फूरियर रूपांतरण के बारे में सरल शब्दों में

मेरा मानना ​​है कि, सामान्य शब्दों में, वे फूरियर रूपांतरण के रूप में इस तरह के एक अद्भुत गणितीय उपकरण के अस्तित्व के बारे में जानते हैं। हालांकि, विश्वविद्यालयों में, किसी कारण से, यह इतनी खराब तरीके से पढ़ाया जाता है कि वे समझते हैं कि यह परिवर्तन कैसे काम करता है और अपेक्षाकृत कम लोगों को इसका सही उपयोग कैसे करना चाहिए। इस बीच, इस परिवर्तन का गणित आश्चर्यजनक रूप से सुंदर, सरल और सुरुचिपूर्ण है। मैं सभी को फूरियर ट्रांसफॉर्म के बारे में थोड़ा और अधिक जानने के लिए आमंत्रित करता हूं और डिजिटल सिग्नल को डिजिटल प्रोसेसिंग के लिए एनालॉग सिग्नल को प्रभावी ढंग से कैसे बदला जा सकता है, इससे संबंधित विषय।

(c) xkcd

जटिल फ़ार्मुलों और मैटलैब का उपयोग किए बिना, मैं निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास करूंगा:

• एफटी, डीटीएफ, डीटीएफटी - क्या अंतर हैं और कैसे पूरी तरह से अलग-अलग प्रतीत होने वाले सूत्र ऐसे वैचारिक रूप से समान परिणाम देते हैं?
• तेजी से फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) के परिणामों की सही ढंग से व्याख्या कैसे करें
• 179 नमूनों का संकेत दिए जाने पर क्या करना चाहिए और FFT को दो की शक्ति के बराबर लंबाई के इनपुट अनुक्रम की आवश्यकता होती है
• क्यों, जब अपेक्षित सिंगल "स्टिक" के बजाय, साइनसॉइड के फूरियर स्पेक्ट्रम को प्राप्त करने की कोशिश की जाती है, तो एक अजीब स्क्वीगल ग्राफ पर क्रॉल हो जाता है और इसके बारे में क्या किया जा सकता है
• एडीसी के सामने और डीएसी के बाद एनालॉग फ़िल्टर क्यों डालें
• क्या एडीसी सिग्नल को आधे से अधिक आवृत्ति आवृत्ति के साथ डिजिटलीकरण करना संभव है (स्कूल का उत्तर गलत है, सही उत्तर संभव है)
• डिजिटल अनुक्रम से मूल सिग्नल को कैसे पुनर्स्थापित किया जाए

मैं इस धारणा से आगे बढ़ूंगा कि पाठक समझता है कि अभिन्न क्या है , जटिल संख्या (साथ ही इसके मॉड्यूल और तर्क ), कार्यों का दृढ़ संकल्प , साथ ही कम से कम "उंगलियों पर" कल्पना करते हैं कि डीरेका डेल्टा फ़ंक्शन क्या है । पता नहीं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, उपरोक्त लिंक पढ़ें। इस पाठ में "कार्यों के उत्पाद" द्वारा, मैं हर जगह "बिंदुवार गुणन" का अर्थ करूंगा

हमें शुरू करना चाहिए, शायद, इस तथ्य के साथ कि सामान्य फूरियर रूपांतरण एक तरह की चीज है, जैसा कि नाम का अर्थ है, एक फ़ंक्शन को दूसरे में परिवर्तित करता है, अर्थात, यह वास्तविक चर x (t) के प्रत्येक फ़ंक्शन को अपने स्पेक्ट्रम या y के फूरियर रूपांतरण के साथ जोड़ता है। (डब्ल्यू):



