अण्डाकार स्पाइरोग्राफ

एक बच्चे के रूप में, मेरे पास एक खिलौना था जिसे स्पाइरोग्राफ कहा जाता था। यह एक ऐसी प्लास्टिक शीट है जिसके अंदर एक गोल छेद होता है, और गियर गियर इसके साथ जुड़े होते हैं, वह भी छेद के साथ, लेकिन छोटा होता है। आप हैंडल को एक सर्कल और रोल में छेद में रख देते हैं। परिणाम सुंदर फीता पैटर्न है जिसे आप अपने हाथों से नहीं खींच सकते।

जब मैं बड़ी हो गई, तो मैं कंप्यूटर स्क्रीन पर पहले से ही समान पैटर्न प्रदर्शित करना चाहता था। लंबे समय से मैं सोच रहा था कि कैसे करना है, किस फॉर्मूले के अनुसार ड्रा करना है। इस बीच, मुझे लगा कि यह सूत्र मेरे बिना ही प्राप्त हुआ है और इसे विकिपीडिया पर भी डाल दिया है - मैं आकर्षित नहीं करना चाहता। निष्कर्ष का मुख्य विचार यह है कि एक छोटा वृत्त बिना खिसके बड़े से यात्रा करता है, और इसलिए, एक छोटे वृत्त से एक बिंदु द्वारा यात्रा की गई दूरी एक बड़े वृत्त पर संबंधित दूरी के बराबर होनी चाहिए।

हालांकि, लिया किले अब आकर्षित नहीं करते हैं। कार्य को सामान्य बनाना अब स्वाभाविक है - उदाहरण के लिए, एक सर्कल के अंदर छोटे सर्कल की सवारी करने के लिए, लेकिन अधिक जटिल आकार, कहते हैं, एक दीर्घवृत्त।

लेकिन फिर यह अचानक स्पष्ट हो जाता है कि विकिपीडिया से निष्कर्ष को परिधि के ठीक नीचे तेज किया गया है। और अन्य आंकड़ों के लिए, हम तुरंत तीन बाधाओं के पार आते हैं।

सबसे पहले, सर्कल एक साधारण आंकड़ा है और इसकी लंबाई की गणना करना बहुत आसान है: त्रिज्या द्वारा रोटेशन के कोण को गुणा किया जाता है, और आप कर रहे हैं। लेकिन दीर्घवृत्त की लंबाई, कुछ और अधिक जटिल का उल्लेख नहीं करने के लिए, एक विशेष प्रकार का अभिन्न अंग है, जो कि "दीर्घवृत्त समारोह" के लिए अपना नाम भी है। और यह गैर-झुकाव अभिन्न - अर्थात, प्राथमिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया गया है। और व्युत्पत्ति के माध्यम से दीर्घवृत्त की लंबाई पर विचार करना, और यहां तक ​​कि यह विचार करना कि सूत्र वहां पैरामीट्रिक है, एक छोटी सी खुशी है। यही है, ज़ाहिर है, यह कार्यक्रम करना संभव है, लेकिन गणना बहुत, बहुत लंबे समय तक की जाती है।

दूसरे, सर्कल निरंतर वक्रता का एक आंकड़ा है। इसलिए, सर्कल की स्पर्शरेखा के बिंदु और बड़े सर्कल के केंद्र के बीच की रेखा हमेशा एक ही समय में छोटे सर्कल से गुजरती है, जो सूत्रों की व्युत्पत्ति को सरल बनाती है। एक दीर्घवृत्त (और अलग वक्रता वाले किसी अन्य वक्र) के मामले में, ये बिंदु बर्फ की तरह एक गाय की तरह अलग-अलग दिशाओं में चलते हैं। यहाँ एक चित्रण है।



