🎀 🍊 🐗 सुंदर समाधान के साथ कार्य 🚵🏼 🤵 🤺

समस्याओं का एक वर्ग है जो ज्यादातर मुंह के शब्द से गुजरता है, एक कह सकता है कि वे गणितीय लोककथाओं का हिस्सा हैं। कभी-कभी बहुत सुंदर समाधानों के साथ समस्याएं होती हैं। आप निर्णय को देखते हैं, आप तर्क में हर कदम को समझते हैं, लेकिन आपको ऐसा लगता है जैसे आपको धोखा दिया गया है। आप सब कुछ समझते हैं और साथ ही साथ कुछ भी नहीं समझते हैं। एक सादृश्य संभवतः खींचा जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस ऑप्टिकल भ्रम के साथ:

यहां आपको कटे हुए टुकड़े के साथ एक बड़ा घन दिखाई देता है, फिर कोने में एक छोटा घन खड़ा होता है।

इस पोस्ट में मैंने अपने कुछ पसंदीदा कार्यों को एकत्र किया, जिनमें से समाधान, यह मुझे लगता है, भावनाओं के इस मायावी द्वैतवाद का कारण बनता है: "मैं समझता हूं - मुझे समझ में नहीं आता है।"

वृत्त और शासक

सिद्ध करें कि केवल एक शासक का उपयोग करके, आप विमान पर खींचे गए वृत्त के केंद्र को नहीं खोज सकते (ऐसा माना जाता है कि शासक की लंबाई अनंत है; यह विमान पर दिए गए किसी भी बिंदु को जोड़ सकता है; शासक पर कोई पैमाना नहीं है और इस पर कुछ भी अंकित नहीं किया जा सकता है)।

निर्णय

एक झुकाव शंकु पर विचार करें, जिसका आधार एक निश्चित चक्र है S_1

। चूंकि शंकु झुका हुआ है, इसलिए एक विमान मौजूद है जो आधार के समानांतर नहीं है और जो शंकु से दूसरे सर्कल को काटता है; हम इसे कहते हैं; S_2

।
शंकु के ऊपर एक प्रकाश बल्ब रखें। यह प्रकाश "ऊपरी" सर्कल के विमान पर पड़ी प्रत्येक रेखा पर छाया डालेगा S_2

"कम" सर्कल के विमान के लिए S_1

। इसके अलावा, किसी भी सीधी रेखा की छाया भी एक सीधी रेखा होगी। ध्यान दें कि यह छाया इतनी मुश्किल है कि इस तथ्य के बावजूद कि यह "ऊपरी" सर्कल को प्रदर्शित करता है S_2

"कम" करने के लिए S_1

"ऊपरी" सर्कल के केंद्र की छाया "निचले" के केंद्र में नहीं आती है।

अब एक पल के लिए कल्पना करें कि एक ऐसा अद्भुत एल्गोरिदम है जो कहता है कि किसी एक शासक का उपयोग करके किसी भी सर्कल का केंद्र कैसे ढूंढें। यह एल्गोरिथ्म, एक कंप्यूटर प्रोग्राम पढ़ता है, जिसमें क्रियाओं का एक क्रम शामिल होना चाहिए जैसे: एक मनमानी सीधी रेखा खींचना, दूसरी मनमानी सीधी रेखा खींचना, ऐसे और ऐसे चौराहे को इस तरह के बिंदु से जोड़ते हैं, फिर इस सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ते हैं और किसी अन्य बिंदु पर वृत्त बनाते हैं , और इसी तरह ... ध्यान दें कि यदि हम सर्कल के केंद्र को खोजने के लिए "ऊपरी" विमान पर इस चमत्कार एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं S_2

, तो इस एल्गोरिथ्म के "छाया" बिल्कुल "निचले" विमान पर एक ही कमांड निष्पादित करेगा। और जब से हमने यह मान लिया कि हमारे एल्गोरिथ्म (आदेशों का एक समूह) किसी भी सर्कल के केंद्र को ढूँढता है, एल्गोरिथ्म की छाया जो ठीक उसी कमांड को निष्पादित करती है उसे निचले सर्कल के केंद्र को खोजना होगा। हम तुरंत एक विरोधाभास पर आते हैं, क्योंकि, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया था, "ऊपरी" सर्कल के पाया केंद्र की छाया "निचले" एक के केंद्र में नहीं आती है।

मास्को मेट्रो का कार्य

मास्को मेट्रो में एक नियम है जो उन वस्तुओं को ले जाने पर प्रतिबंध लगाता है जिनकी ऊँचाई, चौड़ाई और गहराई अधिक है 150

