सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (तीन और चार खिलाड़ियों के मामले) का अनुमान लगाना

हैलो, हब्रहाब!
बहुत पहले नहीं, कहीं एक सामाजिक नेटवर्क की विशालता में, मैंने निम्नलिखित गेम देखा: खिलाड़ियों को एक सकारात्मक पूर्णांक संख्या (खिलाड़ियों को एक दूसरे की संख्या नहीं पता है) द्वारा मेजबान (चलो इसे कॉल करें) को भेजें, जिसने सबसे छोटी संख्या को जीता है। उदाहरण के लिए, यदि 7 खिलाड़ी खेलते हैं और उन्होंने नंबर 5, 4, 2, 1, 1, 2, 6 भेजा है, तो वह खिलाड़ी जिसने नंबर 4 जीता है। यह मेरे लिए बहुत दिलचस्प हो गया कि मैं इस खेल को "सही ढंग से" कैसे खेलूं, लेकिन यह पता चला कि अगर n खिलाड़ियों के लिए अद्वितीय समाधान हैं, तो यह जटिल और भ्रमित करने वाला है, इसलिए हम 3 और 4 खिलाड़ियों के लिए विशिष्ट मामलों पर विचार करेंगे। ।

तीन खिलाड़ियों का मामला

{1, 2, 3} से चुनाव

तो चलिए चलते हैं। शुरू करने के लिए, हम एक प्रतिबंध लगाते हैं: खिलाड़ियों को केवल {1, 2, 3} से नंबर चुनने दें (फिर किसी भी प्राकृतिक नंबर को चुनने के लिए स्विच करना आसान और अधिक स्पष्ट होगा)। अब हम क्या करने की कोशिश करेंगे: ऐसी मिश्रित रणनीति खोजें ताकि जब सभी खिलाड़ी इस रणनीति का पालन करें, तो कोई भी अपनी रणनीति को बदलकर जीतने की संभावना नहीं बढ़ा सके (इस तरह से, नैश संतुलन कहा जाता है)। यानी प्रायिकता वाले प्रत्येक खिलाड़ी के लिए संभावना के साथ नंबर 1 चुना - नंबर 2 और संभावना के साथ - 3 , और यह प्रत्येक खिलाड़ियों के लिए इन संभावनाओं से विचलित करने के लिए लाभहीन होगा।

मान लीजिए कि खिलाड़ी 2 और 3 इन संभावनाओं का उपयोग करते हैं, और खिलाड़ी 1 ने अपनी जीत की संभावना बढ़ाने का फैसला किया और अब रणनीति का उपयोग करता है । जीतने के लिए, उसे नंबर 1 चुनना होगा (और बाकी खिलाड़ियों को दोनों में से 2 , या दोनों 3 , या एक 2 , और दूसरा - 3 ), नंबर 2 (बाकी दोनों 1 , या दोनों 3 में से किसी एक को चुनना होगा) चुनना होगा, या 3 (इस मामले में, दूसरों को या तो दोनों को चुनना होगा, या दोनों को चुनना होगा 2 )। इस प्रकार, जीत की अंतिम संभावना इन तीन संभावनाओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: (1)। हम यह भी नहीं भूलते हैं कि सभी संभावनाओं का योग अंततः एकता के बराबर है, अर्थात्। (*)।

इसलिए खिलाड़ी 1 को अपनी जीत की संभावना बढ़ाने की कोशिश करनी चाहिए लेकिन हमारे पास एक सीमा (*) है। लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की शानदार विधि बचाव के लिए आती है, जो कि हमें जो चाहिए वह करता है - यह कुछ समानताओं पर मौजूदा प्रतिबंधों के तहत फ़ंक्शन (हमारे पास फ़ंक्शन (1)) का स्थानीय विलोपन पाता है (हमारे पास समानता (*) है)। लग्र समीकरण हमें निम्नलिखित समीकरण देता है:

।

जो हम हल करते हैं, ध्यान में रखते हुए, निश्चित रूप से, समानता (*)। हम निम्नलिखित संभावनाएँ प्राप्त करते हैं:



हो गया! इनमें से कौन सा निष्कर्ष है? जब 3 खिलाड़ी केवल {1, 2, 3} से चुन सकते हैं , उनमें से प्रत्येक के लिए निम्नलिखित रणनीति इष्टतम होगी: लगभग आधे मामलों में, एक तिमाही में 1 चुनें, 2 चुनें - और लगभग एक चौथाई - 3 । यह नैश संतुलन होगा।

किसी भी प्राकृतिक संख्या का विकल्प

तो, क्या होता है अगर हम सेट पर प्रतिबंध हटा देते हैं जिसमें से खिलाड़ी संख्या चुन सकते हैं और हम इस तरह के खेल के लिए नैश संतुलन कैसे पा सकते हैं? अब, यदि कोई खिलाड़ी एक निश्चित संख्या i को चुनता है, तो वह तभी जीत पाएगा जब सभी खिलाड़ी समान संख्या को कड़ाई से i से कम चुनते हैं, या दोनों एक संख्या को चुनते हैं, जिनमें से प्रत्येक i से कड़ाई से अधिक है। इस प्रकार, प्रत्येक खिलाड़ी के लिए, जीत की संभावना निम्नलिखित: । इस समीकरण को अलग करते हुए, हमें समीकरणों की एक अनंत संख्या मिलती है: और सीमा । इस तरह की बात हल करने योग्य है, लेकिन काफी मुश्किल है, इसलिए बस यहां जवाब दें:
।

इस सब का क्या मतलब है? यदि हम प्राप्त समीकरणों में विशिष्ट संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, तो पहले सात के लिए हमें लगभग निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं:



यही है, नैश संतुलन ऐसी रणनीतियों का एक सेट होगा जहां प्रत्येक खिलाड़ी लगभग 0.46 की संभावना के साथ 0.25 - 2 की संभावना के साथ 0.13 - 3 , और इसी तरह की संभावना वाले प्रत्येक खिलाड़ी को चुनता है।

चार खिलाड़ी का मामला

चार खिलाड़ियों के साथ एक ही खेल तीन के साथ एक खेल से बहुत अलग नहीं है। इस स्थिति में, अधिकतम होने वाले कार्य के निम्नलिखित रूप हैं:


क्या है?


समाधान इस प्रकार है:


यह इस प्रकार है कि सबसे अधिक बार आपको संख्या 1 और 2 को चुनना होगा, कभी-कभी - 3 , बहुत कम - 4 , और चार से अधिक संख्या के साथ यह लगभग आवश्यक नहीं है।

आपका ध्यान देने के लिए धन्यवाद। खेल खेलते हैं।