🛒 🕵🏼 🎚️ सितारों के बारे में 🏇🏻 🕓 👨‍💻

कभी-कभी मुझे एक समस्या का सिर मिलता है जिसका कोई स्पष्ट व्यावहारिक मूल्य नहीं है, लेकिन, फिर भी, वे मेरी कल्पना को एक या दूसरे तरीके से पकड़ते हैं, कम से कम जब तक मैं इसे हल नहीं करता। एक नियम के रूप में, कार्य का व्यावहारिक मूल्य शून्य है, लेकिन इस प्रक्रिया में दूसरों को हल किया जाता है जो हल किए गए से अधिक मूल्य हो सकते हैं।

यह सब नियमित रूप से अष्टकोण और अष्टक के गुणों का अध्ययन करने की इच्छा के साथ शुरू हुआ, लेकिन परिणाम सभी उत्तल बहुभुज (बहुभुज) और उनमें निर्मित तारों पर लागू होते हैं (सादृश्य द्वारा मैं उन्हें बहुभुज कहूँगा - - एक पेंटाग्राम, हेक्साग्राम, सेपग्राम, ऑक्टाग्राम, आदि) - यद्यपि यह शब्द के अन्य अर्थ हैं)।

शुरू करने के लिए, शब्दावली। पेंटाग्राम एक पेंटागन के सभी विकर्णों का सेट है; हेक्साग्राम के मामले में, यह सभी विकर्ण नहीं है, लेकिन केवल वे ही हैं जो षट्भुज के विपरीत छोरों को जोड़ते हैं। दोनों ही मामलों में, ये चोटियाँ एक दूसरे से गुज़रती हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी पंचकोण के शीर्षकों को (0, 1, 2, 3, 4) का नाम दिया गया है , तो पंचग्राम रेखाओं (0, 2) , (1, 3) , (2, 4) , (3, 0) , (4 ) का समुच्चय है। 1) । क्रमशः हेक्साग्राम (0, 1, 2, 3, 4, 5) , लाइनों का एक संग्रह है (0, 2) , (1, 3) , (2, 4) , (3, 5) , (4, 0) , (५, १) । एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में शून्य को संयोग से नहीं लिया गया था और न ही प्रोग्रामेटिक सोच के लिए एक श्रद्धांजलि के रूप में, मैं नीचे इस संकेतन की सुविधा का वर्णन करूंगा। पॉलीग्राम बनाने वाली लाइनें, मैं किनारों को कॉल करूंगा। पॉलीग्राम के कोने, मैं मूल बहुभुज के कोने को कॉल करूंगा, और किनारों के चौराहे के सभी बिंदु नहीं।

1 और n / 2, जहां n मूल बहुभुज के कोणों की संख्या के बीच मान है, पूर्णांक k के रूप में "पॉलीग्राम ऑर्डर" की अवधारणा को पेश करके परिभाषा को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है। ऊपरी सीमा k (पूर्णांक भाग n / 2 के बराबर) विभिन्न सामान्यीकृत बहुभुज की संख्या निर्धारित करेगा। आदेश का अर्थ है कि स्रोत से कौन सा शीर्ष पॉलीग्राम में शामिल विकर्ण से जुड़ा होना चाहिए। इसका क्या मतलब है? यदि हम शून्य से शुरू होने वाले पॉलीग्राम के कोने की संख्या पर विचार करते हैं, तो वे अवशेषों के एक जोड़ समूह बनाते हैं मोडुलो एन। चलो बहुभुज की शीर्ष संख्या हो। तब इस समूह में शीर्ष m और m + k (जहां k पॉलीग्राम का क्रम है) को जोड़ने वाला खंड आदेश k के पॉलीग्राम का हिस्सा होगा। इस सामान्यीकरण में, क्रम 1 का एक बहुभुज मूल बहुभुज के साथ मेल खाता है।

पंचकोण के मामले में, सूत्र के अनुसार, दो सामान्यीकृत पेंटाग्राम हैं - स्वयं पेंटागन और शास्त्रीय अर्थ में पेंटाग्राम।

एक हेक्स के मामले में, तीन सामान्यीकृत हेक्साग्राम हैं: हेक्स ही, क्लासिक हेक्साग्राम और विपरीत कोने (पतित मामले) को जोड़ने वाले विकर्ण।

बेहतर चित्रण के लिए, मैं सेप्टागन और अष्टकोण के लिए पॉलीग्राम का विश्लेषण करूंगा। सूत्र के अनुसार, सेप्टैग्राम की संख्या तीन होगी, अष्टक वर्ग की संख्या चार।

एक साइड इफेक्ट के रूप में, आप देख सकते हैं कि पॉलीग्राम स्वाभाविक रूप से जुड़े और काट दिए गए हैं। कनेक्टेड पॉलीग्राम्स किसी भी जोड़ी के बीच के पॉलीग्राम होते हैं जिनमें किनारों के साथ एक रास्ता होता है (आप केवल बहुभुज के कोने पर किनारे से किनारे तक कूद सकते हैं)। संख्याओं के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, आप देख सकते हैं कि पॉलीग्राम जुड़े हुए हैं यदि और केवल तभी मूल बहुभुज के कोनों की संख्या और पॉलीग्राम के क्रम परस्पर प्रमुख हैं।

