🧓🏾 💥 🕤 मुश्किल चतुर्भुज 🧔 🔋 👌

पहेली का अनुमान लगाएं: चार आयामों में बैठता है और जटिल संख्याओं के साथ घूमता है?

संकेत: यह एक अदिश सदिश राशि है। और असली मैट्रिक्स। और हैमिल्टन इसके साथ आए।

मदद नहीं की? खैर, आप, यह प्राथमिक है! यह एक विचित्रता है! रोबोटिक्स, गेम इंजन, सिमुलेशन सॉफ्टवेयर और जहां भी यूलर एंगल्स या मैट्रिस के साथ समस्याओं की आवश्यकता नहीं होती है, को रिकॉर्ड करने के लिए Quaternions का उपयोग किया जाता है। यदि आप बटेरियन के विभिन्न विचारों के साथ ऊपर के भ्रम से डरते हैं, तो आप शांत हो सकते हैं। चतुर्धातुक का उपयोग करना बहुत आसान है और उनकी आंतरिक संरचना की आवश्यकता केवल बहुत ही दुर्लभ मामलों में हो सकती है जहां सूक्ष्म अनुकूलन की आवश्यकता होती है। बाकी समय quaternions की मदद से आप कुछ भी और कुछ भी ट्विस्ट कर सकते हैं, और यह बिना ताले को सुचारू रूप से और खूबसूरती से इंटरपोल करेगा।

एक विचित्रता क्या है? यह समझना आसान है कि क्या दो भागों में विभाजित है: एक वेक्टर और इसके चारों ओर घूमना। कल्पना करें कि आप एक गोले के अंदर हैं। आप क्षेत्र तक पहुंच सकते हैं और क्षेत्र की आंतरिक सतह को छू सकते हैं। यह एक वेक्टर होगा। अब, यदि आप ब्रश को घुमाकर गोले को घुमाते हैं, तो आपको चतुष्कोण का दूसरा घटक मिलता है। क्वाटरनियन अंतिम रोटेशन है जो प्रारंभिक स्थिति से प्राप्त होता है।

क्वाटरनियन में एक चालाक आंतरिक संरचना है। इसे चार नंबरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: सदिश के लिए x, y, z और रोटेशन के लिए w। कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि उनके अलावा अभी भी तीन काल्पनिक इकाइयाँ हैं, जैसे: i ² = j ² = k ² = ijk = −1। संपूर्ण प्रविष्टि निम्नानुसार है: q = w + x * i + y * j + z * k

इकाइयों के कारण, मैन्युअल रूप से चतुष्कोणों को जोड़ना, बल्कि कम है, लेकिन, सौभाग्य से, प्रोग्रामिंग में वे विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं हैं। सभी ऑपरेशन आमतौर पर एक पूरे के रूप में चतुर्भुज पर किए जाते हैं, और केवल उन चार संख्याओं का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। इसके अलावा, कई पुस्तकालयों में विशेष रचनाकार हैं जो आपको अधिक समझने योग्य संरचनाओं से एक चतुर्भुज प्राप्त करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए Quaternion.Euler in Unity3d या Quaternion.CreateFromYawPitchRoll XNA।

क्वाटर्न्स के साथ काम करते समय, सबसे अधिक बार आपको उन्हें एक-दूसरे से गुणा करना होगा। यह एक बहुत ही उपयोगी ऑपरेशन है, क्योंकि जब आप एक चतुर्भुज को दूसरे से गुणा करते हैं, तो आपको पहला घुमाव मिलता है, दूसरे द्वारा घुमाया जाता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि चतुर्धातुक गुणा सराहनीय नहीं है, जिसका अर्थ है कि ऑपरेंड का क्रम महत्वपूर्ण है। अर्थात q ₁ * q ₂ , q ₂ * q ₁ के समान नहीं है। नीचे दी गई तस्वीर में आप अंतर देख सकते हैं। वाम: Quaternion.Euler (60, 0, 60) * Quaternion.Euler (0, 60, 0), दाएं: Quaternion.Euler (0, 60, 0) * Quaternion.Euler (60, 0, 60)। रंगीन रेखाएं प्रत्येक हवाई जहाज के स्थानीय अक्षों के मार्ग दिखाती हैं।

व्यवहार में, चतुर्भुज के साथ काम करना इस तरह दिखता है:

var rightTurn = Quaternion.Euler(0, 90, 0); //     car.rotation = car.rotation*rightTurn; //

