सबसे छोटी के लिए टोपोलॉजी। भाग २

इस लेख में, मैं टोपोलॉजी के लिए अपना सौम्य परिचय जारी रखता हूं। पहला भाग यहाँ है ।
फिर, मैं आपको चेतावनी देता हूं कि आप जो कुछ भी पढ़ते हैं वह मानविकी (स्नातक और मास्टर) द्वारा दो बार लिखा जाता है, इसलिए आपको आँख बंद करके विश्वास नहीं करना चाहिए। सामान्य तौर पर, आपको चेतावनी दी जाती है।
त्रुटियों (गणितीय) के बारे में टिप्पणियाँ स्वागत योग्य हैं।
एक और चेतावनी बहुत सारी तस्वीरें हैं।
ध्यान आकर्षित करने के लिए छवि (हमारे पाठ से संबंधित नहीं)।

इन आंकड़ों को तोड़ने के बिना, लेकिन किसी भी तरह से ख़राब होने के बारे में आप क्या सोचते हैं, क्या उन्हें डिस्कनेक्ट करना संभव है?

प्रारंभ में, मैंने दूसरे भाग में मीट्रिक रिक्त स्थान के बारे में बात करने की योजना बनाई, लेकिन फिर मैंने इसे भविष्य के लिए स्थगित करने का फैसला किया, और अब परिवेश और संबंधित अवधारणाओं के बारे में अधिक विस्तार से बात करता हूं, जिसका मैंने पिछले भाग में केवल संक्षेप में उल्लेख किया है। इस प्रकार, हम जनरल टोपोलॉजी पर किसी पुस्तक के पहले अध्याय में कहीं हैं।
आंकड़ों में काले ठोस समोच्च बंद सेट का संकेत देंगे, और बिना समोच्च के सेट खुले रहेंगे। पत्र TTT I संक्षिप्त रूप में और यदि होगा तो।
चलो चलते हैं।

तो, एक टोपोलॉजिकल स्पेस (X, T) के एक सबसेट U को पॉइंट x mtt का पड़ोस कहा जाता है, जब U में एक ओपन सेट होता है जिसमें x होता है।

ऊपर की आकृति में, यह स्थिति सचित्र है। मैंने बिंदु x के पड़ोस को एक बिंदीदार रेखा से बंधे सर्कल के रूप में दिखाया। बेशक, पड़ोस के आसपास होने की जरूरत नहीं है। इसमें केवल उस ओपन सेट को समाहित करना है जिसमें बिंदु x सम्‍मिलित है। इस मामले में, मैंने सेट को लाल रंग में चित्रित किया। चूंकि हर सेट अपने आप में है, इसलिए यह स्पष्ट है कि प्रत्येक ओपन सेट उसके प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है। आक्षेप सत्य नहीं है। पड़ोस में एक खुली भीड़ होने की जरूरत नहीं है। नीचे दिए गए आंकड़े में, मैंने इन स्थितियों को चित्रित किया।


U, U 'और X और X' एक्स के पड़ोस हैं। इसके अलावा, यू, यू 'और एक्स खुले हैं, लेकिन एक्स' नहीं है।
यह सब एक बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय का अर्थ है (और शायद बहुत नहीं) - सेट खुला है, उम, जब इसमें सभी बिंदुओं के पड़ोस होते हैं।
मैंने लंबे समय तक सोचा कि इसे कैसे आकर्षित किया जाए। परिणाम नीचे के रूप में ऐसी तस्वीर है।

इस सेट X को देखें। यदि यह सेट खुला है, तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसमें कौन सा बिंदु पाते हैं, यह हमेशा इस सेट से संबंधित एक पड़ोस होगा। मैंने दिखाया कि जब आप चित्र को बड़ा करेंगे तो यह कैसा दिखेगा। उदाहरण के लिए, बिंदु d लगभग बहुत किनारे पर है, लेकिन यदि आप इस खंड पर अधिक बारीकी से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि इसके चारों ओर आप हमेशा एक खुले सर्कल का वर्णन कर सकते हैं। आप इस तरह के खेल की कल्पना कर सकते हैं। दानव और प्रतिभा को एक यादृच्छिक सेट चुनने दें। दानव इस तथ्य पर जोर देता है कि भीड़ खुली नहीं है, लेकिन वह प्रतिभा जो खुली है। उसके बाद, दानव सेट के कुछ बिंदु को इंगित करता है, और प्रतिभा इसके चारों ओर एक पड़ोस बनाने की कोशिश करती है। यदि सब कुछ सफल होता है, तो यह एक पुरस्कार प्राप्त करता है, और दानव एक नया बिंदु बनाता है। यदि एक प्रतिभा बहुत से भाग्यशाली है, तो वह पुरस्कारों की एक पूरी अनंतता जीत सकता है। बेशक, इस खेल में नश्वर जीव खेलने के लिए बहुत जरूरी नहीं है।


