🌂 🥈 🆗 सामान्य संख्या: शैक्षिक कार्यक्रम 🧘🏻 😩 🏂🏿

इतनी देर पहले, मैं एक शानदार हास्य लेख के बारे में एक फाइल सिस्टम के बारे में आया था जो पाई के बीच डेटा संग्रहीत करता है । टिप्पणियों में सामने आने वाली गरमागरम चर्चा (ऐसा लगता है कि इसके सभी प्रतिभागियों ने मजाक को नहीं समझा) मुझे लगता है कि सामान्य संख्या के विषय पर अधिक गंभीरता से चर्चा करना अच्छा होगा, खासकर जब से यह विषय उपजाऊ है, सुंदर परिणामों, अनसुलझे समस्याओं और अन्य कोषेर चीजों से भरा है। यदि आप इन चीजों से परिचित होना चाहते हैं, तो कृपया बिल्ली के नीचे आ जाएं।

बेबीलोनियन पुस्तकालय

~~बाल पोर्नोग्राफी~~ के लिए "संचय" के लिए उपयुक्त संख्या और उनमें ~~बिना लाइसेंस की सामग्री~~ , किसी पुस्तक सिफर के समान विधि का उपयोग करते हुए मनमाने ढंग से डेटा को विवादास्पद कहते हैं। अधिक कड़ाई से, एक संख्या को आधार असंबद्ध कहा जाता है यदि इसके बी-आर्य अंकन में बी-आर्य अंकों का कोई परिमित अनुक्रम होता है। इस तरह की संख्या कृत्रिम रूप से निर्माण करना आसान है। उदाहरण के लिए, हम एक पंक्ति में सभी प्राकृतिक संख्याओं को दशमलव के एक भाग के अंश के रूप में लिखते हैं:

0.12345678910111213 ...

एक श्रृंखला के योग के रूप में थोड़ा कम "कृत्रिम" अप्रिय संख्या प्राप्त की जा सकती है:

ऐसा लगेगा:

0,1002000030000004 ...

या, मैं यहाँ प्राप्त परिणाम का उपयोग कर रहा हूँ, और अतिरिक्त शून्य की संख्या को भी कम कर सकता हूँ, हम राशि को "बाबुलियन लाइब्रेरी" के रूप में ले सकते हैं

जो इस तरह दिखता है:

1.204008001600032 ...

इसी तरह के निर्माणों का उपयोग मनमाने ढंग से असंगत संख्या के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

शब्दकोश

एक लेक्सिकॉन , या बिल्कुल विवादास्पद संख्या, किसी भी कारण से एक संख्या है। यदि सामान्य असंबद्ध संख्या बेबीलोनियन पुस्तकालय है, तो लेक्सिकॉन को "बेबीलोनियन विकिपीडिया" कहा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक भाषा अनुभाग (संख्या प्रणाली) में बेबीलोनियन पुस्तकालय शामिल है।

ऐसी चीज़ का निर्माण करना अधिक कठिन है। हालाँकि, जैसा कि भविष्यवक्ता ओलेग कहते थे, "मेरा घोड़ा खतरनाक काम से डरता नहीं है।" विचार यह है: प्रत्येक बी-अंक संख्या को एक निश्चित that से थोड़ा बढ़ाया जा सकता है ताकि उसके पहले k अंक अपरिवर्तित रहें (कोई भी b और k)। इसके अलावा, कई संख्या प्रणालियों के लिए, आप एक निश्चित that _मिनट चुन सकते हैं ताकि जब आप इसे बढ़ाएं, तो इनमें से किसी भी संख्या प्रणाली में पहले k अंक प्रभावित नहीं होंगे। इसलिए, लेक्सिकॉन एल के निर्माण के लिए, आप निम्नलिखित एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं:

सबसे पहले, L = 0 लें।
2 से ∞ तक प्रत्येक n के लिए, हम चरण 3 का प्रदर्शन करते हैं।
2 से n तक प्रत्येक बी के लिए, हम चरण 4 का प्रदर्शन करते हैं।
आइए हम संख्या L को इतनी न्यूनतम increase से बढ़ाएं ताकि b-ary संख्या प्रणाली में इसका रिकॉर्ड b-ary संख्या रिकॉर्ड (n - b + 1) से शुरू हो, लेकिन एक ही समय में इस आइटम के पिछले पुनरावृत्तियों द्वारा बनाई गई एक भी प्रविष्टि "मिटा" नहीं है।
हम सीमा परिवर्तन करते हैं
लाभ!