यदि हम उपमा देते हैं, तो अर्थ में एक समान परिवर्तन का एक उदाहरण भेदभाव के रूप में कार्य कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन को इसके व्युत्पन्न में बदल देना। यही है, फूरियर ट्रांसफॉर्म एक ही ऑपरेशन है, संक्षेप में, व्युत्पन्न लेने के रूप में, और इसे अक्सर एक समान तरीके से दर्शाया जाता है, जो फ़ंक्शन पर एक त्रिकोणीय "कैप" खींचता है। केवल वास्तविक संख्याओं के लिए निर्धारित की जा सकने वाली भिन्नता के विपरीत, फूरियर हमेशा अधिक सामान्य जटिल संख्याओं के साथ "कार्य" करता है। इस वजह से, इस परिवर्तन के परिणामों के प्रदर्शन के साथ समस्याएं लगातार उत्पन्न होती हैं, क्योंकि जटिल संख्याएं एक द्वारा निर्धारित नहीं होती हैं, लेकिन वास्तविक संख्याओं के साथ ऑपरेटिंग ग्राफ पर दो निर्देशांक द्वारा। सबसे सुविधाजनक तरीका, एक नियम के रूप में, एक मॉड्यूल और एक तर्क के रूप में जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना है और उन्हें दो अलग-अलग ग्राफ़िक्स के रूप में अलग से आकर्षित करना है:



जटिल मान के तर्क की साजिश को अक्सर इस मामले में "चरण स्पेक्ट्रम" कहा जाता है, और मॉड्यूल के ग्राफ को "आयाम स्पेक्ट्रम" कहा जाता है। आयाम स्पेक्ट्रम आमतौर पर बहुत अधिक रुचि का होता है, और इसलिए स्पेक्ट्रम का "चरण" भाग अक्सर छूट जाता है। इस लेख में, हम "आयाम" चीजों पर भी ध्यान केंद्रित करेंगे, लेकिन हमें ग्राफ़ के लापता चरण के भाग के अस्तित्व के बारे में नहीं भूलना चाहिए। इसके अलावा, जटिल मूल्य के सामान्य मॉड्यूल के बजाय, इसका दशमलव लघुगणक समय 10 अक्सर खींचा जाता है नतीजतन, एक लघुगणकीय ग्राफ प्राप्त होता है, जिस पर मूल्य डेसीबल (डीबी) में प्रदर्शित होते हैं।



कृपया ध्यान दें कि लॉगरिदमिक ग्राफ (-20 डीबी या उससे कम) में बहुत नकारात्मक संख्या का मतलब "सामान्य" ग्राफ पर लगभग शून्य संख्या नहीं है। इसलिए, ऐसे ग्राफ़ में विभिन्न स्पेक्ट्रा के लंबे और चौड़े "पूंछ", जब "साधारण" निर्देशांक में प्रदर्शित होते हैं, एक नियम के रूप में व्यावहारिक रूप से गायब हो जाते हैं। पहली नज़र के प्रतिनिधित्व में इस तरह की एक अजीबता की सुविधा इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि विभिन्न कार्यों की फूरियर छवियों को अक्सर अपने आप से गुणा करने की आवश्यकता होती है। जटिल-मूल्यवान फ़ॉयर छवियों के समान पॉइंटवाइज़ गुणा के साथ, उनके चरण स्पेक्ट्रा को जोड़ते हैं, और आयाम वाले लोग गुणा करते हैं। पहला आसान है, और दूसरा अपेक्षाकृत कठिन है। हालाँकि, आयाम के लघुगणक जब आयामों को बढ़ाते हैं, तो जोड़ते हैं, इसलिए चरण रेखांकन की तरह, लघुगणक आयाम रेखांकन को बस बिंदुवार जोड़ा जा सकता है। इसके अलावा, व्यावहारिक समस्याओं में यह अक्सर सिग्नल के "आयाम" के साथ नहीं, बल्कि इसकी "शक्ति" (चुकता आयाम) के साथ संचालित करने के लिए अधिक सुविधाजनक होता है। लॉगरिदमिक पैमाने पर, दोनों ग्राफ (दोनों आयाम और शक्तियां) समान दिखते हैं और केवल गुणांक में भिन्न होते हैं - पावर ग्राफ पर सभी मान एम्पलीट्यूड स्केल पर लगभग दो बार बड़े होते हैं। तदनुसार, आवृत्ति (डेसिबल में) द्वारा बिजली वितरण की साजिश करने के लिए, आप कुछ भी वर्ग नहीं कर सकते हैं, लेकिन दशमलव लघुगणक की गणना करें और इसे 20 से गुणा करें।

