सेट सिद्धांत के विरोधाभास और उनकी दार्शनिक व्याख्या

संक्षिप्त सार

मैं प्रशिक्षण से एक सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी हूं, लेकिन मेरे पास एक अच्छा गणितीय आधार है। मजिस्ट्रेटरी में, विषयों में से एक दर्शन था, एक विषय चुनना और उस पर काम चालू करना आवश्यक था। चूंकि अधिकांश विकल्प एक बार से अधिक बार पेश किए गए थे, इसलिए मैंने कुछ अधिक विदेशी चुनने का फैसला किया। मैं नया होने का दिखावा नहीं करता, मैं सिर्फ इस विषय पर सभी / लगभग सभी उपलब्ध साहित्य को जमा करने में कामयाब रहा। दार्शनिक और गणितज्ञ मुझ पर पत्थर फेंक सकते हैं, मैं केवल रचनात्मक आलोचना के लिए आभारी रहूंगा।

पीएस बहुत "सूखी भाषा", लेकिन विश्वविद्यालय के कार्यक्रम के बाद काफी पठनीय है। अधिकांश भाग के लिए, विरोधाभास की परिभाषाएँ विकिपीडिया (सरलीकृत शब्दांकन और रेडी-मेड टीईएक्स मार्कअप) से ली गई थीं।

परिचय

दोनों सेट थ्योरी और इसमें निहित विरोधाभास इतने लंबे समय पहले नहीं, सिर्फ सौ साल पहले दिखाई दिए थे। हालाँकि, इस अवधि के दौरान एक लंबा रास्ता तय किया गया है; सेट सिद्धांत वास्तव में एक तरह से या किसी अन्य रूप में गणित की अधिकांश शाखाओं का आधार बन गया है। उनके विरोधाभास, कैंटर की अनंतता से जुड़े थे, उन्हें आधी सदी में सचमुच समझाया गया था।

आपको एक परिभाषा के साथ शुरू करना चाहिए।

भीड़ क्या है? प्रश्न काफी सरल है, इसका उत्तर काफी सहज है। एक सेट एक एकल वस्तु द्वारा दर्शाए गए तत्वों का एक निश्चित सेट है। कैंटर अपने काम में Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre को परिभाषित करता है: "भीड़" से हमारा अभिप्राय हमारे चिंतन या हमारी सोच (जिसे M के सेट के "तत्व" कहा जाएगा) के बारे में कुछ अच्छी तरह से पहचाने जाने वाली वस्तुओं के पूरे M में है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सार बदल नहीं गया है, अंतर केवल उस हिस्से में है, जो कि निर्धारित करने के विश्वदृष्टि पर निर्भर करता है। तर्क और गणित दोनों में सेट सिद्धांत का इतिहास बहुत विरोधाभासी है। वास्तव में, कंटोर ने 19 वीं शताब्दी में इसके लिए नींव रखी, फिर रसेल और बाकी ने अपना काम जारी रखा।

विरोधाभास (लॉजिक्स और सेट सिद्धांत) - (ग्रीक - अनपेक्षित) - तर्क की तार्किक शुद्धता बनाए रखने के दौरान सिद्धांत और औपचारिक तर्क के पर्याप्त सेटों में उत्पन्न होने वाले औपचारिक-तार्किक विरोधाभास। विरोधाभास तब उत्पन्न होता है जब दो परस्पर अनन्य (विरोधाभासी) निर्णय समान रूप से सिद्ध होते हैं। विरोधाभास दोनों वैज्ञानिक सिद्धांत के ढांचे के भीतर, और सामान्य तर्क में (उदाहरण के लिए, रसेल के विरोधाभास के सभी सामान्य सेटों के सेट के बारे में प्रकट हो सकते हैं: “गाँव का नाई उन सभी और केवल अपने गाँव के उन निवासियों को ही शेव करता है जो खुद दाढ़ी नहीं रखते हैं।) अपने आप? ”)। चूंकि औपचारिक तार्किक विरोधाभास सत्य का पता लगाने और साबित करने के साधन के रूप में तर्क को नष्ट कर देता है (जिस सिद्धांत में विरोधाभास दिखाई देता है, कोई भी प्रस्ताव सही या गलत है), कार्य ऐसे विरोधाभासों के स्रोतों की पहचान करने और उन्हें खत्म करने के तरीके खोजने के लिए उत्पन्न होता है। विरोधाभासों के ठोस समाधानों की दार्शनिक समझ की समस्या औपचारिक तर्क और गणित की तार्किक नींव की महत्वपूर्ण कार्यप्रणाली में से एक है।

इस काम का उद्देश्य प्राचीन सिद्धांत के उत्तराधिकारियों के रूप में सेट सिद्धांत के विरोधाभासों का अध्ययन करना है और परिवर्तन के पूरी तरह से तार्किक परिणामों को अमूर्तता के एक नए स्तर तक ले जाना है - अनंत। कार्य मुख्य विरोधाभासों, उनकी दार्शनिक व्याख्या पर विचार करना है।

सेट सिद्धांत के मुख्य विरोधाभास

ऊदबिलाव केवल उन लोगों को हिलाता है जो खुद को दाढ़ी नहीं बनाते हैं। क्या वह खुद शेव करता है?

