जटिल नेटवर्क की नियंत्रणशीलता - लेख अनुवाद जटिल नेटवर्क की नियंत्रणशीलता

यह लेख अल्बर्ट बाराबाशी और उनके सह-लेखकों के एक लेख का अनुवाद है , जिसका शीर्षक है "जटिल नेटवर्क की नियंत्रणशीलता" । जिसका मूल पीडीएफ प्रारूप में यहां डाउनलोड किया जा सकता है ।

वैसे, कुछ का मानना ​​है कि 21 वीं सदी के आइंस्टीन को भी अल्बर्ट कहा जाएगा । अर्थात् अल्बर्ट बारबाशी।

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जटिल नेटवर्क प्रबंधित करें

यह प्रमाण कि हम पूरी तरह से प्राकृतिक और मानव निर्मित प्रणाली को समझते हैं, केवल इन प्रणालियों को नियंत्रित करने की हमारी क्षमता हो सकती है। इस तथ्य के बावजूद कि नियंत्रण सिद्धांत इंजीनियरिंग और प्राकृतिक प्रणालियों के प्रबंधन के लिए गणितीय उपकरण प्रदान करता है, ताकि उन्हें उनके वांछित राज्य में लाया जा सके, जटिल आत्म-आयोजन प्रणालियों के प्रबंधन के लिए एक भी बुनियादी ढांचा नहीं है। इस अनुच्छेद में, हम मनमाने ढंग से जटिल उन्मुख नेटवर्क की नियंत्रणीयता का अध्ययन करने के लिए विश्लेषणात्मक उपकरणों का विकास करते हैं, साथ ही समय-निर्भर नियंत्रण के साथ ड्राइवर नोड्स के सेट का निर्धारण करते हैं जो पूरे सिस्टम की गतिशीलता को उद्देश्यपूर्ण रूप से नियंत्रित कर सकते हैं। हमने इन उपकरणों को कई वास्तविक नेटवर्क पर लागू किया, यह स्थापित करते हुए कि ड्राइवर नोड्स की संख्या मुख्य रूप से नेटवर्क की डिग्री वितरण द्वारा निर्धारित की जाती है। हम दिखाएंगे कि विषम नेटवर्क को नियंत्रित करना सबसे कठिन है जो कई वास्तविक जटिल प्रणालियों में दिखाई देता है, और घने और सजातीय नेटवर्क को कुछ ही चालक नोड्स के साथ नियंत्रित किया जा सकता है। विरोधाभासी रूप से, हमने पाया कि, जैसा कि मॉडल में और वास्तविक सिस्टम में, ड्राइवर नोड्स, एक नियम के रूप में, उच्च डिग्री नोड्स नहीं हैं (डिग्री नोड्स, इनपुट या आउटपुट कनेक्शन की संख्या )।

नियंत्रण सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार, एक गतिशील प्रणाली नियंत्रणीय है, यदि इनपुट चर के एक निश्चित सेट के लिए, इसे ^1-3 की परिमित समय में किसी भी प्रारंभिक अवस्था से किसी भी वांछित राज्य में स्थानांतरित किया जा सकता है। यह परिभाषा नियंत्रण के बारे में हमारी सहज समझ के अनुरूप है, सिस्टम को कई इनपुट चर के उपयुक्त जोड़तोड़ के माध्यम से वांछित स्थिति में लाने में सक्षम है, ड्राइवर के समान, पैडल और स्टीयरिंग व्हील को जोड़कर, कार को वांछित गति से और दी गई दिशा में आगे बढ़ाता है। इस तथ्य के बावजूद कि नियंत्रण सिद्धांत विद्युत सर्किट, उत्पादन प्रक्रियाओं, संचार प्रणालियों ^4-6 , विमान, अंतरिक्ष यान और रोबोट ^{2-3 के} लिए अनुप्रयोगों के साथ प्रौद्योगिकी का एक गणितीय रूप से अत्यधिक विकसित शाखा है, प्रकृति में उत्पन्न होने वाली जटिल प्रणालियों की संगतता से संबंधित मूलभूत मुद्दे और तकनीकों को हल करने में कठिनाई होती है। कठिनाई यह है कि दो स्वतंत्र कारकों को प्रबंधित करना आवश्यक है, प्रत्येक का अनिश्चितता का अपना स्तर है:

(1) प्रणाली की वास्तुकला, एक नेटवर्क द्वारा निरूपित करती है कि कौन से घटक एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं,
(2) गतिशील नियम जो घटकों के बीच समय-निर्भर अंतःक्रियाओं को पकड़ते हैं।

इस प्रकार, प्रगति केवल उन प्रणालियों में संभव हो सकती है जिसमें दोनों परतों को अच्छी तरह से चित्रित किया जाता है , जैसे कि सिंक्रनाइज़ नेटवर्क ^7-10 , छोटे जैविक सर्किट और संचार नेटवर्क ^{4-6 के} लिए गति नियंत्रण। जटिल नेटवर्क की गुणात्मक टोपोलॉजिकल विशेषताओं को मात्रात्मक ^12-16 शेड फैक्टर (1) पर कम करने में हालिया प्रगति, यह दर्शाता है कि कुछ नेटवर्क दूसरों की तुलना में नियंत्रित करना आसान है, और नेटवर्क टोपोलॉजी सिस्टम नियंत्रणीयता को कैसे प्रभावित करती है। कुछ वैचारिक रूप से अभिनव कार्य ^{17-23 के} बावजूद ( अतिरिक्त सूचना के अनुभाग II देखें), हमारे पास अभी भी बड़े, भारित और निर्देशित नेटवर्क के लिए इन सवालों के मुख्य उत्तरों की कमी है जो अक्सर जटिल प्रणालियों में उत्पन्न होते हैं।