क्या आप ऊब गए हैं? थोड़ा इंतजार करें, लेख के थकाऊ भाग के साथ चार्ट की व्याख्या कैसे करें, हम जल्द ही समाप्त करेंगे :)। लेकिन इससे पहले, एक अत्यंत महत्वपूर्ण बात को समझा जाना चाहिए: हालांकि स्पेक्ट्रा के सभी उपरोक्त ग्राफ़ कुछ सीमित मूल्यों (विशेष रूप से, सकारात्मक संख्याओं) के लिए तैयार किए गए थे, ये सभी ग्राफ़ वास्तव में प्लस और माइनस इन्फिनिटी में जारी हैं। ग्राफ बस ग्राफ के कुछ "सबसे सार्थक" भाग को दर्शाते हैं, जिसे आमतौर पर नकारात्मक पैरामीटर मानों के लिए दिखाया जाता है और अक्सर समय-समय पर कुछ कदम के साथ दोहराया जाता है, अगर हम इसे बड़े पैमाने पर मानते हैं।

यह तय करने के बाद कि रेखांकन पर क्या खींचा गया है, चलो फूरियर को स्वयं और उसके गुणों को बदल दें। इस परिवर्तन को निर्धारित करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जो छोटे विवरणों (अलग-अलग सामान्यीकरण) में भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, हमारे विश्वविद्यालयों में, किसी कारण से, वे अक्सर फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण का उपयोग करते हैं, जो कि कोणीय आवृत्ति (प्रति सेकंड रेडियन) के संदर्भ में स्पेक्ट्रम को निर्धारित करता है। मैं सामान्य आवृत्ति (हर्ट्ज) के संदर्भ में स्पेक्ट्रम को परिभाषित करने वाले अधिक सुविधाजनक पश्चिमी सूत्रीकरण का उपयोग करूंगा। इस मामले में प्रत्यक्ष और उलटा फूरियर रूपांतरण बाईं ओर के फ़ार्मुलों द्वारा निर्धारित किया जाता है, और इस परिवर्तन के कुछ गुण जिनकी हमें आवश्यकता है, दाईं ओर सात वस्तुओं की सूची द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:



इनमें से पहला गुण रैखिकता है। यदि हम फ़ंक्शन के कुछ रैखिक संयोजन लेते हैं, तो इस संयोजन का फूरियर रूपांतरण इन कार्यों के फूरियर छवियों का समान रैखिक संयोजन होगा। यह संपत्ति हमें जटिल कार्यों को कम करने की अनुमति देती है और उनके फूरियर सरल लोगों को बदल देती है। उदाहरण के लिए, आवृत्ति च और आयाम के साथ एक sinusoidal फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण एक दो बिंदुओं का संयोजन है जो बिंदु f और -f पर और गुणांक a / 2 के साथ स्थित है:



यदि हम एक फ़ंक्शन को विभिन्न आवृत्तियों के साथ साइनसोइड्स के सेट से जोड़ते हैं, तो रैखिकता संपत्ति के अनुसार, इस फ़ंक्शन की फूरियर छवि डेल्टा फ़ंक्शन के संबंधित सेट से मिलकर बनेगी। यह हमें सिद्धांत के अनुसार स्पेक्ट्रम की एक भोली, लेकिन दृश्य व्याख्या देने की अनुमति देता है "यदि आयाम फ़ंक्शन के स्पेक्ट्रम में आवृत्ति एफ से मेल खाती है, तो मूल फ़ंक्शन को साइनसोइड्स के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से एक आवृत्ति एफ और आयाम 2 ए के साथ एक साइनसॉइड होगा"। कड़ाई से बोलना, यह व्याख्या गलत है, क्योंकि डेल्टा फ़ंक्शन और ग्राफ पर बिंदु पूरी तरह से अलग चीजें हैं, लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, असतत फूरियर रूपांतरण के लिए यह सच्चाई से इतना दूर नहीं होगा।