हम इतिहास में एक संक्षिप्त विषयांतर के साथ जारी हैं।

कुछ तार्किक विरोधाभास प्राचीन काल से ज्ञात हैं, हालांकि, इस तथ्य के कारण कि गणितीय सिद्धांत केवल अंकगणित और ज्यामिति तक सीमित था, उन्हें सेट सिद्धांत के साथ सहसंबंधित करना असंभव था। 19 वीं शताब्दी में, स्थिति में मौलिक बदलाव आया: कैंटर अपने कार्यों में एक नए स्तर पर पहुंच गया। उन्होंने अनंत की अवधारणा को पेश किया, जिससे गणित की एक नई शाखा का निर्माण हुआ और इस प्रकार "सेट की शक्ति" [2] की अवधारणा का उपयोग करते हुए विभिन्न असीमताओं की तुलना की गई। हालाँकि, उन्होंने कई विरोधाभासों को जन्म दिया। बहुत पहले तथाकथित Burali-Forti विरोधाभास है । गणितीय साहित्य में विभिन्न शब्दावली और प्रसिद्ध प्रमेयों के प्रस्तावित सेट के आधार पर विभिन्न योग हैं। यहाँ औपचारिक परिभाषाओं में से एक है।

यह साबित किया जा सकता है कि यदि x, क्रमिक संख्याओं का एक मनमाना समुच्चय है, तो समुच्चय योग है प्रत्येक तत्व x से अधिक या उसके बराबर एक क्रमिक संख्या है। अब मान लीजिए कि - सभी क्रमिक संख्याओं का समूह। तो - किसी भी संख्या से अधिक या उसके बराबर एक क्रमिक संख्या । लेकिन तब एक क्रमिक संख्या है, और यह पहले से ही सख्ती से बड़ा है, और इसलिए में किसी भी संख्या के बराबर नहीं है । लेकिन यह इस शर्त का खंडन करता है कि - सभी क्रमिक संख्याओं का समूह।

विरोधाभास का सार यह है कि जब सभी क्रमिक संख्याओं के समूह का गठन होता है, तो एक नया क्रमिक प्रकार बनता है, जो अभी तक "सभी" ट्रांसफ़ेक्टिनल क्रमिक संख्याओं में से नहीं था, जो सभी क्रमिक संख्याओं के समूह के गठन से पहले मौजूद थे। इस विरोधाभास की खोज स्वयं कैंटर ने की थी, जिसे स्वतंत्र रूप से इतालवी गणितज्ञ बुरुली-फोर्टी द्वारा खोजा और प्रकाशित किया गया था, बाद की त्रुटियों को रसेल ने सही कर दिया था, जिसके बाद शब्दांकन ने अंतिम रूप ले लिया [2,3]।

इस तरह के विरोधाभासों से बचने के सभी प्रयासों के बीच और कुछ हद तक उन्हें समझाने की कोशिश करते हैं, पहले से ही उल्लेख किए गए रसेल का विचार सबसे बड़ा ध्यान देने योग्य है। उन्होंने गणित और तर्क निहित वाक्यों को बाहर करने का प्रस्ताव रखा जिसमें एक सेट के तत्व की परिभाषा उत्तरार्द्ध पर निर्भर करती है, जो विरोधाभास का कारण बनती है। नियम यह है: "कोई भी सेट C में केवल सेट C के संदर्भ में तत्व m परिभाषित नहीं हो सकता है, साथ ही साथ तत्व n जो उनकी परिभाषा में इस सेट को मानते हैं" [4]। एक सेट की परिभाषा पर इस तरह का प्रतिबंध किसी को विरोधाभास से बचने की अनुमति देता है, लेकिन साथ ही साथ गणित में इसके आवेदन का दायरा काफी बढ़ा देता है। इसके अलावा, यह उनके स्वभाव और उनकी उपस्थिति के कारणों की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त नहीं है, जो औपचारिक तर्क [4] की सुविधाओं में, सोच और भाषा के द्वंद्ववाद में निहित है। कुछ हद तक, इस प्रतिबंध में, एक समानता का पता लगाया जा सकता है कि बाद के समय में, संज्ञानात्मक मनोवैज्ञानिकों और भाषाविदों ने "बुनियादी स्तर के वर्गीकरण" को कॉल करना शुरू किया: परिभाषा उस अवधारणा को कम कर दी जाती है जो समझने और अध्ययन करने में सबसे आसान है।

फिर, 1899 में, कैंटर ने उनके नाम पर एक विरोधाभास की खोज की।

मान लीजिए कि सभी सेटों का सेट वहाँ। इस मामले में, यह सच है , अर्थात्, प्रत्येक सेट t, V का एक सबसेट है। लेकिन इसका अर्थ है - किसी भी सेट की शक्ति वी की शक्ति से अधिक नहीं है। लेकिन वी के लिए सभी उप-सेटों के स्वयंसिद्ध होने के कारण, किसी भी सेट की तरह, सभी उप-सेटों का एक सेट है। , और कैंटर के प्रमेय द्वारा , जो पिछले कथन का खंडन करता है। इसलिए, वी मौजूद नहीं हो सकता है, जो "भोले" परिकल्पना का विरोध करता है कि कोई भी वाक्यविन्यास सही तार्किक स्थिति सेट को परिभाषित करता है, अर्थात। किसी भी सूत्र ए के लिए जिसमें स्वतंत्र रूप से y शामिल नहीं है। Zermelo-Frenkel सेट के स्वयंसिद्ध सिद्धांत के आधार पर इस तरह के विरोधाभासों की अनुपस्थिति का एक उल्लेखनीय प्रमाण पोटर [3] द्वारा दिया गया है।

तार्किक दृष्टिकोण से, उपरोक्त दोनों विरोधाभास "लियार" या "बीवर" के समान हैं: व्यक्त किए गए निर्णय को इसके संबंध में न केवल कुछ उद्देश्य से संबोधित किया जाता है, बल्कि खुद को भी। हालांकि, किसी को न केवल तार्किक पक्ष पर ध्यान देना चाहिए, बल्कि अनंत की अवधारणा पर भी ध्यान देना चाहिए, जो यहां मौजूद है। साहित्य पॉइनकेयर के काम को संदर्भित करता है, जिसमें वह लिखते हैं: "वास्तविक अनंत के अस्तित्व में विश्वास ... इन अप्रत्याशित परिभाषाओं को आवश्यक बनाता है" [2]।
सामान्य तौर पर, मुख्य बिंदु होते हैं [2]:

• इन विरोधाभासों में स्पष्ट रूप से विधेय और विषय के "क्षेत्रों" को अलग करने के लिए नियम का उल्लंघन किया जाता है; भ्रम की डिग्री एक अवधारणा को दूसरे के साथ बदलने के करीब है;
• आमतौर पर तर्क में यह माना जाता है कि तर्क की प्रक्रिया में, विषय और विधेय अपनी मात्रा और सामग्री को बनाए रखते हैं, इस मामले में होता है
  एक श्रेणी से दूसरी श्रेणी में संक्रमण, जिसके परिणामस्वरूप बेमेल हो जाता है;
• "सब कुछ" शब्द की उपस्थिति तत्वों की एक सीमित संख्या के लिए समझ में आता है; तत्वों की एक अनंत संख्या के मामले में, यह संभव है कि
  अपने आप को परिभाषित करने के लिए एक भीड़ की परिभाषा की आवश्यकता होगी
• बुनियादी तार्किक कानूनों का उल्लंघन किया जाता है:
  