नेटवर्क प्रबंधन

अधिकांश वास्तविक प्रणालियाँ गैर-रेखीय प्रक्रियाओं पर आधारित हैं, लेकिन गैर-रैखिक प्रणालियों की नियंत्रणीयता कई मायनों में संरचनात्मक रूप से रैखिक प्रणालियों ³ की नियंत्रणीयता के समान है, जिसने हमें विहित रैखिक समीकरणों के समय-व्युत्क्रम के समीकरणों का उपयोग करके अनुसंधान शुरू करने के लिए प्रेरित किया।
(1)
जहाँ वेक्टर X (t) = (X1 (t), ..., Xn (t)) समय n पर n nodes से युक्त प्रणाली की स्थिति को ठीक करता है। उदाहरण के लिए, X (t) संचार नेटवर्क ²⁴ में नोड i से गुजरने वाले ट्रैफ़िक की मात्रा या जीन विनियमन नेटवर्क ²⁵ में प्रतिलेखन कारक की एकाग्रता को निरूपित कर सकता है। आयाम ए के मैट्रिक्स एनएक्सएन सिस्टम कनेक्शन आरेख और घटकों के बीच बातचीत बलों का वर्णन करता है, उदाहरण के लिए, अलग-अलग संचार लाइनों पर यातायात या नियामक बातचीत बल। अंत में, बी आयाम MxN (M <= N) का एक इनपुट मैट्रिक्स है, जो नोड्स की पहचान करता है जो बाहरी नियंत्रक द्वारा नियंत्रित होते हैं। सिस्टम को कंट्रोल वेक्टर यू (टी) = (यू 1 (टी), ..., उम (टी)) द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो कि नियंत्रक (चित्र 1 ए) द्वारा पेश किए गए समय टी के आधार पर होता है, जहां, आम तौर पर बोल, एक ही संकेत। Ui (t) कई नोड्स को नियंत्रित कर सकता है।

चित्र 1 | सरल नेटवर्क प्रबंधन। ए, एक छोटे नेटवर्क को एक इनपुट वेक्टर द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है (बाएं), जो हमें नेटवर्क को अपनी प्रारंभिक स्थिति से राज्य के स्थान (दाएं) में कुछ वांछित अंतिम स्थिति में ले जाने की अनुमति देता है। समीकरण (2) मैट्रिक्स (सी) की नियंत्रणीयता प्रदान करता है, जिसमें इस मामले में एक पूर्ण रैंक है, यह दर्शाता है कि सिस्टम नियंत्रणीय है। बी, सरल नेटवर्क मॉडल: उन्मुख प्रक्षेपवक्र। सी, उन्मुख प्रक्षेपवक्र के अधिकतम मिलान । संतृप्त बंध बैंगनी में दिखाए जाते हैं, संतृप्त नोड्स हरे रंग में दिखाए जाते हैं, और ढीले नोड्स सफेद रंग में दिखाए जाते हैं। नोड्स के अद्वितीय अधिकतम मिलान में सभी लिंक शामिल हैं, जैसे कि उनमें से कोई भी न तो प्रारंभ और न ही अंत नोड हैं। केवल शीर्ष नोड नि: शुल्क है, इसलिए इस पर नियंत्रण उन्मुख प्रक्षेपवक्र पर पूरा नियंत्रण देता है ( = 1)। डी, चित्रा बी में दिखाए गए दिशात्मक मार्ग में , सभी लिंक महत्वपूर्ण हैं, अर्थात्, उन्हें हटाने से नेटवर्क को नियंत्रित करने की हमारी क्षमता से वंचित हो जाएगा। ई, लघु नेटवर्क मॉडल: दिशात्मक सितारा। एफ , एक दिशात्मक स्टार में अधिकतम मिलान। केवल एक लिंक अधिकतम मिलान का हिस्सा हो सकता है, जो तीन मुफ्त नोड देता है ( = 3)। तीन अलग-अलग अधिकतम मिलान बताते हैं कि तीन अलग-अलग नोड कॉन्फ़िगरेशन पूर्ण नियंत्रण ले सकते हैं। जी, एक उन्मुख स्टार में, सभी कनेक्शन सामान्य हैं, अर्थात्, उन्हें हटाने से कुछ नियंत्रण विन्यासों को वंचित किया जा सकता है, लेकिन नेटवर्क को उनकी अनुपस्थिति में चालक नोड्स की समान संख्या के साथ प्रबंधित किया जा सकता है। । ज, एक छोटे नेटवर्क का उदाहरण। i, केवल दो कनेक्शन नेटवर्क h के लिए अधिकतम मिलान का हिस्सा हो सकते हैं , जो चार मुफ्त नोड्स देता है ( = 4)। इस नेटवर्क के लिए अधिकतम चार अलग-अलग मिलान हैं। j, नेटवर्क में एक महत्वपूर्ण लिंक है, एक निरर्थक लिंक (जिसे बिना किसी नियंत्रण कॉन्फ़िगरेशन को खोए हटाया जा सकता है) और चार नियमित लिंक।

यदि हम सिस्टम को नियंत्रित करना चाहते हैं, तो सबसे पहले हमें नोड्स के सेट को निर्धारित करने की आवश्यकता है , जिसे नियंत्रित करते हुए विभिन्न संकेतों की मदद से हम नेटवर्क पर पूर्ण नियंत्रण प्रदान कर सकते हैं। हम इन नोड ड्राइवरों को कॉल करेंगे। ड्राइवरों की न्यूनतम संख्या निर्धारित करना विशेष रूप से दिलचस्प है, इस पर नियंत्रण प्रणाली की गतिशीलता को पूरी तरह से नियंत्रित करने के लिए पर्याप्त होगा। इसे एनडी द्वारा अस्वीकार करें।