आप इस एल्गोरिथ्म के पहले कुछ चरणों का पता लगाने की कोशिश कर सकते हैं।

लेकिन यह मानस के लिए सुरक्षित नहीं है ...

सबसे पहले, एल्गोरिथ्म lexicon के "बाइनरी सेक्शन" के लिए एक लिखते हैं। यह पता चला (0,1) ₂ , अर्थात 1/2। फिर वह बाइनरी सेक्शन के लिए एक ड्यूस लिखता है, अर्थात (10) ₂ । यह पता चलेगा (0.10) ₂ - संख्या अनिवार्य रूप से नहीं बदली गई है,, = 0, लेकिन बाइनरी नंबर सिस्टम में दूसरा दशमलव स्थान अब "आरक्षित" है और एल्गोरिथम के बाद के चरणों द्वारा नहीं बदला जा सकता है। इसके बाद, हमें इकाई को टर्नरी सेक्शन में लिखना होगा। (0,1) ₂ = (0,11111111 ...) ₃ , वृद्धि की आवश्यकता नहीं है, लेकिन हम पहले त्रिगुट दशमलव स्थान आरक्षित करते हैं। अब हम द्विआधारी अनुभाग में ट्रिपल लिखते हैं, हम प्राप्त करते हैं (0,10011) ₂ = 19/32 (ध्यान दें कि अगर हमने (0,1011) ₂ लिया, तो यह पहला टर्नरी संकेत बदल जाएगा जो पहले से ही आरक्षित है)। और इसलिए एड इनफिनिटम पर।

सामान्यता को हिलाओ

बेस बी पर एक सामान्य संख्या एक डिस्जैक्टिव नंबर है (उसी बेस पर) जैसे कि प्रत्येक k के लिए लंबाई k के b-ary अंकों के सभी अनुक्रमों को इस संख्या के b-ary नोटेशन में एक ही एसिमिट्रिक घनत्व b ^{-k के साथ शामिल किया जाता है} । अनुक्रम डब्ल्यू के एसिम्प्टोटिक घनत्व से है

, जहां गिनती (w, n) अनुक्रम n है, जो पहले n अंकों के बीच हुआ है।

श्रमिक-किसान शब्दों में, एक संख्या सामान्य है यदि समान लंबाई के सभी अनुवर्ती इसके अंकों के अनुक्रम में समान रूप से पाए जाते हैं। हमारी काल्पनिक फ़ाइल प्रणाली के संदर्भ में , इसका अर्थ है कि डेटा की समान मात्रा में लगभग समान क्रम के ऑफ़सेट होंगे। चुटकुलों को एक तरफ रख दें, तो औसतन ऑफ़सेट रिकॉर्ड में लगभग इतनी ही लंबाई होगी जितनी कि इस ऑफ़सेट द्वारा एनकोड की गई जानकारी की होती है। तो 100% का कोई संपीड़न, अफसोस।

बिल्कुल विवादास्पद संख्या की अवधारणा के समान, एक बिल्कुल सामान्य संख्या की अवधारणा भी है। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, यह संख्या किसी भी कारण से सामान्य है।

असामान्य सामान्यता

हैरानी की बात यह है कि रोजमर्रा की जिंदगी में हम जितने भी सौदे करते हैं, वे सभी सामान्य नहीं हैं। पूर्णांकों की "असामान्यता" स्पष्ट है - उनके अंश में शून्य होते हैं। परिमेय संख्याएं भी असामान्य हैं, क्योंकि किसी बिंदु पर उनका आंशिक भाग आवधिक हो जाता है, और हम संख्याओं का एक क्रम चुन सकते हैं कि इस आवधिकता के साथ गंभीर रूप से अप्रिय है।

हमारी आँखों (पी, ई, दो आदि की जड़) से परिचित होने वाली अतार्किकताओं के लिए - उनके साथ, सब कुछ भी सुचारू रूप से दूर है। ब्रिटिश वैज्ञानिकों का मानना है कि ये संख्या सामान्य है; हालाँकि, आज तक, मेरे ज्ञान के लिए, इस बात का भी कोई सबूत नहीं है कि वे असंगत हैं।

