Kotelnikov प्रमेय की एक विशेषता पर

निम्नलिखित कार्य ने मुझे इस लेख को लिखने के लिए प्रेरित किया:

जैसा कि Kotelnikov की प्रमेय से ज्ञात है, एनालॉग सिग्नल को डिजीटल और फिर से संगठित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि नमूना आवृत्ति एनालॉग सिग्नल की ऊपरी आवृत्ति के दोगुने से अधिक या बराबर है। मान लीजिए कि हमारे पास 1 सेकंड की अवधि के साथ एक साइन है। फिर f = 1 = T = 1 हर्त्ज़, पाप ((2 π 1) T) (t) = sin (2 sin ∗) t), 2 हर्ट्ज़ की एक नमूना आवृत्ति, 0.5 सेकंड का एक नमूना अवधि। हम उन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं जो साइन पाप के लिए सूत्र में 0.5 सेकंड के गुणक हैं (2 π ∗ (0) = sin (2 sin ∗) 0.5) = sin (2 ∗ ∗ ∗ 1) = 0
हर जगह शून्य प्राप्त होते हैं। फिर इस साइन को कैसे बहाल किया जा सकता है?



एक इंटरनेट खोज ने इस सवाल का जवाब नहीं दिया, जो मैं पा सकता था, उस पर अधिकतम चर्चा विभिन्न मंचों पर हुई, जहां विभिन्न फिल्टर के प्रयोगों के लिंक के लिए और इसके विपरीत विचित्र तर्क दिए गए। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि Kotelnikov की प्रमेय एक गणितीय प्रमेय है, और इसे केवल गणितीय विधियों द्वारा सिद्ध या अस्वीकृत किया जाना चाहिए। मैंने क्या किया। यह पता चला कि विभिन्न पाठ्यपुस्तकों और मोनोग्राफ में इस प्रमेय के बहुत सारे सबूत थे, लेकिन मुझे यह नहीं पता चल पाया कि यह विरोधाभास लंबे समय तक कहां से उत्पन्न होता है, क्योंकि सबूत कई सूक्ष्मताओं और विवरणों के बिना दिए गए थे। मैं यह भी कहूंगा कि अलग-अलग स्रोतों में प्रमेय का सूत्रीकरण अलग था। इसलिए, पहले खंड में, मैं इस प्रमेय का एक विस्तृत प्रमाण दूंगा, जिसमें स्वयं शिक्षाविद (वी। के। मोटलनिकोव) के मूल कार्य का अनुसरण किया गया था, "ईथर" और दूरसंचार में तार के माध्यम से। संचार और तकनीकी उद्योग के तकनीकी पुनर्निर्माण पर आई-यूनियन कांग्रेस के लिए सामग्री। । 1933)

हम मूल स्रोत में दिए गए प्रमेय की रूपरेखा तैयार करते हैं:
किसी भी फ़ंक्शन F (t), 0 से f1 अवधि प्रति सेकंड की आवृत्तियों से मिलकर, कंधे से कंधा मिलाकर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है



जहां k एक पूर्णांक है; π = 2πf1; D, F (t) के आधार पर स्थिरांक हैं।

प्रमाण: कोई भी कार्य F (t) डिरिचलेट स्थितियों (किसी परिमित खंड पर अधिकतम, मिनिमा, और विच्छेदन बिंदुओं की एक परिमित संख्या) को संतुष्ट करता है और −∞ से + ∞ तक की सीमा में पूर्णांक, जो हमेशा इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में होता है, को फूरियर अभिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है:



यानी आवृत्ति के आधार पर 0 से + ∞ और एम्पलीट्यूड C (udes) dω और S (ω) dω से आवृत्तियों के साथ साइनसोइडल दोलनों की अनंत संख्या का योग। और



हमारे मामले में, जब एफ (टी) में केवल 0 से एफ 1 तक की आवृत्तियां होती हैं, तो यह स्पष्ट है



पर



और इसलिए एफ (टी) को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:



कार्य सी (the) और एस (C), खंड पर किसी अन्य की तरह



हमेशा फूरियर श्रृंखला द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और ये श्रृंखला, हमारे अनुरोध पर, केवल कोसाइन या साइन से मिलकर बन सकती है, यदि हम अवधि के लिए अनुभाग की दोहरी लंबाई लेते हैं, अर्थात्। 2ω1।

लेखक का ध्यान दें: यहाँ एक स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। Kotelnikov फ़ंक्शंस C (the) और S (supplement) को इस तरह से पूरक करने का अवसर लेता है कि C (and) सम हो जाता है और S (ω) with1 के संबंध में एक दोहरे खंड में एक विषम कार्य करता है। तदनुसार, अनुभाग के दूसरे भाग में, इन कार्यों के मूल्य C (2 in ω1 −) और ∗S (2 ∗ −ω1 second) होंगे। ये फ़ंक्शन समन्वय are1 के साथ ऊर्ध्वाधर अक्ष के सापेक्ष परिलक्षित होते हैं, और फ़ंक्शन S (ω) भी संकेत बदलता है

इस तरह से



हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय देते हैं



तो



हमें प्राप्त होने वाले पदार्थ:



परिवर्तन



फिर भी रूपांतरित हो



हम π1 को 2πf1 के साथ एकीकृत और प्रतिस्थापित करते हैं:

Kotelnikov के प्रमेय में अशुद्धि

पूरा प्रमाण कठोर दिखता है। क्या समस्या है? इसे समझने के लिए, हम उलटे फूरियर रूपांतरण की एक नहीं बहुत व्यापक रूप से ज्ञात संपत्ति की ओर मुड़ते हैं। यह कहता है कि जब मूल कार्य के लिए साइन और कोजाइन के योग से व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, तो इस फ़ंक्शन का मान समान होगा



यह है, बहाल समारोह सीमा के आधे मूल्य के बराबर है। इससे क्या होता है? यदि हमारा कार्य निरंतर है, तो यह बेकार है। लेकिन अगर हमारे कार्य में एक निश्चित अंतराल है, तो प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम फूरियर ट्रांसफॉर्म के बाद फ़ंक्शन के मान मूल मान के साथ मेल नहीं खाएंगे। अब प्रमेय के प्रमाण में चरण को याद करें, जहां अंतराल दोगुना है। फ़ंक्शन S (function) फ़ंक्शन (S (2 ω (1 - ω) द्वारा पूरक है। यदि S (ω1) (बिंदु is1 पर मान) शून्य है, तो कुछ भी बुरा नहीं होता है। हालाँकि, यदि S (ω1) का मान शून्य के बराबर नहीं है, तो पुनर्निर्मित फ़ंक्शन मूल एक के बराबर नहीं होगा, क्योंकि इस बिंदु पर 2S (ω1) के बराबर एक असंतुलन होता है।
अब मूल साइन समस्या पर वापस जाएं। जैसा कि आप जानते हैं, साइन एक विषम कार्य है, जिसकी छवि फूरियर रूपांतरण के बाद δ (Ω - the0) है - डेल्टा फ़ंक्शन। हमारे मामले में, अगर साइन में ,1 की आवृत्ति होती है, तो हम प्राप्त करते हैं:



जाहिर है, बिंदु we1 पर हम S (,) और −S (,) के दो डेल्टा कार्यों को सारांशित करते हैं, जो हम देखते हैं।

निष्कर्ष

Kotelnikov की प्रमेय निश्चित रूप से एक महान प्रमेय है। हालाँकि, इसे किसी अन्य शर्त द्वारा पूरक होना चाहिए, अर्थात्



इस फॉर्मूलेशन में, सीमा मामलों को बाहर रखा गया है, विशेष रूप से, एक साइन के साथ मामला जिसकी आवृत्ति सीमा आवृत्ति ary1 के बराबर है, क्योंकि उपरोक्त स्थिति के साथ Kotelnikov प्रमेय का उपयोग करना असंभव है।