समीकरण (1) द्वारा वर्णित प्रणाली को नियंत्रणीय कहा जाता है यदि इसे किसी भी प्रारंभिक अवस्था से किसी भी वांछित अंतिम स्थिति में एक सीमित समय में लाया जा सकता है, जो कि यदि और केवल तभी संभव हो तो मैट्रिक्स (2) आयाम एन एक्स एनएम, पूर्ण रैंक है (3)

यह समीकरण प्रणाली की नियंत्रणीयता के लिए एक गणितीय स्थिति है, और रैंक ^1.2 (चित्र। 1 ए) के अनुसार कलमन नियंत्रणीयता मानदंड कहा जाता है। एक व्यावहारिक अर्थ में, नियंत्रणीयता को निम्न प्रकार से भी माना जा सकता है, ताकि चालक संख्या की इतनी न्यूनतम संख्या निर्धारित की जा सके कि समीकरण (3) संतुष्ट हो जाए। इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण (3) से पता चलता है कि अंजीर में नोड एक्स 1 पर नियंत्रण है। 1 बी, इनपुट सिग्नल यू 1 का उपयोग करते हुए, सिस्टम पर पूरा नियंत्रण प्रदान करता है, क्योंकि नोड्स एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 और एक्स 4 सिग्नल यू 1 (टी) (छवि 1 सी) द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं। इसी समय, इसके विपरीत, अंजीर में ऊपरी नोड पर प्रभाव। 1e अंतर के बाद से पूर्ण नियंत्रण के लिए पर्याप्त नहीं होगा (जहां aij मैट्रिक्स A के तत्व हैं) को u1 (t) (चित्र 1 देखें और अतिरिक्त सूचना का III.A देखें) का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। पूर्ण नियंत्रण प्राप्त करने के लिए, हमें एक साथ नोड X1 और {x2, x3, x4 (कोई और अधिक जटिल उदाहरण के लिए देखें। 1H, i) के बीच किसी भी दो अन्य नोड्स को नियंत्रित करना होगा।

एक मनमाना नेटवर्क के लिए समीकरणों (2) और (3) को लागू करने के लिए, प्रत्येक कनेक्शन (यानी, aij) के वजन को जानना आवश्यक है, जो कि अधिकांश वास्तविक नेटवर्क के लिए या तो अज्ञात है (जैसे विनियमन नेटवर्क) या केवल लगभग ज्ञात या समय पर निर्भर करता है (जैसे इंटरनेट ट्रैफ़िक)। यहां तक ​​कि अगर सभी वजन ज्ञात हैं, तो ब्रूट बल खोज के लिए आवश्यक है कि हम मैट्रिक्स सी के रैंक की गणना करें विभिन्न संयोजनों, जो बड़े नेटवर्क के लिए अत्यधिक कम्प्यूटेशनल रूप से चुनौतीपूर्ण कार्य है। लिंक के वजन को मापने की आवश्यकता को दरकिनार करने के लिए, हम ध्यान दें कि सिस्टम (ए, बी) "संरचनात्मक रूप से नियंत्रित" ^{26 है} यदि ए और बी में गैर-शून्य भार चुनना संभव है, ताकि सिस्टम समीकरण (3) को संतुष्ट करे । एक संरचनात्मक रूप से नियंत्रित प्रणाली को वजन गुणांक के लगभग सभी संयोजनों के लिए नियंत्रित किया जा सकता है, शून्य माप के साथ कुछ रोग संबंधी मामलों के अपवाद के साथ, जो तब होता है जब सिस्टम के पैरामीटर कुछ यादृच्छिक बाधाओं ^{26, 27 को} संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार, संरचनात्मक नियंत्रणीयता हमें ए में बांडों के भार के बारे में अनिवार्य रूप से हमारे अधूरे ज्ञान को दूर करने में मदद करती है। इसके अलावा, संरचनात्मक नियंत्रणीयता का मतलब है कि रैखिक ²⁸ प्रणालियों की निरंतरता की नियंत्रणीयता, हमारे परिणाम भी अधिकांश गैर-रेखीय प्रणालियों ³ (खंड III.A) के लिए एक पर्याप्त नियंत्रणीय स्थिति प्रदान कर सकते हैं। अतिरिक्त जानकारी )।

ड्राइवर नोड्स की खोज करने वाले क्रूर बल से बचने के लिए, हमने साबित किया कि नेटवर्क पर पूर्ण नियंत्रण बनाए रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम इनपुट्स या ड्राइवर नोड्स को नेटवर्क में "अधिकतम मिलान" द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात कनेक्शन का अधिकतम सेट जिसमें प्रारंभ या समाप्ति नोड शामिल नहीं हैं। (अंजीर। 1 सी, एफ, आई)। यदि कनेक्शन अधिकतम मिलान के बिंदुओं को इंगित करता है, तो एक नोड को संतृप्त कहा जाता है, अन्यथा यह मुफ़्त है। जैसा कि हमने पूरक सूचना में दिखाया है, संरचनात्मक नियंत्रणीयता की समस्या नेटवर्क में समतुल्य ज्यामितीय समस्या से मेल खाती है: हम उन्मुख नेटवर्क पर पूर्ण नियंत्रण प्राप्त कर सकते हैं यदि और केवल अगर हम प्रत्येक मुक्त नोड को सीधे नियंत्रित करते हैं और सभी संतृप्त नोड्स के लिए इनपुट संकेतों से दिशात्मक मार्ग हैं। ^{२ ९} । निर्धारित करने की क्षमता , इस मानचित्रण का उपयोग करना हमारा पहला प्रमुख परिणाम है। चूंकि ओरिएंटेड नेटवर्कों में अधिकतम मिलान संख्याओं की संख्या में संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है ³⁰ , जहां एल लिंक की संख्या को दर्शाता है, मानचित्रण एक मनमाने ढंग से उन्मुख नेटवर्क के लिए ड्राइवर नोड निर्धारित करने के लिए एक कुशल विधि प्रदान करता है।