  • पहचान के कानून का उल्लंघन तब होता है जब विषय की पहचान और विधेय की खोज की जाती है;
  • विरोधाभास का नियम - जब एक ही अधिकार के साथ दो परस्पर विरोधी निर्णय काटे जाते हैं;
  • बहिष्कृत तीसरे का कानून - जब इस तीसरे को मान्यता दी जानी है, और बाहर नहीं किया गया है, क्योंकि न तो पहले और न ही दूसरे को एक के बिना पहचाना जा सकता है, क्योंकि वे समान रूप से वैध हैं।
  
  

तीसरे विरोधाभास को रसेल कहा जाता है । परिभाषा में से एक नीचे दिया गया है।
K को उन सभी सेटों में से सेट होने दें, जिनमें खुद को उनका तत्व के रूप में शामिल नहीं किया गया है। यदि हाँ, तो, K की परिभाषा के अनुसार, यह K का एक तत्व नहीं होना चाहिए - एक विरोधाभास। यदि नहीं - तो, ​​K की परिभाषा से, यह K का एक तत्व होना चाहिए - फिर से एक विरोधाभास। यह कथन कैंटर विरोधाभास से प्रेरित है, जो उनके रिश्ते को दर्शाता है। हालांकि, दार्शनिक सार अधिक स्पष्ट रूप से प्रकट होता है, क्योंकि अवधारणाओं का "आत्म-आंदोलन" सीधे "हमारी आंखों के सामने" होता है [2]।

ट्रिस्टारम शैंडी का विरोधाभास:
स्टर्न के उपन्यास, द लाइफ एंड ओपिनियन्स ऑफ़ ट्रिस्टारम शैंडी, एक जेंटलमैन, नायक को पता चलता है कि उसे अपने जीवन के पहले दिन की घटनाओं को उजागर करने में पूरे एक साल लग गए, और दूसरे वर्ष का वर्णन करने के लिए एक और साल लग गया। इस संबंध में, नायक शिकायत करता है कि उसकी जीवनी की सामग्री तेजी से जमा हो जाएगी क्योंकि वह इसे संसाधित कर सकता है, और वह इसे कभी भी पूरा नहीं कर पाएगा। "अब मैं पुष्टि करता हूं," रसेल ने इस पर ध्यान दिया, "कि अगर वह हमेशा के लिए रहता है और उसका काम उसके लिए बोझ नहीं बन जाएगा, भले ही उसका जीवन शुरुआत में भी उतना ही प्रभावशाली रहा हो, लेकिन उसकी जीवनी का एक हिस्सा नहीं। अलिखित नहीं रहा होगा। "
वास्तव में, शेंडीई nth वर्ष के लिए nth दिन की घटनाओं का वर्णन कर सकता है, और इस तरह, अपनी आत्मकथा में, हर दिन पर कब्जा कर लिया जाएगा।

दूसरे शब्दों में, यदि जीवन हमेशा के लिए रहता है, तो यह कई वर्षों तक चलेगा।

रसेल इस उपन्यास और ज़ेनो के बीच अपने कछुए के साथ एक सादृश्य बनाता है। उनकी राय में, समाधान इस तथ्य में निहित है कि पूरा अनंत पर इसके हिस्से के बराबर है। यानी केवल "सामान्य ज्ञान का स्वयंसिद्ध" एक विरोधाभास की ओर जाता है [2]। हालाँकि, समस्या का समाधान शुद्ध गणित के क्षेत्र में है। जाहिर है, दो सेट हैं - साल और दिन, उन तत्वों के बीच जिनमें से एक-से-एक पत्राचार स्थापित होता है - एक आक्षेप। फिर, नायक के अनंत जीवन की स्थिति के तहत, दो अनंत समान-शक्ति सेट हैं, जो अगर हम एक सेट में तत्वों की संख्या की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में शक्ति पर विचार करते हैं, तो विरोधाभास की अनुमति देता है।

Banach-Tarsky विरोधाभास (प्रमेय) या गेंद दोहरीकरण विरोधाभास सेट सिद्धांत में एक प्रमेय है जो बताता है कि एक त्रि-आयामी गेंद इसकी दो प्रतियों के बराबर है।
यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दो सबसेट को समान कहा जाता है यदि किसी को भागों की सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है, उन्हें स्थानांतरित कर सकते हैं और उनमें से दूसरा बना सकते हैं।
अधिक सटीक रूप से, दो सेट ए और बी समान रूप से दूरी पर हैं यदि उन्हें असंतुष्ट उपसमूह के परिमित संघ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है ताकि प्रत्येक के लिए मैं सबसेट congruently ।

यदि हम चयन प्रमेय का उपयोग करते हैं, तो परिभाषा इस तरह से लगती है [3]:
पसंद का स्वयंसिद्ध तात्पर्य यह है कि इकाई की सतह का एक भाग एक सीमित संख्या में भागों में होता है जिसे तीन आयामी यूक्लिडियन स्थान के परिवर्तनों द्वारा दो इकाई इकाई त्रिज्या में इकट्ठा किया जा सकता है जो इन घटकों के आकार को नहीं बदलता है।

जाहिर है, इन भागों को मापने योग्य होने की आवश्यकता के साथ, यह निरंतर संभव नहीं है। प्रसिद्ध जीवशास्त्री रिचर्ड फेनमैन ने अपनी जीवनी में बताया कि कैसे अपने समय में उन्होंने नारंगी को एक सीमित संख्या में भागों में तोड़ने और इसे फिर से व्यवस्थित करने के बारे में बहस जीतने में कामयाबी हासिल की [5]।

