🍦 👩‍⚖️ ⏺️ द्रव डायनामिक सिमुलेशन: जाली बोल्ट्जमैन विधि 🦃 👩🏿‍✈️ 🤱🏽

एक ज्वालामुखी विस्फोट का अनुकरण
जाली बोल्ट्जमैन विधि का उपयोग करना। (c) स्रोत

इस लेख में, मैं Lattice Boltzmann Method , LBM के हाइड्रोडायनामिक्स के मॉडलिंग के लिए संख्यात्मक पद्धति के बारे में बात करूंगा। रूसी में, जाली बोल्ट्जमैन समीकरणों की विधि। यह अन्य ज्ञात विधियों (उदाहरण के लिए, परिमित तत्व विधि ) को समानांतर में आसानी से पार कर जाता है, मल्टीफ़ेज़ प्रवाह को अनुकरण करने की क्षमता, और झरझरा मीडिया में प्रवाह अनुकरण करने की क्षमता। इसके अलावा, कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म में केवल सबसे सरल अंकगणितीय ऑपरेशन शामिल हैं। यह विधि बहुत नई है, इस पर आधारित पहला व्यावसायिक उत्पाद 2010 के आसपास दिखाई देने लगा।

पहले से ही हब पर द्रव भौतिकी पर लेखों की एक श्रृंखला थी , और यह लेख इसकी तार्किक निरंतरता हो सकता है। यह इस तरह से लिखा जाता है कि जो लोग हाइड्रोडायनामिक्स और मॉडलिंग के तरीकों को अच्छी तरह से जानते हैं और इस क्षेत्र में शुरुआती लोगों के लिए समझ में आते हैं (उदाहरण के लिए, सॉफ्टवेयर इंजीनियर शिक्षा वाले लोगों के लिए)। बेशक, इस संबंध में, कई चीजें विशेषज्ञों के लिए बहुत विस्तृत होंगी, और कुछ में पर्याप्त जगह नहीं होगी। लेख काफी बड़ा निकला, लेकिन मैं इसे कई हिस्सों में नहीं तोड़ना चाहूंगा।

यह सब क्यों जरूरी है? अधिक सटीक रूप से, किन उद्योगों में हाइड्रोडायनामिक्स का अनुकरण करना आवश्यक है:

विमान निर्माण, रॉकेट विज्ञान, मोटर वाहन उद्योग (शरीर विशेषताओं, इंजन संचालन, नलिका)
औद्योगिक रसायन विज्ञान (पदार्थों का पृथक्करण, रासायनिक रिएक्टर)
मौसम विज्ञान, भूविज्ञान (तरल पदार्थ झरझरा मीडिया, सैंडस्टोन, बांधों के माध्यम से बहता है)
अन्य इंजीनियरिंग उद्योग (पवन फार्म)
दवा (रक्त प्रवाह, लसीका)

लेख में निम्नलिखित अनुभाग शामिल होंगे:

भौतिकी की समीक्षा - बुनियादी आवश्यक समीकरणों की एक उच्च स्तरीय समीक्षा
मूल विचार एल्गोरिथ्म के मूल सिद्धांत का विवरण है
तकनीकी विवरण - स्रोत समीकरणों की एक अधिक विस्तृत व्याख्या, एक कम्प्यूटेशनल योजना
- नवियर-स्टोक्स समीकरण
- बोल्ट्जमन समीकरण
- असतत बोल्ट्जमान समीकरण
- कम्प्यूटिंग आरेख चित्रण
- स्थानिक झंझरी
- संतुलन वितरण कार्य
- असंपीड्यता
- चिपचिपापन और रेनॉल्ड्स संख्या
- एक बार फिर, सभी एक साथ
अनेक वस्तुओं का संग्रह
- एल्गोरिथम परिवर्धन
- नुकसान
- मौजूदा समाधान
- क्या पढ़ना है?

भौतिकी अवलोकन

हाइड्रो- और एरोडायनामिक्स को मैक्रोस्कोपिक रूप से नेवियर-स्टोक्स समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है । यह दिखाता है कि तरल का दबाव, घनत्व और वेग प्रत्येक बिंदु पर अंतरिक्ष के प्रत्येक क्षण में क्या होगा - प्रारंभिक और सीमा की स्थिति और माध्यम के मापदंडों पर निर्भर करता है।

दूसरी ओर, दुर्लभ गैसों के लिए बोल्ट्ज़मन समीकरण वैध है, जो बताता है कि समय के साथ अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर कण वेग वितरण घनत्व कैसे होता है। यदि हम किसी दिए गए बिंदु पर कण वेग वितरण को एकीकृत करते हैं, तो हम दिए गए बिंदु पर घनत्व और स्थूल वेग प्राप्त कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, मैक्रोस्कोपिक रूप से, बोल्ट्ज़मैन समीकरण नवियर-स्टोक्स समीकरण के बराबर है।

मुख्य विचार

इस तथ्य के बावजूद कि घने तरल पदार्थों के लिए बोल्ट्ज़मन समीकरण लागू नहीं है, अगर हम इसे बनाना सीखते हैं, तो हम इन तरल पदार्थों के लिए नवियर-स्टोक्स समीकरण को भी मॉडल कर सकते हैं। यही है, हम इस प्रकार एक भौतिक रूप से गलत कार्यान्वयन (दुर्लभ गैसों के लिए सूक्ष्म समीकरण) के साथ अमूर्त (सूक्ष्म तरल पदार्थ के लिए सूक्ष्म समीकरण) के अंतर्निहित स्तर को प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन इतना है कि ऊपरी स्तर (मैक्रोस्कोपिक नवियर-स्टोक्स समीकरण) को सही ढंग से वर्णित किया गया है।

नीचे दी गई तस्वीर में स्थिति का चित्रण किया गया है।
जाली बोल्ट्जमैन मेथड का विचार

