टोपोलॉजी का परिचय (डमियों और मानविकी के लिए)

मुझे याद नहीं है कि जब मैंने पहली बार टोपोलॉजी के बारे में सीखा था, लेकिन इस विज्ञान ने तुरंत मुझे दिलचस्पी दी। चायदानी एक बैगेल में बदल जाती है, गोला बाहर की ओर मुड़ जाता है। बहुतों ने इस बारे में सुना है। लेकिन जो लोग अधिक गंभीर स्तर पर इस विषय में तल्लीन करना चाहते हैं, उन्हें अक्सर कठिनाइयाँ होती हैं। यह सबसे बुनियादी अवधारणाओं के विकास के लिए विशेष रूप से सच है, जो स्वाभाविक रूप से बहुत सार हैं। इसके अलावा, कई स्रोत जानबूझकर पाठक को भ्रमित करते हैं। कहो रूसी विकी एक बहुत अस्पष्ट शब्द देता है जो टोपोलॉजी करता है। यह कहता है कि यह एक विज्ञान है जो सामयिक स्थानों का अध्ययन करता है। टोपोलॉजिकल स्पेस के बारे में एक लेख में, पाठक जान सकते हैं कि टोपोलॉजिकल स्पेस एक टोपोलॉजी से लैस स्पेस हैं। लेम के सीपल्स की शैली में इस तरह के स्पष्टीकरण वास्तव में विषय के सार को स्पष्ट नहीं करते हैं। मैं मूल बुनियादी अवधारणाओं को स्पष्ट रूप में आगे बढ़ाने की कोशिश करूंगा। मेरे लेख में कोई डमी और बैगल्स नहीं होंगे, लेकिन पहले कदम उठाए जाएंगे जो अंततः हमें इस जादू को सीखने की अनुमति देंगे।

हालाँकि, चूंकि मैं गणितज्ञ नहीं हूं, लेकिन एक सौ प्रतिशत मानवतावादी, यह बहुत संभव है कि नीचे जो लिखा गया है वह झूठ है! ठीक है, या कम से कम भाग।

पहली बार मैंने यह लेख अपने मानवीय मित्रों के लिए टोपोलॉजी पर लेखों की एक श्रृंखला की शुरुआत के रूप में लिखा था, लेकिन उनमें से कोई भी इसे पढ़ना शुरू नहीं किया। मैंने हैबर पर सही और विस्तारित संस्करण को बिछाने का फैसला किया। यह मुझे प्रतीत हुआ कि इस विषय में एक निश्चित रुचि थी और अभी तक इस तरह का कोई लेख नहीं था। त्रुटियों और अशुद्धियों के बारे में सभी टिप्पणियों के लिए अग्रिम धन्यवाद। मैं आपको चेतावनी देता हूं कि मैं बहुत सारे चित्रों का उपयोग करता हूं।

आइए सेट सिद्धांत के एक संक्षिप्त पुनरावृत्ति के साथ शुरू करें। मुझे लगता है कि अधिकांश पाठक इससे परिचित हैं, लेकिन फिर भी मैं मूल बातें याद दिलाऊंगा।

तो, यह माना जाता है कि सेट की कोई परिभाषा नहीं है और हम सहज रूप से समझते हैं कि यह क्या है। कांटोर ने यह कहा: "" भीड़ "से हमारा अभिप्राय हमारे चिंतन या हमारी सोच (जो कि समुच्चय M के" तत्व "कहलाते हैं) के एक पूर्ण M- के रूप में है। निश्चित रूप से, यह सिर्फ एक अलंकारिक वर्णन है, गणितीय परिभाषा नहीं।
कई अद्भुत विरोधाभासों के साथ सेट के सिद्धांत को जाना जाता है (कृपया सज़ा माफ करें)। उदाहरण के लिए । 20 वीं सदी की शुरुआत में गणित का संकट भी इसके साथ जुड़ा हुआ है।