कुछ बिंदुओं पर, इस विरोधाभास का उपयोग पसंद के स्वयंसिद्धता का खंडन करने के लिए किया जाता है, लेकिन समस्या यह है कि जिसे हम प्राथमिक ज्यामिति मानते हैं वह सारहीन है। उन अवधारणाओं को जिन्हें हम सहज ज्ञान युक्त मानते हैं, को पारलौकिक कार्यों के गुणों के स्तर तक विस्तारित किया जाना चाहिए [3]।

उन लोगों के विश्वास को और कमजोर करने के लिए जो पसंद के स्वयंसिद्ध को गलत मानते हैं, हमें माजुरेविच और सियरपिंस्की के प्रमेय का उल्लेख करना चाहिए, जिसमें कहा गया है कि यूक्लोनियन विमान का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है, जिसमें दो असमान उपसमुच्चय हैं, जिनमें से प्रत्येक को भागों की एक परिमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है, ताकि उन्हें सेट ई के कवर के लिए आइसोमेट्रीज़ द्वारा स्थानांतरित किया जा सकता है।
इसके अलावा, सबूत को पसंद के स्वयंसिद्ध [3] के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है।
निश्चितता के स्वयंसिद्ध पर आधारित आगे के निर्माण Banach - Tarski विरोधाभास का समाधान देते हैं, लेकिन इस तरह के हित का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं [3]।

• रिचर्ड का विरोधाभास: यह "इस पुस्तक में उल्लेख नहीं की गई सबसे छोटी संख्या" को कॉल करना आवश्यक है। विरोधाभास यह है कि एक ओर, यह किया जा सकता है, क्योंकि इस पुस्तक में सबसे छोटी संख्या नाम है। इसके आधार पर, हम कम से कम अनाम नाम दे सकते हैं। लेकिन यहां एक समस्या उत्पन्न होती है: सातत्य अपरिवर्तनीय है, किसी भी दो संख्याओं के बीच आप एक अनंत संख्या में मध्यवर्ती संख्याएं डाल सकते हैं। दूसरी ओर, यदि हम इस संख्या को नाम दे सकते हैं, तो यह पुस्तक में उल्लिखित लोगों के वर्ग से स्वचालित रूप से उन [2] के वर्ग में स्थानांतरित हो जाएगा।
• ग्रीलिंग-नेल्सन विरोधाभास: शब्द या संकेत एक संपत्ति का संकेत कर सकते हैं और एक ही समय में यह है या नहीं। सबसे तुच्छ सूत्रीकरण इस प्रकार है: "विषमलैंगिक" (जिसका अर्थ है "स्वयं के लिए लागू नहीं") विषम शब्द; .. द्वंद्वात्मक विरोधाभास के कारण रसेल के विरोधाभास के समान: रूप और सामग्री के द्वंद्व का उल्लंघन किया जाता है। उच्च स्तर की अमूर्तता वाले शब्दों के मामले में, यह तय करना असंभव है कि ये शब्द विषमलैंगिक हैं [2]।
• स्कोलम विरोधाभास: गोडेल पूर्णता प्रमेय और लोवेनहाइम-स्कोलम प्रमेय [3] का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं कि स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत तब भी सही रहता है जब केवल इसकी गणना के लिए सेट का एक संग्रहणीय संग्रह (उपलब्ध) माना जाता है। उसी समय
  स्वयंसिद्ध सिद्धांत में पहले से ही वर्णित कैंटर प्रमेय शामिल है, जो हमें बेशुमार अनंत सेट की ओर ले जाता है। [2]

विरोधाभास संकल्प

सेट थ्योरी के निर्माण ने गणित के तीसरे संकट को माना जाता है, जो अब तक सभी के लिए संतोषजनक रूप से हल नहीं हुआ है [4]।
ऐतिहासिक रूप से, पहला दृष्टिकोण एक निर्धारित सिद्धांत था। यह वास्तविक अनंतता के उपयोग पर आधारित था, जब यह माना जाता था कि अनंत में कोई भी अनंत अनुक्रम पूरा होता है। विचार यह था कि सेट सिद्धांत में अक्सर सेटों के साथ काम करना पड़ता था, जो कि अन्य, अधिक व्यापक सेटों के हिस्से हो सकते हैं। इस मामले में सफल कार्रवाई केवल एक ही मामले में संभव थी: ये सेट (परिमित और अनंत) पूरे किए गए थे। कुछ सफलता स्पष्ट थी: स्वयंसिद्ध ज़र्मेलो-फ्रेनकेल सेट सिद्धांत, गणित का पूरा स्कूल निकोलस बोर्बाकी, जो आधी सदी से अधिक समय से अस्तित्व में है और अभी भी बहुत आलोचना का कारण बनता है।

तर्कवाद सभी ज्ञात गणित को अंकगणित की शर्तों को कम करने का प्रयास था, और फिर गणितीय तर्क की अवधारणाओं के लिए अंकगणित की शर्तों को कम करना था। फ्रीज ने इसे बहुत बारीकी से लिया था, हालांकि, श्रम पर काम खत्म करने के बाद, उन्हें अपने दिवालिया होने का संकेत देने के लिए मजबूर किया गया था, जब रसेल ने सिद्धांत में विरोधाभासों को इंगित किया था। वही रसेल, जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, "प्रकार के सिद्धांत" का उपयोग करके निहित परिभाषाओं के उपयोग को बाहर करने की कोशिश की गई। हालांकि, भीड़ और अनंत की उनकी अवधारणा, साथ ही साथ स्वयंसिद्धता के स्वयंसिद्ध, अतार्किक थे। मुख्य समस्या यह थी कि औपचारिक और गणितीय तर्क के बीच गुणात्मक अंतर, साथ ही साथ सहज ज्ञान युक्त अवधारणाओं सहित उपस्थिति, को ध्यान में नहीं रखा गया था।
परिणामस्वरूप, तर्कवाद का सिद्धांत अनंत से जुड़े विरोधाभासों के द्वंद्वात्मक विरोधाभासों को समाप्त नहीं कर सका। केवल सिद्धांत और विधियाँ थीं जिनसे कम से कम अप्रत्याशित परिभाषाओं से छुटकारा पाना संभव हुआ। अपने स्वयं के प्रवचन में, रसेल कैंटर के उत्तराधिकारी थे [2]

