एक अलग संख्या पाई के साथ रिक्त स्थान

हाल ही में, होबे में, एक लेख में, उन्होंने इस सवाल का उल्लेख किया "यदि पाई की संख्या 4 थी तो दुनिया का क्या होगा?" मैंने गणित के प्रासंगिक क्षेत्रों में कुछ (यद्यपि सबसे व्यापक नहीं) ज्ञान का उपयोग करते हुए, इस विषय पर थोड़ा चिंतन करने का फैसला किया। कौन परवाह करता है - मैं एक बिल्ली के लिए पूछता हूं।




ऐसी दुनिया की कल्पना करने के लिए, किसी को गणितीय रूप से एक सर्कल के परिधि के अलग-अलग अनुपात के साथ अपने व्यास के साथ एक स्थान का एहसास होना चाहिए। यही मैंने करने की कोशिश की।

प्रयास नंबर 1।

हम तुरंत कहते हैं कि मैं केवल दो आयामी स्थानों पर विचार करूंगा। क्यों? क्योंकि सर्कल, वास्तव में, दो-आयामी स्थान में परिभाषित किया गया है (यदि हम आयाम n> 2 पर विचार करते हैं, तो उसके त्रिज्या के लिए (n-1) -dimensional सर्कल के माप का अनुपात भी एक स्थिर नहीं होगा)।
शुरुआत के लिए, मैंने कम से कम कुछ जगह के साथ आने की कोशिश की, जहां पाई 3.1415 के बराबर नहीं है ... इसके लिए, मैंने एक मीट्रिक के साथ एक मीट्रिक स्थान लिया जिसमें दो बिंदुओं के बीच की दूरी समन्वय अंतर मॉड्यूल (यानी , चेबिशेव दूरी ) के बीच अधिकतम के बराबर है।

इस स्थान में इकाई वृत्त का क्या रूप होगा? इस सर्कल के केंद्र के लिए निर्देशांक (0,0) के साथ बिंदु लें। फिर बहुत सारे बिंदु हैं, दूरी (किसी दिए गए मीट्रिक के अर्थ में) जिसमें से केंद्र 1 है, समन्वय अक्षों के समानांतर 4 खंड हैं, 2 पक्ष के साथ और शून्य पर केंद्र के साथ एक वर्ग बनाते हैं।

हां, कुछ मीट्रिक में यह एक चक्र है!

आइए, यहां पीआई की गिनती करें। त्रिज्या 1 है, फिर व्यास क्रमशः 2 है। आप व्यास की परिभाषा को दो बिंदुओं के बीच सबसे बड़ी दूरी के रूप में भी मान सकते हैं, लेकिन फिर भी यह 2. इस मीट्रिक में हमारे "सर्कल" की लंबाई को खोजने के लिए बना हुआ है। यह सभी चार खंडों की लंबाई का योग है, जिसमें इस मीट्रिक की लंबाई अधिकतम (0,2) = 2 है। इसलिए, परिधि 4 * 2 = 8 है। खैर, फिर यहां पीआई 8/2 = 4 है। यह निकला! लेकिन क्या बहुत खुश होना जरूरी है? यह परिणाम व्यावहारिक रूप से बेकार है, क्योंकि विचाराधीन स्थान बिल्कुल सार है, इसमें कोण और घुमाव भी परिभाषित नहीं हैं। क्या आप ऐसी दुनिया की कल्पना कर सकते हैं जहाँ वास्तव में एक मोड़ को परिभाषित नहीं किया जाता है, और जहां एक वर्ग है? मैंने कोशिश की, ईमानदारी से, लेकिन मेरे पास पर्याप्त कल्पना नहीं थी।

प्रयास नंबर 2।

यह महसूस करते हुए कि मुझे एक दिलचस्प, लेकिन बिल्कुल बेकार (एक अलग पाई के साथ दुनिया की संरचना को समझने के अर्थ में) परिणाम है, मैंने कोणों और घुमावों की कुछ अवधारणाओं के साथ अंतरिक्ष का एक मॉडल बनाने की कोशिश करने का फैसला किया (अर्थात, एक गैर-पतित स्केलर उत्पाद के साथ एक स्थान)। बेशक, मैं चाहता था कि मीट्रिक शब्द के शास्त्रीय अर्थ में मीट्रिक बने रहे (यानी, दो बिंदुओं के बीच की दूरी वास्तविक और गैर-नकारात्मक थी)। लेकिन फिर स्केलर उत्पाद को सकारात्मक निश्चित होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि अंतरिक्ष यूक्लिडियन होना चाहिए। या कम से कम स्थानीय रूप से यूक्लिडियन, यानी विविधता । आप इन सभी अवधारणाओं से परेशान नहीं हो सकते हैं, लेकिन सिर्फ :) पर पढ़ें
मैं स्वीकार करता हूं, मैंने थोड़ी देर के लिए मार डाला, एक बुरा पी नंबर के साथ एक मुश्किल यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ आने की कोशिश कर रहा था। मैंने परिणामी "वृत्तों" की लंबाई गिना, विभिन्न अभिन्न सूत्रों को याद करते हुए, जब तक कि स्पष्ट तथ्य मेरे पास नहीं आया: यदि अंतरिक्ष यूक्लिडियन है, तो निर्देशांक को बदलकर हम अपना सामान्य स्थान प्राप्त कर सकते हैं जिसमें पाई संख्या ज्ञात की जाती है। तो एक और यूक्लिडियन स्पेस में इसका अर्थ नहीं बदलेगा। उदासी।