इसमें प्रश्न चिह्न इस तथ्य का प्रतीक है कि मुझे नहीं पता कि कौन सा समीकरण सूक्ष्म स्तर पर घने तरल पदार्थों के व्यवहार का वर्णन करता है। कभी-कभी वे "सूक्ष्म" के बजाय "मेसोस्कोपिक" कहते हैं - इस अर्थ में कि एक सूक्ष्म विवरण व्यक्तिगत परमाणुओं और अणुओं के व्यवहार का वर्णन है, और बोल्ट्जमान समीकरण अणुओं के प्रवाह का वर्णन करता है।

चूंकि कंप्यूटर नहीं जानता है कि निरंतर मात्रा के साथ कैसे काम करना है, हमें बोल्ट्जमान समीकरण को विवेकाधीन करने की आवश्यकता है: समय के साथ, स्थानिक निर्देशांक में (हम मॉडलिंग के लिए स्थानिक नोड्स प्राप्त करते हैं) और प्रत्येक स्थानिक नोड में संभव कण दिशाओं में। दिशाएं एक विशेष तरीके से चुनी जाती हैं, और हमेशा कुछ पड़ोसी नोड्स की ओर इशारा करती हैं।

तकनीकी विवरण

इस बड़े खंड में मूल समीकरणों और कम्प्यूटेशनल योजना की व्युत्पत्ति का अधिक विस्तृत विवरण है। तकनीकी पृष्ठभूमि वाले सभी पाठकों के लिए वास्तव में महत्वपूर्ण समीकरण स्पष्ट होना चाहिए (रैखिक बीजगणित की नींव, अभिन्न कलन की आवश्यकता होती है)। जो समीकरण समझ से बाहर हैं वे सबसे महत्वपूर्ण नहीं हैं (ये वे हैं जहां नाबला है )। सेक्टर बोल्ड में संकेत दिए गए हैं।

नवियर-स्टोक्स समीकरण

अकुशल तरल पदार्थों और गैसों की स्थूल गतिशीलता के लिए समीकरण का एक प्रकार इस तरह दिखता है:
नवियर-स्टोक्स समीकरण

(1)

यहाँ v प्रवाह वेग है, ρ द्रव का घनत्व है, p द्रव में दाब है, f बाह्य बल हैं (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण)।

यदि आपको पता नहीं है कि उल्टे त्रिकोण और आंशिक डेरिवेटिव क्या हैं, तो चिंता न करें, हमें भविष्य में उनकी आवश्यकता नहीं है, और कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म में केवल सबसे सरल अंकगणितीय ऑपरेशन शामिल हैं।

एक विस्तृत निष्कर्ष और भौतिक अर्थ का अध्ययन विकिपीडिया और हैबे पर किया जा सकता है, लेकिन यहाँ मैं मुख्य विचार दूंगा।

मानसिक रूप से तरल में एक छोटी मात्रा का चयन करें और इसके आंदोलन का पता लगाएं। द्रव की दी गई मात्रा पर त्वरण का अभिनय बाएं (दाएं), दाएं, ऊपर, नीचे आदि पर दबाव (i) द्वारा निर्धारित किया जाता है। (इसके अलावा, वे आंशिक रूप से एक दूसरे की भरपाई करते हैं), (ii) बाहरी ताकतों द्वारा द्रव (iii) में आंतरिक घर्षण बलों की कार्रवाई से। दूसरी ओर, प्रारंभिक बिंदु पर प्रारंभिक समय में वेग में अंतर के संदर्भ में त्वरण व्यक्त किया जा सकता है और उस नए बिंदु पर कुछ समय में अगले बिंदु पर जहां तरल की मात्रा होगी।

यदि हम अब न्यूटन समीकरण F = ma में इन मात्राओं को प्रतिस्थापित करते हैं, तो साधारण परिवर्तनों के बाद हमें उपरोक्त समीकरण मिलते हैं। बाईं ओर मा है, दाईं ओर F है।

बोल्ट्जमन समीकरण

यह समीकरण निर्देशांक और वेग, एफ (आर, वी, टी) के साथ कणों की संभावना घनत्व के वितरण समारोह के साथ संचालित होता है। मान f (x, y, z, v _x , v _y , v _z , t) dx डाई dz DV _x DV _y _{z, यह} दर्शाता है कि समय t पर कणों का कितना भाग क्यू से x से x + dx में है, y से y + dy, z से z + dz तक की गति के साथ v _x से v _x + DV _{x तक} , v _y से v _y + DV _{y तक} , v _z से v _z + DV _{z तक} । इसे भी लिखा जा सकता है f (r, v, t) d ^ 3r d ^ 3v

।

इस फ़ंक्शन को आमतौर पर अध्ययन के तहत प्रणाली में गैस के द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, इसलिए, प्रत्येक बिंदु पर मैक्रोस्कोपिक गैस घनत्व सभी संभावित वेग मानों के लिए दिए गए बिंदु पर प्रायिकता घनत्व के योग (अभिन्न) के रूप में निर्धारित किया जाता है,

। (2)
इसी तरह, मैक्रोस्कोपिक वेग के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है

। (3)

समीकरण को व्युत्पन्न करने का मूल विचार नवियर-स्टोक्स समीकरण की व्युत्पत्ति के समान है। किसी दिए गए दिशा में उड़ने वाले अणुओं का एक बीम (अधिक सटीक, दिशाओं का एक संकीर्ण शंकु) में दिए गए एक छोटी मात्रा में एक निश्चित समय पर हमें मानसिक रूप से अलग कर दें। समय की एक छोटी अवधि के बाद, वे एक पड़ोसी बिंदु (गति की उपस्थिति के कारण) पर होंगे, बाहरी बलों द्वारा अणुओं के त्वरण के कारण उनकी गति स्वयं बदल जाएगी। इसके अलावा, पथ के इस खंड पर, कुछ अणु दूसरों के साथ टकराएंगे, उनकी गति को बदल देंगे, और हम उन्हें मूल बीम में शामिल नहीं कर पाएंगे। दूसरी ओर, समान मात्रा में अणुओं के टकराव के परिणामस्वरूप, विपरीत दिशा में उड़ते हुए, उनमें से कुछ वेग की वांछित दिशा प्राप्त करेंगे, और हम उन्हें बीम में जोड़ देंगे।