एक महत्वपूर्ण प्रकार के बिंदु हैं जिन्हें संचय अंक या सीमा अंक कहा जाता है।
एक सीमा बिंदु एक स्थलीय अंतरिक्ष (एक्स, टी) के सबसेट का एक बिंदु है, जिसके किसी भी पड़ोस में एक उपसमूह ए का बिंदु है।
ओह। दृश्य अंतर्ज्ञान के आधार पर बोलते हुए, सीमा बिंदु वे बिंदु होते हैं जो सेट के अंदर या "किनारे" पर झूठ बोलते हैं। सेट से संबंधित प्रत्येक बिंदु सीमा नहीं है। नीचे दी गई तस्वीर पर एक नज़र डालें।


प्वाइंट लाल रंग के सेट से संबंधित है, लेकिन इसका एक पड़ोस है जिसमें इस सेट के अन्य बिंदु नहीं हैं। तो यह सीमा नहीं है और, इसके विपरीत, ऐसे बिंदु हैं जो इस सेट से संबंधित नहीं हैं, लेकिन फिर भी इसके लिए सीमा हो सकती है।
नीचे दी गई तस्वीर विभिन्न स्थितियों को दिखाती है।


बिंदु में किसी भी पड़ोस में, सबसेट X का बिंदु शामिल है। बिंदु b भी है। इसलिए, वे संचय बिंदु हैं। लेकिन बिंदु c, हालाँकि इसमें पड़ोस होते हैं जिनमें X के अंक होते हैं, लेकिन अन्य पड़ोस भी होते हैं जिनमें X के अंक नहीं होते हैं।
इस मामले में पड़ोस रोज़मर्रा की भावना में पड़ोस की अवधारणा के समान है - पड़ोस में झूठ बोलने का मतलब निकटता में होना है। एक अर्थ में, पड़ोस निकटता व्यक्त करता है। लेकिन यह समझना महत्वपूर्ण है कि हम जिन सभी स्थानों के बारे में बात कर रहे हैं, वे एक मीट्रिक से सुसज्जित नहीं हैं, अर्थात्। कोई दूरी नहीं है और हम निकटता को संख्यात्मक रूप से व्यक्त नहीं कर सकते हैं। बाद में, जब हम मीट्रिक रिक्त स्थान के बारे में बात करते हैं, तो हम पड़ोस के विषय पर लौटेंगे, लेकिन थोड़ा अलग पक्ष से।
उपरोक्त सभी हमें एक नई भाषा में बंद सेट की परिभाषा तैयार करने की अनुमति देता है। पिछले अध्याय में, मैंने कहा कि बंद सेट वे हैं जो खुले लोगों के पूरक हैं। यह एक बल्कि अपमानजनक परिभाषा है, लेकिन परिवेश इसे एक नई रोशनी में देखना संभव बनाता है और यह अचानक गहराई प्राप्त करता है और, जैसा कि यह था, नए पहलू।
इसलिए, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक सबसेट तब बंद होता है, जब इसमें उसके सभी सीमा बिंदु होते हैं।
चित्र को देखो।