प्रयास नंबर 3।

चूंकि कोनों और मोड़ अभी भी हमारे लिए वांछनीय हैं, लेकिन यूक्लिडियन स्पेस हमें सूट नहीं करता है, हम छद्म - यूक्लिडियन प्रकार (1,1) पर विचार करने की कोशिश करेंगे (क्योंकि हम केवल दो-आयामी लोगों में रुचि रखते हैं)। यह साधारण यूक्लिडियन स्पेस से अलग है, इसमें दो बिंदुओं के बीच की दूरी का वर्ग (और, परिणामस्वरूप, दो वैक्टर का स्केलर उत्पाद) नकारात्मक हो सकता है। विशेष रूप से पीड़ित नहीं होने के लिए, मैंने एक मीट्रिक लिया जिसमें कार्टेशियन निर्देशांक में स्केलर उत्पाद का रूप होगा । इकाई त्रिज्या का वृत्त किस रूप में लेगा? यह समीकरण द्वारा परिभाषित बिंदुओं का समूह होगा , वह है ... हाइपरबोले।

हाँ, हाँ! एक निश्चित स्थान में और यह एक चक्र है।

त्रिज्या 1 है, लेकिन इस "सर्कल" की लंबाई खोजने में कुछ कठिनाइयां हैं। कुछ लोगों ने इंटरनेट पर जानकारी खोजने के बाद, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में "पाई नंबर" जैसी अवधारणा को बिल्कुल भी परिभाषित नहीं किया जा सकता है, जो निश्चित रूप से बुरा है।

यदि कोई टिप्पणी में मुझे बताता है कि छद्म-यूक्लिडियन स्थान में वक्र की लंबाई की औपचारिक रूप से गणना कैसे की जाती है, तो मुझे बहुत खुशी होगी, क्योंकि अंतर ज्यामिति, टोपोलॉजी (साथ ही कठिन गोलगप्पे) का मेरा ज्ञान इसके लिए पर्याप्त नहीं था।

निष्कर्ष:

मुझे नहीं पता कि इतने लंबे अध्ययन के बाद निष्कर्ष के बारे में लिखना संभव है, लेकिन कुछ कहा जा सकता है। सबसे पहले, पाई की एक अलग संख्या के साथ एक स्थान की कल्पना करने की कोशिश करते हुए, मुझे एहसास हुआ कि वास्तविक दुनिया का एक मॉडल होना बहुत सार होगा। दूसरे, जब आप एक अधिक सफल मॉडल (हमारे समान, वास्तविक दुनिया) के साथ आने की कोशिश करते हैं, तो यह पता चलता है कि पाई नंबर अपरिवर्तित रहता है। यदि हम दूरी के एक नकारात्मक वर्ग की संभावना को स्वीकार करते हैं (जो एक साधारण व्यक्ति के लिए बस बेतुका है), तो पाई बिल्कुल भी निर्धारित नहीं होगी! यह सब बताता है कि, शायद, एक अलग पाई नंबर के साथ कोई शांति नहीं हो सकती थी? यह व्यर्थ नहीं है कि ब्रह्मांड वास्तव में यही है। और शायद यह वास्तविक है, बस साधारण गणित, भौतिकी और मानव कल्पना इसके लिए पर्याप्त नहीं है। आपको क्या लगता है?

Upd। मुझे पक्का पता चल गया। एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वक्र की लंबाई केवल इसके किसी भी यूक्लिडियन उप-स्थान पर निर्धारित की जा सकती है। अर्थात्, विशेष रूप से, N3 के प्रयास में प्राप्त "सर्कल" के लिए, ऐसी अवधारणा "लंबाई" बिल्कुल भी परिभाषित नहीं है। तदनुसार, पाई को वहां भी नहीं गिना जा सकता है।