यह पता चला है कि हम एक भी "पर्याप्त" नहीं जानते, स्वाभाविक रूप से सामान्य संख्या प्राप्त की। फिर उनमें क्या सामान्य है? इसका उत्तर सरल है: सबसे सामान्य संख्या। यह साबित हो गया है कि "असामान्य" संख्याओं के सेट में एक लेबेस्ग माप है 0. इसका मतलब है कि यदि आप एक इकाई खंड पर एक उंगली प्रहार करते हैं, तो 100% की संभावना के साथ आप एक सामान्य संख्या में गिर जाएंगे।

सामान्यता बनाम असंगति

सामान्य और असंगत संख्याओं के बीच दो महत्वपूर्ण अंतर हैं। पहली एक सामान्य संख्या रिकॉर्ड में अंकों के अनुक्रमों के स्पर्शोन्मुख घनत्व पर लगाई गई एक अतिरिक्त स्थिति है। दूसरा - सामान्य संख्याओं का अस्तित्व बहुत कम स्पष्ट है।

आइए हम "द बेबीलोनियन लाइब्रेरी" खंड से असंगत संख्याओं के उदाहरणों पर लौटते हैं। यह समझना आसान है कि दूसरे और तीसरे उदाहरण असामान्य हैं: उनमें शून्य का एसिम्प्टोटिक घनत्व अन्य अंकों की तुलना में काफी अधिक होगा। मैं आपको एक रहस्य बताता हूँ:

छिपा हुआ पाठ

इन उदाहरणों में शून्य की विषमता का घनत्व 1 है। आगे हम पूर्णांक वाले भाग से दूर हो जाते हैं, किसी भी अन्य अंक को पूरा करने की संभावना कम होगी। सीमा में, इस संभावना को उपेक्षित किया जा सकता है, यह कहते हुए कि रिकॉर्ड शून्य के लगभग पूरी तरह से होते हैं।

लेकिन पहला उदाहरण, विचित्र रूप से पर्याप्त है, एक सामान्य संख्या है। वैसे, इस संख्या को चम्पारण स्थिरांक कहा जाता है । कोपलैंड-एर्दोस स्थिरांक भी सामान्य है:

0.235711131719 ...

- primes की दशमलव प्रविष्टियों से मिलकर। यह साबित होता है कि अन्य संख्या प्रणालियों में समान स्थिरांक सामान्य हैं। इस तरह की संख्या की सामान्यता:

0.1491625364964 ...

0.182764125216 ...

0.1361015212836 ...

- और कई अन्य। हालांकि, उनकी सामान्यता का प्रमाण तुच्छ नहीं है। अगले लेख में, यदि यह विषय हब्रोसैक्विटी का हित है, तो मैं दिखाऊंगा कि किस तरह एक संख्या का निर्माण किया जा सकता है, जिसकी सामान्यता स्पष्ट है। इसके लिए एक अलग लेख की आवश्यकता होगी, क्योंकि इसके निर्माण की विधि बहुत ही अप्रसिद्ध (और दिलचस्प है!)। ऐसा लगता है कि एक सामान्य संख्या के निर्माण की कठिनाई और इसकी सामान्यता साबित करने की कठिनाई के बारे में हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का एक निश्चित एनालॉग है :)

बिल्कुल सामान्य संख्याओं के लिए - उनके लिए, लेक्सीकोन्स के विपरीत, एक निर्माण एल्गोरिथ्म भी नहीं है। हालांकि, यह साबित हो जाता है कि एल्गोरिथ्म मौजूद है। ऐसी बातें।

सारांश

एक संभावना है कि नंबर पाई आपकी फ़ाइलों की उचित सुरक्षा सुनिश्चित नहीं करेगी। मैं इसके बजाय किसी भी कृत्रिम रूप से व्युत्पन्न सामान्य संख्या का उपयोग करने की सलाह देता हूं, उदाहरण के लिए, चामपेरून का स्थिर। वैसे, एक दिलचस्प एल्गोरिथम समस्या यह है कि अंकों के दिए गए अनुक्रम से इस स्थिरांक के दशमलव संकेतन में इसकी पहली घटना के सूचकांक का निर्धारण किया जाए।

वह सब है। अलविदा, लड़कियों और लड़कों, आप जल्द ही मिलते हैं, और आपके साथ सब कुछ ठीक हो सकता है।