वास्तविक नेटवर्क की प्रबंधन क्षमता

हमने कई वास्तविक नेटवर्क की प्रबंधन क्षमता का अध्ययन करने के लिए पहले विकसित उपकरणों का उपयोग किया। नेटवर्क को उनकी विविधता के कारण चुना गया था: उदाहरण के लिए, विनियमन के जीन नेटवर्क का लक्ष्य सेलुलर प्रक्रियाओं की गतिशीलता को नियंत्रित करना है, इसलिए यह उम्मीद की गई थी कि परिणाम एक संरचना होगी जो नियंत्रण के दृष्टिकोण से प्रभावी है और सैद्धांतिक रूप से चालक नोड्स की एक छोटी संख्या होनी चाहिए (अर्थात। छोटा )। इसके विपरीत, यह वर्ल्ड वाइड वेब या उद्धरण नेटवर्क की प्रबंधन क्षमता के लिए अपेक्षित नहीं है, जो मूल्यांकन के लिए भी इस प्रश्न को कठिन बनाता है । अंत में, कोई यह तर्क दे सकता है कि सामाजिक नेटवर्क, प्रबंधन के लिए धारणा (या यहां तक ​​कि प्रतिरोध) के लिए अपनी तटस्थता को देखते हुए, एक उच्च होना चाहिए , क्योंकि उनमें संपूर्ण प्रणाली को नियंत्रित करने के लिए व्यक्तिगत रूप से अधिकांश लोगों को नियंत्रित करना आवश्यक है। हमने ड्राइवर नोड्स के न्यूनतम सेट को निर्धारित करने के लिए अधिकतम मिलान के लिए मैपिंग का उपयोग किया तालिका 1 से नेटवर्क के लिए। प्राप्त आंकड़ों से हमारी अपेक्षाओं का खंडन होता है: एक समूह के रूप में, जीन विनियामक नेटवर्क एक उच्च दिखाते हैं (0.8), यह दर्शाता है कि स्वतंत्र रूप से उन्हें नियंत्रित करने के लिए लगभग 80% नोड्स को नियंत्रित करना आवश्यक है। इसके विपरीत, कुछ सामाजिक नेटवर्क न्यूनतम मूल्यों की विशेषता रखते हैं। , जो यह बताता है कि कई लोग, सिद्धांत रूप में, पूरी प्रणाली को नियंत्रित कर सकते हैं।

तालिका 1 | इस आलेख में वास्तविक नेटवर्कों की विशेषताओं का विश्लेषण किया गया है

प्रत्येक नेटवर्क के लिए, इसका प्रकार और नाम इंगित किया गया है; नोड्स (एन) और बांड (एल) की संख्या; एक वास्तविक नेटवर्क में गणना की गई चालक नोड्स का घनत्व , डिग्री के संरक्षण के साथ यादृच्छिककरण के बाद और पूर्ण यादृच्छिकरण के बाद । डेटा स्रोतों और लिंक तक पहुंच के लिए, अतिरिक्त जानकारी का खंड VI देखें।

यह देखते हुए कि हब्स (एक उच्च डिग्री के साथ नोड्स) ^{32.33 के} प्रसार की घटनाओं में और ^31.32 के प्रसार में नेटवर्क की संरचनात्मक अखंडता और ^{31.32 के} बाहरी प्रभाव को बनाए रखने में एक महत्वपूर्ण भूमिका है, यह मानना ​​स्वाभाविक है कि हब पर नियंत्रण आवश्यक है। पूरे नेटवर्क का प्रबंधन। इस परिकल्पना की शुद्धता को सत्यापित करने के लिए, हमने नोड्स को उनकी डिग्री, k (कम, मध्यम और उच्च) के आधार पर समान आकार के तीन समूहों में विभाजित किया। चित्र के रूप में। 2 ए, बी दो कैनोनिकल नेटवर्क मॉडल ( ^{एर्दोस} - ^{रेनी 35.36} और ^{स्केलेलेस 15.37-39} ) के लिए, चालक नोड्स का हिस्सा नोड्स के बीच कम डिग्री के साथ काफी अधिक है । अंजीर में। 2 सी, चालक नोड्स की औसत डिग्री का एक भूखंड प्रस्तुत किया गया है, एक औसत डिग्री से, कई नेटवर्क मॉडल के लिए तालिका 1 से प्रत्येक नेटवर्क के लिए। सभी मामलों में समान से काफी कम , यह दर्शाता है कि वास्तविक और नकली सिस्टम में, ड्राइवर नोड आमतौर पर हब नहीं होते हैं।