XIX के अंत में - XX सदी की शुरुआत। गणित पर औपचारिक दृष्टिकोण का प्रसार स्वयंसिद्ध पद्धति के विकास और गणित के प्रचलन के कार्यक्रम से जुड़ा था जिसे डी। हिल्बर्ट ने आगे रखा था। इस तथ्य के महत्व की डिग्री को इस तथ्य से इंगित किया जाता है कि गणितीय समुदाय के लिए उन्होंने जो तेईसवीं समस्या पेश की वह अनंत की समस्या थी। शास्त्रीय गणित की स्थिरता को साबित करने के लिए औपचारिककरण आवश्यक था, "इसमें सभी तत्वमीमांसा को छोड़कर।" हिल्बर्ट द्वारा उपयोग किए जाने वाले साधनों और तरीकों को देखते हुए, उनका लक्ष्य मौलिक रूप से असंभव था, लेकिन उनके कार्यक्रम का गणित की नींव के सभी बाद के विकास पर भारी प्रभाव पड़ा। हिल्बर्ट ने इस समस्या पर लंबे समय तक काम किया, शुरू में ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का निर्माण किया। चूंकि समस्या का समाधान काफी सफल था, इसलिए उन्होंने स्वयंसिद्ध पद्धति को प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत पर लागू करने का निर्णय लिया। इस संबंध में उन्होंने जो लिखा है: "मेरा एक महत्वपूर्ण लक्ष्य है: यह वह है जो गणित को समझाने के सवालों से छुटकारा पाना चाहता है, प्रत्येक गणितीय कथन को सख्ती से व्युत्पन्न सूत्र में बदल देता है।" उसी समय, इसे कुछ परिमित रूप से कम करके अनंत से छुटकारा पाने की योजना बनाई गई थी। संचालन की संख्या। ऐसा करने के लिए, उन्होंने अनंत राशियों की पूर्ण विफलता को दिखाने के लिए भौतिकी को इसके परमाणुवाद के साथ बदल दिया। वास्तव में, हिल्बर्ट ने सिद्धांत और उद्देश्य वास्तविकता के बीच संबंध का सवाल उठाया।

परिमित विधियों की अधिक या कम पूरी तस्वीर हिल्बर्ट के छात्र जे। एरब्रन द्वारा दी गई है। परिमित तर्क द्वारा वह ऐसे तर्क को समझता है जो निम्न स्थितियों को संतुष्ट करता है: तार्किक विरोधाभास "- केवल एक परिमित और निश्चित संख्या में वस्तुओं और कार्यों को हमेशा माना जाता है;

- फ़ंक्शन की एक सटीक परिभाषा है, और यह परिभाषा हमें उनके मूल्य की गणना करने की अनुमति देती है;

- "यह वस्तु मौजूद है" कभी भी इसकी पुष्टि नहीं की जाती है जब तक कि इसके निर्माण की विधि ज्ञात न हो;

- किसी भी अनंत समग्रता के सभी वस्तुओं X के सेट को कभी नहीं माना जाता है;

- यदि यह ज्ञात है कि इन सभी एक्स के लिए एक तर्क या प्रमेय सही है, तो इसका मतलब है कि इस सामान्य तर्क को प्रत्येक विशिष्ट एक्स के लिए दोहराया जा सकता है, और इस सामान्य तर्क को केवल इस तरह के ठोस तर्क के लिए एक मॉडल के रूप में माना जाना चाहिए। "

हालांकि, इस क्षेत्र में अंतिम प्रकाशन के समय, गोडेल ने पहले ही अपने परिणाम प्राप्त किए, वास्तव में, उन्होंने फिर से अनुभूति की प्रक्रिया में द्वंद्वात्मकता की उपस्थिति की खोज की और पुष्टि की। इसके मूल में, गणित के आगे के विकास ने हिल्बर्ट कार्यक्रम की असंगति को प्रदर्शित किया।

गोडेल ने वास्तव में क्या साबित किया? तीन मुख्य परिणामों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

1. गोडेल ने किसी भी प्रणाली की स्थिरता के गणितीय प्रमाण की असंभवता को दिखाया जो सभी अंकगणित को शामिल करने के लिए पर्याप्त व्यापक है, ऐसे सबूत जो किसी भी अन्य नियम के उपयोग का उपयोग नहीं करेंगे, सिवाय इसके कि वे इस प्रणाली में ही हैं। ऐसा प्रमाण, जो अधिक शक्तिशाली इंजेक्शन नियम का उपयोग करता है, उपयोगी साबित हो सकता है। लेकिन अगर ये व्युत्पत्ति नियम अंकगणितीय कैलकुलस के तार्किक साधनों से अधिक मजबूत हैं, तो प्रमाण में प्रयुक्त मान्यताओं की संगति में कोई निश्चितता नहीं होगी। किसी भी मामले में, यदि उपयोग किए गए तरीके वित्तीय नहीं हैं, तो हिल्बर्ट कार्यक्रम असंभव होगा। गोडेल सिर्फ अंकगणित की स्थिरता का एक वित्तीय प्रमाण खोजने के लिए गणनाओं की असंगति को दर्शाता है।
2. गोडेल ने स्वयंसिद्ध पद्धति की मूलभूत सीमाओं को इंगित किया: प्रिंसिपिया मैथेमेटिका प्रणाली, किसी भी अन्य प्रणाली की तरह, जिसके साथ अंकगणित का निर्माण किया गया है, अनिवार्य रूप से अपूर्ण है, अर्थात अंकगणित के किसी भी सुसंगत प्रणाली के लिए सही अंकगणित वाक्य हैं जो एक्सिओम्स से काटे नहीं जा सकते हैं। इस प्रणाली का।
3. गोडेल के प्रमेय से पता चलता है कि एक अंकगणितीय प्रणाली का कोई भी विस्तार इसे पूर्ण नहीं बना सकता है, और यहां तक ​​कि अगर हम इसे अनंत संख्या के स्वयंसिद्ध शब्दों के साथ भरते हैं, तो नई प्रणाली में हमेशा सत्य होगा, लेकिन समर्पण नहीं, इस प्रणाली का मतलब है। प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण सही अंकगणितीय निर्णयों के पूरे क्षेत्र को कवर करने में सक्षम नहीं है, और हम जो गणितीय प्रमाण की प्रक्रिया से मतलब रखते हैं वह स्वयंसिद्ध पद्धति का उपयोग करने के लिए कम नहीं है। गोडेल के प्रमेय के बाद, यह उम्मीद करना बेमानी हो गया कि एक ठोस गणितीय प्रमाण की अवधारणा एक बार और सभी उल्लिखित रूपों के लिए दी जा सकती है। [2,4,6]