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$बोल्ट्ज़मन व्युत्पत्ति, f \ left (\ mathbf {r} + \ mathbf {v} dt, \ mathbf {v} + \ frac {\ mathbf {F}} {m} dt, t / dt \ right) \ _, d ^ 3 \ mathbf {r} \, d ^ 3 \ mathbf {v} - f (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t) \, d ^ 3 \ mathbf {r} \, d: 3 \ mathbf {v} = dN_ {coll}$ , (4)
जहाँ F बाह्य बल है, m अणु का द्रव्यमान है, dN _टकर टकराव के कारण किरण के कणों की संख्या में परिवर्तन है।

जैसा कि सामान्य शब्दों में निर्धारित किया गया है, _dN समाप्‍त का मान पाठक से छिपा रहेगा। हमें केवल इसके मानक सन्निकटन की आवश्यकता है - बटनागर-सकल-क्रुक ( बीजीके )। इस सन्निकटन में, dN समान _{समतुल्य} होता है
$BGK सन्निकटन, - \ frac {f - f ^ {eq}} {\ tau} d ^ 3 \ mathbf {r} \, d ^ 3 \ mathbf {v} d t$ , (5)
जहां f ^eq संतुलन वितरण समारोह है, मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण , और τ तथाकथित विश्राम का समय है ।

नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं
$Boltzmann व्युत्पत्ति, f \ left (\ mathbf {r} + \ mathbf {v} dt, \ mathbf {v} + \ frac {\ mathbf {F}} {m} dt, t / dt \ right) \ - f (\) mathbf {r}, \ mathbf {v}, t) \ = - \ frac {f - f ^ {eq}} {\ tau} dt$ । (6)
ध्यान दें कि f ^eq एक दिए गए बिंदु पर मैक्रोस्कोपिक घनत्व और वेग पर निर्भर करता है (अर्थात, समन्वय और समय पर स्पष्ट रूप से)। यह इस समीकरण है कि हमें भविष्य में इसकी आवश्यकता होगी, लेकिन आमतौर पर इसे डीटी द्वारा विभाजित किया जाता है और इसे घटा दिया जाता है
$बोल्ट्जमन समीकरण, \ frac {\ आंशिक f} {\ आंशिक t} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla f + \ frac {\ mathbf {F}} {m} \ cdot \ n \ _ \ _ \ _ mathbf {v}} f = - \ frac {f- f ^ {eq}} {\ tau}$ , (7)
जहां सूचकांक v के साथ nabla गति चर के संबंध में nabla है।

असतत बोल्ट्जमान समीकरण

कंप्यूटर पर निरंतर बोल्ट्ज़मन समीकरण की गतिशीलता को अनुकरण करने में सक्षम होने के लिए, हमें इसे विवेकशील बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम पहले स्थानिक निर्देशांक की एक समान ग्रिड पेश करते हैं - सभी अक्षों के साथ ग्रिड चरण समान होते हैं। तरल का व्यवहार ग्रिड के नोड्स पर सटीक रूप से निर्धारित किया जाएगा। वास्तव में, हम अणुओं को केवल कुछ स्थानिक नोड्स में स्थित होने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, हमें समय का विवेक करना चाहिए - हम एक दूसरे से समान समय पर तरल की स्थिति का निर्धारण करेंगे। इसके अलावा, हम अणुओं को केवल कुछ वेग मान रखने की अनुमति देंगे - जैसे कि एक समय के कदम में वे कुछ पड़ोसी नोड में जाने का प्रबंधन करते हैं। ये अनुमति वाले दिशा-निर्देश सभी स्थानिक नोड्स के लिए समान होंगे। जाहिर है, विकर्ण दिशाओं में कण वेग ऑफ-विकर्ण वाले लोगों की तुलना में अधिक होगा।

सहज रूप से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक असीम रूप से छोटे समय के कदम और एक स्थानिक जालीदार कदम के साथ, यह असतत प्रणाली सामान्य बोल्ट्जमान समीकरण पर जाएगी, जो बदले में, मैक्रोस्कोपिक सीमा में नवियर-स्टोक्स समीकरण पर जाएगी। अजीब तरह से पर्याप्त है, यह इतना आसान सवाल नहीं है, और हम इसे अभी के लिए स्थगित कर देंगे।

आगे के विस्तार में, यह हर जगह माना जाता है कि इकाइयों की प्रणाली ऐसी है कि जाली कदम लंबाई की एक इकाई है, और समय कदम समय की एक इकाई है।

सादगी के लिए, हम नीचे मान लेंगे कि कोई बाहरी ताकत नहीं है। हम इंडेक्स 1 के साथ 1 से क्यू तक अनुमत गति दिशाओं को संख्या देते हैं। यदि अब एक निश्चित चरण में दिशा में दिए गए नोड से उड़ान भरने वाले कणों का द्रव्यमान f _i द्वारा निरूपित किया जाता है, तो समीकरण (6) में जाएगा
$असतत Boltzmann, f_i \ left (\ mathbf {r} + \ mathbf {v} _i, t + 1 \ right) \ - f_i (\ mathbf {r}, t) \ = - / frac {f_i - f_i ^ {eq }} {\ tau}$ । (8)
यहां हमने ध्यान दिया कि समय कदम एकता के बराबर है, और हमने एक (6) से सभी डीटी को बदल दिया। f _i ^eq असतत संतुलन वितरण घनत्व को दर्शाता है, जो किसी दिए गए नोड पर स्थूल द्रव्यमान और वेग पर निर्भर करता है। हमने यह संकेत नहीं दिया कि हम किस विशेष नोड से f _i ^eq -from r + v _i t का उपयोग समय t + 1 या r से समय t पर करेंगे। कम्प्यूटेशनल स्कीम के लिए, यह समय r + v _i t का उपयोग करने के लिए और अधिक सुविधाजनक हो जाता है t + 1. फिर ऊपर दिए गए समीकरण को दो घटकों, फैलाने वाले चरण और टकराव चरण में विघटित किया जा सकता है।