सेट सिद्धांत कई प्रकारों में मौजूद है, जैसे ZFC या NBG और अन्य। सिद्धांत का एक प्रकार प्रकार सिद्धांत है , जो प्रोग्रामर के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। अंत में, कुछ गणितज्ञ गणित के आधार के रूप में श्रेणियों के सिद्धांत का उपयोग करने के लिए सेट के सिद्धांत के बजाय प्रस्ताव करते हैं, जिसके बारे में हैबे में बहुत कुछ लिखा गया है। सिद्धांत और सेट सिद्धांत गणितीय वस्तुओं का वर्णन करते हैं जैसे कि "अंदर से", और श्रेणी सिद्धांत उनकी आंतरिक संरचना में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन केवल वे कैसे बातचीत करते हैं, अर्थात्। उनके "बाहरी" लक्षण वर्णन देता है।
हमारे लिए, सेट सिद्धांत की केवल सबसे बुनियादी नींव महत्वपूर्ण हैं।

कई परिमित हैं।



वे अंतहीन हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों का एक सेट, जिसे पत्र or (या बस जेड, यदि आपके पास कीबोर्ड पर घुंघराले अक्षर नहीं हैं) द्वारा इंगित किया गया है।



अंत में, एक खाली सेट है। यह संपूर्ण ब्रह्मांड में एक है। इस तथ्य के सरल साक्ष्य हैं, लेकिन मैं इसे यहां उद्धृत नहीं करूंगा।



यदि सेट अनंत है, तो यह गणनीय है । गणनीय - वे सेट जिनके तत्वों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा फिर से सेट किया जा सकता है। प्राकृतिक संख्याओं की सरासर संख्या, आपने अनुमान लगाया कि यह भी गणना योग्य है। और यहां बताया गया है कि आप कितने पूर्णांक बना सकते हैं।



तर्कसंगत संख्याएं अधिक जटिल हैं, लेकिन उन्हें भी गिना जा सकता है। इस विधि को विकर्ण प्रक्रिया कहा जाता है और नीचे की छवि की तरह दिखता है।



हम परिमेय संख्याओं के साथ युग्मनज करते हैं, 1 से शुरू करते हैं। उसी समय, हम प्रत्येक संख्या को एक समान संख्या प्रदान करते हैं जो हमें मिलती है। नकारात्मक परिमेय संख्याओं को उसी तरह से माना जाता है, केवल संख्याएं विषम होती हैं, जिसकी शुरुआत 3. शून्य परंपरागत रूप से पहले नंबर से होती है। इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि सभी तर्कसंगत संख्याओं को गिना जा सकता है। सभी संख्याएँ जैसे 4.87592692976340586068 या 1.00000000000001, या -9092, या यहाँ तक कि 42 को इस तालिका में अपना नंबर मिलता है। हालांकि, सभी नंबर यहां नहीं आते हैं। उदाहरण के लिए, example2 को एक संख्या प्राप्त नहीं होगी। इसने एक बार यूनानियों को बहुत परेशान किया। वे कहते हैं कि जिस व्यक्ति ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की थी, वह डूब गया था।

सेट के लिए आकार की अवधारणा का एक सामान्यकरण शक्ति है । परिमित सेट की कार्डिनिटी उनके तत्वों की संख्या के बराबर है। अनंत अक्षरों की शक्ति को एक सूचकांक के साथ हिब्रू पत्र aleph द्वारा निरूपित किया जाता है। सबसे छोटी अनंत शक्ति power _{0 है} । यह गिनने योग्य सेटों की शक्ति के बराबर है। जैसा कि हम देखते हैं, इस तरह से, वहाँ कई प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे पूर्णांक या परिमेय हैं। अजीब है, लेकिन सच है। अगले सातत्य की शक्ति है। यह छोटे गॉथिक पत्र सी द्वारा इंगित किया गया है। यह उदाहरण के लिए वास्तविक संख्या This के सेट की कार्डिनैलिटी है। एक परिकल्पना है कि सातत्य की शक्ति शक्ति के बराबर है esis ₁ । यही है, कि यह काउंटेबल सेटों की कार्डिनैलिटी के बाद की अगली शक्ति है, और काउंटेबल सेट्स और कॉन्टिनम के बीच कोई इंटरमीडिएट पावर नहीं है।