सेट सिद्धांत को समझाने के प्रयासों की इस श्रृंखला में अंतिम अंतर्ज्ञानवाद था।

वह अपने विकास में कई चरणों से गुजरा - अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद, अंतर्ज्ञानवाद उचित, अति-अंतर्ज्ञानवाद। गणित के विभिन्न चरणों में, विभिन्न समस्याएं चिंतित हैं, लेकिन गणित की मुख्य समस्याओं में से एक अनंत की समस्या है। अनन्तता की गणितीय अवधारणाएं, निरंतरता उनके स्वरूप के समय से दार्शनिक विश्लेषण (परमाणुवादियों के विचार, एलेना के ज़ेनोन के एपोरिया, पुरातनता में शिशुविज्ञानी तरीके, आधुनिक काल में शिशुवर्ग की गणना आदि) का विषय रही हैं। गणितीय वस्तुओं और उनकी व्याख्या के रूप में विभिन्न प्रकार के अनन्तता (संभावित, प्रासंगिक) के उपयोग के कारण सबसे बड़ा विवाद हुआ था। इन सभी समस्याओं, हमारी राय में, एक गहरी समस्या से उत्पन्न हुई थी - वैज्ञानिक ज्ञान में विषय की भूमिका। तथ्य यह है कि गणित में संकट की स्थिति वस्तु (अनंत) और विषय की दुनिया के माप की महामारी संबंधी अनिश्चितता से उत्पन्न होती है। एक विषय के रूप में गणितज्ञ के पास अनुभूति के साधनों को चुनने का अवसर है - या तो संभावित या वास्तविक अनन्तता। बनने के रूप में संभावित अनन्तता का अनुप्रयोग, उसे कार्यान्वित करने का अवसर देता है, अनंत निर्माण करता है जो परिमित पर बनाया जा सकता है, एक परिमित कदम के बिना, निर्माण पूरा किए बिना, यह केवल संभव है। वास्तविक अनन्तता का अनुप्रयोग उसे अनंत के साथ काम करने का अवसर देता है, जो पहले से ही संभव है, इसके निर्माण में पूर्ण, जैसा कि एक ही समय में दिया गया है।

अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद के चरण में, अनन्तता की समस्या अभी तक स्वतंत्र नहीं थी, लेकिन गणितीय वस्तुओं और इसकी पुष्टि के तरीकों के निर्माण की समस्या में बुनी गई थी। ए। पॉइंकेयर की अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद और बेयर, लेब्सेग और बोरेल के कार्यों के सिद्धांत के पेरिस स्कूल के प्रतिनिधियों को मुक्त पसंद के स्वयंसिद्धता को अपनाने के खिलाफ निर्देशित किया गया था, जिसकी मदद से जर्मेलो के प्रमेय को साबित किया गया था, जिसने तर्क दिया कि किसी भी सेट को पूरी तरह से निर्धारित किया जा सकता है, लेकिन निर्धारित करने के लिए एक सैद्धांतिक विधि को निर्दिष्ट किए बिना। सेट। गणितीय वस्तु बनाने का कोई तरीका नहीं है, कोई गणितीय वस्तु ही नहीं है। गणितज्ञों का मानना ​​था कि अध्ययन की वस्तुओं के अनुक्रम के निर्माण के लिए एक सैद्धांतिक पद्धति की उपस्थिति या अनुपस्थिति इस स्वयंसिद्ध को सही ठहराने या खंडन करने के आधार के रूप में काम कर सकती है। रूसी संस्करण में, गणित की दार्शनिक नींव में अर्ध-अंतर्ज्ञानवादी अवधारणा को दक्षता की दिशा में विकसित किया गया था, जिसे एन.एन. द्वारा विकसित किया गया था। Luzin। दक्षता अनंत - प्रासंगिकता, पसंद, ट्रांसफैक्शन इंडक्शन आदि के बारे में निर्धारित कैंटर की शिक्षाओं के मुख्य सार का विरोध है।

दक्षता के लिए, gnoseologically अधिक मूल्यवान सार वास्तविक अनंतता के अमूर्त की तुलना में संभावित व्यवहार्यता का अमूर्त है। इसके लिए धन्यवाद, कार्यों की वृद्धि की प्रभावी अवधारणा के आधार पर ट्रांसफ़ेक्टिन ऑर्डिनल्स (अनंत क्रमिक संख्या) की अवधारणा को पेश करना संभव हो जाता है। निरंतर (निरंतरता) मानचित्रण के लिए अपव्यय की महामारी विज्ञान सेटिंग असतत साधनों (अंकगणित) और एन.एन. लुजिन द्वारा निर्मित सेटों (कार्यों) के वर्णनात्मक सिद्धांत पर आधारित थी। डचमैन L.E. जे। ब्रेउर, जी। वेइल, ए। ए। की पारंपरिक अध्ययन वस्तु के रूप में अंतर्ज्ञानवाद विभिन्न प्रकारों के स्वतंत्र रूप से उभरते दृश्यों को देखता है। इस स्तर पर, गणितीय समस्याओं को उचित रूप से हल करना, एक नए आधार पर सभी गणित के पुनर्गठन सहित, अंतर्ज्ञानवादियों ने एक संज्ञानात्मक विषय के रूप में एक गणितज्ञ की भूमिका के दार्शनिक प्रश्न को उठाया। उसकी स्थिति क्या है, जहां वह अनुभूति के साधनों की पसंद में अधिक स्वतंत्र और सक्रिय है? अंतर्ज्ञानवादी पहले (और अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद के चरण में) वास्तविक अनन्तता की अवधारणा की आलोचना करने के लिए थे, कैंटर ने सिद्धांत निर्धारित किया, यह देखते हुए कि यह एक रचनात्मक समस्या के समाधान के लिए वैज्ञानिक खोज की प्रक्रिया को प्रभावित करने की क्षमता पर उल्लंघन है। संभावित अनंत का उपयोग करने के मामले में, विषय स्वयं को धोखा नहीं देता है, क्योंकि उसके लिए संभावित अनंत का विचार वास्तविक अनंत के विचार की तुलना में सहज रूप से बहुत स्पष्ट है। एक अंतर्ज्ञानवादी के लिए, एक वस्तु को अस्तित्व में माना जाता है यदि इसे सीधे गणित के लिए दिया जाता है या इसके निर्माण और निर्माण की विधि ज्ञात है। किसी भी मामले में, विषय उसके सेट के कई तत्वों को पूरा करने की प्रक्रिया शुरू कर सकता है। अंतर्ज्ञानवादियों के लिए एक अधूरी वस्तु मौजूद नहीं है। इसी समय, वास्तविक अनंतता के साथ काम करने वाला विषय इस अवसर से वंचित हो जाएगा और स्वीकार किए जाते हैं की दोहरी भेद्यता महसूस करेगा:

1) आप इस अंतहीन निर्माण को अंजाम नहीं दे सकते;
2) वह एक परिमित वस्तु के साथ वास्तविक अनंतता के साथ काम करने का फैसला करता है और इस मामले में अनंत की अवधारणा की अपनी विशिष्टता खो देता है। अंतर्ज्ञानवाद जानबूझकर एक गणितज्ञ की क्षमता को इस तथ्य तक सीमित कर देता है कि वह ऐसे उपकरणों के माध्यम से विशेष रूप से गणितीय वस्तुओं का निर्माण कर सकता है, जो कि अमूर्त अवधारणाओं की सहायता से प्राप्त होते हैं, निर्माण के रूप में प्रभावी, आश्वस्त, साबित, कार्यात्मक रूप से रचनात्मक और व्यावहारिक रूप से सहज रूप से स्पष्ट होते हैं, जिनकी विश्वसनीयता। व्यवहार में, कोई संदेह नहीं है। अंतर्ज्ञानवाद, संभावित अनंत और रचनात्मक अनुसंधान विधियों की अवधारणा के आधार पर, गठन की गणित से संबंधित है, सेट सिद्धांत, होने के गणित को संदर्भित करता है।

अंतर्ज्ञानवादी ब्रोवर के लिए, गणितीय अनुभववाद के प्रतिनिधि के रूप में, तर्क माध्यमिक है; वह इसकी आलोचना करता है और बहिष्कृत तीसरे के कानून का।

अपने आंशिक रूप से रहस्यमय कार्यों में, वह अनन्तता की उपस्थिति से इनकार नहीं करता है, लेकिन इसके वास्तविकीकरण की अनुमति नहीं देता है, केवल संभावना है। उसके लिए मुख्य बात व्यावहारिक रूप से उपयोग किए जाने वाले तार्किक साधनों और गणितीय तर्क की व्याख्या और औचित्य है। अंतर्ज्ञानवादियों द्वारा अपनाया गया प्रतिबंध गणित में अनंत की अवधारणा का उपयोग करने की अनिश्चितता को खत्म करता है और गणित के आधार पर संकट को दूर करने की इच्छा व्यक्त करता है।

अल्टीट्यूनिज़्म (ए.एन. कोलमोगोरोव, ए.ए. मार्कोव, आदि) अंतर्ज्ञानवाद के विकास का अंतिम चरण है, जिस पर इसके मूल विचारों को आधुनिक, पर्याप्त रूप से पूरक और रूपांतरित किया जाता है, इसके सार को बदले बिना, लेकिन कमियों पर काबू पाने और सकारात्मक पहलुओं को मजबूत करते हुए, मानदंड द्वारा निर्देशित। गणितीय कठोरता। अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण की कमजोरी गणितीय तरीकों की शुद्धता और प्रभावशीलता के औचित्य के रूप में अंतर्ज्ञान की भूमिका की एक संकीर्ण समझ थी। गणित में सत्य की कसौटी के रूप में "सहज स्पष्टता" लेते हुए, अंतर्ज्ञानवादियों ने गणितज्ञ की क्षमताओं को ज्ञान के एक विषय के रूप में कमजोर कर दिया, उनकी गतिविधि को केवल अंतर्ज्ञान पर आधारित मानसिक संचालन तक कम कर दिया और गणितीय ज्ञान की प्रक्रिया में अभ्यास को शामिल नहीं किया। अति-अंतर्ज्ञानवादी गणित औचित्य कार्यक्रम एक रूसी प्राथमिकता है। इसलिए, घरेलू गणितज्ञों ने अंतर्ज्ञान की सीमाओं को पार करते हुए, भौतिकवादी द्वंद्वात्मकता की एक प्रभावी पद्धति को अपनाया, मानव अभ्यास को गणितीय अवधारणाओं और गणितीय तरीकों (निष्कर्ष, निर्माण) दोनों के गठन के एक स्रोत के रूप में मान्यता दी। Ultraintuitionists ने गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व की समस्या को हल किया, जो अंतर्ज्ञान की एक undetectable व्यक्तिपरक अवधारणा पर निर्भर नहीं है, लेकिन गणितीय अभ्यास और गणितीय ऑब्जेक्ट के निर्माण के लिए ठोस तंत्र पर - एक कम्प्यूटेशनल, पुनरावर्ती फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त एल्गोरिथम।

