स्थानिक रूपों का विज्ञान है" (ए। कोलमोगोरोव)

- यह केवल निर्णयों का एक छोटा सा हिस्सा है, जो गणित के बारे में विचारों की विविधता को दर्शाता है। गणित की परिभाषा के सवाल के अलावा, दिलचस्प और बहस का विषय इसकी प्रकृति (नींव), इसकी कार्यप्रणाली, लक्ष्यों और वास्तविक दुनिया के साथ संबंध के बारे में प्रश्न हैं। उनके उत्तर भी अस्पष्ट हैं और समय के साथ काफी बदल गए हैं, जिससे विभिन्न दार्शनिक रुझान पैदा हुए हैं।

एक अलग विज्ञान के रूप में गणित के विकास में पहला चरण सबूत का विचार था, एक कटौती का अनुमान था, जिसके संस्थापक प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ थे। एक व्यवस्थित विज्ञान के रूप में गणित के उद्भव ने उस समय की दार्शनिक सोच को प्रभावित किया, जो कि पाइथागोरस की शिक्षाओं में गणित के रहस्य परिलक्षित होता था। पाइथागोरसवाद को गणित की नींव पर पहला दार्शनिक पाठ्यक्रम माना जा सकता है, जो पूरी तरह से पाइथागोरस की थीसिस में व्यक्त किया गया है "सब कुछ संख्या है।" पाइथागोरस ने गणित को सभी सिद्धांतों की शुरुआत माना, सभी चीजों की नींव। वे गणितीय सत्य को जन्मजात मानते थे, आत्मा द्वारा एक अधिक परिपूर्ण दुनिया में प्राप्त किया गया - विचारों की दुनिया।

गणित का पहला संकट (खंडों की अक्षमता) ने गणित के सामंजस्य को नष्ट करते हुए पाइथोगोरियनवाद के दर्शन पर प्रहार किया। ब्रॉड और, एक अर्थ में, पाइथागोरसवाद की पूर्ण आलोचना अरस्तू द्वारा दी गई थी। अरस्तू के अनुसार, गणित उन आदर्श संस्थाओं के बारे में ज्ञान नहीं है जो स्वतंत्र रूप से चीजों के साथ मौजूद हैं, लेकिन ज्ञान चीजों से अलग है। हालाँकि, पाइथागोरसवाद लंबे समय तक प्रभावित रहा (एक तरह से, अभी भी प्रभावित करता है) गणित की दार्शनिक समझ। प्राचीन ग्रीक गणितज्ञों का मुख्य योगदान कठोरता के गणित में परिचय था, विशेष रूप से यूक्लिड के "सिद्धांतों" में व्यक्त किया गया था।

गणित के विकास में अगला महत्वपूर्ण युग "पुनरुद्धार" की अवधि थी। विज्ञान की नई जरूरतों के साथ, मुख्य रूप से यांत्रिकी, नए विचार प्रकट हुए हैं जो अब अंतर और अभिन्न कलन से संबंधित हैं। कुछ बाहरी वास्तविकताओं के आधार पर गणित को माध्यमिक, प्रायोगिक ज्ञान माना जाने लगा। यह युग गणित के दूसरे संकट के साथ था, अर्थात् विभेदक गणनाओं के औचित्य में "पूर्वजों की सख्ती" की अनुपस्थिति। व्यवहार में, इसके परिणाम सामने आए, लेकिन साक्ष्य में प्रासंगिक infinitesimals का उपयोग बहुत ही भारी था। विशेष रूप से, लीबनिज ने अंतर गणना की पुष्टि करने के लिए, "गैर-आर्किमिडीयन मूल्य" के विरोधाभासी अवधारणा को पेश किया। एक कठोर औचित्य के अभाव में, विभेद के विभिन्न रूपात्मक और प्राकृतिक दार्शनिक स्पष्टीकरण बनने लगे।

अगला चरण गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति (गणित का तीसरा संकट) से प्रेरित था। वास्तविक दुनिया के साथ अतुलनीय, वे पिछले युग के शास्त्रीय अनुभववाद के लिए एक झटका बन गए। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति गर्म बहस का विषय बन गए और कई गणितज्ञों द्वारा लंबे समय तक स्वीकार नहीं किए गए, हालांकि, उन्होंने गणित के विकास में द्विभाजन के बिंदु के रूप में कार्य किया, इस पर एक बिल्कुल नया रूप बनाया। अब, गणितीय सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता स्थिरता बन गई है, अनुभव के साथ संबंध नहीं। हालांकि पहले तो गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के एक तत्वमीमांसात्मक स्पष्टीकरण पर प्रयास किए गए थे, बाद में, पॉइंकेयर, डेडेकिंड, कैंटर, हिल्बर्ट के बलों द्वारा कई मामलों में, अनुभव और अंतर्ज्ञान से संबंधित गणितीय वस्तुओं की समानता को मान्यता दी गई थी। गणित की ऐसी दृष्टि उसके बाद के सभी दर्शन में परिलक्षित हुई।