तीसरी समस्या पर बाद में चर्चा की जाएगी।

लेकिन मन सभी बाधाओं को पार कर जाता है। खैर, या लगभग सब कुछ। यदि हम विकिपीडिया से यात्रा की गई दूरी की समानता के मुख्य विचार से लेते हैं और दूसरा विचार गियर में छेद के स्थान की गणना करना है क्योंकि छोटे सर्कल के केंद्र के योग का योग बड़े के सापेक्ष और छेद का स्थान छोटे सर्कल के सापेक्ष है, तो कुछ परीक्षण और त्रुटि के बाद, आप एक ड्राइंग एल्गोरिथ्म के साथ आ सकते हैं।

इसलिए, ऊपर दिए गए दृष्टांत को देखें। कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक का केंद्र (हमें दोनों का उपयोग करना होगा) एक स्थान पर है - मुख्य दीर्घवृत्त के बीच में, हम एक्स अक्ष से ध्रुवीय कोण वामावर्त मापते हैं। एक छोटे वृत्त पर, विशेष रूप से सुंदरता के लिए एक हरे रंग का तीर तैयार किया गया था। प्रारंभ में, 0 के कोण पर, छोटा वृत्त खड़ा होता है ताकि यह तीर 0 के कोण पर हो, और बड़े वृत्त के संपर्क का बिंदु x अक्ष पर हो।

अब पहिया को ऐसा मोड़ दिया गया है कि स्पर्शरेखा का बिंदु उस बिंदु पर चला गया है जो कोण α पर है, जब मूल से देखा जाता है। इस समय के दौरान, तीर का अंत किसी तरह से चला गया, और यह पथ दीर्घवृत्त (चित्र में दोनों नीले रंग में चिह्नित हैं) पर संबंधित पथ के बराबर है।

चलो एक छोटा सा दृश्य लेते हैं।



यहां हम संपर्क का एक ही बिंदु देखते हैं (pt के रूप में चिह्नित), पहिया पर तीर (बोल्ड में खींचा गया), इस तीर के अंत (नीले रंग में हाइलाइट किया गया), और उसी समय, पहिया में छेद (लाल बिंदी) द्वारा पथ। स्थानीय पहिया का केंद्र है, इस बिंदु पर स्थानीय समन्वय प्रणाली का केंद्र रखा जाएगा, जिसके साथ हम छेद की स्थिति की गणना करते हैं।

तो, बिंदु pt एक कोण α पर दीर्घवृत्त के केंद्र से दिखाई देता है। इस बिंदु के निर्देशांक को खोजना आसान है - एक दीर्घवृत्त और इसी रेखा के प्रतिच्छेदन की तरह। अब पहिया के केंद्र के निर्देशांक को जानना अच्छा होगा, लेकिन इसके लिए हमें कोण from - पहिया के केंद्र से संपर्क के बिंदु तक दिशा जानने की आवश्यकता है। ओह! - कीवर्ड "टच"। उस बिंदु पर जहां कर्व्स उन्हें छूते हैं, एक आम स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, और हमें जिस कोण की आवश्यकता होगी वह इस स्पर्शरेखा के कोने के लंबवत होगी। स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा एक बिंदु पर एक दीर्घवृत्त का व्युत्पन्न है। यह केवल इस व्युत्पन्न की गणना करने के लिए बनी हुई है।

बेशक, हम दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण को ले सकते हैं और इससे व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। लेकिन यह बहुत असुविधाजनक है - पैरामीटर का किसी भी ज्ञात मात्रा से कोई लेना-देना नहीं है। और अगर हम दीर्घवृत्त को किसी और चीज़ से प्रतिस्थापित करते हैं?