फूरियर ट्रांसफॉर्म की दूसरी प्रॉपर्टी सिग्नल की टाइम शिफ्ट से डाइमेंशन स्पेक्ट्रम की स्वतंत्रता है। यदि हम x अक्ष के साथ फ़ंक्शन को बाएं या दाएं घुमाते हैं, तो केवल इसका चरण स्पेक्ट्रम बदल जाएगा।

तीसरी संपत्ति मूल अक्ष का विस्तार (संपीड़न) है समय अक्ष (x) के साथ आनुपातिक रूप से (फ़्रेच) अपनी फ़ॉयर छवि को आवृत्ति पैमाने (w) पर संकुचित करता है। विशेष रूप से, परिमित अवधि के संकेत का स्पेक्ट्रम हमेशा असीम रूप से चौड़ा होता है, और इसके विपरीत, एक परिमित चौड़ाई का स्पेक्ट्रम हमेशा असीमित अवधि के संकेत से मेल खाता है।

चौथा और पांचवां गुण शायद सभी के लिए सबसे उपयोगी है। वे हमें अपनी फूरियर छवियों के बिंदुवार गुणन के लिए कार्यों के दृढ़ संकल्प को कम करने और इसके विपरीत - उनके फूरियर छवियों के दृढ़ीकरण के लिए कार्यों के बिंदुवार गुणन की अनुमति देते हैं। थोड़ा आगे मैं दिखाऊंगा कि यह कितना सुविधाजनक है।

छठी संपत्ति फूरियर छवियों के समरूपता की बात करती है। विशेष रूप से, यह इस संपत्ति का अनुसरण करता है कि वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (यानी, किसी भी "वास्तविक" सिग्नल) के फूरियर रूपांतरण में, आयाम स्पेक्ट्रम हमेशा एक समान कार्य होता है, और चरण स्पेक्ट्रम (यदि रेंज -pi में लाया जाता है ... पीआई विषम है) । इस कारण से, स्पेक्ट्रम के नकारात्मक हिस्से को वर्णक्रमीय रेखांकन पर लगभग कभी भी प्लॉट नहीं किया जाता है - वास्तविक-मूल्यवान संकेतों के लिए, यह कोई नई जानकारी प्रदान नहीं करता है (लेकिन, फिर से, यह शून्य नहीं है)।

अंत में, अंतिम, सातवीं संपत्ति, बताती है कि फूरियर रूपांतरण सिग्नल की "ऊर्जा" को संरक्षित करता है। यह केवल परिमित अवधि के संकेतों के लिए सार्थक है, जिनमें से ऊर्जा परिमित है, और सुझाव देती है कि अनंत पर ऐसे संकेतों का स्पेक्ट्रम जल्दी से शून्य तक पहुंचता है। इस संपत्ति के कारण, एक नियम के रूप में, संकेत का केवल "मुख्य" भाग, जो ऊर्जा के शेर के हिस्से को वहन करता है, को आमतौर पर वर्णक्रमीय रेखांकन पर दर्शाया जाता है - बाकी ग्राफ बस शून्य हो जाता है (लेकिन, फिर से, शून्य नहीं है)।

इन 7 गुणों के साथ, आइए संकेत के "डिजिटलीकरण" के गणित को देखें, जो आपको संख्याओं के अनुक्रम में निरंतर संकेत का अनुवाद करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, हमें "डीराक कंघी" के रूप में जाना जाता है।