देखें। आइए सहमत हैं कि हम आयताकार बक्से के बारे में बात कर रहे हैं। साबित करें कि आप सिस्टम को धोखा नहीं दे सकते हैं और पूरी तरह से बॉक्स को धक्का दे सकते हैं, जिनमें से माप का योग अधिक है 150

सेमी, माप के योग वाले बॉक्स में कम 150

देखें। आप बॉक्स को स्टैक करने की कोशिश कर सकते हैं, जैसा कि आप कुटिलता से करते हैं, लेकिन आप इसे रिंकल नहीं कर सकते।

निर्णय

निर्णय मुझे होवनेस कानुडेवेरियन द्वारा बताया गया था।

हमारे प्रमाण के लिए हमें अवधारणा की आवश्यकता है $\ _ varepsilon$ शरीर पर सूजन । हम अंतरिक्ष में एक मनमाना शरीर लेते हैं, इसके $\ _ varepsilon$ -बफिंग उन बिंदुओं का समूह है जो शरीर पर या उससे कम दूरी पर होते हैं $\ _ varepsilon$ उससे। चलिए बताते हैं $\ _ varepsilon$ -अंतरिक्ष में बैलूनिंग बिंदु त्रिज्या की एक गेंद होगी $\ _ varepsilon$ , और $\ _ varepsilon$ - ब्लोट एक शरीर होगा जो सॉसेज की तरह दिखता है।

अब आयामों के साथ हमारे बॉक्स (बॉक्स प्लस इसके अंदर) को लें

।

और

, और आयतन, क्रमशः, वी = एबीसी

। आइए वॉल्यूम की गणना करने का प्रयास करें $V_ \ Varepsilon$ इसके $\ _ varepsilon$ -vzdutiya। इसमें $\ _ varepsilon$ - शामिल करना शामिल हैं:

बॉक्स ही ;
बॉक्स के किनारों पर वृद्धि। यदि हम बॉक्स के कुल सतह क्षेत्र को निरूपित करते हैं , फिर इन वृद्धि का आयतन होगा $एस \ varepsilon$ ।
बॉक्स के किनारों पर वृद्धि। इस तरह की प्रत्येक वृद्धि सिलेंडर का एक चौथाई है जिसमें आधार की त्रिज्या होती है $\ _ varepsilon$ । चूंकि लंबाई के साथ बॉक्स में चार पसलियां हैं । और , तो एक ही पसलियों में से प्रत्येक चार से विकास एक ठोस सिलेंडर में जोड़ा जा सकता है। परिणामस्वरूप तीन सिलेंडरों की कुल मात्रा होगी $(a + b + c) \ pi \ varepsilon ^ 2$ ;
बॉक्स के शीर्ष पर वृद्धि। इस तरह की प्रत्येक वृद्धि त्रिज्या की एक गेंद का आठवां हिस्सा है $\ _ varepsilon$ । इसलिए, बॉक्स के सभी आठ शीर्षों के ऊपर की वृद्धि से, आप त्रिज्या की एक पूरी गेंद एकत्र कर सकते हैं $\ _ varepsilon$ , यानी वॉल्यूम $\ frac {4} {3} \ pi \ varepsilon ^ 3$ ।

हमें वह आयतन मिलता है $\ _ varepsilon$ -ब्लॉक का बॉक्स बराबर होगा

$\ frac {4} {3} \ pi \ varepsilon ^ 3 + (a + b + c) \ pi \ varepsilon ^ 2 + S \ varepsilon + abc$

अब पक्षों के आयामों के साथ बॉक्स में दें

।

और

एक दूसरा बॉक्स है a '

।

और

। स्पष्ट है कि चाहे कोई भी संख्या हो $\ _ varepsilon$ हमने नहीं लिया $\ _ varepsilon$ -इनर बॉक्स की महंगाई में कमी आएगी $\ _ varepsilon$ -बाहरी बॉक्स की मुद्रास्फीति, इसलिए इसकी मात्रा कम होगी:

$V '_ \ _ varepsilon <V_ \ varepsilon$

हम असमानता में संस्करणों के लिए भावों को प्रतिस्थापित करते हैं, समान शब्दों को कम करते हैं और सब कुछ में विभाजित करते हैं $\ varepsilon ^ 2$ :

$(a '+ b' + c ') \ pi + \ frac {S'} {\ varepsilon} + \ frac {a'b'c '} {\ varepsilon ^ 2} <(a + b + c) \ pi + \ frac {स} {\ _ varepsilon} + \ frac {abc} {\ varepsilon ^ 2}$