नेटवर्क की नियंत्रणीयता को निर्धारित करने वाली सामयिक विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए, हमने पूरी यादृच्छिकरण प्रक्रिया (रैंड-ईआर) का उपयोग करते हुए प्रत्येक वास्तविक नेटवर्क की यादृच्छिक स्थिति का चयन किया, जो नेटवर्क को एन और एल स्थिरांक के साथ एक एर्दो-रेनी उन्मुख यादृच्छिक नेटवर्क में बदल देता है। कई नेटवर्क के लिए, कोई परस्पर संबंध नहीं है स्रोत नेटवर्क और इसकी यादृच्छिक स्थिति (छवि 2 डी), इस प्रकार, अपवर्जन विधि द्वारा पूर्ण यादृच्छिकरण के साथ, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सामयिक विशेषताओं को प्रभावित नहीं करता है । हमने ^40.41 डिग्री रैंडमाइजेशन (रैंड-डिग्री) भी लागू किया है, जो इनपुट डिग्री को संरक्षित करता है, , और आउटपुट डिग्री, , प्रत्येक नोड अपरिवर्तित है, लेकिन बेतरतीब ढंग से नोड्स का चयन करता है जो एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। हम मानते हैं कि परिमाण के छह आदेशों के अवलोकन के अंतर के बावजूद यह प्रक्रिया नहीं बदलती है काफी। इस प्रकार, सिस्टम की नियंत्रणीयता काफी हद तक नेटवर्क नोड्स की डिग्री के वितरण पर निर्भर करती है , जो हमारा दूसरा और सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है। वह कहता है कि मूल रूप से प्रत्येक नोड के इनकमिंग और आउटगोइंग लिंक की संख्या से निर्धारित होता है और यह निर्भर नहीं करता है कि लिंक कहां इंगित करते हैं।


प्रबंधनीयता के लिए विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण

डिग्रियों के वितरण का महत्व हमें विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है मनमाने ढंग से नेटवर्क के लिए । काठी बिंदु विधि ^42-44 का उपयोग करते हुए , हमने स्व-सुसंगत समीकरणों (सेक्शन IV, अतिरिक्त सूचना ) का एक सेट प्राप्त किया, जिसका इनपुट डिग्री का वितरण है, और जिसका समाधान औसत के लिए है (या ) सभी नेटवर्क कार्यान्वयन के लिए संगत , जो हमारा तीसरा महत्वपूर्ण परिणाम है। चित्र के रूप में। 2 च विश्लेषणात्मक गणना पूरी तरह से संगत (और इसलिए सही मूल्य के अनुरूप होना चाहिए ), जो हमें विभिन्न नेटवर्क मापदंडों के प्रभाव का अध्ययन करने के लिए एक प्रभावी विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करता है । हालांकि काठी बिंदु विधि एक विश्लेषणात्मक समाधान प्रदान नहीं करता है, हम निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं थर्मोडायनामिक सीमा में प्रमुख नेटवर्क मापदंडों से । उदाहरण के लिए, हमने पाया कि ErdoS-Renyi उन्मुख नेटवर्क के लिए बड़े पैमाने पर ठीक (4)। स्केललेस नेटवर्क के लिए सीमा तक, बड़े के लिए ³⁸ , प्रतिपादक के साथ हमारे पास एक समीकरण है (५) जो सीमा में हो उसी पर निर्भरता है , साथ ही समीकरण (4)। समीकरण (5) से यह इस प्रकार है अनंत स्केललेस नेटवर्क की प्रबंधन क्षमता के लिए एक महत्वपूर्ण संकेतक है, और केवल इसके लिए हम पूरे सिस्टम को नोड्स की सीमित संख्या के माध्यम से नियंत्रित कर सकते हैं (अर्थात। )। के लिए , थर्मोडायनामिक सीमा में, सभी नोड्स को नियंत्रित किया जाना चाहिए (अर्थात,) = 1)। ध्यान दें से अलग है , जो कि विसंगति के कारण ^{31-33.45 के} वायरल प्रसार के प्रतिरोध से लेकर नेटवर्क की कई घटनाओं के लिए एक महत्वपूर्ण संकेतक है। । एर्दो-रेनी और स्केललेस नेटवर्क जैसे नेटवर्क के लिए विश्लेषणात्मक गणना को सत्यापित करने के लिए, हमने संख्यात्मक निर्भरता निर्धारित की से जो असममित घातीय निर्भरता की पुष्टि करता है से समीकरणों (4) और (5) की भविष्यवाणी के अनुसार। इसके अलावा, अनुमानित मूल्य के लिए संख्यात्मक परिणामों के साथ अच्छी तरह से सहमत हैं (अंजीर। 3 डी, ई)। हालाँकि, पड़ोस में । , जैसा कि काठी बिंदु विधि द्वारा भविष्यवाणी की गई है, सटीक मान से विचलन करता है डिग्री के सहसंबंध के कारण जो महत्वपूर्ण हैं , और स्केललेस नेटवर्क ^39.46 (अनुभाग IV.V अतिरिक्त सूचना ) के निर्माण के दौरान एक फसली डिग्री शुरू करके समाप्त किया जा सकता है। समीकरण (5) भी दर्शाता है कि बढ़ने के साथ घटती जाती है (नियत के लिए) ), यह दर्शाता है डिग्री की विविधता पर निर्भर करता है, कम जुड़े और अधिक जुड़े नोड्स के बीच अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। हमने डिग्री विषमता की पहचान की है जहाँ डिग्री के वितरण से लिए गए नोड्स (i और j) के सभी जोड़े के लिए डिग्री का औसत पूर्ण अंतर है । नेटवर्क के लिए डिग्री की विषमता शून्य (H = 0) है, जिसके लिए सभी नोड्स में समान डिग्री है, उदाहरण के लिए, यादृच्छिक नियमित निर्देशित रेखांकन (छवि 3 ए), जिसमें नोड्स के इनपुट और आउटपुट डिग्री कम हो जाते हैं। / 2, लेकिन नोड्स बेतरतीब ढंग से जुड़े हुए हैं। के लिए > = 2, इस ग्राफ में हमेशा एक परिपूर्ण मिलान ⁴⁷ (ग्राफ के सभी कोने युक्त मिलान) होता है, जिसका अर्थ है कि एक चालक नोड पूरे सिस्टम को नियंत्रित कर सकता है ( अतिरिक्त सूचना का अनुभाग IV.B1)।