एक डीराक कंघी केवल एक इकाई गुणांक के साथ डेल्टा फ़ंक्शन का आवधिक अनुक्रम है, जो शून्य पर शुरू होता है और चरण टी के साथ जा रहा है। संकेतों को डिजिटाइज़ करने के लिए, टी को यथासंभव छोटा चुना जाता है, टी << 1। इस फ़ंक्शन की फूरियर छवि भी एक डीराक कंघी है, केवल एक बहुत बड़ा 1 / टी चरण और थोड़ा कम गुणांक (1 / T) के साथ। गणितीय दृष्टिकोण से, समय के साथ एक संकेत का विवेकाधिकार बस एक दिवा कंघी द्वारा मूल संकेत का एक बिंदुवार गुणन है। मूल्य 1 / T को नमूना आवृत्ति कहा जाता है:



एक सतत कार्य के बजाय, इस तरह के गुणन के बाद, एक निश्चित ऊंचाई के डेल्टा दालों का एक क्रम प्राप्त होता है। इसके अलावा, फूरियर ट्रांसफॉर्म की संपत्ति 5 के अनुसार, परिणामी असतत संकेत का स्पेक्ट्रम इसी डायराक कंघी के साथ मूल स्पेक्ट्रम का दृढ़ संकल्प है। यह समझना आसान है कि सजा के गुणों के आधार पर, मूल संकेत के स्पेक्ट्रम को इस प्रकार "कॉपी" किया जाता है, जो कि 1 / T के वेतन वृद्धि में आवृत्ति अक्ष के साथ अनंत बार होता है, और फिर सारांशित होता है।



ध्यान दें कि यदि मूल स्पेक्ट्रम की परिमित चौड़ाई थी और हमने पर्याप्त बड़े नमूने की आवृत्ति का उपयोग किया है, तो मूल स्पेक्ट्रम की प्रतियां ओवरलैप नहीं होंगी, और इसलिए इसे एक साथ नहीं जोड़ा जाएगा। यह समझना आसान है कि इस तरह के "ढह गए" स्पेक्ट्रम से मूल स्पेक्ट्रम को बहाल करना आसान होगा - यह केवल शून्य के क्षेत्र में स्पेक्ट्रम घटक को लेने के लिए पर्याप्त होगा, अनंत तक जाने वाली अतिरिक्त प्रतियों को "काट"। ऐसा करने का सबसे सरल तरीका है कि स्पेक्ट्रम -1 / 2T ... 1 / 2T और इस सीमा के बाहर शून्य में टी के बराबर एक आयताकार फ़ंक्शन द्वारा स्पेक्ट्रम को गुणा करना है। एक समान फूरियर रूपांतरण फ़ंक्शन sinc (Tx) से मेल खाता है और गुण 4 के अनुसार, ऐसा गुणन कार्य sinc (Tx) के साथ डेल्टा फ़ंक्शंस के मूल अनुक्रम के कनवल्शन के बराबर है




यही है, फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके, हमें समय-विवेकाधीन से मूल सिग्नल को आसानी से पुनर्स्थापित करने का एक तरीका मिला, इस शर्त के तहत काम करना कि हम कम से कम दो बार नमूना की आवृत्ति का उपयोग करें (स्पेक्ट्रम में नकारात्मक आवृत्तियों की उपस्थिति के कारण मूल सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति से अधिक हो। इस परिणाम को व्यापक रूप से जाना जाता है और इसे "कोट्टनिकोव / शैनन-न्यक्विस्ट प्रमेय" कहा जाता है । हालांकि, जैसा कि यह अब (प्रमाण को समझना) आसान है, यह परिणाम, व्यापक गलत धारणा के विपरीत, मूल संकेत को बहाल करने के लिए एक पर्याप्त लेकिन आवश्यक शर्त निर्धारित नहीं करता है। हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि स्पेक्ट्रम का वह भाग जिसे हम रुचि रखते हैं, सिग्नल का नमूना लेने के बाद ओवरलैप नहीं होता है और यदि सिग्नल पर्याप्त रूप से संकीर्ण-बैंड (स्पेक्ट्रम के नॉनज़रो भाग का एक छोटा "चौड़ाई") है, तो यह परिणाम अक्सर एक नमूना आवृत्ति पर भी कम प्राप्त किया जा सकता है। सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति से दोगुना। इसी तरह की तकनीक को "अंडरसम्पलिंग" (सबसम्पलिंग, बैंड सैंपलिंग ) कहा जाता है और इसका उपयोग सभी प्रकार के रेडियो संकेतों के प्रसंस्करण में व्यापक रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 88 से 108 मेगाहर्ट्ज तक आवृत्ति बैंड में एक एफएम रेडियो का संचालन करते हैं, तो हम केवल 43.5 मेगाहर्ट्ज की आवृत्ति के साथ एक एडीसी का उपयोग कर सकते हैं, जो कि केट्लनिकोव के प्रमेय द्वारा ग्रहण किए गए 216 मेगाहर्ट्ज के बजाय इसे डिजिटाइज़ करने के लिए है। इस मामले में, हालांकि, आपको उच्च-गुणवत्ता वाले एडीसी और एक अच्छे फिल्टर की आवश्यकता है।