ध्यान दें कि अंतिम असमानता किसी के लिए भी सही होनी चाहिए $\ _ varepsilon$ छोटे और बड़े दोनों के लिए। इसलिए, हम हमेशा सीमा तक जा सकते हैं $\ varepsilon \ to \ infty$ हमें मिलता है:

$(a '+ b' + c ') \ pi \ leqslant (a + b + c) \ pi$

इसलिए हमने साबित किया कि यदि एक बॉक्स दूसरे में है, तो उसके आयामों का योग अधिक नहीं हो सकता है।

ईंट की दीवार

कल्पना कीजिए कि हमारे पास इतनी अलग-अलग आयतें (दो-आयामी ईंटें) हैं, जैसे कि प्रत्येक ईंट में कम से कम एक पक्ष होता है जिसमें एक पूर्णांक लंबाई होती है। ऐसी ईंटों से एक सपाट आयताकार दीवार बनाई गई थी, बिना ओवरले और छेद के, ईंटों का झुकाव नहीं होता है। सिद्ध करें कि परिणामस्वरूप दीवार के कम से कम एक तरफ एक पूर्णांक लंबाई है।

निर्णय

समस्या को हल करने से पहले, आइए फ़ंक्शन की एक महान संपत्ति को याद करें $\ sin (x)$ : किसी भी खंड पर इसकी अभिन्नता है जिसकी लंबाई एक संख्या से अधिक है $2 \ pi$ शून्य के बराबर है। वास्तव में

$\ int \ limit_a ^ {a + 2 \ pi n} \ sin (x) dx = - \ cos (a + 2 \ pi n) + \ cos (a) = - cos (a) + cos (a) = 0$

इसके अलावा, अगर समारोह का अभिन्न अंग $\ sin (x)$ शून्य से कुछ संख्या तक

शून्य के बराबर, फिर हम सुरक्षित रूप से मान सकते हैं कि संख्या

मल्टीपल्स $2 \ pi$ ।

यह इसी तरह दिखाया गया है कि एक "क्षैतिज रूप से संकुचित" फ़ंक्शन के लिए $\ sin (2 \ pi x)$ किसी भी खंड पर अभिन्न, जिसकी लंबाई अनेकता में एकता (पूर्णांक) शून्य के बराबर है:

$\ int \ limit_a ^ {a + n} \ sin (2 \ pi x) dx = 0$

अब फ़ंक्शन पर विचार करें $\ sin (2 \ pi x) \ cdot \ sin (2 \ pi y)$ (मूल को दीवार के निचले बाएं कोने में रखें)। इस समारोह में इतनी अद्भुत संपत्ति है कि दीवार पर किसी भी ईंट पर इसका अभिन्न अंग शून्य है:

$\ int \ limit_ {kirpich} \ sin (2 \ pi x) \ sin (2 \ pi y) dxdy = \ int \ limit_ {goriz। \ storona} \ hspace {-7mm} (sin (2 \ pi x) dx। \ cdot \ hspace {-7mm} \ int \ limit_ {खड़ी। \ storona} \ hspace {-7mm} \ sin (2 \ pi y) डाई$

दरअसल, सब के बाद, दाहिनी ओर से एक इंटीग्रल को एक पूर्णांक लंबाई के एक खंड पर लिया जाता है, और इसलिए शून्य के बराबर होता है।

हम देखते हैं कि हमारे अद्भुत कार्य का अभिन्न अंग है $\ sin (2 \ pi x) \ cdot \ sin (2 \ pi y)$ दीवार पर ईंटों में से किसी के लिए शून्य के बराबर है, इसलिए इन ईंटों द्वारा बनाई गई पूरी दीवार पर यह अभिन्न शून्य के बराबर है, क्योंकि यह बस ईंटों में से प्रत्येक पर इंटीग्रल का योग है। हमें मिलता है:

$\ int \ limit_ {stena} \ sin (2 \ pi x) \ sin (2 \ pi y) dxdy = \ int \ limit_ {goriz। \ storona} \ hspace {-7mm} \ sin (2 \ pi x) dx। \ cdot \ hspace {-7mm} \ int \ limit_ {खड़ी। \ storona} \ hspace {-7mm} \ sin (2 \ pi y) डाई$

तो या $\ int \ limit_ {goriz। \ storona} \ hspace {-7mm} \ sin (2 \ pi x) dx$ , या $\ int \ limit_ {खड़ी। \ storona} \ hspace {-7mm} \ sin (2 \ pi y) डाई$ शून्य होना चाहिए। जिससे यह तुरंत चलता है कि दीवार के क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर पक्ष की पूरी लंबाई है।

( अपडेट: जैसा कि मेरे पाठकों का सुझाव है, समस्या के कम से कम 14 समाधान हैं )