स्ट्रीमिंग कदम:
$स्ट्रीमिंग, \ tilde {f} _i \ left (\ mathbf {r} + \ mathbf {v} _i, t + 1 \ right) \ = f_i (\ mathbf {r}, t) \, \ _$ । (9)
टक्कर कदम:
$टक्कर, f_i \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ = \ tilde {f} _i (\ mathbf {r}, t) \ _ \ _ frac {\ _ tilde {f} --i_ f_i ^ {eq} } {\ _ ताऊ}$ । (10)

यहाँ पर _मैं एक टिल्ड के साथ कणों के द्रव्यमान का संकेत देता _हूं जो एक दिशा में i पर एक साइट पर आया था, लेकिन जो अभी तक पहुंचे अन्य कणों से नहीं टकराया है। स्ट्रीमिंग कदम को कभी-कभी एक प्रशंसा कदम कहा जाता है।

वेग के विवेकाधीन दिशाओं के लिए, प्रत्येक नोड पर द्रव्यमान और स्थूल वेग की गणना की जाएगी
$घनत्व और वेग असतत, \ rho = \ sum_ {i} f_i, \ rho \ mathbf u = \ sum_ {i} f_i \ mathbf v_i$ । (11)

इसके बाद, हम द्रव्यमान के बजाय हर जगह घनत्व लिखते हैं, क्योंकि जाली के एक स्थानिक चरण के साथ, प्रत्येक नोड के साथ एक एकल वॉल्यूम जुड़ा हुआ है, और द्रव्यमान और घनत्व मूल्य में मेल खाता है।

हम बताते हैं कि संतुलन वितरण कार्य नोड्स और मैक्रोस्कोपिक गति पर द्रव्यमान पर निर्भर करता है। इसलिए, स्ट्रीमिंग चरण के बाद, प्रत्येक नोड में द्रव्यमान और वेगों को पुनर्गठित करना, संतुलन वितरण कार्यों को पुनर्गणना करना और फिर एक टकराव करना आवश्यक है।

इस प्रकार, कम्प्यूटेशनल योजना के प्रत्येक चरण में, कणों को "प्रसार" करना आवश्यक है, अर्थात नोड आर से उड़ने वाले कणों को दिशा I से नोड r + v _i (सभी कणों और दिशाओं के लिए ऐसा करें)। इसके बाद जनता, वेग, और संतुलन वितरण कार्यों को पुनर्गठित करना आवश्यक है। अंत में, कणों को "टकराने" के लिए आवश्यक है जो किसी दिए गए स्थान पर आ गए हैं - अर्थात्, कणों को दिशाओं में फिर से विभाजित करना है।

कम्प्यूटिंग आरेख चित्रण

हम दो आयामी प्रणाली के उदाहरण के साथ कम्प्यूटेशनल योजना का वर्णन करते हैं। स्थानिक नोड्स में विवेकाधिकार और उनके बीच के संबंध (जो गति की अनुमत दिशाएं हैं) को नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है। स्थानिक नोड्स को हलकों द्वारा दर्शाया जाता है, पतली रेखाओं द्वारा उनके बीच के कनेक्शन।
D2Q9

निम्नलिखित आंकड़ा स्ट्रीमिंग / टक्कर जोड़ी के एक पुनरावृत्ति को दर्शाता है। रंगीन तीर उड़ने वाले अणुओं की धाराओं को दर्शाते हैं। रंग की तीव्रता किसी दिए गए प्रवाह में उड़ने वाले अणुओं के द्रव्यमान को एन्कोड करती है, तीर की लंबाई लगभग एक समय चरण में धारा द्वारा यात्रा किए गए पथ से मेल खाती है (केवल लगभग, चूंकि तीर नोड के केंद्र से नोड के केंद्र तक जाना चाहिए)।
CollisionAdvection

स्थानिक झंझरी

एलबीएम में, जाली अनुमत वेग वाले वैक्टर (प्रत्येक स्थानिक नोड के लिए समान) का एक सेट है। यह एक इकाई के रूप में एक जाली के मानक गणितीय परिभाषा के अनुरूप है, जिसकी मदद से समानांतर स्थानान्तरण के माध्यम से एक पूरे स्थानिक ग्रिड को प्राप्त कर सकता है।

एलबीएम में, किसी भी जाली में एक नोड से स्वयं के लिए एक शून्य वेक्टर होना चाहिए - यह उन कणों का वर्णन करता है जो किसी दिए गए नोड से कहीं भी नहीं उड़ते हैं। एलबीएम में, आमतौर पर संक्षेप डीएनक्यूएम द्वारा अक्षांशों को दर्शाया जाता है, जहां n अंतरिक्ष का आयाम है, मीटर जाली में वैक्टर की संख्या है। उदाहरण के लिए, D2Q9, D3Q19, आदि।