मैं ध्यान देता हूं कि निचले क्रमों (एलिअसिंग) की आवृत्तियों के साथ उच्च आवृत्तियों का "दोहराव" संकेत नमूने का एक सीधा गुण है, जिसके परिणामस्वरूप अपरिवर्तनीय रूप से "खराब" होता है। इसलिए, यदि सिद्धांत में एक संकेत उच्च आवृत्ति आवृत्तियों (जिसमें लगभग हमेशा) हो सकता है, एक एनालॉग फ़िल्टर एडीसी के सामने रखा जाता है, जो मूल सिग्नल में सीधे सब कुछ "काट" करता है (क्योंकि नमूना लेने के बाद ऐसा करने में बहुत देर हो जाएगी)। एनालॉग डिवाइस के रूप में इन फिल्टर की विशेषताएं, अपूर्ण हैं, इसलिए सिग्नल के कुछ "खराब" अभी भी होते हैं, और व्यवहार में यह निम्नानुसार है कि स्पेक्ट्रम में उच्चतम आवृत्तियों, एक नियम के रूप में, अविश्वसनीय हैं। इस समस्या को कम करने के लिए, सिग्नल को अक्सर एक overestimated नमूनाकरण दर के साथ नमूना किया जाता है, जबकि एक कम पासबैंड पर इनपुट एनालॉग फ़िल्टर डालते हैं और एडीसी के सैद्धांतिक रूप से उपलब्ध आवृत्ति रेंज के केवल निचले हिस्से का उपयोग करते हैं।

वैसे, एक और आम गलतफहमी है, जब डीएसी के आउटपुट पर सिग्नल "कदम" खींचा जाता है। "चरण" चौड़ाई टी और ऊंचाई 1 के आयताकार कार्य के साथ एक नमूना संकेत अनुक्रम के दृढ़ संकल्प के अनुरूप है: 1



इस परिवर्तन के दौरान संकेत के स्पेक्ट्रम को इस आयताकार फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण से गुणा किया जाता है, और इसी तरह के आयताकार फ़ंक्शन के लिए यह फिर से sinc (w) है, "मजबूत", समान आयत की चौड़ाई जितना छोटा। एक समान "डीएसी" के साथ एक नमूना संकेत का स्पेक्ट्रम इस स्पेक्ट्रम द्वारा गुणा किया गया है। इसके अलावा, स्पेक्ट्रम की "अतिरिक्त प्रतियों" के साथ अनावश्यक उच्च आवृत्तियों को पूरी तरह से काट नहीं दिया जाता है, और इसके विपरीत, स्पेक्ट्रम के "उपयोगी" भाग के ऊपरी हिस्से को कमजोर कर दिया जाता है।