गणित को प्रमाणित करने के तरीकों में विभिन्न दार्शनिक और गणितीय रुझान मुख्य रूप से भिन्न हैं। इन धाराओं में से एक तर्कवाद है, जो औपचारिक गणितीय तर्क के विकास की भावना में प्रकट हुआ। उनका मुख्य कार्य गणित के आधार को कम करने की कोशिश करना था - तार्किक टॉटोलॉजी के अंकगणित। उनके माफी देने वाले जी। फ्रीज को इसमें कोई संदेह नहीं था कि तर्क सभी गणितीय अवधारणाओं के सही अर्थ को स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त आधार प्रदान करता है। हालांकि, यह तर्कसंगत तर्क निकला, भले ही वे विरोधाभास की ओर न बढ़ें, फिर भी अतिरिक्त मान्यताओं को शामिल करने की आवश्यकता है जो तर्क के नियमों के बाहर हैं। गणित की तार्किक नींव का विचार, सबसे पहले, तर्क की विशेषताओं (औपचारिक तर्क), इसकी प्रधानता का विचार था, हालांकि, यह कथन बल्कि संदिग्ध है। पॉइंकेयर ने तर्कवाद को "परिमित को अनंत को कम करने का एक निराशाजनक प्रयास" के रूप में वर्णित किया।

एक और प्रवृत्ति अंतर्ज्ञानवाद थी। उनका मुख्य बिंदु यह विश्वास था कि गणित की कुछ वस्तुएं निश्चित रूप से स्पष्ट हैं, और उनके साथ काम करने से विरोधाभास नहीं हो सकता है। तर्कवाद के प्रति असंतुलन के रूप में बहुत हद तक दिखाई दिया, यह अनिवार्य रूप से अनुभववाद का एक संशोधन था। पहले प्राप्त किए गए कई सिद्धांतों को नकारते हुए, उन्होंने गणित को महत्वपूर्ण रूप से खराब कर दिया, जो इसे अस्वीकार करने के कारणों में से एक के रूप में कार्य करता था।

तब तक प्राप्त किए गए सभी गणित औचित्य कार्यक्रमों की आलोचनात्मक समीक्षा के आधार पर, हिल्बर्ट ने अपना रास्ता प्रस्तावित किया, जिसे औपचारिकता के रूप में जाना गया। इस प्रवृत्ति का मुख्य दार्शनिक आधार यह था कि गणित का औचित्य केवल उसकी स्थिरता का औचित्य है। हिल्बर्ट द्वारा प्रस्तावित अभिप्रेरन प्रक्रिया में सबसे पहले, स्वयंसिद्ध और प्रतिक्षेप नियमों की योजना के प्रतीकात्मक रूप में सिद्धांत को औपचारिक रूप देना शामिल था, और दूसरी बात, केवल इसकी औपचारिक संरचना के आधार पर इसकी स्थिरता साबित करना। हालांकि, यह प्रवृत्ति अस्थिर थी। कर्ट गोडेल द्वारा गणितीय तर्क के दो प्रमेयों ने गणित के औचित्य में क्रांति ला दी। विशेष रूप से, दूसरा प्रमेय बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समृद्ध औपचारिक सिद्धांत की स्थिरता का प्रमाण इस सिद्धांत के माध्यम से ही असंभव है, जो हिल्बर्ट की पुष्टि प्रक्रिया को असंभव बनाता है। इस प्रकार, किसी भी औपचारिक सिद्धांत को केवल दूसरे सिद्धांत द्वारा ही सही ठहराया जा सकता है, जो एक अनुचित सिद्धांत या एक दूसरे को पुष्ट करने वाले सिद्धांतों के एक दुष्चक्र के अनिवार्य अस्तित्व की ओर जाता है।

तो, गणित को सिद्ध करने, उसकी प्रकृति को खोजने की समस्या खुली हुई है। मेरी व्यक्तिपरक राय में, इसका उत्तर यह हो सकता है: एक गणितीय सिद्धांत तब तक सही रहता है जब तक वह लोगों के लिए सुसंगत लगता है, हमारी सोच के अनुसार सही है, हमारे तर्क (एक मानवशास्त्रीय सिद्धांत की तरह, कार्ल मेसेंजर के मूल्य सिद्धांत के आधार के समान)। इस प्रकार, सवाल यह है कि मानवीय सोच और तर्क क्या है, उनकी प्रकृति क्या है। दर्शन भी लंबे समय से इस सवाल का जवाब ढूंढ रहा है। अनुभवजन्य विचार थे, जिसके अनुसार हमारी सोच अनुभव के माध्यम से बनती है, और प्रशंसनीय लोग जो उनके करीब हैं, एक निश्चित तंत्रिका नेटवर्क के रूप में सोच पर विचार करना, अपने कार्यों से सीखना, और, चलो उन्हें इतना पवित्र कहते हैं, उदाहरण के लिए, एक अलग स्थान के रूप में विचारों की दुनिया का प्रतिनिधित्व करते हैं। गणित की दृढ़ता के लिए उपरोक्त दृष्टिकोण की मुख्य विशेषता यह है कि इस तरह के सिद्धांत को अपनाने से हम औचित्य के मुद्दे को अनदेखा कर सकते हैं और केवल मानव विचार और तर्क की प्रकृति की समस्या को हल कर सकते हैं। (हालांकि हम शायद कभी जवाब नहीं पाएंगे, क्योंकि प्रतिबिंब की संपत्ति के अंतर के बावजूद, यह संभावना है कि यह स्वयं को जानना संभव नहीं है)

संदर्भ:

ईए बेलीव, वी। वाई। पर्मिनोव "गणित की दार्शनिक और पद्धति संबंधी समस्याएं"