आप सेट पर विभिन्न ऑपरेशन कर सकते हैं और नए सेट प्राप्त कर सकते हैं।

1. कई संयुक्त हो सकते हैं।



2. कई "घटाया" जा सकता है। इस ऑपरेशन को पूरकता कहा जाता है ।



3. आप सेट के प्रतिच्छेदन के लिए खोज कर सकते हैं।



दरअसल, यह उन सभी सेटों के बारे में है जो आपको इस लेख के उद्देश्यों के लिए जानने की आवश्यकता है। अब हम टोपोलॉजी के लिए आगे बढ़ सकते हैं।
टोपोलॉजी एक विज्ञान है जो एक विशिष्ट संरचना के साथ अध्ययन करता है। इस संरचना को टोपोलॉजी भी कहा जाता है।
मान लीजिए कि हमारे पास कुछ गैर-रिक्त सेट हैं।
इस सेट में कुछ संरचना है, जिसे सेट का उपयोग करके वर्णित किया गया है, जिसे हम टी। टी कहेंगे, यह सेट के सबसेट का सेट है, जैसे कि:

1. S और S खुद T से संबंधित हैं।
2. T के तत्वों के मनमाने परिवारों का कोई भी संघ T से संबंधित है।
3. T के तत्वों के एक मनमाने परिमित परिवार का चौराहा T से संबंधित है।

यदि ये तीन बिंदु संतुष्ट हैं, तो हमारी संरचना सेट के एस पर एक टोपोलॉजी टी है। सेट टी के तत्वों को टोपोलॉजी में एस पर खुले सेट कहा जाता है। बंद सेट खुले सेट के लिए एक अतिरिक्त है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि सेट खुला है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह बंद नहीं है और इसके विपरीत। इसके अलावा, एक निश्चित टोपोलॉजी के संबंध में दिए गए सेट में, ऐसे सबसेट हो सकते हैं जो न तो खुले हों और न ही बंद हों।

हम एक उदाहरण देते हैं। आइए हम तीन रंगीन त्रिभुजों से मिलकर एक सेट बनाएं।



उस पर सबसे सरल टोपोलॉजी को असतत टोपोलॉजी कहा जाता है । वहाँ वह है।



इस टोपोलॉजी को अंक के साथ चिपकाने की टोपोलॉजी भी कहा जाता है। यह स्वयं और खाली भीड़ के भीड़ के होते हैं। यह वास्तव में टोपोलॉजी के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

एक सेट पर, आप कई टोपोलॉजी निर्दिष्ट कर सकते हैं। यहाँ एक और बहुत ही आदिम टोपोलॉजी होती है। इसे असतत कहा जाता है। यह एक टोपोलॉजी है जिसमें दिए गए सेट के सभी सबसेट होते हैं।



और यहाँ टोपोलॉजी है। यह 7 बहु-रंगीन सितारों एस के एक सेट पर सेट किया गया है, जिसे मैंने अक्षरों के साथ चिह्नित किया था। सुनिश्चित करें कि यह टोपोलॉजी है। मैं इस बारे में निश्चित नहीं हूं, अचानक मुझे किसी तरह का मिलन या अंतरंगता याद आ गई। इस तस्वीर में सेट एस खुद होना चाहिए, एक खाली सेट, टोपोलॉजी के अन्य सभी तत्वों के चौराहों और यूनियनों को भी तस्वीर में होना चाहिए।



टोपोलॉजी की एक जोड़ी और जिस सेट पर इसे परिभाषित किया गया है उसे टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है।