व्यवहार में, बेशक, कोई भी नहीं करता है। DAC के निर्माण के लिए कई अलग-अलग दृष्टिकोण हैं, लेकिन यहां तक ​​कि वजन प्रकार DAC में, जो अर्थ में निकटतम हैं, DAC में आयताकार दालों, इसके विपरीत, यथासंभव कम चुना जाता है (डेल्टा कार्यों के वास्तविक अनुक्रम से संपर्क करना) अनावश्यक रूप से स्पेक्ट्रम के उपयोगी हिस्से से बचने के लिए। परिणामस्वरूप ब्रॉडबैंड सिग्नल में "अधिक" आवृत्तियों को लगभग हमेशा एनालॉग कम-पास फिल्टर के माध्यम से सिग्नल पास करके दबा दिया जाता है, ताकि इसके आउटपुट पर "न तो" अंदर "न" कनवर्टर हो, न ही इसके अलावा।

हालांकि, फूरियर रूपांतरण पर वापस। उपर्युक्त वर्णित फूरियर रूपांतरण को पूर्व-नमूना सिग्नल अनुक्रम पर लागू किया जाता है, जिसे असतत समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT) कहा जाता है। इस तरह के परिवर्तन द्वारा प्राप्त स्पेक्ट्रम हमेशा 1 / टी-आवधिक होता है; इसलिए, DTFT स्पेक्ट्रम पूरी तरह से अंतराल [0 ... 1 / T) पर अपने मूल्यों से निर्धारित होता है, इसलिए, DTFT स्पेक्ट्रम अक्सर इस अंतराल तक सीमित होता है। इसके अलावा, डीटीएफटी का परिणाम, इस तथ्य के बावजूद कि यह एक नमूना संकेत का एक स्पेक्ट्रम है, अभी भी एक "एनालॉग" फ़ंक्शन है। इसके अलावा, "साधारण" वास्तविक-मूल्यवान संकेतों के लिए, इस स्पेक्ट्रम की दूसरी छमाही, संपत्ति 6 ​​के आधार पर, बाएं आधे हिस्से को न्यक्विस्ट आवृत्ति 1 / 2T के सापेक्ष प्रतिबिंबित करती है।

अब तक, हमने माना है कि माइनस से प्लस इनफिनिटी से परिभाषित एक संकेत हमारे परिवर्तनों के इनपुट पर आता है। हालांकि, हमारे लिए उपलब्ध वास्तविक संकेतों में हमेशा एक सीमित लंबाई होती है - क्या करना है? एफटी और डीटीएफटी में इस समस्या को हल करने के लिए, अंतिम संकेत बस शून्य से बाएं और दायें से अनंत तक गद्देदार है। यदि मूल संकेत मूल रूप से परिमित था (कहते हैं, यह एक अलग आवेग है) और यह फूरियर रूपांतरण में पूरी तरह से गिर गया, तो यह दृष्टिकोण सीधे वांछित परिणाम देता है। हालांकि, अक्सर फूरियर ट्रांसफॉर्म के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला "अंतिम" सिग्नल वास्तव में एक लंबी, संभवतः अनंत, सिग्नल का हिस्सा होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, एक साइन वेव। इस मामले में, शून्य के साथ अंतिम खंड के अतिरिक्त की व्याख्या की जाती है: यह माना जाता है कि मूल संकेत की असीम रूप से बड़ी लंबाई है, लेकिन फिर इसे कुछ भार समारोह से गुणा किया जाता है - एक "विंडो" जो खंड के बाहर गायब हो जाती है जो माप के लिए हमारे पास उपलब्ध है। सबसे सरल मामले में, "विंडो" की भूमिका केवल एक आयताकार फ़ंक्शन द्वारा निभाई जाती है, इस तथ्य के अनुरूप कि हम बस बाईं ओर दाईं ओर अंतिम सिग्नल को पूरक करते हैं और अनंत संख्या में शून्य के साथ। अधिक जटिल लोगों में, प्रारंभिक अनुक्रम "विंडो" फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित वजन से गुणा किया जाता है और फिर, फिर से, ज़ीरो के साथ पूरक होता है।



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खैर, बस इतना ही। मुझे उम्मीद है कि फूरियर रूपांतरण और एफएफटी एल्गोरिदम अब आपके लिए टूल का उपयोग करने के लिए सरल, स्पष्ट और सुखद होगा।