हमारे पास एक लाल सरणी है, जो नारंगी सरणी का सबसेट है। यह खुला है, क्योंकि इसके सभी बिंदु इसके परिवेश के साथ प्रवेश करते हैं। और, जाहिर है, एक अनंत संख्या सीमा बिंदु है जो इसका नहीं है। मैंने उनमें से कई को बीच की आकृति में खींचा। यदि हम इसके सभी सीमा बिंदुओं के समुच्चय को जोड़ते हैं, तो यह बंद हो जाता है।
यह कैसे साबित होता है? वैसे, यहाँ सब कुछ सरल है। मान लीजिए कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का एक उपसमूह है। एक बिंदु x है जो A से संबंधित नहीं है और इसका एक खुला पड़ोस U है जो A को नहीं काटता है क्योंकि यह पड़ोस खुला है, यह इसके किसी भी बिंदु का पड़ोस है। चूँकि यह A को नहीं काटता है, तो इस पड़ोस का कोई बिंदु A का सीमा बिंदु नहीं है। इसका मतलब है कि (A अपनी सीमा बिंदुओं का समूह है) खुला है U = X या X \ (A इसके सीमा बिंदुओं का समुच्चय है) = खुला बहुत
यानी और इसके सीमा बिंदुओं के सेट के साथ, यह खुले सेट का पूरक है, जिसका अर्थ है कि यह बंद है। यह आश्चर्यजनक है कि कैसे पड़ोस की अवधारणा खुलेपन और अलगाव की अवधारणा के साथ गहराई से जुड़ी हुई थी।
अब हम निकटता से संबंधित निकटता की अवधारणा को परिभाषित करते हैं
एक सबसेट X को बंद करना सभी बंद सेटों का प्रतिच्छेदन है जिसमें X समाहित है। X को बंद करना निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए, [X] द्वारा। एक सबसेट बंद करना एक बंद सेट है क्योंकि बंद सेट का चौराहा बंद है। और जाहिर है, क्लोजर सबसे छोटा बंद सेट है जिसमें एक्स होता है
चित्र को देखो।


हमारे पास एक बंद पीला सरणी और एक नारंगी खुला है। यदि हम क्रमिक रूप से सभी बंद सेटों को काटते हैं जिसमें नारंगी होते हैं (मैंने केवल कुछ चरणों को दिखाया), तो हमें नारंगी सेट बंद हो जाता है।
मुझे लगता है कि आपने इसका अनुमान लगाया है, एक सेट एक बंद ttt है जब यह इसके बंद होने के साथ मेल खाता है ([X] = X)।
एक बंद सेट एक ऐसा सेट है जिसमें इसके सभी सीमा बिंदु होते हैं; यह भी सच है कि एक बंद सेट का संघ और इसकी सीमा बिंदु हैं। यह तुच्छ लगता है, लेकिन इस तथ्य को साबित करने की आवश्यकता है। यह केवल यह साबित होता है कि सेट X के सीमा बिंदु X हैं, जाहिर है, प्रत्येक सेट के सीमा बिंदु X हैं। इसलिए, वे भी X से युक्त हर बंद सेट से संबंधित हैं। इसलिए, X के सीमा बिंदु भी इन सेटों के किसी भी चौराहे में निहित हैं, अर्थात्। [एक्स] में। दूसरी ओर, इसके सीमा बिंदुओं के साथ सेट को बंद कर दिया गया है, जिसका अर्थ है कि सेट X का बंद होना सेट X का अपनी सीमा बिंदुओं के साथ एक साथ होना है।
एक ऑपरेटर जो एक सेट को इसके बंद होने से जोड़ता है, एक क्लोजर ऑपरेटर कहलाता है। मैं इसे ⊛ की तरह निरूपित करूंगा। आमतौर पर गणित में वे इसे उस तरह से नामित नहीं करते हैं, लेकिन हमें अपने पदनामों का अधिकार है।

इसके कई गुण हैं:
1) ∅ = ∅
इसका मतलब है कि खाली सेट का बंद होना खाली है।
2) X⊆⊛X
कई उनके बंद होने में निहित हैं।
3) ⊛X = =X
सेट को बंद करना सेट को बंद करने के बराबर है
4) ∪X )X '= ⊛ (X'X')
क्लोजर जॉइन क्लोजर ज्वाइन करने के बराबर है।

इन नियमों को कुराटोव्स्की के बंद होने का स्वयंसिद्ध कहा जाता है।
यह मुझे लगता है कि टोपोलॉजी को समझने का एक सबसे अच्छा तरीका कुछ बहुत छोटे टोपोलॉजिकल स्पेस को देखना है। उदाहरण के लिए, एक जिसमें केवल कुछ तत्व होते हैं।