दो-आयामी एलबीएम अंतरिक्ष में, एक जाली शामिल हो सकती है, उदाहरण के लिए, 5 वैक्टर (2 ऊर्ध्वाधर, 2 क्षैतिज और शून्य वेक्टर से एक नोड में), या इसमें 9 वैक्टर शामिल हो सकते हैं, जैसा कि ऊपर चित्रण में है (2 ऊर्ध्वाधर, 2 क्षैतिज, 4 विकर्ण, एक शून्य)। ये क्रमशः D2Q5 और D2Q9 अक्षांश हैं।

जाली चुनने के स्पष्ट कारक हैं: 1. सिमुलेशन सटीकता (सहजता से, जाली में अधिक वैक्टर, अधिक सटीक सिमुलेशन) 2. कम्प्यूटेशनल लागत (डी 2 क्यू 5 जाली पर गणना डी 2 क्यू 9 से गणना से अधिक तेज होगी)। अजीब तरह से पर्याप्त, ये सबसे महत्वपूर्ण कारक नहीं हैं। सबसे महत्वपूर्ण कारक नवियर-स्टोक्स समीकरणों की प्रजनन क्षमता और जालीदार वैक्टर के आधार पर कुछ टेंसरों की समरूपता है।

आमतौर पर इस्तेमाल होने वाली ग्रिल्स D2Q9, D3Q15, D3Q19 हैं। ग्रिल्स D2Q9 और D3Q19 नीचे दिखाए गए हैं। बुनियादी जाली वैक्टर आमतौर पर ई _i या c _{i के} रूप में निरूपित किए जाते हैं (वे एक इकाई समय कदम पर पहले पेश किए गए वेग v के साथ मेल खाते हैं)। नीचे हम नोटेशन ई _{i का} उपयोग करेंगे।

D2Q9

हम D2Q9 के लिए आधार वैक्टर लिखते हैं:
$D2Q9 वैक्टर {बोल्ड {e} _i = \ _ {केस} (0,0) और i = 0 \\ (1,0), (0,1), (- 1,0), (0, -1) & i = 1,2,3,4 \\ (1,1), (- 1,1), (- 1, -1), (1, -1) और i = 5,6,7,8 \ \ \ अंत {मामलों}$ (11)

और D3Q19 के लिए:
$D3Q19 वैक्टर \ बोल्ड {ई} _आई = \ _ {केस} (0,0,0) और मैं = 0 \\ (\ pm 1,0,0), (0, \ pm 1,0), (0) 0, \ pm 1) और i = 1,2, ..., 5,6 \\ (\ pm 1, \ pm 1,0), (\ pm 1,0, \ pm 1), (0, \) दोपहर 1, \ pm 1) और i = 7.8, ..., 17.18 \\ \ end {मामले}$ (12)

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि हम हर जगह यह मानते हैं कि समय कदम एकता के बराबर है, इसलिए v _i = e _i ।

संतुलन वितरण कार्य

निरंतर मामले में, संतुलन वितरण समारोह ( मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण ) है
$मैक्सवेल वितरण, f ^ {eq} = \ frac {\ rho} {(2 \ pi RT) ^ {D / 2}} e ^ {- \ frac {(बोल्ड {v} - \ bold {u}) ^ 2} {2RT}}$ । (13)

पहले से अज्ञात मात्राएं हैं: आर सार्वभौमिक गैस स्थिरांक है , टी तापमान है, डी अंतरिक्ष का आयाम है, वी वेग वेक्टर है, जिसके लिए हम संभाव्यता घनत्व पाते हैं। यहां, गैस के दाढ़ द्रव्यमान को एकता के बराबर लिया जाता है (यह हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं है - केवल स्थूल घनत्व महत्वपूर्ण है)। हम इसे अपने सिमुलेशन में द्रव्यमान की इकाई में बदलाव पर विचार कर सकते हैं। इसके अलावा, फ़ंक्शन स्थानीय मैक्रोस्कोपिक घनत्व के लिए सामान्यीकृत है, और एकता के लिए नहीं। हम यह भी ध्यान देते हैं कि आमतौर पर गैस u का स्थूल वेग v से दूर नहीं लिया जाता है। इसका कारण यह है कि वितरण आमतौर पर एक स्थिर गैस के मामले में अध्ययन किया जाता है, लेकिन हमें मैक्सवेल-बोल्टमैन डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग करने के लिए एक निश्चित समय पर एक निश्चित बिंदु पर वर्तमान गैस वेग के साथ आगे बढ़ने वाले एक स्थानीय जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में जाने की आवश्यकता है। यू घटाना एक ऐसा संक्रमण है।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु पर, वेग में अणुओं का वितरण संतुलन के रूप में हुआ। यह वितरण मैक्रोस्कोपिक मास ρ और वेग यू पर निर्भर करता है। दूसरी ओर, हम वितरण समारोह से ρ और u की गणना कर सकते हैं (सूत्र देखें (2) और (3))। जाहिर है, इस गणना को सही ρ और u देना चाहिए (जो कि एक अर्थ में, यह वितरण समारोह पर एक अतिरिक्त प्रतिबंध है):
$घनत्व संतुलन, \ rho = \ int f ^ {eq} d \ mathbf v$ । $वेग संतुलन, \ rho \ mathbf u = \ int f ^ {eq} \ mathbf v d \ mathbf v$ । (14)

हम असतत मामले में घनत्व और वेग की गणना पर समान आवश्यकता को लागू करते हैं:
$घनत्व और वेग समतुल्य संतुलन, \ rho = \ sum_ {i} f ^ {eq} _i, \ rho \ mathbf u = \ sum_ {i} f ^ {eq} _i के mathbf v_i$ । (15)

