विमान में द्वि-आयामी गाऊसी का दृश्य

शुभ दिन। क्लस्टरिंग विधियों में से एक को विकसित करने की प्रक्रिया में, मुझे एक दिए गए सहसंयोजक मैट्रिक्स के साथ एक विमान पर एक गाऊसी (वास्तव में एक दीर्घवृत्त खींचना) की कल्पना करने की आवश्यकता थी। लेकिन किसी भी तरह, मैंने तुरंत यह नहीं सोचा कि 4 नंबर से एक नियमित दीर्घवृत्त के एक साधारण ड्राइंग के पीछे, कुछ कठिनाइयां थीं। यह पता चला है कि दीर्घवृत्त बिंदुओं की गणना करते समय, सहसंयोजक मैट्रिक्स, महलनोबिस दूरी , और साथ ही ची-स्क्वायर वितरण , जो, स्पष्ट रूप से, मैंने कभी उपयोग नहीं किया है, का आईजेनवल और ईजेनवेक्टर की मात्रा निर्धारित की गई है।

डेटा और उनके सापेक्ष स्थिति

शुरुआती स्थितियों से शुरू करते हैं। इसलिए हमारे पास दो-आयामी डेटा के कुछ सरणी हैं

जिसके लिए हम आसानी से सहसंयोजक मैट्रिक्स और औसत मूल्य (भविष्य के दीर्घवृत्त का केंद्र) पा सकते हैं:

plot(data[, 1], data[, 2], pch=19, asp=1, col=rgb(0, 0.5, 1, 0.2), xlab="x", ylab="y") sigma <- cov(data) mx <- mean(data[, 1]) my <- mean(data[, 2]) 

इससे पहले कि आप एक दीर्घवृत्त खींचना शुरू करें, आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि आकार क्या होगा। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

दीर्घवृत्त के आकार को निर्धारित करने के लिए, हम सहसंयोजक मैट्रिक्स के साथ समान संभावना वितरण से दो यादृच्छिक वैक्टर के बीच महालनोबिस दूरी को याद करते हैं:



आप एक यादृच्छिक वेक्टर x से μ के औसत मान और सहसंयोजक मैट्रिक्स with के साथ एक सेट तक की दूरी भी निर्धारित कर सकते हैं:



यह ध्यान देने योग्य है कि मामले में जब the पहचान मैट्रिक्स के बराबर होता है, तो महलानोबिस दूरी यूक्लिडियन दूरी में बदल जाती है। महालनोबिस दूरी का अर्थ है कि यह चर के बीच संबंध को ध्यान में रखता है; या दूसरे शब्दों में, द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष डेटा के प्रसार को ध्यान में रखा जाता है (यह माना जाता है कि प्रसार एक दीर्घवृत्त के रूप में है)। यूक्लिडियन दूरी का उपयोग करने के मामले में, धारणा का उपयोग किया जाता है कि द्रव्यमान के केंद्र के आसपास डेटा को गोलाकार (समान रूप से सभी मापों में) वितरित किया जाता है। हम इसका वर्णन निम्नलिखित ग्राफ से करते हैं:

द्रव्यमान के केंद्र को पीले रंग में चिह्नित किया गया है, और दीर्घवृत्त के मुख्य अक्ष पर स्थित डेटासेट में दो लाल बिंदु द्रव्यमान के केंद्र से समान (महालनोबिस के अर्थ में) दूरी पर हैं।

दीर्घवृत्त और ची-वर्ग वितरण

दीर्घवृत्त एक केंद्रीय गैर-पतित द्वितीय-क्रम वक्र है, इसका समीकरण सामान्य रूप में लिखा जा सकता है (हम प्रतिबंध नहीं लिखेंगे):



दूसरी ओर, हम दीर्घवृत्त समीकरण को मैट्रिक्स के रूप में लिख सकते हैं (सजातीय दो आयामी निर्देशांक में):



और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें, यह दिखाने के लिए कि दीर्घवृत्त वास्तव में मैट्रिक्स रूप में दिया गया है:



अब महालनोबिस की दूरी को याद करें, और इसके वर्ग पर विचार करें:



यह देखना आसान है कि यह प्रतिनिधित्व मैट्रिक्स के रूप में दीर्घवृत्त समीकरण लिखने के समान है। इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि यूलानिडियन अंतरिक्ष में महालनोबिस दूरी एक दीर्घवृत्त का वर्णन करती है। महालनोबिस की दूरी किसी दिए गए बिंदु के बीच की दूरी है और दिए गए बिंदु की दिशा में दीर्घवृत्त की चौड़ाई से विभाजित द्रव्यमान के केंद्र के बीच की दूरी है।

एक नाजुक क्षण समझ में आता है, मुझे महसूस करने में कुछ समय लगा: महालनोबिस दूरी का वर्ग आम तौर पर वितरित यादृच्छिक चर के k- वें संख्या के वर्गों का योग है , जहां n अंतरिक्ष का आयाम है।

