👴🏾 👩🏽‍🤝‍👨🏼 ⛔️ शंक्वाकार खंड 🤜 👇🏽 🌮

दूसरे दिन, ज्यामितीय गणना से संबंधित एक कार्यक्रम के एक टुकड़े को डिबग करते हुए, मैंने देखा कि इनपुट मापदंडों के मूल्यों की परवाह किए बिना चर में से एक का मूल्य समान है। स्वाभाविक रूप से, सबसे पहले, मुझे एक गलती का संदेह था और इसके लिए खोज करने में कुछ समय बिताया, लेकिन थोड़ा सोचने के बाद, मुझे एहसास हुआ कि यह गलती नहीं थी, लेकिन शंकु वर्गों के ज्ञात गुणों में से एक है जिसे अक्सर भुला दिया जाता है। उसके बाद मैंने सुंदर ज्यामितीय निर्माणों को चित्रित करने में अधिक समय बिताया, और अंत में मैंने फैसला किया कि यह किसी के साथ चित्रों को साझा करने के लायक था। इसलिए यह शुक्रवार का लेख दिखाई दिया।

मैं आपको याद दिलाता हूं (और मैं उन लोगों को सूचित करूंगा जिन्होंने उच्च गणित का अध्ययन नहीं किया था) कि एक दीर्घवृत्त, परबोला और हाइपरबोला के रूप में इस तरह के घटता को शंक्वाकार खंड कहा जाता है (अभी भी पतित मामले हैं - अब हम उन पर ध्यान नहीं देंगे)। सामान्य तौर पर, शंक्वाकार खंड एक बहुत ही अद्भुत वस्तु हैं, वे कई क्षेत्रों में पाए जाते हैं। एक उदाहरण के लिए, परवलयिक एंटेना या आकाशीय पिंडों की कक्षाओं को याद कर सकते हैं।
प्रत्येक शंक्वाकार खंड एक शंकु का एक खंड है (हालांकि सीईपी?), अर्थात, शंकु और समतल क्षेत्र का गठन होने वाली रेखा। खैर, उपस्थिति विमान की सापेक्ष स्थिति और शंकु के जेनरेट्रिक्स पर निर्भर करती है। यह साबित करना भी आसान है कि ऐसी सभी लाइनें दूसरे क्रम के समीकरणों के ग्राफ हैं।

क्या किसी को वास्तव में प्रमाण की आवश्यकता है?

शंकु का वर्णन प्रपत्र के दूसरे क्रम के एक विहित समीकरण द्वारा किया जाता है

निर्देशांक विमान को निर्देशांक के एक रैखिक परिवर्तन करके z = 0 विमान में बदल दिया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि निर्देशांक के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, समीकरण की डिग्री नहीं बढ़ती है और, इस समीकरण में मान z = 0 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित दूसरे क्रम के समीकरण प्राप्त करते हैं।

हर कोई जो उच्च गणित पढ़ाता है, उसने निश्चित रूप से दूसरे क्रम की रेखाओं और सतहों के वर्गीकरण को याद करते हुए एक निश्चित समय बिताया है (भगवान के लिए बहुत सारे शब्द नहीं हैं, खासकर यदि आप काल्पनिक आंकड़ों को ध्यान में नहीं रखते हैं)।

लेकिन दीर्घवृत्त, परबोला और हाइपरबोला की शास्त्रीय परिभाषाओं के लिए, एक और संपत्ति का उपयोग किया जाता है, जिसका नाम है (मैं बोली)
एक दीर्घवृत्त यूक्लिडियन विमान के बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं (जिसे foci कहा जाता है) से दूरी का योग इन बिंदुओं के बीच की दूरी से निरंतर और अधिक है।

हाइपरबोला यूक्लिडियन विमान के बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति है, जिसके लिए दो चयनित बिंदुओं (जिसे फ़ॉसी कहा जाता है) की दूरी में अंतर का निरपेक्ष मूल्य स्थिर है।

एक पेराबोला एक दी गई रेखा और एक दिए गए बिंदु से इक्वालिडियन विमान के समभुज के बिंदुओं का एक ज्यामितीय स्थान है।

इन गुणों का प्रमाण सीधा है। संबंधित दूसरे क्रम के समीकरण को लेना आवश्यक है, ध्यान से दूरी के लिए सूत्र लिखें और बीजीय रूपांतरण करें। गणना बल्कि बोझिल हैं, इसलिए यहां मैं केवल सबसे सरल मामला - एक परवलय दूंगा।

कुछ सूत्र चाहते हैं?