ऊपर के उदाहरण में, कार स्थानीय निर्देशांक में दाईं ओर घूमती है। यदि कार एक झुकाव वाले विमान पर यात्रा कर रही है, या यहां तक कि उल्टा है, तो यह अभी भी सही ढंग से मोड़ देगा जहां आप चाहते हैं। राइटटर्न चर का उपयोग किसी भी समय किया जा सकता है, इस तरह, उदाहरण के लिए, 360 डिग्री रोटेशन जैसा दिखता है:

 car.rotation = car.rotation*rightTurn*rightTurn*rightTurn*rightTurn;

डिफ़ॉल्ट रूप से, एक चतुर्भुज रोटेशन की गणना के लिए वैश्विक समन्वय अक्षों का उपयोग करता है। जब एक quaternion को दूसरे quaternion से गुणा किया जाता है, तो दूसरे quaternion के लिए पहला quaternion संदर्भ बिंदु बन जाता है।

अगर आप अचानक कई तरह की उत्तल सतहों को हिलाना चाहते हैं जैसे कि सुपर मारियो गैलेक्सी में यूलर एंगल्स का उपयोग करके, तो आपको अपने दिमाग को लंबे समय तक रैक करना होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि उन्हें अंतरिक्ष में किसी वस्तु के विशिष्ट अभिविन्यास को इंगित करने के लिए आविष्कार किया गया था, न कि एनीमेशन के लिए। चतुर्धातुक के साथ, सब कुछ बहुत सरल है, और वे उल्लेखनीय रूप से सबसे छोटे रास्तों के साथ प्रक्षेपित होते हैं, जबकि यूलर कोण मोड़ के पदानुक्रम के कारण उड़ने लगते हैं और अक्सर इस लेख में लिखे गए हिंग वाले लॉक में फंस जाते हैं। नीचे दिए गए एनीमेशन में, आप देख सकते हैं कि उनका गोलाकार प्रक्षेप कितना अलग है। बाईं ओर चतुर्धातुक, दाईं ओर यूलर कोण।

यदि आप अभी भी आश्चर्य करते हैं कि चतुर्धातुक अंदर कैसे दिखते हैं, तो आप नीचे दी गई तालिका में देख सकते हैं।

w	एक्स	रोटेशन
1	0	कोई रोटेशन नहीं
0	1	एक्स-अक्ष के चारों ओर 180 °
sqrt (0.5)	sqrt (0.5)	एक्स-अक्ष के चारों ओर 90 °
sqrt (0.5)	-sqrt (0.5)	एक्स अक्ष के आसपास -90 °

तालिका में मूल्य निम्न सूत्र से प्राप्त किए गए हैं:

 [w, x, y, z] = [cos(alpha/2), sin(alpha/2)*vx, sin(alpha/2)*vy, sin(alpha/2)*vz]

जहाँ अल्फा रोटेशन का कोण है, और vx, vy, vz रोटेशन के अक्ष का वेक्टर है।

चतुर्भुज के जोड़ का परिणाम एक मध्यवर्ती रोटेशन है। चतुर्धातुक का जोड़ प्राथमिक है, यह उनके घटकों को जोड़ने के लिए पर्याप्त सरल है। उदाहरण के लिए, q ₁ = 1 + 0i + 0j + 0k (ऊपर तालिका से शून्य रोटेशन) और q ₂ = 0 + 1i + 0j + 0k (एक्स अक्ष के चारों ओर 180 °)। इनका योग q ₃ = 1 + 1i + 0j + 0k होगा, अर्थात X धुरी के चारों ओर 90 °। दुर्भाग्य से, Unity3d में इसके अलावा ऑपरेटर को चतुष्कोणों के लिए लागू नहीं किया जाता है।

यदि आप quaternions के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो मैं आपको अंग्रेज़ी विकिपीडिया से शुरू करने की सलाह देता हूं। आप वुल्फराम में भी तल्लीन कर सकते हैं । अल्फा , यह संबंधित जानकारी के टन का उत्पादन करता है और आमतौर पर बहुत कुछ जानता है। आप नीचे दिए गए लिंक का उपयोग करके इंटरैक्टिव डेमो में यूलर एंगल्स और क्वाटरनियन्स के बीच के अंतर को भी देख सकते हैं।

वीडियो

WebGL | विंडोज | लिनक्स | मैक | गिटहब स्रोत
माउस का प्रयोग करें दृश्य को घुमाने के लिए, AD, WS और QE - कुल्हाड़ियों के चारों ओर रोटेशन, Esc - बाहर निकलें, शेष बटन स्क्रीन पर इंगित किए गए हैं।
लिनक्स यूजर्स के लिए: क्वाटरनियोज फाइल को "chmod + x Quaternions" के साथ निष्पादित करें और इसे चलाएं।

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