स्मरण करो कि इस तरह के ची-वर्ग का वितरण कश्मीर स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वितरण है (यह वितरण स्वतंत्रता कश्मीर की डिग्री की संख्या से मानकीकृत है)। और यह ठीक महालनोबिस की दूरी है। इस प्रकार, दीर्घवृत्त के अंदर x की संभावना निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:



और इसलिए हम एक दीर्घवृत्त के आकार के बारे में प्रश्न के उत्तर में आए - हम इसका आकार ची-वर्ग के वितरण की मात्राओं द्वारा निर्धारित करेंगे, यह आसानी से आर में किया जाता है (जहाँ q से (0, 1) और k स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है):

 v <- qchisq(q, k) 

एक दीर्घवृत्ताभ पथ प्राप्त करना

हमारे लिए आवश्यक दीर्घवृत्त के समोच्च को उत्पन्न करने का विचार बहुत सरल है, हम सिर्फ यूनिट सर्कल पर कई बिंदु लेते हैं, इस सर्कल को डेटा सरणी के द्रव्यमान के केंद्र में स्थानांतरित करते हैं, फिर इस सर्कल को वांछित दिशाओं में स्केल और खिंचाव करते हैं। बहुआयामी गौसियन वितरण की ज्यामितीय व्याख्या पर विचार करें: जैसा कि हम जानते हैं, यह एक दीर्घवृत्त है, जिसमें मुख्य कुल्हाड़ियों की दिशा कोविर्सियस मैट्रिक्स के आइगेनवेल्यूज द्वारा दी जाती है, और मुख्य कुल्हाड़ियों की सापेक्ष लंबाई संबंधित आइजेन्यूअल की जड़ से दी जाती है।

निम्नलिखित ग्राफ संबंधित आइगेनवेल्स की जड़ों तक स्केल किए गए सहसंयोजक मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को दिखाता है, दिशाएं अंडाकार के मुख्य अक्षों के अनुरूप हैं:



निम्न रूप में सहसंयोजक मैट्रिक्स के विस्तार पर विचार करें:



जहां U , मैट्रिक्स के यूनिट eigenvectors द्वारा गठित मैट्रिक्स है, और the एक समान मैट्रिक्स है जो संबंधित eigenvalues ​​से बना है।

 e <- eigen(sigma) 

और एक बहुआयामी सामान्य वितरण से यादृच्छिक वेक्टर के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर भी विचार करें:



इस प्रकार, वितरण N (μ, Σ) , वास्तव में, मानक बहुआयामी सामान्य वितरण N (0, I) scal ^ (1/2) द्वारा बढ़ाया जाता है, यू द्वारा घुमाया जाता है और μ द्वारा स्थानांतरित किया जाता है।

आइए अब एक फ़ंक्शन लिखते हैं जो एक दीर्घवृत्त खींचता है, जिसमें निम्नलिखित इनपुट हैं:

• mx, my - द्रव्यमान के केंद्र का निर्देशांक
• सिग्मा - सहसंयोजक मैट्रिक्स
• क्यू ची-वर्ग वितरण का मात्रक है
• n - दीर्घवृत्त नमूनाकरण घनत्व (उस बिंदु की संख्या जिस पर दीर्घवृत्त निर्मित होगा)

 GetEllipsePoints <- function(mx, my, sigma, q = 0.75, n = 100) { k <- qchisq(q, 2) #    sigma <- k * sigma #       e <- eigen(sigma) #       angles <- seq(0, 2*pi, length.out=n) #    n-   cir1.points <- rbind(cos(angles), sin(angles)) #      ellipse.centered <- (e$vectors %*% diag(sqrt(abs(e$values)))) %*% cir1.points #      ellipse.biased <- ellipse.centered + c(mx, my) #      return(ellipse.biased) #  } 

परिणाम

निम्नलिखित कोड डेटासेट के द्रव्यमान केंद्र के आसपास कई आत्मविश्वास ग्रहण करता है:

 points(mx, my, pch=20, col="yellow") q <- seq(0.1, 0.95, length.out=10) palette <- cm.colors(length(q)) for(i in 1:length(q)) { p <- GetEllipsePoints(mx, my, sigma, q = q[i]) points(p[1, ], p[2, ], type="l", col=palette[i]) } e <- eigen(sigma) v <- (e$vectors %*% diag(sqrt(abs(e$values)))) arrows(c(mx, mx), c(my, my), c(v[1, 1] + mx, v[1, 2] + mx), c(v[2, 1] + my, v[2, 2] + my), 

परिणामस्वरूप, हमें निम्न चित्र मिलते हैं:

आदर

• Gaussians
• ईलिप्स पर कुछ नोट

कोड मेरे जीथूब पर पाया जा सकता है।