Parabola को समीकरण y = a * x * x द्वारा दिया जाता है, जहाँ a स्थिर है। हम निर्देशांक (0, 1 / (4a)) के साथ परबाला के किसी भी बिंदु से दूरी की गणना करते हैं:

यहां परबोला समीकरण का उपयोग करके दूसरा परिवर्तन किया जाता है, और बाकी सिर्फ तत्वों के पुनर्व्यवस्था और कोष्ठक के प्रकटीकरण के लिए किया जाता है। यह पता चला कि परबोला के बिंदु से बिंदु (0, 1 / (4a)) की दूरी समान रेखा से बराबर की दूरी y = -1 / (4a) के बराबर है, आवश्यकतानुसार।

शब्द "अंकों का ज्यामितीय स्थान" एक कम्पास और शासक के साथ तुरंत एक स्कूल डेस्क और निर्माण जैसा दिखता है। सामान्य तौर पर, यह ज्यामिति का मेरा पसंदीदा हिस्सा था, हालांकि बीजगणितीय अभिनय अक्सर आसान होता था। बेशक, एक कम्पास और एक शासक का उपयोग करके शंक्वाकार वर्गों का पूरी तरह से निर्माण करना असंभव है, लेकिन आप अपने घटता पर झूठ बोलने वाले किसी भी अंक का निर्माण कर सकते हैं। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका उल्लेखित गुणों का उपयोग करना है। एक दीर्घवृत्त के लिए इस तरह के निर्माण पर विचार करें।

चलो O और Q दीर्घवृत्तीयता और 2a की दूरी के दिए गए योग हैं। फ़ोकस O से गुजरने वाली किसी भी लाइन को लें और बिंदु X पर विचार करें - लाइन और दीर्घवृत्त का चौराहा। उसी सीधी रेखा पर 2a के बराबर खंड ओए को डालते हुए, हम त्रिभुज QXY प्राप्त करते हैं। दीर्घवृत्त की संपत्ति से, QX + OX 2a के बराबर है, जिसका अर्थ है कि QX = XY और संकेतित त्रिकोण समद्विबाहु है। यह QY के मध्य लंबवत की साजिश करके बिंदु X को फिर से बनाना आसान बनाता है।

एक हाइपरबोला के लिए, निर्माण समान है, केवल बिंदु वाई को दूसरी दिशा में रखा जाना चाहिए। यह पता चला है कि ओए सेगमेंट XY और OX का अंतर है, और त्रिकोण QXY अभी भी समद्विबाहु है। चूंकि निर्माण एल्गोरिथ्म समान है, क्या वास्तव में बाहर निकलेगा - एक दीर्घवृत्त या हाइपरबोले इस बात पर निर्भर करता है कि फ़ॉसी के बीच की दूरी अधिक है या योग (अंतर) को निर्दिष्ट करने वाले खंड की लंबाई अधिक है।

एक parabola के साथ थोड़ा और अधिक जटिल है। बता दें कि ओ ने परबोला का फोकस किया और निर्देशक को दिया। एक समद्विबाहु आयत के बजाय, यहाँ हमें OXYZ समांतर चतुर्भुज पर विचार करने की आवश्यकता है, जहाँ XY और OZ की रेखाएँ निर्देशांक के लंबवत हैं। परवलय की संपत्ति द्वारा, XY = XO, इसलिए, यह समांतर चतुर्भुज एक समभुज है। सीधी रेखा OX होने पर, रोम्बस को पुनर्स्थापित करना और बिंदु X को खोजना मुश्किल नहीं है - यह कोण XOZ के द्विभाजक को खींचने के लिए पर्याप्त है - बिंदु Y को द्विभाजक और निर्देशांक के चौराहे के रूप में प्राप्त करें, और फिर इस बिंदु से लंबवत रेखा को परिभाषित रेखा के साथ चौराहे पर पुनर्स्थापित करें।

एक परबोला खींचने की प्रक्रिया निम्न वीडियो में कैप्चर की गई है:

खैर, हर कोई खुद को निर्माणों के अनुक्रम के लिए देख सकता है, सेटिंग बिंदुओं को स्थानांतरित कर सकता है और यहां सहायक हलकों के मंत्रमुग्ध आंदोलन का निरीक्षण कर सकता है । "मुझे खींचें" लेबल वाले डॉट्स को स्थानांतरित करना याद रखें।

शंक्वाकार खंड

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