असतत संतुलन वितरण कार्यों के लिए मुख्य आवश्यकता नवजात-स्टोक्स समीकरण की सीमा का उल्लंघन है, जो असीम समय कदमों और जाली चरणों की सीमा में है। यह इस तथ्य के बराबर है कि यदि दिए गए ρ और u के लिए हम निरंतर और असतत मामलों में संतुलन वितरण कार्यों का उपयोग करके उन्हें फिर से गणना करने की कोशिश करते हैं, तो परिणाम संयोग करते हैं (ऊपर की टिप्पणी देखें कि असतत मामले में द्रव्यमान घनत्व के बजाय होता है), टी। ई।
$घनत्व और वेग समानता, \ rho = \ int f ^ {eq} d \ mathbf v = \ sum_ {i} f ^ {eq} _i, \ rho \ mathbf u = \ int f ^ [eq} \ mathbf vd \ mathbf v = \ sum_ {i} f ^ {eq} _i \ mathbf v$ । (16)

समान रूप से संतुलन असतत वितरण समारोह का निर्धारण करने के लिए, हमें एक निश्चित बिंदु पर मैक्रोस्कोपिक थर्मल ऊर्जा की समानता के लिए एक समान आवश्यकता को भी शामिल करना होगा; हम इसे संक्षिप्तता के लिए छोड़ देते हैं।

यदि हम वेग की दिशाओं के साथ टकराव के चरण के लिए समीकरण (10) को सारांशित करते हैं, तो, खाते के सूत्र (16) को ध्यान में रखते हुए, हम दिखा सकते हैं कि टकराव के कदम साइट में अणुओं के स्थूल जनता और वेग को नहीं बदलते हैं।

यह पता चला है कि अगर हम बस असतत वेग वैक्टर e _i = v _i से (11) और (12) को निरंतर संतुलन वितरण फ़ंक्शन (13) में बदलते हैं, तो समानताएं (16) पकड़ में नहीं आएंगी।

यह भी पता चला है कि अगर हम मैक्रोस्कोपिक गति के दूसरे क्रम तक टेलर श्रृंखला में मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण (13) का विस्तार करते हैं तो हम समानताएं (16) पकड़ सकते हैं। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि u / sqrt (RT) बहुत छोटा है। यह प्रतिबंध सभी नोड्स पर सिमुलेशन प्रक्रिया के दौरान हमेशा संतुष्ट होना चाहिए।

लेकिन टेलर श्रृंखला में विस्तार करना भी पर्याप्त नहीं है। हम यह भी नमूना समारोह में प्रवेश करने के लिए च की जरूरत है _मैं ^{की eq} की डब्ल्यू विशेष रूप से चयनित कारकों _मैं (गणना के विवरण में पाया जा सकता है इस उत्कृष्ट लेख, वहाँ भी है एक मुक्त संस्करण , हमारे सतह वर्णन में की तुलना में थोड़ा कठिन, ज़ाहिर है, सब कुछ हो जाएगा वास्तव में, गणना जगह लेता है दसियों के माध्यम से, चौथी रैंक तक, जाली वैक्टर पर बनाया गया)। अंत में मिलता है
$Maxwell distribution discrete, f^{eq}_i = w_i \rho (1+\frac{\vec{v_i} \cdot \vec{u}}{RT}+\frac{(\vec{v_i} \cdot \vec{u})^2}{2(RT)^2}-\frac{\vec{u}^2}{2RT})$ ।(१ ()

एक पकड़ है: हम हमेशा यह मानते हैं कि जाली पिच और समय क्रमशः लंबाई और समय की इकाइयाँ हैं। इसलिए, हम SI से R का मान नहीं ले सकते, और यहाँ का तापमान केल्विन में नकली द्रव के तापमान के बराबर नहीं है।

उनके मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित नोट करते हैं। मान लीजिए कि द्रव में एक गड़बड़ी है - अर्थात, कुछ नोड्स में अधिक द्रव्यमान है। यह द्रव्यमान अंतरिक्ष में "फैल" करना शुरू कर देगा, इसके अलावा, गड़बड़ी क्षेत्र में सबसे दाहिनी नोड में, यह 3 डी या 1 डी में (1, 0, 0) दिशा में आगे बढ़ेगा। समय की एक इकाई के लिए, इन दिशाओं के साथ अणु लंबाई की एक इकाई को पारित करेंगे, अर्थात, उनकी गति एकता के बराबर होगी। इसका मतलब यह है कि ध्वनि की गति के रूप में हमारी प्रणाली में गड़बड़ी के प्रसार की गति भी एकता के बराबर है। दूसरी ओर, ध्वनि की गति sqrt (μ RT / μ) के बराबर है, जहां γ एडियाबेटिक स्थिरांक है , μ दाढ़ द्रव्यमान है, जिसे हमने पहले एकता के बराबर माना था। एडियाबेटिक स्थिरांक γ 1 + 2 / d है, जहां d स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या हैअणुओं। एक आदर्श गैस में, यह अंतरिक्ष के आयाम के बराबर है। हमारी गैस में, अणु केवल नोड्स को जोड़ने वाली सीधी रेखाओं के साथ आगे बढ़ सकते हैं, इसलिए आयाम तीन (या दो) नहीं है, लेकिन एक है। यही है, RT = 3, और sqrt (3 RT) = 1.