चित्र 2 | चालक नोड्स के व्यवहार की विशेषताएं और भविष्यवाणी ( )।
ए, बी, नेटवर्क मॉडल में हब की भूमिका। सलाखों के चालक नोड्स का अनुपात दिखाते हैं, , दो नेटवर्क मॉडल के लिए एक कम, मध्यम और उच्च नोड्स वाले नोड्स के बीच, एर्दोस-रेनी (ए) और स्केल-फ्री (बी), एन = 10 ^{4 के साथ} = 3 ( ), हमें इंगित करता है कि ड्राइवर नोड आमतौर पर हब नहीं हैं। ErdoS-Re'nyi और स्केलेबल नेटवर्क स्थैतिक मॉडल ³⁸ से उत्पन्न होते हैं और परिणाम 100 कार्यान्वयन पर औसत होते हैं। त्रुटि पट्टियाँ (मुख्य स्तंभों के ऊपर), जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, स्वयं मानों से छोटी हैं। सी, वास्तविक और मॉडल नेटवर्क में सभी नोड्स की औसत डिग्री की तुलना में ड्राइवर नोड्स की औसत डिग्री इंगित करती है कि वास्तविक सिस्टम हब में ड्राइवर नोड नहीं हैं। डी, चालक नोड्स की संख्या सटीक मान की तुलना में तालिका 1 में सूचीबद्ध नेटवर्क के पूरी तरह से यादृच्छिक संस्करणों के लिए प्राप्त किया गया, । ई, चालक नोड्स की संख्या तुलना में तालिका 1 में दिखाए गए नेटवर्क के यादृच्छिक संस्करणों के लिए डिग्री के संरक्षण के साथ प्राप्त किया गया । च विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जाती है के साथ तुलना में काठी बिंदु विधि का उपयोग कर प्राप्त किया । डीएफ में, डेटा बिंदुओं और अनिश्चितताओं (एसईएम) को यादृच्छिक नेटवर्क की 1000 वास्तविकताओं से निर्धारित किया गया था।

विषमता की डिग्री बढ़ जाती है क्योंकि हम एक यादृच्छिक नियमित रूप से निर्देशित ग्राफ से एरडोएस-रेन प्रकार (छवि 3 बी) के एक नेटवर्क में चले जाते हैं, और अंततः एक कमी के साथ। स्केलेबल नेटवर्क (छवि 3 सी) के लिए। सामान्य तौर पर, चालक नोड्स का हिस्सा, निरंतर रखते हुए, एच के साथ नीरसता बढ़ जाती है (अंजीर। 3 एफ) या (अंजीर। 3 ग्राम)।

चित्र 3 | चालक नोड की संख्या पर नेटवर्क संरचना का प्रभाव। ए - सी,
अध्ययन किए गए नेटवर्क मॉडल के लक्षण। एक यादृच्छिक रूप से उन्मुख उन्मुख ग्राफ ( ए ) के लिए यहां दिखाया गया है = 4 सबसे समान डिग्री वितरण वाला नेटवर्क है, क्योंकि = = / 2 सभी नोड्स के लिए। एर्डोस - रेनी नेटवर्क ( बी ) में एक पॉइसन डिग्री वितरण है, और उनके लिए डिग्री विविधता निर्धारित की जाती है । स्केल-फ्री नेटवर्क ( c ) में डिग्रियों का पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन होता है, जिससे डिग्रियों की भारी विविधता होती है। डी , चालक नोड्स का घनत्व, के एक समारोह के रूप में एर्दो के लिए - विभिन्न मूल्यों के साथ रेनी (ईआर) और स्केललेस (एसएफ) नेटवर्क । स्कैलेसलेस और एर्दोस - रेनी नेटवर्क दोनों स्थिर मॉडल ³⁸ से एन = 10 ⁵ से उत्पन्न होते हैं। लाइनें विश्लेषणात्मक परिणाम हैं और गणना सीमा पद्धति का उपयोग करके अपेक्षित सीमा का उपयोग करके की जाती है डिग्री वितरण।
प्रतीकों का निर्माण निर्मित असतत नेटवर्क के लिए किया जाता है: सर्किल अधिकतम मिलान विधि द्वारा सटीक गणना परिणामों को इंगित करते हैं, और क्रॉस निर्माण किए गए नेटवर्क की डिग्री के सटीक अनुक्रम का उपयोग करके काठी बिंदु विधि द्वारा प्राप्त विश्लेषणात्मक परिणामों को दर्शाते हैं। बड़े के लिए । नीचे के पृष्ठ पर, N- ¹ , जो कि केवल चालक नोड है = 1 आकार N. e के नेटवर्क में, के एक समारोह के रूप में निश्चित के साथ स्केललेस नेटवर्क के लिए । अंतहीन स्केललेस नेटवर्क के लिए -> 1 के बाद से -> = 2, अर्थात्, पूरे नेटवर्क को नियंत्रित करने के लिए लगभग सभी नोड्स को नियंत्रित करना आवश्यक है। परिमित नेटवर्क के लिए, -> 1 के बाद से -> , अर्थात्, पूरे नेटवर्क को नियंत्रित करने के लिए लगभग सभी नोड्स को नियंत्रित करना आवश्यक है। परिमित बिना नेटवर्क के इसके बाद से अधिकतम तक पहुँचता है आ ( अतिरिक्त जानकारी )। च, डिग्री विषमता, एच के एक समारोह के रूप में, एर्डोस के लिए - रेनी नेटवर्क और स्केललेस फिक्स्ड नेटवर्क और बदल रहा है । जी, एनडी के लिए एच के एक समारोह के रूप में एर्दोस - रेनी नेटवर्क और स्केलेलेस नेटवर्क तय के लिए और बदल रहा है । बढ़ने के साथ घटता इसी मान के साथ ErdoS-Renyi नेटवर्क (काला) के परिणाम में परिवर्तित होता है ।
इन परिणामों को एक साथ लेते हुए, हम पाते हैं कि सघनता नेटवर्क, इसे नियंत्रित करने के लिए कम चालक नोड्स की आवश्यकता होती है, और औसत परिवर्तन के लिए छोटे परिवर्तन होते हैं स्केल ऑर्डर। इसके अलावा, नोड्स की डिग्री के बीच का अंतर जितना अधिक होता है, सिस्टम को नियंत्रित करने के लिए चालक नोड्स की अधिक से अधिक संख्या आवश्यक है।सामान्य तौर पर, नेटवर्क को अलग-थलग कर दिया जाता है, अर्थात्, ये विशेषताएं अक्सर जटिल प्रणालियों में देखी जाती हैं, जैसे कि सेलुलर नेटवर्क या इंटरनेट, ^{13-16 में} अधिक ड्राइवर नोड्स की आवश्यकता होती है, इस बात पर जोर देना कि ऐसी प्रणालियों को नियंत्रित करना मुश्किल है।


