लेगो सेग्वे का गणितीय मॉडल

शुभ दोपहर, प्रिय सहयोगियों। यह लेख विषय के एक निरंतरता के बाद से शुरू हो जाएगा habrahabr.ru/post/178103 ।
हम उस क्षण से जारी रखते हैं जब हमारे पास पहले से ही लेगो इंजन के लिए संरचनात्मक स्थिरांक के मूल्य हैं, और हम रोबोट के डिजाइन और गणना के लिए आगे बढ़ सकते हैं। एक प्रोटोटाइप के रूप में, चलो Segway पर रहते हैं। यह स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है। मैं इस तंत्र का डिज़ाइन देता हूं।




शुरू करने के लिए, हमें अपने रोबोट के गणितीय मॉडल की व्युत्पत्ति पर ध्यान दें। हम निम्नानुसार सामान्यीकृत निर्देशांक चुनते हैं:

जड़ता के द्रव्यमान और गति के सभी पदनाम प्रस्तुत किए जाते हैं। यह माना जाता है कि हमारा रोबोट केवल एक XOZ विमान में चलता है। सिस्टम के समीकरणों के आकार को कम करने के लिए, हम सेगवे पर एक अभिन्न ईंट के रूप में विचार करेंगे, जो इंजन और पहियों की जड़ता के क्षणों की अलग-अलग गणना किए बिना।
हम सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक के समीकरण लिखते हैं:



अब शांति से Lagrangian के लिए समीकरण लिखें:


गणनाओं को स्वचालित करने के लिए, हम मैक्सिमा प्रतीकात्मक गणना प्रणाली और इसके WxMaxima ग्राफिकल वातावरण का उपयोग करते हैं। कमांड लाइन पर परिणामी अभिव्यक्ति दर्ज करें:

V:expand( trigsimp( ((diff(integrate(R*diff(Theta(t),t),t)+L*sin(Psi(t)),t))^2+ (diff(R+L*cos(Psi(t)),t))^2)*M/2 +J2*(diff(Psi(t),t))^2/2-M*g*(R+L*cos(Psi(t))) ) ); tex(V); 

कमांड \ क्रिया | trigsimp | त्रिकोणमितीय भावों को सरल बनाने के लिए प्रयोग किया जाता है, और \ क्रिया का विस्तार होता है | कोष्ठक खोलने के लिए। टीम \ क्रिया | टेक्स | आपको परिणाम को एक टेक्स-प्रारूप में अनुवाद करने की अनुमति देता है, जो आपको एक टेक्स-दस्तावेज़ में या ड्राइंग के रूप में सूत्र प्रदर्शित करने की अनुमति देगा।

हम एक कॉम्पैक्ट रूप में डेरिवेटिव लिखते हैं, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं:


और हम Lagrange समीकरण को निम्नानुसार लिखते हैं:



मैक्सिमा के लिए कार्यक्रम:

 U:expand(diff(diff(V,diff(Ttheta(t),t)),t)-diff(V,Theta(t))); Y:expand(diff(diff(V,diff(Psi(t),t)),t)-diff(V,Psi(t))); tex(U); tex(Y); 

संकेत दिए गए कार्यों को पूरा करने के बाद, हम प्राप्त करेंगे:






अगला, हम अपने Segway के इंजनों के लिए समीकरण बनाते हैं, पिछली पोस्ट habrahabr.ru/post/178103 से सामग्री का उपयोग करते हुए:







चूंकि वाइंडिंग का इंडक्शन बेहद छोटा है, इसलिए L = 0 डालें:



हमें मिलता है:



अब हम क्षणों के अपने समीकरणों की बराबरी करते हैं, केवल तत्वों को बाईं ओर एक नियंत्रण वोल्टेज के साथ छोड़ते हैं:


प्रतिक्रिया गुणांक के मैट्रिक्स की गणना के लिए समीकरण का उपयोग करने के लिए, हम परिणामी मॉडल को रैखिक करते हैं। हम पहली उल्लेखनीय सीमा, विकल्प का उपयोग करेंगे और । हम शेष असमानताओं की भी उपेक्षा करेंगे:

अब स्वीकार करके मैट्रिक्स के रूप में प्राप्त समीकरणों को रिकॉर्ड करना संभव है :





हमारे लिए, यह एक असामान्य रूप है, इसलिए इन मैट्रिक्स से हमें दो मैट्रिक्स, हमारे सिस्टम के राज्य मैट्रिक्स और नियंत्रण मैट्रिक्स को गोंद करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, राज्य चर का विस्तार करें एक और समीकरण जोड़कर:





अब, हमें एक तीसरा-ऑर्डर सिस्टम मिला है और हम क्रियाओं को नियंत्रित करने के लिए सभी गतिशीलता और प्रतिक्रिया जानते हैं। इसे स्थिर बनाने के लिए, हमें ज्ञात स्थिर प्रणाली का वर्णन करने वाले मेट्रिसेस को लिखना होगा। हम इसके लिए न्यूटन द्विपद का उपयोग करते हैं जहाँ । यहां संदर्भ मॉडल के संक्रमण समय का सारणीमान मूल्य, हमारे रोबोट के मॉडल का संक्रमण समय, जिसे हमने 0.3 सेकंड के बराबर लिया। एक संदर्भ मॉडल को संकलित करने के बाद, इसके आइजनवेल्यूज़ की गणना करना , प्रतिक्रिया गुणांक एकरमैन के सूत्र की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है:







लेकिन सब कुछ उतना सहज नहीं है जितना हम चाहेंगे। प्राप्त गुणांक अधिकांश काम नहीं करेंगे, क्योंकि हमने नियंत्रण वोल्टेज पर प्रतिबंध नहीं लगाया था, हालांकि यह केवल 7 [वी] है। इसे ठीक करने के लिए, आपको सिस्टम को मॉडल करना होगा और पेंडुलम के कोणीय वेग और रोबोट के पहियों के लिए गुणांक को कम करना होगा।

नीले रंग की रेखा ओवरशूट और संक्रमण समय के अनुपात के संदर्भ में हमारे लिए सबसे उपयुक्त होगी। उसके बाद, हमें रोबोट के लिए काम करने का कार्यक्रम मिलता है।

 #define GYRO_PORT IN_1 #define LEFT_MOTOR OUT_C #define RIGHT_MOTOR OUT_B #define BOTH_MOTORS OUT_BC #define WAIT_TIME 8.0 #define KGYROANGLE 0.487 #define KSPEED 0.024 #define KGYROSPEED 0.153 #define KPOS 0 task main(){ float time = WAIT_TIME * 0.001; float segway_angle = 0; float segway_speed; float wheel_angle = 0, last_wheel_angle; float wheel_speed; float max_voltage; int u; SetSensorHTGyro(GYRO_PORT); Wait(50); while(true) { max_voltage = BatteryLevel() / 1000; segway_speed = (SensorHTGyro(GYRO_PORT) + 2); segway_angle += segway_speed * time; last_wheel_angle = wheel_angle; wheel_angle = (MotorRotationCount(LEFT_MOTOR) + MotorRotationCount(RIGHT_MOTOR)) / 2; wheel_speed = (wheel_angle - last_wheel_angle) / time; u = KGYROANGLE * segway_angle + KSPEED * wheel_speed + KGYROSPEED * segway_speed + KPOS * wheel_angle; u = u * 100 / max_voltage; if (abs(u) > 100){ u = sign(u) * 100; } OnFwd(BOTH_MOTORS, u); Wait(WAIT_TIME); } }