नीचे दी गई तस्वीर डिस्कनेक्ट किए गए पॉलीग्राम के उदाहरण दिखाती है, उनके अलग-अलग हिस्सों को अलग-अलग रंगों में हाइलाइट किया गया है। एक आरेख (n = 9, k = 3) तीन त्रिकोणों में विभाजित होता है, एक आरेख (n = 10, k = 4) दो पंचकोणों में:

अब समान संख्या में कोण ( n = 9, k = 2 और n = 10, k = 3 ) के साथ बहुभुज, लेकिन पहले से ही जुड़े हुए हैं:

इसके अलावा, इस तरह के मामले के लिए भी n और अधिकतम के मामले में k (k = n / 2) बहुभुज विपरीत कोणों को जोड़ने वाले विकर्णों के एक सेट में पतित हो जाते हैं।

मेरे लिए काफी अप्रत्याशित है, परिणाम यह था कि बहुभुज के कोने पर कोणों का योग (उत्तल बहुभुज के मामले में) एक काफी सरल संगणनीय मात्रा है: π (n - 2k) । पहले-क्रम वाले बहुभुज (जो मूल बहुभुज के साथ मेल खाते हैं) के मामले में, सूत्र बहुभुज के कोणों की गणना के लिए सुविख्यात सूत्र को कम कर देता है; पतित बहुभुज के मामले में, कोणों का योग शून्य होता है (जो कि स्वाभाविक है)। इस तथ्य का प्रमाण निम्नानुसार है: बहुभुज के प्रत्येक किनारे ( 1 <k <n / 2 के लिए - एक पतित बहुभुज का मामला त्याग दिया गया है और मूल बहुभुज के साथ मेल खाता है) बहुभुज को दो में विभाजित करता है: एक k + 1 कोण पर, दूसरा n - k + 1 के साथ । कोणों की संख्या में छोटे भागों के सभी भागों के योग को जोड़ दें (जो कि k + 1 कोण के साथ हैं), हमें बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष के लिए परिणाम one (k - 1) n (एक (k + 1) -agon ) मिलता है। मूल बहुभुज का प्रत्येक पूरा कोण k - 1 बार मौजूद है । इसके अलावा, एक बार पॉलीग्राम के कोनों के समीप, पॉलीग्राम के कोने होते हैं। यदि हम इसमें मौजूद पॉलीग्राम के पूरे कोण के योग से घटाते हैं (जो कि π (n - 2) के बराबर है (k - 1) , क्योंकि प्रत्येक पूरा कोण k - 1 बार होता है। ), हम बहुभुज के कोनों से सटे कोण we (k - 1) n - n (n - 2) (k - 1) का योग प्राप्त करते हैं। यदि अब स्रोत बहुभुज के कोणों के योग से इस कोण को घटाते हैं, तो हमें बहुभुज के कोणों का योग मिलता है:

) (n - 2) - (π (k - 1) n - n (n - 2) (k - 1)) =) (n - 2) - π (k - 1) n + π (n - 2) (k - 1) = π (n - 2) k - k (k - 1) n = π (n - 2k)

उपरोक्त सभी दृष्टांत और तर्क उत्तल बहुभुजों पर निर्मित किसी भी बहुभुज पर लागू होते हैं। आंकड़ों में, मैंने अपने स्वयं के आलस्य से पूरी तरह से सही पॉलीग्राम के मामलों को दर्शाया - ड्राइंग प्रोग्राम लिखना आसान था। इसके अलावा, हम केवल सही पॉलीग्राम पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

उपरोक्त सूत्र के आधार पर, एक नियमित बहुभुज के शीर्ष पर कोण π - 2 formulak / n है ।

यदि हम सही पॉलीग्राम के क्षितिज (बाहरी बिंदुओं का सेट) को लेते हैं, तो यह आंकड़ा एक गैर-उत्तल 2n-gon होगा (n पॉलीग्राम के कोने की संख्या है। दाईं ओर के आंकड़ों की सीमाएँ यह स्पष्ट करती हैं:

इस प्रकार, एन अतिरिक्त "अतिरिक्त" कोण हैं, जिसे मैं पॉलीग्राम के आंतरिक कोनों को कॉल करूंगा। ये कोण गैर-उत्तल होते हैं, बहुभुज कोणों के योग से एक नियमित बहुभुज के लिए वे (-(2n - 2) - π (n - 2k)) / n = π (n + 2k - 2 / n = -+ 2π (k - 1) होते हैं ) / एन । उनके विपरीत कोण क्रमशः बराबर हैं, π - 2 - (k - 1) / n । इस कोण को मैं किरणों के बीच का कोण कहूंगा।

ये गणना पैटर्न और मज़ेदार आभूषणों के निर्माण के लिए उपयोगी हो सकती है, जो रोगी पाठकों के लिए नीचे सचित्र होंगे।