मान लीजिए हमारे पास एक सेट {a, b, c, d, e} है जो आकृति में वर्णित टोपोलॉजी से सुसज्जित है। इस सेट के उपसमूह पर विचार करें {a, b, c}। इस टोपोलॉजी में इसके लिए कौन से बिंदु हैं? परिभाषा के अनुसार, ये वे बिंदु होंगे, जो प्रत्येक पड़ोस में, स्वयं के अलावा {a, b, c} से बिंदु होते हैं। मैंने हलकों का उपयोग करते हुए खुले पड़ोस दिखाए। एक सर्कल के अंदर के अंक - एक ही पड़ोस में (या सेट के एक खुले सबसेट में) हैं। इसलिए, हम प्रत्येक बिंदु की जांच करते हैं कि क्या उसका कोई पड़ोस है जिसमें {a, b, c} से कोई बिंदु नहीं हैं। बिंदु का ऐसा पड़ोस है। यह एक ऐसा पड़ोस है जहाँ केवल एक बिंदु समाहित है। तो यह सीमा बिंदु नहीं है। B के सभी मोहल्लों में {a, b, c} (इसके अलावा b) से बिंदु हैं। इसी तरह डी और ई के लिए। आदि इस प्रकार, इस आरेख से, हम देखते हैं कि b, d, e {a, b, c} के लिए सीमा बिंदु हैं, लेकिन a और c नहीं है।
हम असतत टोपोलॉजी के साथ एक ही स्थान को लैस करते हैं और देखते हैं कि क्या होता है।


एक अविभाज्य टोपोलॉजी में, प्रत्येक बिंदु सेट {a, b, c} (और किसी अन्य के लिए, केवल सेट और खाली सेट को छोड़कर) के लिए सीमा होगी। यह टोपोलॉजी व्यर्थ नहीं है जिसे एक साथ अटके बिंदुओं की टोपोलॉजी कहा जाता है, इसमें स्थान के सभी बिंदु ऐसे हैं जैसे कि एक दूसरे के साथ चिपक गए हों, और आपको समझ में नहीं आता कि वास्तव में क्या है। मैं एक अविभाज्य टोपोलॉजी वाले ब्रह्मांड में नहीं रहना चाहता।
असतत टोपोलॉजी में, हमारे पास विपरीत स्थिति है। मैंने खींचने की कोशिश की, लेकिन ईमानदारी से, मैंने इस विचार को छोड़ दिया। आपको याद है कि अपेक्षाकृत छोटे सेट में भी कितने खुले सेट होंगे।
इन सभी चित्रों को देखते हुए, मैं सेट और सीमा के इंटीरियर की अवधारणा को परिभाषित करना चाहता हूं। उदाहरण के लिए, जब मैं ब्लैक में उल्लिखित सेटों को खींच रहा था, तो मैं तुरंत इस लाइन को सेट की सीमा कहना चाहता था। हालांकि, अभी तक हमें सीमा और आंतरिक की अवधारणा नहीं मिली है। और अब यह होगा।
एक बिंदु को सेट का आंतरिक बिंदु कहा जाता है जब सेट उसका पड़ोस होता है। एक सेट का इंटीरियर उसके सभी आंतरिक बिंदुओं की समग्रता है। दूसरे शब्दों में, एक सेट का इंटीरियर इसमें निहित सबसे बड़ा खुला सेट है। यानी भीड़ केवल तब खुली होती है जब वह अपने इंटीरियर के साथ मेल खाती है। सहमत, यह एक बंद को परिभाषित करने के समान है।
असतत अंतरिक्ष के किसी भी सबसेट का इंटीरियर खाली है। असतत अंतरिक्ष में, कोई भी उपसमुच्चय अपने आंतरिक और एक ही समय में इसके बंद होने के साथ मेल खाता है।
सेट X की सीमा (X, A का सबसेट है) सेट A के उन बिंदुओं का समूह है, जिनके पड़ोस में X और A / X दोनों बिंदु होते हैं।
मैंने ऐसी तस्वीर खींची, अमूर्त कला की शैली में थोड़ा बाहर आया।


खैर यहाँ। इस नोट पर मैं इस लेख को समाप्त करता हूं। अभ्यास के लिए, आप सोच सकते हैं कि कौन से बिंदु चित्र से सेट {ए, बी, सी} की सीमाएं हैं, जो इसके आंतरिक (यदि कोई हैं), तो इसका बंद होना क्या है। ठीक है, निश्चित रूप से, प्रारंभिक छवि से आंकड़े को अलग करना संभव है। और यह कैसे करना है (यह स्थानिक सोच को बहुत विकसित करता है)। मैं निम्नलिखित लेख के अंतिम प्रश्न का उत्तर संलग्न करने का वादा करता हूं।
अभी के लिए बस इतना ही।