प्रबंधन स्थिरता

यह देखने के लिए कि नेटवर्क को प्रबंधित करने की हमारी क्षमता कितनी विश्वसनीय है जब नेटवर्क में कुछ कनेक्शन गायब हो जाते हैं, जो अनिवार्य रूप से उत्पन्न होते हैं, हम प्रत्येक कनेक्शन को तीन श्रेणियों (छवि 1, डी, जी, जे) में से एक में वर्गीकृत करते हैं:
"महत्वपूर्ण"। यदि इसके लापता होने की स्थिति में हमें पूर्ण प्रबंधन क्षमता बनाए रखने के लिए ड्राइवर नोड की संख्या बढ़ाने की आवश्यकता होगी;
"शानदार" अगर इसे चालक नोड्स के वर्तमान सेट को प्रभावित किए बिना हटाया जा सकता है, या
"साधारण" यदि यह न तो महत्वपूर्ण है और न ही अतिश्योक्तिपूर्ण है। चित्र 4 प्रत्येक वास्तविक नेटवर्क के लिए महत्वपूर्ण , निरर्थक और सामान्य लिंक की घनत्व को दर्शाता है, और यह दर्शाता है कि अधिकांश नेटवर्क में एक छोटी संख्या या कोई महत्वपूर्ण लिंक नहीं है। अधिकांश कनेक्शन सामान्य हैं, जिसका अर्थ है कि वे कुछ प्रबंधन कॉन्फ़िगरेशन में एक भूमिका निभाते हैं, लेकिन इन नेटवर्क को उनकी अनुपस्थिति में प्रबंधित किया जा सकता है। चित्र 4 | स्थिरता प्रबंधन के संदर्भ में लिंक श्रेणियां।


तालिका 1 में दिखाए गए वास्तविक नेटवर्कों के लिए क्रिटिकल (लाल, एलसी), निरर्थक (हरा, एलआर), और सामान्य (ग्रे, एलओ) लिंक का हिस्सा। प्रबंधन में लिंक नुकसान के लिए प्रतिरोधी बनाने के लिए, यह केवल महत्वपूर्ण लिंक को दोगुना करने के लिए पर्याप्त है, औपचारिक रूप से प्रत्येक के लिए लिंक ये लिंक निरर्थक हैं, और इस प्रकार यह सुनिश्चित करते हैं कि सिस्टम में कोई महत्वपूर्ण लिंक नहीं हैं।

निर्धारित करने वाले कारकों को पहचानने के लिए । और अंजीर में। 5 ए, सी, एफ, हम मॉडल सिस्टम के लिए उनकी निर्भरता दिखाते हैं। व्यवहार समझने में आसान: छोटे के लिए , सभी संचार प्रबंधन के लिए महत्वपूर्ण हैं ।जैसे-जैसे यह बढ़ता है, नेटवर्क अतिरेक कम होने के साथ बढ़ता है ।अतिरेक में वृद्धि से पता चलता है कि अतिरिक्त बांडों का घनत्व हमेशा बढ़ना चाहिए , लेकिन ऐसा नहीं है: यह एक महत्वपूर्ण मूल्य पर अधिकतम तक पहुंचता है । जिसके बाद वह गिर जाता है। यह नोनमोनोटोनिक व्यवहार दो टोपोलोगिक रूप से अलग-अलग नेटवर्क खंडों, कोर और पत्तियों ^{43 के} बीच प्रतिस्पर्धा का परिणाम है । "पत्ती" पत्ती हटाने ⁴⁸ को लागू करने के बाद कोर नेटवर्क में शेष नोड्स का एक कॉम्पैक्ट क्लस्टर है , और पत्ते पत्ती हटाने से पहले या दौरान = 1 या = 1 के साथ नोड हैं । कोर संक्रमण के रिसने के माध्यम से बाहर निकलता है (चित्र 5, बी, डी): के <के लिए । ताकि प्रणाली केवल पत्तियों (छवि 5 ई) के होते हैं। पर = , एक छोटा सा कोर दिखाई देता है, पत्तियों की संख्या को कम करता है। ErdoS-Renyi नेटवर्क के लिए, हम मान लेते हैं कि = 2e = 5.436564, जो संख्यात्मक परिणामों (छवि 5 ए, बी), एक मान से मेल खाता है।
साथ जहाँ अधिकतम तक पहुँचता है। वास्तव में, जब , क्योंकि के लिए कम होना शुरू होता है > विभिन्न अधिकतम मैचों की संख्या तेजी से बढ़ती है ( अतिरिक्त सूचना का अनुभाग IV.C ) और, परिणामस्वरूप, किसी भी नियंत्रण कॉन्फ़िगरेशन में लिंक शामिल नहीं होने की संभावना कम हो जाती है। स्केलेबल नेटवर्क के लिए, हम उसी व्यवहार का पालन करते हैं, जो कैविएट के साथ होता है, जो घटता है (चित्र 5, सी, डी)।