भौतिकविदों ने मजाक में कहा कि भगवान भगवान को सीधे शारीरिक निकायों पर लाइव एकीकृत करने में सक्षम होने का महत्वपूर्ण लाभ है। यह वह विधि है जिसका हम उपयोग करेंगे।

एक व्युत्पन्न क्या है? यदि एक सरल, सामूहिक फार्म में, मार्ग को सीमा तक छोड़कर, तो यह फ़ंक्शन के मूल्य में परिवर्तन के अनुपात में परिवर्तन का अनुपात है। चूँकि हम कंप्यूटर पर प्रोग्राम करते हैं, इसलिए हमारे पास सीमा संक्रमण के कारण कोई भी इन्फिनिटी नहीं है, हमारी दुनिया असतत है, और ऐसा फॉर्मूला हमारे लिए काफी उपयुक्त है। इसलिए, हमें केवल पिछले बिंदु को याद रखने और अनुपात (Ypt-Yprev) / (Xpt-Xprev) की गणना करने की आवश्यकता है। जितना अधिक बार हम अंक लेते हैं, हमारी गणना उतनी ही सटीक होगी और अंत में कोई भी उन्हें वास्तविक व्युत्पत्ति से अलग नहीं करेगा।

फिर भी, यह सरल है - हम कोण, और इसके साथ पहिया के केंद्र के निर्देशांक पाते हैं।

अब स्थानीय निर्देशांक में छेद निर्देशांक कैसे खोजें? इसके लिए आपको बस यह जानना होगा कि किस कोण ने पहिया को बदल दिया है। आप इसे सीधे गणना नहीं कर सकते हैं, लेकिन यह स्पर्शरेखा के बिंदु और तीर के अंत के बीच के कोण के बराबर है, जिसमें से कोण already, जिसे हम पहले से जानते हैं, घटाया जाता है (चित्र देखें)। हमें केवल विपरीत संकेत के साथ परिणाम लेने के लिए याद रखने की आवश्यकता है, क्योंकि हमारा पहिया दक्षिणावर्त घूमता है, और कोण वामावर्त मापा जाता है।

कैसे एक बड़ा कोण खोजने के लिए? इतना मुश्किल नहीं है - आपको बस पहिया के त्रिज्या द्वारा नीले चाप की लंबाई को विभाजित करने की आवश्यकता है। और नीले चाप की लंबाई दीर्घवृत्त चाप के संबंधित भाग के बराबर है।

अहा-आह, यहाँ भयानक अण्डाकार कार्य हमारे इंतजार में हैं। लेकिन हम उसी तरह बाहर निकलते हैं जैसे व्युत्पन्न के साथ - हम वक्र की लंबाई को टूटी हुई रेखा की लंबाई के साथ बदलते हैं, जिसमें वर्तमान बिंदु और पिछले एक के बीच छोटी लाइनें शामिल हैं।

खैर, बाकी सरल है - हम स्थानीय समन्वय प्रणाली में लाल बिंदु के निर्देशांक ढूंढते हैं और उन्हें वैश्विक रूप से पुन: पेश करते हैं।

अब तीसरी समस्या के बारे में। विकिपीडिया बड़े और छोटे वृत्त की त्रिज्या निर्धारित करता है और भविष्यवाणी करता है कि यदि उनका अनुपात तर्कसंगत है, तो वक्र को जरूरी बंद कर दिया जाएगा (हमें खुले घटता की आवश्यकता क्यों है? वे सुंदर नहीं हैं)। हम यह भी कर सकते हैं, लेकिन यह बेकार है - दीर्घवृत्त की लंबाई एक अपरिमेय संख्या द्वारा व्यक्त की जाती है, हमारे पास कोई त्रिज्या नहीं है, और वक्र सबसे अधिक संभावना है कि बंद नहीं होगा।

हम इसे थोड़ा अलग तरीके से करेंगे: हम सेट करेंगे कि पहिया कितनी बार दीर्घवृत्त से गुजरेगा, और इस बार कितनी बार ईए को मुड़ना चाहिए। इन आंकड़ों के आधार पर, हम गणना करते हैं कि पहिया का त्रिज्या क्या होना चाहिए, ताकि वक्र अभी भी बंद हो। यहां रास्तों की सभी समान समानता हमारी मदद करेगी।

अब, लंबी गणना के बाद, हम अंततः कलात्मक परिणाम का आनंद ले सकते हैं। देखें कितना सुंदर:



आकृति में पीला वृत्त एक पहिया है, बाहरी काला दीर्घवृत्त वह है जिसमें हम सवारी करते हैं, पीला दीर्घवृत्त पहिया के मध्य का मार्ग है।

वैसे, परिणामस्वरूप एल्गोरिथ्म दीर्घवृत्त के किसी भी गुण से पूरी तरह से स्वतंत्र है, इसलिए जब तक यह बंद रहता है, तब तक बाहरी वक्र को बदला जा सकता है। आप भी ले सकते हैं ... एक वर्ग। परिणाम निम्न आकृति में है। वह आंख को इतना भाता नहीं है, लेकिन कुछ भी नहीं। तब फ़ोटोशॉप में अनावश्यक रूप से सब कुछ काट देना संभव होगा।



कहते हुए अच्छा लगा। लेकिन चूंकि यह एक विज्ञापन पोस्ट नहीं है, मैं सिर्फ एक महत्वपूर्ण कमी को नजरअंदाज नहीं कर सकता। उपरोक्त सभी काम करता है यदि वक्र पर्याप्त चिकना है और पहिया छोटा है। यदि पहिया आकार में स्वयं वक्र के बराबर है, तो उपरोक्त निष्कर्ष अब मान्य नहीं है। संदेहपूर्ण रेखांकन ग्राफ पर दिखाई देते हैं, क्योंकि एल्गोरिथम के अनुसार गणना करते समय यह पता चलता है कि कुछ स्थानों पर पहिया इतना खड़ा है कि यह केवल एक बिंदु पर बाहरी वक्र को छूता है, और इसके पड़ोसी बिंदु बाहर चिपके हुए होते हैं। बेशक, यह एक भौतिक स्पाइरोग्राफ पर काम नहीं करेगा, लेकिन यह कैसे तय किया जाए यह अभी भी आधुनिक विज्ञान के लिए अज्ञात है। यदि किसी के पास कोई विचार है, तो कृपया फेंक दें।

और अंत में, जो लोग एल्गोरिदम के कठोर भाषण के लिए गद्य पसंद करते हैं, कार्यक्रम का पाठ। यह एक उत्कृष्ट कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रोग्रामिंग उपकरण, Asymptote में लिखा गया है।

// ,      path base = scale(3,2)*unitcircle; //     -   ;       ,      //path base = unitcircle; //    -   // path base = (-3,3)--(3,3)--(3,-3)--(-3,-3)--cycle; //       // (0 - , -1 -  , +1 -  ) real p = 0.7; import graph; size(600, 600); //    //xaxis(ticks=Ticks); //yaxis(ticks=Ticks); //     int m = 9; //   int n = 29; //   ,     real r = arclength(base)*m/2/pi/n; real hole = r*p; draw(base); //////////////////////////////////////////////// //      , phase -       real revolution(real phase) { pair prev = (500,500); real arclen = 0; real beta; real gamma; for (real alpha = 0; alpha<=2pi; alpha=alpha+0.005) { //           real[][] isect = intersections(base, (0,0)--(500*cos(alpha), 500*sin(alpha))); pair pt = point(base, isect[0][0]); if (prev==(500,500)) { gamma = 0; } else { //     arclen += length(pt-prev); //  ,       pair deriv = pt - prev; //     real g = atan2(deriv.y, deriv.x); //      gamma = g - pi/2; } beta = gamma - arclen/r + phase; //       pair local = hole*( cos(beta), sin(beta) ); //        pair center = pt - r*( cos(gamma), sin(gamma) ); pair spiro = center + local; draw(center, green); draw(spiro, blue); //    -       prev = pt; } return beta; } //////////////////////////////////// //     -   real[][] isect = intersections(base, (0,0)--(100, 0)); pair first_point = point(base,isect[0][0]); draw(shift(first_point.xr,0)*scale(r)*unitcircle, yellow); //  ,          real phase = 0; for (int rev=0; rev<m; rev=rev+1) { phase = revolution(phase); }