यदि एक सेट में कई बिंदु हैं (इस तथ्य का उल्लेख नहीं करना है कि उनमें से कई असीम रूप से हो सकते हैं), तो सभी खुले सेटों को सूचीबद्ध करना समस्याग्रस्त हो सकता है। उदाहरण के लिए, तीन तत्वों के एक सेट पर असतत टोपोलॉजी के लिए, आपको 8 सेटों की एक सूची बनाने की आवश्यकता है। और 4-तत्व सेट के लिए, असतत टोपोलॉजी में पहले से ही 16, 5 के लिए - 32, 6 के लिए - 64 और इतने पर होगा। सभी खुले सेटों को सूचीबद्ध नहीं करने के लिए, एक संक्षिप्त संकेतन का उपयोग किया जाता है, जैसा कि यह था - वे तत्व जिनके संघ सभी खुले सेट दे सकते हैं, बाहर लिखे गए हैं। इसे टोपोलॉजी बेस कहा जाता है । उदाहरण के लिए, तीन त्रिभुजों के एक स्थान की असतत टोपोलॉजी के लिए - ये तीन त्रिभुज अलग से लिए जाएंगे, क्योंकि इन्हें संयोजित करने से आप इस टोपोलॉजी में अन्य सभी खुले सेट प्राप्त कर सकते हैं। वे कहते हैं कि आधार एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। जिन सेटों के तत्व आधार बनाते हैं, उन्हें प्रीबेस कहा जाता है।

नीचे पांच सितारों के सेट पर असतत टोपोलॉजी के लिए एक आधार का एक उदाहरण है। जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में आधार में केवल पांच तत्व शामिल हैं, जबकि टोपोलॉजी में 32 उपसमुच्चय हैं। सहमत, टोपोलॉजी का वर्णन करने के लिए आधार का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।



के लिए खुले सेट क्या हैं? एक अर्थ में, वे बिंदुओं और उनके बीच के अंतर के बीच "निकटता" का एक विचार देते हैं। यदि अंक दो अलग-अलग खुले सेटों से संबंधित हैं, या यदि एक बिंदु एक खुले सेट में है जिसमें दूसरा नहीं है, तो वे टॉपोलॉग सेट हैं। एक अविभाज्य टोपोलॉजी में, इस अर्थ में सभी बिंदु अप्रभेद्य हैं, वे ऐसे हैं जैसे कि एक साथ अटक जाते हैं। इसके विपरीत, एक असतत टोपोलॉजी में, सभी बिंदुओं में अंतर होता है।

एक खुले सेट की अवधारणा पड़ोस की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई है । कुछ लेखकों ने टोपोलॉजी को खुले सेटों के माध्यम से नहीं, बल्कि पड़ोस के माध्यम से परिभाषित किया है। पी का पड़ोस एक सेट है जिसमें एक खुली गेंद होती है जो उस बिंदु पर केंद्रित होती है। उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया आंकड़ा पड़ोस और गैर-पड़ोस को दर्शाता है। सेट S ₁ , p का पड़ोस है, लेकिन S ₂ सेट नहीं है।



ओपन सेट और ऑक्टेस्ट के बीच संबंध निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है। एक खुला सेट एक ऐसा सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व का एक निश्चित पड़ोस इस सेट में पड़ा होता है। या इसके विपरीत, कोई कह सकता है कि एक सेट खुला है अगर यह उसके किसी भी बिंदु का पड़ोस है।

ये सभी टोपोलॉजी की सबसे बुनियादी अवधारणाएँ हैं। यहां से यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि गोले को अंदर से कैसे चालू किया जाए। शायद भविष्य में, मैं इस प्रकार के विषयों को प्राप्त करने में सक्षम हो जाऊंगा (यदि मैं इसका पता लगाता हूं)।

युपीडी। मेरे भाषण की अशुद्धि के कारण, सेट की शक्तियों के बारे में कुछ घबराहट थी। मैंने अपने पाठ को कुछ हद तक सही किया है और यहां मैं एक स्पष्टीकरण देना चाहता हूं। कैंटर ने सेटों के अपने सिद्धांत को बनाते हुए, शक्ति की अवधारणा को पेश किया, जिसने अनंत सेटों की तुलना करना संभव बना दिया। कैंटर ने पाया कि गणनीय सेट (उदाहरण के लिए, परिमेय संख्या) और निरंतरता (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या) की कार्डिनैलिटी अलग हैं। उन्होंने सुझाव दिया कि काउंटेबल सेटों की शक्ति के बाद सातत्य की शक्ति है। एक के बराबर एक। कैंटर ने इस परिकल्पना को साबित करने की कोशिश की, लेकिन कोई फायदा नहीं हुआ। बाद में यह स्पष्ट हो गया कि इस परिकल्पना को न तो नकारा जा सकता है और न ही सिद्ध किया जा सकता है।