अगला बल्कि बेकार हिस्सा है, जिसने मुझे एक समय में सौंदर्य का आनंद दिया, लेकिन इसका परिणाम केवल पाठक का खोया हुआ समय हो सकता है, जो हब के लिए "फनी टास्क" जोड़ने का कारण था।

ऑक्टाग्राम पैटर्न

K = 2 के लिए, किरणों के बीच का कोण π - 2 n / n होगा , जो मूल बहुभुज के कोण के बराबर है जिसमें पॉलीग्राम बनाया गया है। किस तरह के मामलों में इस तरह के बहुभुज एक-दूसरे के निकट होंगे, जो एक प्रकार का मोज़ेक होगा? दूसरे शब्दों में, बहुभुज के शीर्ष पर कोण का योग और बहुभुज के शीर्ष पर दोगुना कोण 2 should होना चाहिए। इस मामले में नियमित बहुभुज के शीर्ष पर कोण π - 4 n / n है । इस प्रकार, समीकरण प्राप्त किया जाता है:

π - 4π / n + 2 (π - 2 n / n) = 2π
3 - 8π / n = 2π
8 / एन = पी;
n = 8

इस प्रकार, k = 2 के साथ एक ऑक्टाग्राम 8 ऑक्टैगन को खींचकर प्राप्त किया जा सकता है, जिसके पड़ोसी का एक आम पक्ष है - ऐसे बहुभुज के आंतरिक पक्ष ऐसे ऑक्टाग्राम के क्षितिज का निर्माण करते हैं।

अष्टक (n = 8, k = 2) काट दिया जाता है और इसमें दो वर्ग होते हैं (सभी कोणों पर कोण सीधे होते हैं: are - 4 π / 8 = π / 2 )। इस तरह के एक ऑक्टाग्राम की किरणों पर, आप बीम के किनारे के बराबर एक पक्ष के साथ वर्गों का निर्माण कर सकते हैं।

इस अष्टक का आंतरिक कोना 5π / 4 है । आंतरिक कोण से घटते हुए, किरणों पर निर्मित वर्गों के कोणों का योग, हम ऑक्टोग्राम के अंदर आसन्न वर्गों के किनारों के बीच का कोण प्राप्त करते हैं। यह कोण π / 4 है । तो, चौकों के अंदरूनी हिस्से में आठ कोणों पर कोणों के साथ एक स्टार के आकार का आंकड़ा बनता है 4/4 और किरणों के बीच के कोण angle / 2 (वर्ग के शीर्ष पर कोण)। इस प्रकार, इस आंकड़े का आंतरिक कोण 3 2/2 होगा।

यदि हम अब अष्टक वर्ग (n = 8, k = 3) के कोणों पर विचार करते हैं, तो यह पता चलता है कि शीर्ष पर कोण ver - 2πk / n = π / 4 है , और आंतरिक कोण π + 2π (k - 1) / n = 3π / 2 है । जो वास्तव में ऊपर वर्णित वर्गों द्वारा बंधी हुई आकृति से मेल खाता है।

इन गणनाओं का चित्रण एक अच्छी तस्वीर है:

हेक्सागोन-हेक्साग्राम मोज़ेक

फिर से केस के = 2 पर विचार करें। जैसा कि एक ऑक्टाग्राम के मामले में ऊपर वर्णित है, इस मामले में, पॉलीग्राम के कोने की संख्या के बराबर कोणों की संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज को नियमित पॉलीग्राम की किरणों के बीच के कोण में अंकित किया जा सकता है। इस मामले में, दो बहुभुज के कोणों और बहुभुज की किरणों का योग, जो वे समीप हैं, n> 8 के मामले में 2ent से अधिक होगा , और n <8 के मामले में 2π से कम होगा। पहले मामले में, इस समय कुछ दिलचस्प बनाना सफल नहीं होगा, और दूसरे में, आप शेष स्थान पर कुछ और दर्ज कर सकते हैं। यह एक और बहुभुज या एक बहुभुज की किरण हो सकती है।

यदि यह तीसरा बहुभुज है, तो समीकरण द्वारा पक्षों की संख्या की गणना की जा सकती है:
π - 4π / n + 3 (π - 2 n / n) = 2π
2 - 10π / एन = 0
n = 5
इस प्रकार, एक पाँच-नुकीले तारे की किरण के आसपास, आप पेंटाग्राम के शीर्ष पर एक सामान्य शीर्ष के साथ तीन पेंटागन खींच सकते हैं। दुर्भाग्य से, इस मामले में, एक मोज़ेक काम नहीं करेगा, ऊपर वर्णित एक पैटर्न के अलावा, जहां प्रत्येक किरण के शीर्ष पर तीन पेंटागन समूहबद्ध होते हैं:

दो बहुभुज और दो किरणों वाले मामले को ध्यान में रखते हुए, हम निम्नलिखित समीकरण पर आ सकते हैं:
2 ((- 4π / n) + 2 (π - 2 n / n) = 2π
2 - 12π / एन = 0
n = 6

परिणाम यह मोज़ेक है:

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