आमतौर पर, LBM पर साहित्य में, "ध्वनि की गति" से है
$Speed of sound, c_s = \sqrt{RT}=1/\sqrt{3}$ ।(१

finally ) अब, आखिरकार,
$Maxwell distribution discrete, f^{eq}_i = w_i \rho (1+3\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{u}+\frac{9}{2}(\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{u})^2-\frac{3}{2}\mathbf{u}^2)$ ।(१ ९)

हम सबसे सामान्य अक्षांशों के लिए गुणांक w _i के मान लिखते हैं।
D2Q9 के लिए:
$D2Q9 weights w_i = \begin{cases} 4/9 & i = 0 \\ 1/9 & i = 1,2,3,4 \\ 1/36 & i = 5,6,7,8 \\ \end{cases}$ (20)

D3Q19 के लिए:
$D3Q19 weights w_i = \begin{cases} 1/3 & i = 0 \\ 1/18 & i = 1,2,...,5,6 \\ 1/36 & i = 7,8,...,17,18 \\ \end{cases}$ (21)

असंपीड्यता

एक छोटे से मैक्रोस्कोपिक द्रव वेग पर प्रतिबंध अब के रूप में लिखा जा सकता है
$Incompressibility, u << speed\ of\ sound = 1$ ।(22)

स्मरण करो कि मच संख्या ध्वनि की गति के लिए प्रणाली में विशेषता गैस वेग का अनुपात है। फिर ऊपर प्रतिबंध छोटे मच संख्या या असंगत तरल पदार्थ से मेल खाता है। दरअसल, अगर ध्वनि की गति (घनत्व के प्रसार की गति) बड़ी है, तो कोई भी घनत्व गड़बड़ी जल्दी से पूरे सिस्टम में फैल जाएगी, और घनत्व फिर से समान होगा। यही है, आप किसी भी एक स्थानीय क्षेत्र में तरल को संपीड़ित करने में सफल नहीं होंगे।

नोड्स पर मैक्रोस्कोपिक वेग के लिए एक अच्छा अधिकतम मूल्य होगा, उदाहरण के लिए, 0.01।

चिपचिपापन और रेनॉल्ड्स संख्या

एलबीएम में कीनेमेटिक चिपचिपाहट ν (हमेशा की तरह, जाली इकाइयों में) की गणना की जाती है
$Viscosity, \nu = (\tau - 1/2)c^2_s = (\tau - 1/2)/3$ ।(२३)
यहाँ, τ विश्राम का समय सूत्र (५) में पहले दिया गया है, और _s = १ / वर्गर्ट (३) ध्वनि में गति (१।) है।

जब तापमान में परिवर्तन के बिना हाइड्रोडायनामिक्स को मॉडलिंग करते हैं, तो पूर्व निर्धारित ज्यामिति के साथ कोई भी प्रणाली (उदाहरण के लिए, एक वर्ग क्रॉस सेक्शन वाला एक पाइप) पूरी तरह से केवल एक आयामहीन पैरामीटर द्वारा वर्णित है - रेनॉल्ड्स संख्या
$Reynolds, Re = v L / \nu$ (24) के बराबर
जहां v सिस्टम में विशिष्ट वेग है (उदाहरण के लिए, पाइप के केंद्र में वेग) ), एल सिस्टम में विशेषता लंबाई है (उदाहरण के लिए, एक वर्ग अनुभाग के पक्ष की लंबाई)।

मानक ज्यामितीयों के लिए, विशिष्ट वेग और बाहरी बल (जो प्रवाह प्रदान करता है) के बीच संबंध आमतौर पर जाना जाता है। इसलिए, किसी दिए गए रेनॉल्ड्स नंबर के साथ मॉडलिंग के लिए, यह आवश्यक है

विशेषता गति v चुनें। जैसा कि हमने पाया, यह ध्वनि की गति से बहुत कम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, 0.01।
ऐसी गति के लिए आवश्यक बाहरी बल की गणना करें
वांछित रेनॉल्ड्स संख्या प्राप्त करने के लिए (23) के अनुसार चिपचिपाहट की गणना करें
वांछित चिपचिपाहट प्राप्त करने के लिए (24) से विश्राम समय की गणना करें

यदि सिमुलेशन समस्या एसआई इकाइयों में संकलित की जाती है (माना जाता है, पाइप के वर्ग क्रॉस-सेक्शन का पक्ष 1 मीटर है, पाइप इनलेट में दबाव एक्स पास्कल है, आउटलेट पर - वाई पास्कल), तो सबसे पहले आपको आयामहीन रेनॉल्ड्स संख्या खोजने और ऊपर एल्गोरिथ्म का उपयोग करने की आवश्यकता है।

एक बार फिर, सभी एक साथ

मॉडलिंग से पहले, प्रत्येक नोड में प्रारंभिक मैक्रोस्कोपिक द्रव्यमान और वेग सेट करना आवश्यक है। फिर प्रत्येक नोड में प्रत्येक अनुमत दिशा में _i प्रवाह को सेट करें (देखें नुकसान)। सबसे आसान तरीका संतुलन वितरण से प्रवाह को इंगित करना है।

लूप कमिट में अनुकरण करना

सूत्र द्वारा स्ट्रीमिंग कदम (9)
सूत्रों (11) के अनुसार प्रत्येक नोड में मैक्रोस्कोपिक द्रव्यमान और वेग का पुनर्गणना, सूत्र के अनुसार सभी दिशाओं में संतुलन का पुन: प्रवाह (19)
सूत्र द्वारा टकराव कदम (10)

मॉडलिंग आमतौर पर तब तक होता है जब तक कि सिस्टम स्थिर नहीं होता है। स्टेशनरिटी की जाँच की जा सकती है, उदाहरण के लिए, आसन्न चरणों के बीच प्रत्येक नोड में मैक्रोस्कोपिक वेग और द्रव्यमान में अंतर के माध्यम से, सभी नोड्स के बीच अधिकतम।

अनेक वस्तुओं का संग्रह

एल्गोरिथम परिवर्धन

हम मॉडलिंग (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण) में बाहरी ताकतों को शामिल करने पर नहीं छूते थे। वे स्ट्रीमिंग चरण के लिए समीकरण (9) के लिए एक छोटा सा जोड़ देंगे ।

