अभाज्य संख्याओं में भिन्नता

मुझे इस भग्न का पता चला जब मैंने एक नदी की सतह पर तरंगों के हस्तक्षेप की जांच की। लहर किनारे पर चलती है, परावर्तित होती है और अपने आप पर सुपरिंपल होती है। क्या उन पैटर्नों में कोई क्रम है जो तरंगों द्वारा निर्मित हैं? आइए इसे खोजने की कोशिश करते हैं। पूरी लहर नहीं, बल्कि इसकी गति के केवल वेक्टर पर विचार करें। हम प्रयोग की सादगी के लिए "किनारे" को चिकना बना देंगे।

प्रयोग एक स्कूल नोटबुक से एक बॉक्स में एक नियमित शीट पर किया जा सकता है।

या एल्गोरिथ्म के जावास्क्रिप्ट कार्यान्वयन का उपयोग करना ।

अंग्रेजी संस्करण: नए प्रकार के भग्न - अपेक्षाकृत प्रमुख पूर्णांकों में भग्नता (खंती पूर्णांक)

पक्ष q और p के साथ एक आयत लें। कोने से कोने तक एक किरण (वेक्टर) भेजें। बीम आयत के एक तरफ जाता है, परिलक्षित होता है और अगली तरफ जाता रहता है। यह तब तक जारी रहता है जब तक कि बीम शेष कोनों में से एक को हिट न कर दे। यदि पक्षों का आकार q और p सह-संख्या है, तो हमें एक पैटर्न मिलता है (जैसा कि हम बाद में देखेंगे - एक भग्न)।

तस्वीर में, हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि यह एल्गोरिदम कैसे काम करता है।



Gif एनीमेशन:





सबसे आश्चर्यजनक बात यह है कि आयत के विभिन्न पक्षों के साथ - हमें अलग-अलग पैटर्न मिलते हैं।






मैं इन पैटर्न को भग्न क्यों कहता हूं? जैसा कि आप जानते हैं, एक "भग्न" एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें आत्म-समानता के गुण हैं। तस्वीर का हिस्सा पूरी तस्वीर को एक पूरे के रूप में दोहराता है। यदि आप क्यू और पी के पक्षों के आकार को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाते हैं, तो यह स्पष्ट है कि इन पैटर्न में आत्म-समानता के गुण हैं।

आइए बढ़ाने की कोशिश करें। हम मुश्किल तरीके से बढ़ेंगे। उदाहरण के लिए एक 17x29 पैटर्न लें। निम्नलिखित पैटर्न होंगे: 29x (17 + 29 = 46), 46x (29 + 46 = 75) ...
एक तरफ: एफ (एन);
दूसरा पक्ष: एफ (एन + 1) = एफ (एन) + एफ (एन -1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
फाइबोनैचि संख्याओं के रूप में, अनुक्रम में केवल दूसरे और दूसरे कार्यकाल के साथ: एफ (0) = 17, एफ (1) = 29।



















आगे के फ्रैक्चर को चक्रीय रूप से दोहराया जाता है।

यदि बड़ा पक्ष सम है, तो आपको निम्नलिखित पैटर्न मिलेगा:



यदि छोटा पक्ष सम है:



यदि दोनों पक्ष विषम हैं, तो हमें एक सममित पैटर्न मिलता है:





किरण कैसे शुरू होती है इसके आधार पर:

या


मैं यह बताने की कोशिश करूंगा कि इन आयतों में क्या हो रहा है।

आयत से वर्ग को अलग करें, और देखें कि सीमा पर क्या होता है।



बीम उसी बिंदु पर निकलता है जहां से वह आया था।



इस स्थिति में, बीम से गुजरने वाले वर्गों की संख्या हमेशा एक सम संख्या होती है।

इसलिए, यदि आप एक आयत से एक वर्ग काटते हैं, तो फ्रैक्टल का अपरिवर्तित हिस्सा बना रहेगा।

यदि आप चौकों को भग्न से यथासंभव अलग करते हैं, तो आप भग्न की "शुरुआत" कर सकते हैं।



एक फाइबोनैचि सर्पिल की तरह लगता है?