Ultraintuitionism अंतर्ज्ञानवाद के गुणों को मजबूत करता है, जिसमें किसी भी दिशा के गणितज्ञों द्वारा उपयोग की जाने वाली रचनात्मक समस्याओं को हल करने की विधियों को सामान्य बनाने और शामिल करने की क्षमता होती है। इसलिए, अंतिम चरण (अति-अंतर्ज्ञानवाद) की अंतर्ज्ञानवाद गणित में रचनावाद के करीब है। महामारी विज्ञान के पहलू में, अति-अंतर्ज्ञानवाद के मुख्य विचार और सिद्धांत निम्नानुसार हैं: तर्क की शास्त्रीय स्वयंसिद्धता की आलोचना; अमूर्त अवधारणाओं, गणितीय निर्णयों की समझ और निर्माण की समझ के निर्माण के तरीके के रूप में पहचान की अमूर्तता (वस्तुओं की असमान गुणों से विचलित करना और वस्तुओं के सामान्य गुणों का एक साथ अलगाव) की भूमिका के उपयोग और महत्वपूर्ण मजबूती (ए। ए। मार्कोव की स्पष्ट दिशा द्वारा); सुसंगत सिद्धांतों की संगति का प्रमाण। एक औपचारिक पहलू में, पहचान अमूर्तता का उपयोग समानता के अपने तीन गुणों (स्वयंसिद्धों) द्वारा उचित है - संवेदनशीलता, पारगम्यता और समरूपता।

अनंत की समस्या पर गणित में मुख्य विरोधाभास को हल करने के लिए, जिसने इसकी नींव के संकट को जन्म दिया, ए.एन. के कामों में अल्ट्रािंट्यूनिज्म के स्तर पर। कोलमोगोरोव ने शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क, शास्त्रीय और अंतर्ज्ञान गणित के बीच संबंधों की समस्या को हल करके संकट से बाहर आने का रास्ता सुझाया। ब्रूवर के अंतर्ज्ञानवाद को पूरी तरह नकारे जाने वाले तर्क के रूप में, लेकिन चूंकि कोई भी गणितज्ञ तर्क के बिना नहीं कर सकता, इसलिए अंतर्ज्ञानवाद ने तार्किक तर्क के अभ्यास को बनाए रखा, शास्त्रीय तर्क के कुछ सिद्धांतों में स्वयंसिद्धता थी क्योंकि उनके आधार की अनुमति थी। एसके क्लेन, आर। वेस्ले ने यह भी ध्यान दिया कि अंतर्ज्ञान गणित को कुछ कैलकुलस के रूप में वर्णित किया जा सकता है, और कैलकुलस गणितीय ज्ञान को तर्क, औपचारिकता और उसके रूप - एल्गोरिदम के आधार पर व्यवस्थित करने का एक तरीका है। निर्णयों की सहज स्पष्टता के लिए अंतर्ज्ञानवादी आवश्यकताओं के ढांचे के भीतर तर्क और गणित के बीच संबंधों का एक नया संस्करण, विशेष रूप से उन जिनमें नकारात्मकता शामिल थी, ए.एन. कोलमोगोरोव ने निम्नानुसार प्रस्तावित किया: अंतर्ज्ञानवादी तर्क, अंतर्ज्ञानवादी गणित के साथ निकटता से संबंधित, उन्होंने प्रस्ताव के एक स्वयंसिद्ध ध्वन्यात्मक न्यूनतम कलन के रूप में प्रस्तुत किया और भविष्यवाणी की। इस प्रकार, वैज्ञानिक ने गणितीय ज्ञान का एक नया मॉडल पेश किया, जो अंतर्ज्ञान की सीमाओं को पहचानने के लिए केवल अंतर्ज्ञान को पहचानने और तर्कवाद की सीमाओं के रूप में पहचानता है, जो गणित में तर्क की संभावनाओं को निरपेक्ष करता है। इस स्थिति ने हमें गणितीय रूप में लचीले तर्कसंगतता और इसके रचनात्मक प्रभाव के आधार पर सहज और तार्किक के संश्लेषण को प्रदर्शित करने की अनुमति दी।

निष्कर्ष। इस प्रकार, गणितीय ज्ञान का महामारी विज्ञान पहलू हमें XIX-XX शताब्दियों के मोड़ पर गणित की नींव के संकट के चरण में क्रांतिकारी परिवर्तनों का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। अनुभूति की प्रक्रिया, प्रकृति और उस विषय की भूमिका को समझने में नए पदों से। , - , — , , «» , - , , , , , , . , . — , . , , , , — , , ; , , , . , , , — () , , , ; - - , - «-» .

एक महत्वपूर्ण बिंदु अनुभूति में भी अंतर्ज्ञान है, और विशेष रूप से, गणितीय अवधारणाओं के निर्माण में। फिर, दर्शन के साथ एक संघर्ष है, बहिष्कृत तीसरे के कानून को बाहर करने का प्रयास, क्योंकि गणित में कोई अर्थ नहीं है और दर्शन से इसके पास आ रहा है। हालांकि, अंतर्ज्ञान पर अत्यधिक जोर देने और स्पष्ट गणितीय औचित्य की कमी ने गणित को एक ठोस आधार पर स्थानांतरित करने की अनुमति नहीं दी। [2,4,7]

हालांकि, 1930 के दशक में एक एल्गोरिथ्म की सख्त अवधारणा की उपस्थिति के बाद, गणितीय रचनावाद ने अंतर्ज्ञानवाद से बैटन को अपने कब्जे में ले लिया, और इसके प्रतिनिधियों ने कम्प्यूटेबिलिटी के आधुनिक सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया। इसके अलावा, 1970 और 1980 के दशक में अंतर्ज्ञानवादियों के कुछ विचारों (यहां तक ​​कि जो पहले से बेतुका लगता था) और टोपोस के गणितीय सिद्धांत के बीच महत्वपूर्ण संबंध पाए गए थे। कुछ टॉपोस में उपलब्ध गणित वह है जो अंतर्ज्ञानवादियों ने बनाने की कोशिश की थी।

नतीजतन, हम एक बयान दे सकते हैं: उपरोक्त सभी विरोधाभास बस स्व-संबंधित [8] के साथ सेट सिद्धांत में मौजूद नहीं हैं। क्या इस तरह का दृष्टिकोण अंतिम है, यह एक बिंदु है, इस क्षेत्र में आगे का काम दिखाएगा।

निष्कर्ष

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( - ; — ) — , 1907- . , , , (), ).

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