कुएँ का कार्य

मैदान में एक गोल कुआँ खोदा गया। हमारे पास बहुत से अलग-अलग अनंत बोर्ड हैं। प्रत्येक बोर्ड की अपनी चौड़ाई होती है। और हमने इन बोर्डों के साथ कुओं को पूरी तरह से बंद कर दिया है ताकि कोई अंतराल न बचे (बोर्ड जरूरी नहीं कि सभी एक दूसरे के समानांतर हों)। साबित करें कि बोर्डों की चौड़ाई का योग हमेशा कुएं के व्यास से कम नहीं होगा।

निर्णय

निर्णय, अगर मैं गलत नहीं हूँ, अलेक्जेंडर Karabegov के अंतर्गत आता है।

आइए एक गोलार्ध के साथ कुएं को कवर करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और कुएं में एक विशाल स्पॉटलाइट स्थापित करें, जो समानांतर ऊर्ध्वाधर किरणों के साथ चमकता है। और बहुत, बहुत पतले बोर्ड पर विचार करें

यह कुएँ पर है।

ध्यान दें कि कुँए के केंद्र से बोर्ड की दूरी जितनी कम हो, उतनी ही कम लंबाई

, जो सीधे कुएं के ऊपर बोर्ड द्वारा कब्जा कर लिया जाता है, लेकिन एक ही समय में, गोलार्ध में इस बोर्ड से छाया के झुकाव का कोण स्थिर हो जाता है। यह पता चला है कि ये दो प्रक्रियाएं एक दूसरे को, और छाया क्षेत्र को रद्द करती हैं डी एस

कुएं के केंद्र से बोर्ड की दूरी से स्वतंत्र। दरअसल, कुएं के ऊपर बोर्ड की लंबाई $l = 2 \ sqrt {R ^ 2-x ^ 2}$ , और छाया की ढलान है $\ tan {\ varphi} = \ sqrt {R ^ 2-x ^ 2} ^ {'} = - \ frac {x} {\ sqrt {R ^ 2-x ^ 2}}$ । हमें क्षेत्र के लिए सूत्र मिलता है डी एस

बोर्ड की छाया, जो उसकी चौड़ाई की लंबाई की लंबाई के बराबर होती है:

$dS = \ frac {\ pi l} {2} \ cdot dx \ big / \ cos {\ varphi} = \ frac {\ pi l} {2} \ cdot dx \ cdot \ sqrt / {tan ^ 2 {\ _ varphi} } +1} = \ pi Rdx$

हम देखते हैं कि वास्तव में, जहां भी कुएं के ऊपर एक बहुत पतला बोर्ड चौड़ा था

, क्षेत्र

इसकी गोलार्ध छाया हमेशा बराबर होगी $\ pi R dx$ , वह यह है कि यह केवल बोर्ड की चौड़ाई पर निर्भर करेगा

। "स्वतंत्रता" की यह संपत्ति किसी भी चौड़ाई के बोर्डों के लिए भी पूरी होती है, क्योंकि उन्हें कल्पना की जा सकती है क्योंकि कई पतले बोर्डों को एक साथ बांधा जाता है। नतीजतन, हमें एक अद्भुत परिणाम मिलता है: यदि कुएं के ऊपर बोर्ड की चौड़ाई है

उसके बाद उसकी छाया का क्षेत्र

के बराबर है $\ pi R d$ ।

अब कई तख्तों को चौड़ा कर दें d_1, d_2, ..., d_n

पूरी तरह से हमारे कुएं को कवर करें। बेशक, कुछ तख्त अपनी पूरी चौड़ाई के साथ कुएं के ऊपर स्थित नहीं हो सकते हैं। इसलिए, प्रत्येक बोर्ड का छाया क्षेत्र $S_n \ leqslant \ pi Rd_n$ । विभिन्न बोर्ड ओवरलैप कर सकते हैं, इसलिए कुल छाया क्षेत्र

$S \ leqllant S \ leqslantS_1 + ... + S_n \ leqslant \ pi R (d_1 + ... + d_n)$

लेकिन चूंकि बोर्ड बिना अंतराल के कुएं को कवर करते हैं, उनकी सामान्य छाया पूरे गोलार्ध को भरती है, जिसका अर्थ है कि इसका एक क्षेत्र है $S = 2 \ pi R ^ 2$ । नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं

$2 \ pi R ^ 2 \ leqslant \ pi R (d_1 + ... + d_n)$

$2R \ leqslant d_1 + ... + d_n$

जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

सुंदर समाधान के साथ कार्य

वृत्त और शासक

मास्को मेट्रो का कार्य

ईंट की दीवार

कुएँ का कार्य

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