फाइबोनैचि संख्याओं से आप भग्न भी प्राप्त कर सकते हैं।

गणित में, फाइबोनैचि संख्या (फाइबोनैचि श्रृंखला, फाइबोनैचि अनुक्रम) संख्याएं हैं:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ...
परिभाषा के अनुसार, फिबोनाची अनुक्रम में पहले दो अंक 0 और 1 हैं, और प्रत्येक बाद की संख्या पिछले दो के योग के बराबर है।
एफ (एन) = एफ (एन -1) + एफ (एन -2)
एफ (0) = 0, एफ (1) = 1



आइए जाने:




जैसा कि हम देखते हैं, करीब अनुपात अनुपात सुनहरे अनुपात के करीब आता है - जितना बड़ा भग्न विस्तार।



इस मामले में, फ्रैक्टल भग्न का हिस्सा दोहराता है, द्वारा बढ़ाया जाता है ।

फाइबोनैचि संख्याओं के बजाय, आप पक्षों के अपरिमेय आकारों का उपयोग कर सकते हैं:



वही भग्न हो जाओ।

यदि आप बीम को एक अलग कोण पर करते हैं, तो समान फ्रैक्टल्स को वर्ग में भी प्राप्त किया जा सकता है:



निष्कर्ष में क्या कहा जा सकता है?
अराजकता भी आदेश है। अपने स्वयं के कानूनों के साथ। इस आदेश का अध्ययन नहीं किया गया है, लेकिन अध्ययन करने के लिए काफी उत्तरदायी है। और विज्ञान की पूरी इच्छा इन प्रतिमानों को खोजने की है। और अंततः बड़ी तस्वीर को देखने के लिए पहेली के विवरण को मिलाएं।
आइए नदी की सतह को देखें। अगर तुम उस पर पत्थर फेंकोगे, तो लहरें चली जाएंगी। अध्ययन योग्य वृत्त। गति, अवधि, तरंग दैर्ध्य - यह सब गणना की जा सकती है। लेकिन जब तक लहर किनारे तक पहुंचती है, तब तक यह प्रतिबिंबित नहीं होता है और खुद को ओवरलैप करना शुरू कर देता है। हमें अराजकता (हस्तक्षेप) मिलती है, जिसका अध्ययन करना पहले से ही मुश्किल है।
अगर हम विपरीत से आगे बढ़ें तो क्या होगा? जितना संभव हो उतना तरंग व्यवहार को सरल बनाएं। सरल बनाने के लिए, एक पैटर्न ढूंढें और फिर जो हो रहा है उसकी पूरी तस्वीर का वर्णन करने का प्रयास करें।
क्या सरलीकृत किया जा सकता है? जाहिर है, परावर्तक सतह को सीधा करें, बिना झुके। इसके अलावा, लहर के बजाय, केवल वेव मोशन वेक्टर का उपयोग करें। सिद्धांत रूप में, यह एक सरल एल्गोरिथ्म बनाने और कंप्यूटर पर एक प्रक्रिया का अनुकरण करने के लिए पर्याप्त है। और यहां तक ​​कि यह एक बॉक्स में कागज के एक साधारण टुकड़े पर लहर के व्यवहार का "मॉडल" बनाने के लिए पर्याप्त है।
परिणामस्वरूप हमारे पास क्या है? नतीजतन, हम देखते हैं कि तरंग प्रक्रियाओं में (नदी की सतह पर समान तरंग) हमारे पास अराजकता नहीं है, लेकिन एक दूसरे पर भग्न (आत्म-समान संरचनाएं) अतिव्यापी हैं।

एक अलग तरह की लहर पर विचार करें। जैसा कि आप जानते हैं, एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में तीन वैक्टर होते हैं - एक तरंग वेक्टर और विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति का एक वेक्टर। जैसा कि आप देख सकते हैं, अगर हम एक बंद क्षेत्र में इस तरह की लहर को पकड़ते हैं - जहां ये वैक्टर चटकते हैं, तो हमें काफी स्पष्ट बंद संरचनाएं मिलती हैं। शायद प्राथमिक कण समान फ्रैक्चर हैं?



1 से 80 तक आयत में सभी भग्न (6723x6723 px):


भग्न में बंद क्षेत्र (6723x6723 px):




बस एक सुंदर भग्न (4078x2518 px):


यदि आपके पास अंत तक पढ़ने का धैर्य था, तो एक बार फिर से एल्गोरिथ्म का जावास्क्रिप्ट कार्यान्वयन :)

जारी रखा:
अपरिमेय संख्या में भग्न
अपरिमेय संख्या में भग्न। भाग २