हमने सीमा की स्थितियों पर भी नहीं देखा - निकायों की सतह पर और सिस्टम के इनलेट और आउटलेट पर (उदाहरण के लिए, यदि पाइप के इनलेट पर एक स्थिर दबाव या वेग क्षेत्र निर्दिष्ट किया गया है)। एलबीएम को ऐसी परिस्थितियों में मॉडलिंग करने की बहुत स्वतंत्रता है, क्योंकि विधि सूक्ष्म स्तर (अणुओं के प्रवाह) में तैयार की जाती है, और इस तरह की सीमा की स्थिति मैक्रोस्कोपिक स्तर पर तैयार की जाती है। सूक्ष्म स्तर पर सीमा की स्थिति निर्धारित करने के कई तरीके हैं - और कई एल्गोरिदम ।

हाइड्रोडायनामिक्स में ठोस की सीमा पर सीमा की स्थिति को आमतौर पर नो-स्लिप सीमा की स्थिति के रूप में चुना जाता है (अर्थात, जब शरीर की सतह पर द्रव का वेग शून्य होता है)। आमतौर पर उन्हें उछाल-पीछे की स्थितियों के माध्यम से महसूस किया जाता है (जब किसी ठोस दीवार को पार करते समय अणुओं का प्रवाह विपरीत दिशा में परिलक्षित होता है)। इसे यहाँ पढ़ा जा सकता है , खंड 4.6।

टक्कर मॉडल जो हमने पेश किया था, उसे एकल विश्राम समय कहा जाता है। अधिक उन्नत मॉडल हैं, उदाहरण के लिए, एकाधिक विश्राम समय (विशेष रूप से, डबल विश्राम समय)।

एलबीएम भी मल्टीफ़ेज़ का समर्थन करता है (विभिन्न मापदंडों के साथ तरल पदार्थ या गैसों के मिश्रण का प्रवाह मॉडलिंग)।

थर्मल चालकता की उपस्थिति (यानी, सिस्टम में गर्मी हस्तांतरण, सिस्टम में विभिन्न बिंदुओं पर तापमान में परिवर्तन और परिणामस्वरूप, सिस्टम मापदंडों में परिवर्तन - उदाहरण के लिए, घनत्व) भी एलबीएम द्वारा समर्थित है । तापमान को एक अलग "गैस" के रूप में मॉडल किया जाता है, एलबीएम एल्गोरिथ्म का उपयोग करके भी, लेकिन इस गैस की गति मुख्य द्रव की गति से निर्धारित होती है। यह कहा जाता है कि इस अर्थ में तापमान एक निष्क्रिय स्केलर है। एलबीएम के माध्यम से रेले - बेनार्ड संवहन घटना मॉडलिंग पर कई लेख हैं । हम प्रभावी कार्यान्वयन और समानांतरकरण के मुद्दों पर बिल्कुल भी नहीं छूते थे।

नुकसान

यदि आप थर्मल चालकता के साथ एक प्रणाली का मॉडल बनाते हैं, तो यह दो आयाम रहित मात्राओं द्वारा वर्णित किया जाएगा। रेले-बेनार्ड संवहन के मामले में, प्रांटल नंबर और रेले नंबर आमतौर पर चुने जाते हैं। जाली इकाइयों में इस प्रणाली को पुन: पेश करने के लिए, सिस्टम के आंतरिक मापदंडों (विशेषता गति, बाहरी बल, तापीय चालकता) को सही ढंग से निर्धारित करके इन दोनों आयामहीन मात्राओं को पुन: पेश करना पर्याप्त नहीं है। तथ्य यह है कि आंतरिक मापदंडों के बीच छिपी निर्भरताएं मौजूद होंगी। यहाँ और पढ़ें

जैसा कि हमने पहले ही कहा है, सिस्टम में विशेषता गति का चयन करते समय, यह मत भूलो कि मच संख्या एकता (सूत्र (22)) से बहुत कम होनी चाहिए।

LBM उच्च रेनॉल्ड्स संख्या में कुछ प्रणालियों में अस्थिर हो सकता है (जब प्रवाह, हालांकि, अभी भी लामिना है)।

एलबीएम में , गैलीलियन इनवेरियन धारण नहीं करता है । हालांकि, यह आमतौर पर महत्वपूर्ण नहीं है।

सिमुलेशन की शुरुआत में, सभी अनुमत दिशाओं में प्रत्येक नोड से अणुओं के प्रवाह को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। प्रवाह के संतुलन वितरण को अक्सर चुना जाता है (सूत्र (19))। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि संतुलन में स्थैतिकता नहीं होती है। यही है, गति, बाहरी बल, आदि के ग्रेडिएंट की उपस्थिति में स्थिर वितरण। संतुलन से अलग। उनकी गणना यहां दी गई है (सूत्र 12, 19, 20 संदर्भ द्वारा)।

मौजूदा समाधान

पूरी तरह से LBM- Palabos (PArallel LAttice BOLtzmann) को समर्पित एक बड़ी और बहुत परिपक्व ओपन-सोर्स परियोजना है। परियोजना में एक विकी भी है। डेवलपर्स मॉडलिंग हाइड्रोडायनामिक्स पर भुगतान की सलाह प्रदान करते हैं।

MATLAB पर विशिष्ट प्रणालियों के मॉडलिंग के उत्कृष्ट उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, रेले - बेनार्ड संवहन (बाहरी बल, तापीय चालकता, सीमा की स्थिति, मात्राओं का सही अनुवाद) की उपस्थिति में। MATLAB में कुल 160 लाइनें।

कई वाणिज्यिक समाधान हैं, उदाहरण के लिए, यह या वह ।

वाणिज्यिक और गैर-वाणिज्यिक एलबीएम पैकेजों की एक विस्तृत सूची विकिपीडिया पर पाई जा सकती है।

क्या पढ़ना है?

लेख में मौजूद सभी लिंक के अलावा, आप लेखों और पुस्तकों की इन सूचियों की सिफारिश कर सकते हैं । मूल रूप से, पुस्तकों की एक समान सूची विकिपीडिया पर है ।

वह सब है

द्रव डायनामिक सिमुलेशन: जाली बोल्ट्जमैन विधि