चर्चा और निष्कर्ष

प्रबंधन सबसे जटिल प्रणालियों में केंद्रीय मुद्दों में से एक है, लेकिन मात्रात्मक तरीकों का उपयोग करके इन मुद्दों का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य सिद्धांत की कमी के कारण, हम इस बात के बारे में बहुत कम जानते हैं कि हम भारित, उन्मुख नेटवर्क (कॉन्फ़िगरेशन) को कैसे नियंत्रित कर सकते हैं वास्तविक प्रणालियों में पाया जाता है)। वास्तव में, बड़े नेटवर्क के लिए कलमन नियंत्रणीयता रैंक की स्थिति (समीकरण (3)) का अनुप्रयोग कम्प्यूटेशनल रूप से अत्यधिक है, नोड्स की संख्या के साथ पिछले कार्यों के आवेदन को सीमित करते हुए कुछ दर्जन से अधिक ^{17-19 नहीं} । यहां हमने नेटवर्क प्रबंधन की समस्या को मनमाने ढंग से टोपोलॉजी और आकारों को हल करने के लिए उपकरण विकसित किए। हमारा मुख्य निष्कर्ष यह है कि मुख्य रूप से डिग्री के वितरण द्वारा निर्धारित, हमें सांख्यिकीय भौतिकी के उपकरणों का उपयोग करने के लिए विश्लेषणात्मक रूप से निर्भरता का अनुमान लगाने की अनुमति देता है से प्रबंधनीयता पर नेटवर्क टोपोलॉजी के प्रभाव का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य औपचारिकता की पेशकश करना। चित्र 5 | स्थिरता प्रबंधन। ए, महत्वपूर्ण (लाल, एलसी), निरर्थक (हरा, एलआर) और साधारण (ग्रे, एलओ) बांडों की एर्डोस - रेनी नेटवर्क पर निर्भरता : lr अधिकतम पर पहुंचता है


= = 2 ई, और व्युत्पन्न एलसी = । बी, एर्दो के लिए कोर रिसाव - रेनी नेटवर्क तब होता है = = 2 ई, जो एलआर के शिखर की व्याख्या करता है। c, d, समान a और b, लेकिन स्केललेस नेटवर्क के लिए। एर्डोस - रेनी नेटवर्क और स्केलेबल नेटवर्क ³⁸ में एन = 10 ^{4 है} और परिणाम दस वास्तविकताओं के लिए औसत हैं, जिसमें त्रुटि मान को सेमी के रूप में परिभाषित किया गया है। बिंदीदार रेखाएं केवल सम्मेलन द्वारा इंगित की जाती हैं। ई, छोटे एर्डोस के लिए कोर (लाल) और पत्तियां (हरा) - रेनी नेटवर्क (एन = 30) विभिन्न मूल्यों के साथ ( = 4, 5, 7)। नोड का आकार नोड की डिग्री के लिए आनुपातिक है। एफ, क्रिटिकल (लाल), निरर्थक (हरा), और साधारण (ग्रे) एर्दोस पर संचार - मूल्यों के साथ रेनी नेटवर्क ।

यहाँ प्रस्तुत दृष्टिकोण कई प्रश्न उठाता है, जिनके उत्तर कठिन परिस्थितियों में प्रबंधन के कार्य की हमारी समझ को और गहरा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, इस तथ्य के बावजूद कि हमारा विश्लेषणात्मक कार्य असंबद्ध नेटवर्क पर केंद्रित है, हमने जो एल्गोरिदम विकसित किए हैं , वे मनमाने नेटवर्क के लिए निर्धारित किए जा सकते हैं , जो सहसंबंधों की भूमिका के प्रश्न ^{40, 49, 50 के} लिए एक व्यवस्थित आधार प्रदान करते हैं । एक साथ लिया गया, हमारे परिणाम दिखाते हैं कि नेटवर्क विज्ञान और नियंत्रण सिद्धांत के साधनों के संयोजन से, नियंत्रणीयता के कई पहलुओं का सटीक रूप से मनमाने ढंग से नेटवर्क के लिए विश्लेषणात्मक तरीके से अध्ययन किया जा सकता है, जो जटिल प्रणालियों की हमारी समझ को गहरा करने के नए तरीके खोल रहा है।

लेख की अतिरिक्त जानकारी "जटिल नेटवर्क की प्रबंधन क्षमता"जर्नल नेचर की वेबसाइट पर उपलब्ध

अनुवाद के लेखक द्वारा प्रदान की dopolnitelyunuyu जानकारी के लिए लिंक
1. जीन विनियमन नेटवर्क में प्रतिलेखन कारक की एकाग्रता
2. थ्योरी matchings
3. मानदंड Kalman controllability रैंक
4. जानवर बल के आधार पर खोजें
5. विधि काठी बिंदु


अनुवाद तैयार Rabchevsky यूजीन ।

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